1º. numere întregi sunt numerele folosite la numărare. Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează cu N, adică N=(1, 2, 3, …).
Lovitură se numește număr format din mai multe fracții de unu. Fracție comună se numeste un numar de forma in care numarul natural n arată câte părți egale este împărțită o unitate și un număr natural m arată câte astfel de părți egale sunt luate. Numerele mși n sunt numite respectiv numărătorși numitor fractii.
Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci se numește fracția corect; Dacă numărătorul este egal sau mai mare decât numitorul, atunci se numește fracția gresit. Se numește un număr format dintr-un număr întreg și o parte fracțională număr mixt.
De exemplu, 
- fracții regulate 
- fracții ordinare improprii, 1 - număr mixt.
2º. Când efectuați operații pe fracții obișnuite, rețineți următoarele reguli:
1)Proprietatea de bază a unei fracții. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr natural, atunci se va obține o fracție egală cu cea dată.
De exemplu, a) 
; b) 
.
Împărțirea numărătorului și numitorului unei fracții la divizorul lor comun, care este diferit de unul, se numește reducerea fracției.
2) Pentru a reprezenta un număr mixt ca o fracție improprie, trebuie să înmulțiți partea sa întreagă cu numitorul părții fracționale și să adăugați numărătorul părții fracționale la produsul rezultat, scrieți suma rezultată ca numărător al părții fracționale. fracție și lăsați numitorul același.
În mod similar, orice număr natural poate fi scris ca o fracție improprie cu orice numitor.
De exemplu, a) 
, deoarece 
; b) 
etc.
3) Pentru a scrie o fracție improprie ca număr mixt (adică, selectați o parte întreagă dintr-o fracție improprie), trebuie să împărțiți numărătorul la numitor, să luați câtul ca parte întreagă, restul ca numărător, lăsați numitorul același.
De exemplu, a) 
, din 200: 7 = 28 (răman de 4); b) 
, din moment ce 20: 5 = 4 (rămanând 0).
4) Pentru a aduce fracțiile la cel mai mic numitor comun, trebuie să găsiți cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor acestor fracții (va fi cel mai mic numitor comun al acestora), împărțiți cel mai mic numitor comun la numitorii acestor fracții ( adică găsiți factori suplimentari pentru fracții), înmulțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții cu factorul ei suplimentar.
De exemplu, să luăm fracții 
la cel mai mic numitor comun:
,
,
;
630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.
Mijloace, 
;
;
.
5) Reguli pentru operații aritmetice pe fracții ordinare:
a) Adunarea și scăderea fracțiilor cu aceiași numitori se efectuează conform regulii:
.
b) Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori diferiți se efectuează conform regulii a), având în prealabil reduse fracțiile la cel mai mic numitor comun.
c) Când adăugați și scădeți numere mixte, le puteți converti în fracții improprii și apoi urmați pașii din regulile a) și b),
d) Când înmulțiți fracții, utilizați regula:
.
e) Pentru a împărți o fracție la alta, trebuie să înmulțiți dividendul cu reciproca divizorului:
.
f) Când înmulțiți și împărțiți numere mixte, mai întâi transformați-le în fracții improprii, apoi folosiți regulile d) și e).
3º. Când rezolvați exemple pentru toate acțiunile cu fracții, amintiți-vă că acțiunile dintre paranteze sunt efectuate mai întâi. Atât în interiorul, cât și în afara parantezelor, înmulțirea și împărțirea sunt efectuate mai întâi, urmate de adunarea și scăderea.
Luați în considerare implementarea regulilor de mai sus cu un exemplu.
Exemplul 1 Calculați: 
.
1) 
;
2) 
;
5) 
. Raspuns: 3.
1. Regula de adunare a fracțiilor cu aceiași numitori:
Exemplul 1:
Exemplul 2:
Regula de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți:
Exemplul 1:
Exemplul 2:
Aici numitorii nu au fost înmulțiți, ci a fost luat cel mai puțin comun factor a2.
(Numitorul este cea mai mare putere a lui 2.)
Multiplicator suplimentar pentru prima fracție 1, pentru a doua a.
2. Regula de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori:
Regula pentru scăderea fracțiilor cu numitori diferiți:
3. Regula de înmulțire a fracțiilor ordinare:
4. Regula de împărțire a fracțiilor:
Exemplu:
Fracție obișnuită (simple). Numătorul și numitorul unei fracții.
Fracția proprie și improprie. Număr mixt.
coeficient incomplet. Parte întreagă și fracțională. Fracții inverse. O parte a unei unități sau mai multe părți ale acesteia se numește fracție obișnuită sau simplă. Numărul de părți egale în care este împărțită unitatea se numește numitor, iar numărul de părți luate se numește numărător. Fracția se scrie astfel:
Aici 3 este numărătorul, 7 este numitorul.
Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci fracția este mai mică decât 1 și se numește Fracțiunea corespunzătoare. Dacă numărătorul este egal cu numitorul, atunci fracția este 1. Dacă numărătorul este mai mare decât numitorul, atunci fracția este mai mare decât 1. În ambele cazuri din urmă, fracția se numește improprie. Dacă numărătorul este divizibil cu numitorul, atunci această fracție este egală cu câtul: 63 / 7 = 9. Dacă împărțirea se face cu rest, atunci această fracție improprie poate fi reprezentată număr mixt:
Aici 9 - coeficient incomplet(partea întreagă a numărului mixt), 2 este restul (numărătorul părții fracționale), 7 este numitorul.
Adesea este necesar să se rezolve problema inversă - inversează un număr mixt intr-o fractiune. Pentru a face acest lucru, înmulțiți partea întreagă a numărului mixt cu numitorul și adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul unei fracții obișnuite, iar numitorul rămâne același. 
Reciprocele sunt două fracții al căror produs este 1. De exemplu, 3/7 și 7/3; 15/1 și 1/15 etc.
Expansiunea fracțiilor. Reducerea fracțiilor. Comparația fracțiunilor.
Reducere la un numitor comun. Adunare si scadere fractii.
Înmulțirea fracțiilor. Împărțirea fracțiilor
Expansiunea fracțiilor.Valoarea unei fracții nu se modifică dacă numărătorul și numitorul ei sunt înmulțiți cu același număr diferit de zero prin extinderea fracției. De exemplu,
Reducerea fracțiilor. Valoarea unei fracții nu se schimbă dacă numărătorul și numitorul ei sunt împărțite la același număr diferit de zero.. Această transformare se numeștereducerea fracției. De exemplu, 
Comparația fracțiunilor.Dintre două fracții cu același numărător, cea mai mare este cea cu numitorul mai mic:
Dintre două fracții cu aceiași numitori, cea cu numărătorul mai mare este mai mare:
Pentru a compara fracții care au numărători și numitori diferiți, trebuie să le extindeți pentru a le aduce la un numitor comun.
EXEMPLU Comparați două fracții:
Transformarea folosită aici se numește reducerea fracțiilor la un numitor comun.
Adunarea și scăderea fracțiilor.Dacă numitorii fracțiilor sunt aceiași, atunci pentru a adăuga fracții, trebuie să adăugați numărătorii lor, iar pentru a scădea fracțiile, trebuie să scădeți numărătorii lor (în aceeași ordine). Suma sau diferența rezultată va fi numărătorul rezultatului; numitorul va rămâne același. Dacă numitorii fracțiilor sunt diferiți, mai întâi trebuie să reduceți fracțiile la un numitor comun. Când se adaugă numere mixte, părțile lor întregi și fracționale sunt adăugate separat. Când scădeți numere mixte, vă recomandăm să le convertiți mai întâi în forma de fracții improprii, apoi să scădeți una de la alta și apoi să reduceți din nou rezultatul, dacă este necesar, la forma unui număr mixt.
EXEMPLU
Înmulțirea fracțiilor.A înmulți un număr cu o fracție înseamnă a-l înmulți cu numărător și a împărți produsul la numitor. Prin urmare, avem o regulă generală pentru înmulțirea fracțiilor:pentru a înmulți fracții, trebuie să le înmulțiți separat numărătorii și numitorii și să împărțiți primul produs la al doilea.
EXEMPLU 
Împărțirea fracțiilor. Pentru a împărți un anumit număr la o fracție, este necesar să înmulțim acest număr cu reciproca.Această regulă rezultă din definiția împărțirii (vezi secțiunea „Operații aritmetice”).
EXEMPLU 
Zecimal. Toată parte. Punct zecimal.
zecimale. Proprietățile fracțiilor zecimale.
Decimală periodică. Perioadă
Zecimaleste rezultatul împărțirii unu la zece, o sută, o mie etc. părți. Aceste fracții sunt foarte convenabile pentru calcule, deoarece se bazează pe același sistem pozițional pe care sunt construite numărarea și notarea numerelor întregi. Din acest motiv, notația și regulile pentru zecimale sunt de fapt aceleași ca pentru numerele întregi. Când scrieți fracții zecimale, nu este nevoie să marcați numitorul, acesta fiind determinat de locul pe care îl ocupă cifra corespunzătoare. Prima ortografieîntreaga parte numere, apoi puneți în dreaptapunct zecimal. Prima cifră după virgulă înseamnă numărul de zecimi, a doua - numărul de sutimi, a treia - numărul de miimi etc. Sunt numite numerele de după virgulăzecimale.
