Lungimea de undă a unei particule cuantice este invers proporțională cu impulsul acesteia.
Unul dintre faptele lumii subatomice este că obiectele sale - cum ar fi electronii sau fotonii - nu sunt deloc asemănătoare cu obiectele obișnuite ale macrolumii. Ele nu se comportă nici ca particule, nici ca unde, ci ca formațiuni complet speciale care prezintă atât proprietăți ondulatorii, cât și corpusculare, în funcție de circumstanțe ( cm. Principiul complementarităţii). Una este să faci o afirmație, dar cu totul alta este să legați aspectele ondulatorii și ale particulelor ale comportamentului particulelor cuantice, descriindu-le cu o ecuație exactă. Este exact ceea ce s-a făcut în relația de Broglie.
Louis de Broglie a publicat relația pe care a derivat-o ca parte a lui disertatie doctoralaîn 1924. Deși la început părea o idee nebună, relația lui de Broglie a schimbat radical ideile fizicienilor teoreticieni despre microlume și a jucat un rol crucial în dezvoltarea mecanicii cuantice. Ulterior, cariera lui de Broglie s-a dezvoltat foarte prozaic: înainte de pensionare, a lucrat ca profesor de fizică la Paris și nu a mai ajuns niciodată la culmile amețitoare ale intuițiilor revoluționare.
Acum să descriem pe scurt sensul fizic al relației de Broglie: una dintre caracteristicile fizice ale oricărei particule este viteză.În același timp, fizicienii, dintr-o serie de motive teoretice și practice, preferă să vorbească nu despre viteza particulei ca atare, ci despre ea. impuls(sau cantitatea de mișcare), care este egal cu produsul dintre viteza particulei și masa acesteia. O undă este descrisă prin caracteristici fundamentale complet diferite - lungimea (distanța dintre două vârfuri de amplitudine adiacente de același semn) sau frecvența (o valoare invers proporțională cu lungimea de undă, adică numărul de vârfuri care trec printr-un punct fix pe unitate de timp ). De Broglie a reușit să formuleze o relație care să raporteze impulsul unei particule cuantice R cu o lungime de undă λ care o descrie:
p = h/λ sau λ = h/p
Această relație spune literalmente următoarele: dacă doriți, puteți considera un obiect cuantic ca o particulă cu impuls R; pe de altă parte, poate fi considerată și ca o undă a cărei lungime este egală cu λ și este determinată de ecuația propusă. Cu alte cuvinte, proprietățile ondulatorii și corpusculare ale unei particule cuantice sunt fundamental interdependente.
Relația lui De Broglie a făcut posibilă explicarea unuia dintre cele mai mari mistere ale mecanicii cuantice emergente. Când Niels Bohr și-a propus modelul atomului ( cm. Bohr Atom), a inclus conceptul orbite permise electroni în jurul nucleului, de-a lungul căruia se puteau roti atât timp cât se dorește fără pierderi de energie. Putem folosi relația lui de Broglie pentru a ilustra acest concept. Dacă considerăm că un electron este o particulă, atunci pentru ca electronul să rămână pe orbita sa, trebuie să aibă aceeași viteză (sau mai degrabă, impuls) la orice distanță de nucleu.
Dacă considerăm un electron ca fiind o undă, atunci pentru ca acesta să se potrivească pe o orbită cu o rază dată, circumferința acestei orbite trebuie să fie egală cu un număr întreg al lungimii undei sale. Cu alte cuvinte, circumferința orbitei unui electron poate fi doar egală cu una, două, trei (și așa mai departe) lungimile sale de undă. În cazul unui număr non-întreg de lungimi de undă, electronul pur și simplu nu va cădea pe orbita dorită.
Semnificația fizică principală a relației de Broglie este că putem determina oricând momentele admise (în reprezentarea corpusculară) sau lungimile de undă (în reprezentarea undelor) ale electronilor pe orbite. Pentru majoritatea orbitelor, totuși, relația lui de Broglie arată că un electron (considerat ca o particulă) cu un anumit impuls nu poate avea o lungime de undă corespunzătoare (în reprezentarea undei), astfel încât să se potrivească pe acea orbită. Și invers, un electron, considerat ca o undă de o anumită lungime, nu va avea întotdeauna un impuls corespunzător care să permită electronului să rămână pe orbită (în reprezentare corpusculară). Cu alte cuvinte, pentru majoritatea orbitelor cu o anumită rază, fie o undă, fie o descriere corpusculară va arăta că electronul nu poate fi la acea distanță de nucleu.