EXEMPLU 
Unul dintre avantajele fracțiilor zecimale este că se convertesc ușor în fracții obișnuite: numărul de după virgulă (în cazul nostru 5047) este numărătorul; numitorul este egal n -gradul 10, unde n - numărul de zecimale (în cazul nostru n = 4): 
Dacă fracția zecimală nu conține o parte întreagă, atunci un zero este plasat înaintea virgulei zecimale:
Proprietățile fracțiilor zecimale.
1. Decimalul nu se schimbă dacă se adaugă zerouri la dreapta:
2.
Fracția zecimală nu se schimbă dacă eliminați zerourile aflate
la sfârşitul zecimalei:
0.00123000 = 0.00123 .
Atenție! Nu puteți șterge zerourile situate nu la sfârșit zecimal!br />
Aceste proprietăți vă permit să înmulțiți și să împărțiți rapid zecimale cu 10, 100, 1000 și așa mai departe.
Decimală periodică conține un grup de cifre care se repetă la infinit numită perioadă. Perioada este scrisă între paranteze. De exemplu, 0,12345123451234512345... = 0.(12345).
EXEMPLU Dacă împărțim 47 la 11, obținem 4,27272727... = 4.(27).
Înmulțirea zecimalelor.
Împărțirea zecimalelor.
Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale. Aceste operații sunt efectuate în același mod ca și adunarea și scăderea numerelor întregi. Este necesar doar să scrieți zecimalele corespunzătoare una sub alta.
EXEMPLU
Înmulțirea zecimalelor.În primul pas, înmulțim fracțiile zecimale ca numere întregi, fără a ține cont de punctul zecimal. Apoi se aplică următoarea regulă: numărul de zecimale din produs este egal cu suma zecimale din toți factorii.
Observație : înainte de a introduce punctul zecimalNu puteți lăsa zerouri la sfârșitul produsului!
EXEMPLU
Suma numerelor zecimale din factori este: 3 + 4 = 7. Suma cifrelor din produs este 6. Prin urmare, trebuie să adăugați un zero la stânga: 0197056 și să puneți un punct zecimal în față din aceasta: 0,0197056.
Împărțire zecimală
Împărțiți o zecimală la un număr întreg
În cazul în care un dividendul este mai mic decât divizorul, scriem zero în partea întreagă a coeficientului și punem un punct zecimal după el. Apoi, fără a ține cont de punctul zecimal al dividendului, adăugăm următoarea cifră a părții fracționale la partea sa întreagă și comparăm din nou partea întreagă rezultată a dividendului cu divizorul. Dacă noul număr este din nou mai mic decât divizorul, puneți încă un zero după punctul zecimal din coeficient și adăugați următoarea cifră a părții sale fracționale la partea întreagă a dividendului. Acest proces se repetă până când dividendul rezultat devine mai mare decât divizorul. După aceea, împărțirea este efectuată ca pentru numere întregi. În cazul în care un dividendul este mai mare sau egal cu divizorul, mai întâi împărțim partea sa întreagă, scriem rezultatul împărțirii în privat și punem un punct zecimal. După aceea, împărțirea continuă, ca și în cazul numerelor întregi.
EXEMPLU Împărțiți 1,328 la 64.
Soluţie: 
Împărțirea unei fracții zecimale cu alta.
Mai întâi, transferăm punctele zecimale din dividend și divizorul după numărul de zecimale din divizor, adică facem divizorului un număr întreg. Acum efectuăm împărțirea, ca în cazul precedent.
EXEMPLU Împărțiți 0,04569 la 0,0006.
Soluție: Mutați zecimale cu 4 locuri la dreapta și împărțiți 456,9 la 6:
Pentru a converti o zecimală într-o fracție comună, trebuie să luați numărul de după virgulă zecimală ca numărător și să luați a n-a putere a lui zece ca numitor (aici n este numărul de zecimale). Partea întreagă diferită de zero este păstrată în fracția comună; partea întreagă zero este omisă. De exemplu: 
Pentru a se întoarce fracție comună la zecimală, este necesară împărțirea numărătorului la numitor în conformitate cu regulile de împărțire.
EXEMPLU Convertiți 5 / 8 într-o zecimală.
Rezolvare: Împărțind 5 la 8 dă 0,625. (Nota, vă rog!).
În cele mai multe cazuri, acest proces poate continua pe termen nelimitat. Atunci este imposibil să convertiți cu exactitate o fracție obișnuită într-o zecimală. Dar, în practică, acest lucru nu este niciodată necesar. Împărțirea este întreruptă dacă zecimalele de interes au fost deja primite.
EXEMPLU Convertiți 1/3 într-o zecimală.
Rezolvare: Împărțirea lui 1 la 3 va fi infinită: 1:3 = 0,3333… .
Verificați-l vă rog!
Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
Adunarea fracțiilor este de două tipuri:
- Adunarea fracțiilor cu aceiași numitori
- Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți
Să începem cu adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat. De exemplu, să adăugăm fracțiile și . Adăugăm numărătorii și lăsăm numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă adăugați pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2 Adăugați fracții și .
Răspunsul este o fracție improprie. Dacă vine sfârșitul sarcinii, atunci se obișnuiește să scapi de fracțiile improprii. Pentru a scăpa de o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea. În cazul nostru, partea întreagă este alocată cu ușurință - doi împărțiți la doi este egal cu unul:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în două părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți o pizza întreagă:
Exemplul 3. Adăugați fracții și .
Din nou, adăugați numărătorii și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă adăugați mai multe pizza la pizza, obțineți pizza:
Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Număratorii trebuie adăugați și numitorul lăsat neschimbat:
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza și adăugați mai multe pizza, obțineți 1 pizza întreagă și mai multe pizza.
După cum puteți vedea, adăugarea fracțiilor cu aceiași numitori nu este dificilă. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a adăuga fracții cu același numitor, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat;
Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți
Acum vom învăța cum să adunăm fracții cu diferiți numitori. Când se adună fracții, numitorii acelor fracții trebuie să fie aceiași. Dar nu sunt întotdeauna la fel.
De exemplu, fracțiile pot fi adăugate deoarece au aceiași numitori.
Dar fracțiile nu pot fi adăugate imediat, deoarece aceste fracții au numitori diferiti. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Există mai multe moduri de a reduce fracțiile la același numitor. Astăzi vom lua în considerare doar una dintre ele, deoarece restul metodelor pot părea complicate pentru un începător.
Esența acestei metode constă în faptul că se caută primul (LCM) dintre numitorii ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar. Ei fac același lucru cu a doua fracție - LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține al doilea factor suplimentar.
Apoi numărătorii și numitorii fracțiilor sunt înmulțiți cu factorii lor suplimentari. Ca urmare a acestor acțiuni, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții.
Exemplul 1. Adăugați fracții și
În primul rând, găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 6
LCM (2 și 3) = 6
Acum revenim la fracții și . În primul rând, împărțim LCM la numitorul primei fracții și obținem primul factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțind 6 la 3, obținem 2.
Numărul rezultat 2 este primul factor suplimentar. O notăm până la prima fracție. Pentru a face acest lucru, facem o mică linie oblică deasupra fracției și notăm factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții și obținem al doilea factor suplimentar. LCM este numărul 6, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 2. Împărțind 6 la 2, obținem 3.
Numărul rezultat 3 este al doilea factor suplimentar. O scriem în a doua fracție. Din nou, facem o linie oblică mică deasupra celei de-a doua fracții și scriem factorul suplimentar găsit deasupra ei:
Acum suntem gata să adăugăm. Rămâne să înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii lor suplimentari:
Privește cu atenție la ce am ajuns. Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să adunăm astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:
Așa se termină exemplul. Pentru a adăuga se dovedește.
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă adăugați pizza la o pizza, obțineți o pizza întreagă și o altă șesime dintr-o pizza:
Reducerea fracțiilor la același numitor (comun) poate fi reprezentată și folosind o imagine. Aducând fracțiile și la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste două fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza. Singura diferență va fi că de data aceasta vor fi împărțite în părți egale (reduse la același numitor).
Primul desen arată o fracție (patru piese din șase), iar a doua imagine arată o fracție (trei piese din șase). Punând aceste piese împreună obținem (șapte bucăți din șase). Această fracție este incorectă, așa că am evidențiat partea întreagă din ea. Rezultatul a fost (o pizza intreaga si alta a sasea pizza).
Rețineți că am pictat exemplu dat prea detaliat. LA institutii de invatamant nu se obișnuiește să se scrie într-o manieră atât de detaliată. Trebuie să puteți găsi rapid LCM a ambelor numitori și factori suplimentari la aceștia, precum și să înmulțiți rapid factorii suplimentari găsiți de numărătorii și numitorii dvs. În timp ce suntem la școală, ar trebui să scriem acest exemplu după cum urmează:
Dar există și partea din spate medalii. Dacă nu se fac note detaliate în primele etape ale studiului matematicii, atunci întrebări de acest fel „De unde vine acel număr?”, „De ce fracțiile se transformă brusc în fracții complet diferite? «.