Cu toate acestea, există un număr mic de orbite în care unda și reprezentarea corpusculară a electronului coincid. Pentru aceste orbite, impulsul necesar pentru ca electronul să continue pe orbită (descrierea corpusculară) este exact lungimea de undă necesară pentru ca electronul să se potrivească în cerc (descrierea undei). Aceste orbite se dovedesc a fi permisîn modelul Bohr al atomului, deoarece numai în ele proprietățile corpusculare și ondulatorii ale electronilor nu intră în conflict.
Îmi place o altă interpretare a acestui principiu – filozofică: modelul atomic al lui Bohr permite doar astfel de stări și orbite de electroni în care nu contează care dintre cele două categorii mentale folosește o persoană pentru a le descrie. Adică, cu alte cuvinte, microlumea reală este structurată în așa fel încât să nu-i pese de categoriile în care încercăm să o înțelegem!
Vezi si:
1926 |
Elemente de mecanică cuantică
Dualitatea undă-particulă a proprietăților particulelor de materie.
§1 Valuri De Broglie
În 1924 Louis de Broglie (fizician francez) a ajuns la concluzia că dualitatea luminii ar trebui extinsă și la particulele de materie - electroni. Conjectura lui De Broglie a fost că electronul, ale cărui proprietăți corpusculare (sarcină, masă) au fost studiate de mult timp, Are, de asemenea, proprietăți de undă, acestea. în anumite condiţii se comportă ca un val.
Relațiile cantitative care leagă proprietățile corpusculare și de undă ale particulelor sunt aceleași ca pentru fotoni.
Ideea lui De Broglie a fost că această relație are un caracter universal, valabil pentru orice proces ondulatoriu. Orice particulă cu impuls p corespunde unei unde, a cărei lungime este calculată folosind formula de Broglie.
- val de Broglie
p = mv- impulsul particulelor,h- Constanta lui Planck.
De Broglie face semne cu mâna, care uneori sunt numite unde de electroni, nu sunt electromagnetice.
În 1927, Davisson și Germer (fizician american) au confirmat ipoteza lui de Broglie prin descoperirea difracției de electroni pe un cristal de nichel. Maximele de difracție corespundeau formulei Wulff-Bragg 2
dsinj=
n l , iar lungimea de undă Bragg s-a dovedit a fi exact egală cu .
Confirmare în continuare a ipotezei lui de Broglie în experimentele lui L.S. Tartakovsky și G. Thomson, care au observat modelul de difracție în timpul trecerii unui fascicul de electroni rapizi ( E » 50 keV) prin folie din diferite metale. Apoi a fost descoperită difracția de neutroni, protoni, fascicule atomice și fascicule moleculare. Au apărut noi metode de studiere a materiei - difracția neutronilor și difracția electronilor și a apărut optica electronică.
Macrocorpurile trebuie să aibă, de asemenea, toate proprietățile (m = 1 kg, prin urmare, l = 6. 6 2 1 0 - 3 1 m - imposibil de detectat metode moderne- prin urmare macrocorpii sunt consideraţi doar corpusculi).
§2 Proprietăţile undelor de Broglie
- Lasă o particulă de masămse mișcă cu vitezăv. Apoi viteza de fază de Broglie valuri
Deoarece c > v, Acea viteza fazei undei de Broglie mai repede decât viteza luminiiîn vid (v f poate fi mai mare și poate fi mai mică decât c, spre deosebire de grup).
Viteza grupului
- prin urmare, viteza de grup a undelor de Broglie este egală cu viteza particulei.
Pentru un foton
acestea. viteza grupului egală cu viteza luminii.
§3 Relația de incertitudine Heisenberg
Microparticulele în unele cazuri se manifestă ca unde, în altele ca corpusculi. Legile fizicii clasice ale particulelor și ale undelor nu se aplică acestora. În fizica cuantică este dovedit că conceptul de traiectorie nu poate fi aplicat unei microparticule, dar putem spune că particula este situată într-un anumit volum de spațiu cu o anumită probabilitate. R. Prin reducerea volumului, vom reduce probabilitatea de a detecta o particulă în el. O descriere probabilistică a traiectoriei (sau poziției) unei particule duce la faptul că impulsul și, prin urmare, viteza particulei pot fi determinate cu o anumită precizie.
În plus, nu putem vorbi despre lungimea de undă într-un punct dat din spațiu și rezultă că, dacă specificăm exact coordonatele X, atunci nu putem spune nimic despre impulsul particulei, deoarece . Privind doar o zonă extinsă DC vom putea determina impulsul particulei. Cu atât mai mult D C, cu cât D este mai precis Rși invers, cu atât mai puțin DC , cu atât este mai mare incertitudinea în găsire D R.
Relația de incertitudine Heisenberg stabilește limita în determinarea simultană a preciziei cantități conjugate canonic, care includ poziția și impulsul, energia și timpul.
Relația de incertitudine Heisenberg: produsul incertitudinilor în valorile a două mărimi conjugate nu poate fi mai mic decât constanta lui Planck în ordinea mărimiih
(uneori scris)
Prin urmare. Pentru o microparticulă nu există stări în care coordonatele și impulsul ei să aibă simultan valori exacte. Cu cât este mai puțină incertitudinea unei cantități, cu atât este mai mare incertitudinea celeilalte.
Relația de incertitudine este o constrângere cuantică aplicabilitatea mecanicii clasice la microobiecte.
prin urmare, cu atât mai multm, cu atât există mai puțină incertitudine în determinarea coordonatelor și a vitezei. Lam= 10 -12 kg, ? = 10 -6 și Δ X= 1% 5, A v = 6,62·10 -14 m/s, adică. nu va avea efect la toate vitezele la care particulele de praf se pot mișca, de exemplu. pentru macrocorpi proprietățile lor de undă nu joacă niciun rol.
Lasă un electron să se miște într-un atom de hidrogen. Să spunem ΔX» 1 0 -10 m (de ordinul mărimii atomului, adică electronul aparține acestui atom). Apoi
Δ v= 7,27 1 0 6 Domnișoară. Conform mecanicii clasice atunci când se deplasează pe o razăr » 0,5 1 0 - 1 0 m v= 2,3.10 -6 m/s. Acestea. incertitudinea vitezei este un ordin de mărime mai mare decât mărimea vitezei; prin urmare, legile mecanicii clasice nu pot fi aplicate microlumii.
Din relație rezultă că un sistem cu o viață D t, nu poate fi caracterizat printr-o anumită valoare energetică. Distribuția energiei crește odată cu scăderea duratei medii de viață. Prin urmare, frecvența fotonului emis trebuie să aibă și incertitudine Dn = D E/ h, adică liniile spectrale vor avea o anumită lățime n±D E/ h, va fi neclară. Măsurând lățimea liniei spectrale, se poate estima ordinea duratei de viață a unui atom în stare excitată.
§4 Funcția de undă și semnificația ei fizică
Modelul de difracție observat pentru microparticule este caracterizat de o distribuție inegală a fluxurilor de microparticule în direcții diferite - există minime și maxime în alte direcții. Prezența maximelor în modelul de difracție înseamnă că undele de Broglie sunt distribuite în aceste direcții cu cea mai mare intensitate. Iar intensitatea va fi maximă dacă numărul maxim de particule se propagă în această direcție. Acestea. Modelul de difracție pentru microparticule este o manifestare a unui model statistic (probabilistic) în distribuția particulelor: acolo unde intensitatea undei de Broglie este maximă, există mai multe particule.
Sunt luate în considerare undele De Broglie în mecanica cuantică ca valurile probabilități, acestea. probabilitatea de a detecta o particulă în diferite puncte ale spațiului se modifică conform legii undei (de ex.~ e - iωt). Dar pentru unele puncte din spațiu această probabilitate va fi negativă (adică particula nu se încadrează în această regiune). M. Născut ( fizician german) a sugerat că nu probabilitatea în sine se modifică conform legii undei, și amplitudinea probabilității, care se mai numește și funcție de undă sau y -funcție (psi-funcție).
Funcția de undă este o funcție de coordonate și timp.