Pentru a facilita adăugarea fracțiilor cu numitori diferiți, puteți folosi următoarele instrucțiuni pas cu pas:
- Aflați LCM al numitorilor fracțiilor;
- Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție;
- Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari ai acestora;
- Adaugă fracții care au aceiași numitori;
- Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga sa parte;
Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii 
.
Să folosim instrucțiunile de mai sus.
Pasul 1. Aflați LCM al numitorilor fracțiilor
Aflați LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorii fracțiilor sunt numerele 2, 3 și 4
Pasul 2. Împărțiți LCM la numitorul fiecărei fracții și obțineți un multiplicator suplimentar pentru fiecare fracție
Împărțiți LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 2. Împărțim 12 la 2, obținem 6. Primul factor suplimentar este 6. Îl scriem peste prima fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Primim al doilea factor suplimentar 4. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum împărțim LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 4. Împărțim 12 la 4, obținem 3. Am obținut al treilea factor suplimentar 3. Îl scriem peste a treia fracție:
Pasul 3. Înmulțiți numărătorii și numitorii fracțiilor cu factorii suplimentari
Înmulțim numărătorii și numitorii cu factorii noștri suplimentari:
Pasul 4. Adaugă fracții care au aceiași numitori
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Rămâne să adunăm aceste fracții. Aduna:
Adăugarea nu se potrivea pe o singură linie, așa că am mutat expresia rămasă pe următoarea linie. Acest lucru este permis la matematică. Când o expresie nu se încadrează pe o linie, se trece pe următoarea linie și este necesar să se pună un semn egal (=) la sfârșitul primei rânduri și la începutul unei noi linii. Semnul egal de pe a doua linie indică faptul că aceasta este o continuare a expresiei care a fost pe prima linie.
Pasul 5. Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci selectați întreaga parte din el
Răspunsul nostru este o fracție improprie. Trebuie să evidențiem întreaga parte a acesteia. Subliniem:
Am un răspuns
Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
Există două tipuri de scădere de fracții:
- Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori
- Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
Mai întâi, să învățăm cum să scădem fracții cu aceiași numitori. Totul este simplu aici. Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții de la numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul același.
De exemplu, să găsim valoarea expresiei . Pentru a rezolva acest exemplu, este necesar să scădem numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat. Să o facem:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în patru părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei.
Din nou, de la numărătorul primei fracții, scădeți numărătorul celei de-a doua fracții și lăsați numitorul neschimbat:
Acest exemplu poate fi ușor de înțeles dacă ne gândim la o pizza care este împărțită în trei părți. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza:
Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii 
Acest exemplu este rezolvat exact în același mod ca și cele precedente. Din numărătorul primei fracții, trebuie să scădeți numărătorii fracțiilor rămase:
După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în scăderea fracțiilor cu aceiași numitori. Este suficient să înțelegeți următoarele reguli:
- Pentru a scădea altul dintr-o fracție, trebuie să scădeți numărătorul celei de-a doua fracții din numărătorul primei fracții și să lăsați numitorul neschimbat;
- Dacă răspunsul s-a dovedit a fi o fracție necorespunzătoare, atunci trebuie să selectați întreaga parte din el.
Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți
De exemplu, o fracție poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au aceiași numitori. Dar o fracție nu poate fi scăzută dintr-o fracție, deoarece aceste fracții au numitori diferiți. În astfel de cazuri, fracțiile trebuie reduse la același numitor (comun).
Numitorul comun se găsește după același principiu pe care l-am folosit atunci când adunăm fracții cu numitori diferiți. În primul rând, găsiți LCM al numitorilor ambelor fracții. Apoi LCM se împarte la numitorul primei fracții și se obține primul factor suplimentar, care se scrie peste prima fracție. În mod similar, LCM este împărțit la numitorul celei de-a doua fracții și se obține un al doilea factor suplimentar, care se scrie peste a doua fracție.
Fracțiile sunt apoi înmulțite cu factorii lor suplimentari. În urma acestor operații, fracțiile care au numitori diferiți se transformă în fracții care au aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții.
Exemplul 1 Găsiți valoarea unei expresii:
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
În primul rând, găsim LCM al numitorilor ambelor fracții. Numitorul primei fracții este numărul 3, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 12
LCM (3 și 4) = 12
Acum revenim la fracții și
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul primei fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul primei fracții este numărul 3. Împărțim 12 la 3, obținem 4. Scriem cele patru peste prima fracție:
Facem același lucru cu a doua fracție. Împărțim LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 12, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 4. Împărțiți 12 la 4, obținem 3. Scrieți un triplu peste a doua fracție:
Acum suntem gata de scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care aveau aceiași numitori. Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să completăm acest exemplu până la sfârșit:
Am un răspuns
Să încercăm să descriem soluția noastră folosind o imagine. Dacă tăiați pizza dintr-o pizza, obțineți pizza.
Aceasta este versiunea detaliată a soluției. Fiind la școală, ar trebui să rezolvăm acest exemplu într-un mod mai scurt. O astfel de soluție ar arăta astfel:
Reducerea fracțiilor și la un numitor comun poate fi, de asemenea, reprezentată folosind o imagine. Aducând aceste fracții la un numitor comun, obținem fracțiile și . Aceste fracții vor fi reprezentate de aceleași felii de pizza, dar de data aceasta vor fi împărțite în aceleași fracții (reduse la același numitor):
Primul desen arată o fracție (opt bucăți din douăsprezece), iar a doua imagine arată o fracțiune (trei piese din douăsprezece). Prin tăierea a trei bucăți din opt bucăți, obținem cinci bucăți din douăsprezece. Fracția descrie aceste cinci piese.
Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii 
Aceste fracții au numitori diferiți, așa că mai întâi trebuie să le aduceți la același numitor (comun).
Aflați LCM al numitorilor acestor fracții.
Numitorii fracțiilor sunt numerele 10, 3 și 5. Cel mai mic multiplu comun al acestor numere este 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Acum găsim factori suplimentari pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțim LCM la numitorul fiecărei fracții.
Să găsim un factor suplimentar pentru prima fracție. LCM este numărul 30, iar numitorul primei fracții este numărul 10. Împărțind 30 la 10, obținem primul factor suplimentar 3. Îl scriem peste prima fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a doua fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a doua fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a doua fracții este numărul 3. Împărțim 30 la 3, obținem al doilea factor suplimentar 10. Îl scriem peste a doua fracție:
Acum găsim un factor suplimentar pentru a treia fracție. Împărțiți LCM la numitorul celei de-a treia fracții. LCM este numărul 30, iar numitorul celei de-a treia fracții este numărul 5. Împărțim 30 la 5, obținem al treilea factor suplimentar 6. Îl scriem peste a treia fracție:
Acum totul este gata pentru scădere. Rămâne să înmulțim fracțiile cu factorii lor suplimentari:
Am ajuns la concluzia că fracțiile care aveau numitori diferiți s-au transformat în fracții care au aceiași numitori (comuni). Și știm deja cum să scădem astfel de fracții. Să terminăm acest exemplu.
Continuarea exemplului nu se va potrivi pe o linie, așa că mutam continuarea pe următoarea linie. Nu uitați de semnul egal (=) pe noua linie:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracțiune corectă și totul pare să ni se potrivească, dar este prea greoi și urât. Ar trebui să o facem mai ușor. Ce se poate face? Puteți reduce această fracție.
Pentru a reduce o fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acesteia la (mcd) numerele 20 și 30.
Deci, găsim GCD-ul numerelor 20 și 30:
Acum revenim la exemplul nostru și împărțim numărătorul și numitorul fracției la GCD găsit, adică la 10
Am un răspuns
Înmulțirea unei fracții cu un număr
Pentru a înmulți o fracție cu un număr, trebuie să înmulțiți numărătorul fracției date cu acest număr și să lăsați numitorul neschimbat.
Exemplul 1. Înmulțiți fracția cu numărul 1.
Înmulțiți numărătorul fracției cu numărul 1
Intrarea poate fi înțeleasă ca durând o jumătate de dată. De exemplu, dacă iei pizza 1 dată, primești pizza
Din legile înmulțirii, știm că dacă multiplicandul și multiplicatorul sunt interschimbați, atunci produsul nu se va schimba. Dacă expresia este scrisă ca , atunci produsul va fi tot egal cu . Din nou, regula pentru înmulțirea unui întreg și a unei fracții funcționează:
Această intrare poate fi înțeleasă ca ocupând jumătate din unitate. De exemplu, dacă există 1 pizza întreagă și luăm jumătate din ea, atunci vom avea pizza:
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul fracției cu 4
Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând două sferturi de 4 ori. De exemplu, dacă iei pizza de 4 ori, primești două pizza întregi.
Și dacă schimbăm multiplicandul și multiplicatorul pe alocuri, obținem expresia. De asemenea, va fi egal cu 2. Această expresie poate fi înțeleasă ca luând două pizza din patru pizza întregi:
Un număr care se înmulțește cu o fracție și numitorul fracției se rezolvă dacă au un divizor comun mai mare decât unu.
De exemplu, o expresie poate fi evaluată în două moduri.