Pătratul modulului funcției psi determină probabilitatea ca particula va fi detectat în volum dV - nu funcția psi în sine are un sens fizic, ci pătratul modulului său.
Ψ * - complex de funcții conjugat la Ψ
(z = A + ib, z * = A- ib, z * - conjugare complexa)
Dacă particula este într-un volum finitV, atunci posibilitatea de a-l detecta în acest volum este egală cu 1, (eveniment de încredere)
R= 1 Þ 
În mecanica cuantică se acceptă faptul căΨ și AΨ, unde A = const, descrie aceeași stare a particulei. Prin urmare,
Condiție de normalizare
integral peste , înseamnă că se calculează pe un volum (spațiu) nelimitat.
y - funcția trebuie să fie
1) finală (din moment ce R nu poate fi mai mare de 1),
2) fără ambiguitate (este imposibil să se detecteze o particulă în condiții constante cu o probabilitate de, să zicem, 0,01 și 0,9, deoarece probabilitatea trebuie să fie lipsită de ambiguitate).
- continuu (urmează din continuitatea spațiului. Există întotdeauna o probabilitate de a detecta o particulă în diferite puncte din spațiu, dar pentru puncte diferite va fi diferită),
- Funcția de undă satisface principiu suprapuneri: dacă sistemul poate fi în diferite stări descrise de funcțiile de undă y 1 , y 2 ... y n , atunci ea poate fi într-o stare y , descris prin combinații liniare ale acestor funcții:
Cu n(n =1,2...) - orice numere.
Folosind funcția de undă, se calculează valorile medii ale oricărei mărimi fizice a unei particule
§5 Ecuaţia Schrödinger
Ecuația Schrödinger, ca și alte ecuații de bază ale fizicii (ecuațiile lui Newton, Maxwell), nu este derivată, ci postulată. Ar trebui considerată ipoteza de bază inițială, a cărei validitate este dovedită prin faptul că toate consecințele care decurg din aceasta sunt în acord exact cu datele experimentale.
(1)
Ecuația timpului Schrödinger.
Nabla - operator Laplace
Funcția potențială a unei particule într-un câmp de forță,
Ψ(y, z, t ) - funcția necesară
Dacă câmpul de forță în care se mișcă particula este staționar (adică nu se modifică în timp), atunci funcțiaUnu depinde de timp și are sensul de energie potențială. În acest caz, soluția ecuației Schrödinger (adică Ψ este o funcție) poate fi reprezentată ca un produs al doi factori - unul depinde doar de coordonate, celălalt doar de timp:
(2)
E- energie totală particule, constante în cazul unui câmp staționar.
Înlocuind (2) ® (1):
(3)
Ecuația Schrödinger pentru stări staționare.
Disponibil infinit de multedecizii. Prin impunerea unor condiții la limită se selectează soluții care au o semnificație fizică.
Condiții la frontieră:
Funcțiile de undă trebuie să fie regulat, adică
1) finală;
2) lipsit de ambiguitate;
3) continuu.
Soluțiile care satisfac ecuația Schrödinger se numesc proprii funcțiile, iar valorile energetice corespunzătoare sunt valorile proprii ale energiei. Se numește mulțime de valori proprii spectru cantități. Dacă E nia valori discrete, apoi spectrul - discret, dacă este continuă - solidă sau continuă.
§ 6 Mișcarea unei particule libere
O particulă se numește liberă dacă nu este afectată de câmpurile de forță, adică.U= 0.
Ecuația Schrödinger pentru stări staționare în acest caz:
Soluția lui: Ψ( X)=A e ikx, Unde A = const, k= const
Și valorile proprii ale energiei:
Deoarece kpoate lua orice valoare, atunci, prin urmare, E poate lua orice valoare, i.e. energic spectrul va fi continuu.
Funcția de undă temporală
(- ecuația de undă)
acestea. reprezintă o undă plană monocromă de Broglie.
§7 Particulă într-un „puț de potențial” de formă dreptunghiulară.
Cuantificarea energiei .