Prima cale. Înmulțiți numărul 4 cu numărătorul fracției și lăsați numitorul fracției neschimbat:
A doua cale. Cvadruplul fiind înmulțit și cvadruplul din numitorul fracției pot fi reduse. Puteți reduce aceste patru patru cu 4, deoarece cel mai mare divizor comun pentru doi patru este patru însuși:
Am obținut același rezultat 3. După reducerea celor patru, în locul lor se formează numere noi: două. Dar înmulțirea unuia cu un triplu și apoi împărțirea la unu nu schimbă nimic. Prin urmare, soluția poate fi scrisă mai scurt:
Reducerea poate fi efectuată chiar și atunci când am decis să folosim prima metodă, dar în etapa de înmulțire a numărului 4 și a numărătorului 3, am decis să folosim reducerea:
Dar, de exemplu, expresia poate fi calculată numai în primul mod - înmulțiți 7 cu numitorul fracției și lăsați numitorul neschimbat:
Acest lucru se datorează faptului că numărul 7 și numitorul fracției nu au un divizor comun mai mare de unu și, în consecință, nu sunt reduse.
Unii elevi prescurtează în mod greșit numărul înmulțit și numărătorul fracției. Nu poți face asta. De exemplu, următoarea intrare nu este corectă:
Reducerea fracţiei presupune că și numărătorul și numitorul va fi împărțit la același număr. În situația cu expresia, împărțirea se efectuează numai la numărător, deoarece scrierea aceasta este la fel cu scrierea . Vedem că împărțirea se efectuează numai la numărător, iar la numitor nu apare nicio împărțire.
Înmulțirea fracțiilor
Pentru a înmulți fracțiile, trebuie să le înmulțiți numărătorii și numitorii. Dacă răspunsul este o fracție necorespunzătoare, trebuie să selectați întreaga parte din ea.
Exemplul 1 Găsiți valoarea expresiei.
Am un răspuns. Este de dorit să se reducă această fracție. Fracția poate fi redusă cu 2. Apoi soluția finală va lua următoarea formă:
Expresia poate fi înțeleasă ca luând o pizza dintr-o jumătate de pizza. Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Cum să iau două treimi din această jumătate? Mai întâi trebuie să împărțiți această jumătate în trei părți egale:
Și ia două din aceste trei bucăți:
Vom lua pizza. Amintiți-vă cum arată o pizza împărțită în trei părți:
O felie din această pizza și cele două felii pe care le-am luat vor avea aceleași dimensiuni:
Cu alte cuvinte, vorbim de aceeași dimensiune a pizza. Prin urmare, valoarea expresiei este
Exemplul 2. Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul este o fracție improprie. Să luăm o întreagă parte din el:
Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii
Înmulțiți numărătorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua fracții și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua fracții:
Răspunsul s-a dovedit a fi o fracție corectă, dar va fi bine dacă se reduce. Pentru a reduce această fracție, trebuie să împărțiți numărătorul și numitorul acestei fracții la cel mai mare divizor comun (MCD) al numerelor 105 și 450.
Deci, să găsim GCD-ul numerelor 105 și 450:
Acum împărțim numărătorul și numitorul răspunsului nostru la GCD pe care l-am găsit acum, adică la 15
Reprezentarea unui număr întreg sub formă de fracție
Orice număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție. De exemplu, numărul 5 poate fi reprezentat ca . Din aceasta, cei cinci nu își vor schimba sensul, deoarece expresia înseamnă „numărul cinci împărțit la unu”, iar acesta, după cum știți, este egal cu cinci:
Numerele inversate
Acum ne vom familiariza cu un subiect foarte interesant în matematică. Se numește „numere inverse”.
Definiție. Inversa la numărA este numărul care, atunci când este înmulțit cuA oferă o unitate.
Să înlocuim în această definiție în loc de o variabilă A numărul 5 și încercați să citiți definiția:
Inversa la număr 5 este numărul care, atunci când este înmulțit cu 5 oferă o unitate.
Este posibil să găsim un număr care, înmulțit cu 5, dă unul? Se dovedește că poți. Să reprezentăm cinci ca o fracție:
Apoi înmulțiți această fracție cu ea însăși, schimbați doar numărătorul și numitorul. Cu alte cuvinte, să înmulțim fracția cu ea însăși, doar inversată:
Care va fi rezultatul acestui lucru? Dacă continuăm să rezolvăm acest exemplu, obținem unul:
Aceasta înseamnă că inversul numărului 5 este numărul, deoarece atunci când 5 este înmulțit cu unu, se obține unul.
Reciproca poate fi găsită și pentru orice alt număr întreg.
Puteți găsi, de asemenea, reciproca pentru orice altă fracție. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l întoarceți.