Să găsim valorile proprii ale energiei și funcțiile proprii corespunzătoare pentru o particulă situată în la nesfârşit put profund de potențial unidimensional. Să presupunem că particula se poate mișca doar de-a lungul axei X . Lasă mișcarea să fie limitată de pereți impenetrabili particuleiX= 0 și X= ?. Energie potențialăU are forma:
Ecuația Schrödinger pentru stări staționare pentru o problemă unidimensională
Particula nu va putea trece dincolo de puțul de potențial, deci probabilitatea de a detecta o particule în afara sondei este 0. În consecință, Ψ în afara sondei este egal cu 0. Din condițiile de continuitate rezultă că Ψ = 0 și la limitele fântânii, adică
Ψ(0) = Ψ(?) = 0
În groapă (0 £ X£l) U= 0 și ecuația Schrödinger.
intrand obtinem 
Decizie comună
din condiţiile la limită pe care le decurge
y(0) = 0,
Prin urmare
ÎN = 0
Prin urmare,
Din condiția de limită
Ar trebui să
Þ
Apoi
Energie E ndoar particulele dintr-o „puțură potențială” cu pereți infinit de înalți anumite valori discrete, adică cuantificat. Valori cuantificate ale energiei E nsunt numite niveluri de energie, și număruln, care determină nivelurile de energie ale particulei, se numește cuantumul principal număr. Acestea. particulele dintr-o „puțiune potențială” pot fi doar la un anumit nivel de energie E n(sau sunt într-o stare cuanticăn)
Functii proprii:
Aaflăm din efortul de normalizare
Probabilitate densitate. Din fig. Se poate observa că densitatea de probabilitate variază în funcție den: la n= 1 particulă va fi cel mai probabil în mijlocul găurii, dar nu la margini, cun= 2 - va fi fie în jumătatea stângă, fie în dreapta, dar nu în mijlocul gropii și nu la margini etc. Adică, nu putem vorbi despre traiectoria particulei.
Interval de energie între nivelurile de energie adiacente:
La n= 1 are cea mai mică energie diferită de zero
Prezența unei energii minime rezultă din relația de incertitudine, deoarece,
Odată cu creșterea ndistanţa dintre niveluri scade şi cândn® ¥ E npractic continuu, i.e. discretitatea este netezită, adică efectuat Principiul corespondenței lui Bohr: la valori mari ale numerelor cuantice, legile mecanicii cuantice se transformă în legile fizicii clasice.
Dezavantajele modelului Bohr. Modelul atomului propus de Bohr este încă folosit într-un număr de cazuri. Poate fi folosit pentru a interpreta dispunerea elementelor în tabelul periodicși modele de modificări ale energiei de ionizare a elementelor. Cu toate acestea, modelul lui Bohr are neajunsuri. 1. Acest model nu explică unele caracteristici din spectrele elementelor mai grele decât hidrogenul. 2. Nu este confirmat experimental că electronii din atomi se rotesc în jurul nucleului pe orbite circulare cu un moment unghiular strict definit.
Natura duală a electronului. Se știe că radiatie electromagnetica capabil să prezinte atât proprietăți ondulatorii, cât și proprietăți corpusculare (similare cu proprietățile particulelor). În acest din urmă caz, se comportă ca un flux de particule - fotoni. Energia unui foton este legată de lungimea sa de undă λ sau frecvența υ prin relație E = hυ = h c/ λ ( Cu = λ · υ),
Unde h– constanta lui Planck este 6,62517∙10 -34 J∙s, c- viteza luminii.
Louis de Broglie a făcut o presupunere îndrăzneață că proprietăți similare ale undelor ar putea fi atribuite electronului. El a combinat ecuațiile lui Einstein ( E = m c 2) și Planck ( E = hυ) într-unul singur:
hυ = Domnișoară 2 h · s/ λ = Domnișoară 2 λ = h/Domnișoară.
λ = h/m · ѵ,
Unde - ѵ viteza electronilor. Această ecuație ( ecuația lui de Broglie), raportând lungimea de undă la impulsul său ( mѵ) și a stat la baza teoriei undelor structura electronica atom. De Broglie a propus să considere electronul ca val în picioare, care trebuie să se încadreze în orbita atomică de un număr întreg de ori corespunzător numărului nivelului electronic. Astfel, unui electron situat pe primul nivel electronic (n = 1) îi corespunde o lungime de undă în atom, pe al doilea (n = 2) – două etc.