Împărțirea unei fracții cu un număr
Să presupunem că avem jumătate de pizza:
Să o împărțim în mod egal între doi. Câte pizza va primi fiecare?
Se poate observa că după împărțirea jumătate din pizza s-au obținut două bucăți egale, fiecare alcătuind câte o pizza. Deci toată lumea primește o pizza.
Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Atenţie!
Există suplimentare
materiale în Secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)
Aceasta operatie este mult mai frumoasa adunare-scădere! Pentru că e mai ușor. Vă reamintesc: pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorii (acesta va fi numărătorul rezultatului) și numitorii (acesta va fi numitorul). Acesta este:
De exemplu:
Totul este extrem de simplu. Și vă rog să nu căutați un numitor comun! Nu am nevoie aici...
Pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să răsturnați al doilea(acest lucru este important!) fracționați și înmulțiți-le, adică:
De exemplu:
Dacă înmulțirea sau împărțirea cu numere întregi și fracții este prinsă, este în regulă. Ca și în cazul adunării, facem o fracție dintr-un număr întreg cu o unitate la numitor - și mergeți! De exemplu:
În liceu, de multe ori ai de-a face cu fracții cu trei etaje (sau chiar cu patru etaje!). De exemplu:
Cum să aduceți această fracție într-o formă decentă? Da, foarte usor! Folosește împărțirea prin două puncte:
Dar nu uitați de ordinea de împărțire! Spre deosebire de multiplicare, acest lucru este foarte important aici! Desigur, nu vom confunda 4:2 sau 2:4. Dar într-o fracțiune de trei etaje este ușor să greșești. Vă rugăm să rețineți, de exemplu:
În primul caz (expresie din stânga):
În a doua (expresie din dreapta):
Simte diferenta? 4 și 1/9!
Care este ordinea împărțirii? Sau paranteze sau (ca aici) lungimea liniuțelor orizontale. Dezvoltați un ochi. Și dacă nu există paranteze sau liniuțe, cum ar fi:
apoi împărțiți-înmulțiți în ordine, de la stânga la dreapta!
Și un alt truc foarte simplu și important. În acțiuni cu diplome, îți va veni la îndemână! Să împărțim unitatea la orice fracție, de exemplu, la 13/15:
Lovitura s-a răsturnat! Și se întâmplă mereu. Când împărțiți 1 la orice fracție, rezultatul este aceeași fracție, doar inversată.
Sunt toate acțiunile cu fracții. Lucrul este destul de simplu, dar dă erori mai mult decât suficiente. Notă sfaturi practice, iar acestea (erorile) vor fi mai puține!
Sfaturi practice:
1. Cel mai important lucru atunci când lucrați cu expresii fracționale este acuratețea și atenția! Nu este cuvinte uzuale, nu urări bune! Aceasta este o nevoie gravă! Faceți toate calculele la examen ca o sarcină cu drepturi depline, cu concentrare și claritate. Este mai bine să scrii două rânduri în plus într-o ciornă decât să dai peste cap atunci când calculezi.
2. În exemplele cu tipuri diferite fracții - mergeți la fracții obișnuite.
3. Reducem toate fracțiile până la oprire.
4. Reducem expresiile fracționale cu mai multe niveluri la cele obișnuite folosind împărțirea prin două puncte (urmăm ordinea împărțirii!).
5. Împărțim unitatea într-o fracție în mintea noastră, pur și simplu răsturnând fracția.
Iată sarcinile pe care trebuie să le îndepliniți. Răspunsurile sunt date după toate sarcinile. Folosiți materialele acestui subiect și sfaturi practice. Estimați câte exemple puteți rezolva corect. Prima dată! Fără calculator! Și trageți concluziile corecte...
Amintiți-vă răspunsul corect obtinut din a doua (mai ales a treia) timp - nu conteaza! Așa este viața aspră.
Asa de, rezolva in modul examen ! Apropo, aceasta este pregătirea pentru examen. Rezolvăm un exemplu, verificăm, rezolvăm următoarele. Am decis totul - am verificat din nou de la primul până la ultimul. Doar daca după uita-te la raspunsuri.
Calculati:
V-aţi decis?
Caut răspunsuri care se potrivesc cu ale tale. Le-am notat anume în mizerie, departe de ispită, ca să zic așa... Iată-le, răspunsurile, notate cu punct și virgulă.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Și acum tragem concluzii. Dacă totul a funcționat - fericit pentru tine! Calculele elementare cu fracții nu sunt problema ta! Poți să faci lucruri mai serioase. Dacă nu...
Deci ai una dintre cele două probleme. Sau ambele deodată.) Lipsa de cunoaștere și (sau) neatenție. Dar asta rezolvabil Probleme.
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