Natura duală a electronului duce la faptul că mișcarea lui nu poate fi descrisă printr-o anumită traiectorie, traiectoria este încețoșată și apare o „bandă de incertitudine” în care se află ē. Cu cât încercăm să determinăm mai precis locația electronului, cu atât vom ști mai puțin exact despre viteza acestuia. A doua lege a mecanicii cuantice sună astfel: „Este imposibil să se determine simultan, cu orice precizie dată, coordonatele și impulsul (viteza) unui electron în mișcare” - acesta este principiul de incertitudine al lui Heisenberg. Această probabilitate este estimată de ecuația Schrödinger (ecuația de bază a mecanicii cuantice):
H · ψ = E · ψ,
unde H este operatorul Hamilton care indică o anumită succesiune de operații cu funcția ψ. Prin urmare, E = H · ψ / ψ. Ecuația are mai multe soluții. Funcția de undă, care este o soluție a ecuației Schrödinger, este atomică orbital. Ca model al stării unui electron într-un atom, este adoptată ideea unui nor de electroni, a cărui densitate a secțiunilor corespunzătoare este proporțională cu probabilitatea de a găsi un electron acolo.
Deși este imposibil să se determine cu exactitate poziția unui electron, este posibil să se indice probabilitatea ca un electron să se afle într-o anumită poziție la un moment dat. Din principiul incertitudinii lui Heisenberg decurg două consecințe importante.
1. Mișcarea unui electron într-un atom este o mișcare fără traiectorie. În loc de o traiectorie în mecanica cuantică, a fost introdus un alt concept -probabilitate prezența unui electron într-o anumită parte a volumului unui atom, care se corelează cu densitatea electronilor atunci când se consideră electronul ca un nor de electroni.
2. Un electron nu poate cădea pe nucleu. Teoria lui Bohr nu a explicat acest fenomen. Mecanica cuantică a oferit o explicație pentru acest fenomen. O creștere a gradului de certitudine a coordonatelor unui electron atunci când acesta cade pe un nucleu ar determina o creștere bruscă a energiei electronului la 10 11 kJ/mol sau mai mult. Un electron cu o astfel de energie, în loc să cadă pe nucleu, va trebui să părăsească atomul. Rezultă că forța este necesară nu pentru a împiedica electronul să cadă pe nucleu, ci pentru a „forța” electronul să se afle în atom.
În 1924 Louis de Broglie (fizician francez) a ajuns la concluzia că dualitatea luminii ar trebui extinsă și la particulele de materie - electroni. Conjectura lui De Broglie a fost că electronul, ale cărui proprietăți corpusculare (sarcină, masă) au fost studiate de mult timp, Are, de asemenea, proprietăți de undă, acestea. în anumite condiţii se comportă ca un val.
Relațiile cantitative care leagă proprietățile corpusculare și de undă ale particulelor sunt aceleași ca pentru fotoni.
Ideea lui De Broglie a fost că această relație are un caracter universal, valabil pentru orice proces ondulatoriu. Orice particulă cu impuls p corespunde unei unde, a cărei lungime este calculată folosind formula de Broglie.
- val de Broglie
p =mv- impulsul particulelor, h- Constanta lui Planck.
De Broglie face semne cu mâna, care uneori sunt numite unde de electroni, nu sunt electromagnetice. 
În 1927, Davisson și Germer (fizician american) au confirmat ipoteza lui de Broglie prin descoperirea difracției de electroni pe un cristal de nichel. Maximele de difracție corespundeau formulei Wulff-Bragg 2dsin
n, iar lungimea de undă Bragg s-a dovedit a fi exact egală cu . 
Confirmare în continuare a ipotezei lui de Broglie în experimentele lui L.S. Tartakovsky și G. Thomson, care au observat modelul de difracție în timpul trecerii unui fascicul de electroni rapizi ( E 50 keV) prin folie din diverse metale. Apoi a fost descoperită difracția de neutroni, protoni, fascicule atomice și fascicule moleculare. Au apărut noi metode de studiere a materiei - difracția neutronilor și difracția electronilor și a apărut optica electronică.
Macrocorpurile trebuie să aibă, de asemenea, toate proprietățile ( m = 1 kg, prin urmare, · m - nu poate fi detectat prin metode moderne - de aceea macrocorpii sunt considerați doar corpusculi).
§2 Proprietăţile undelor de Broglie
Lasă o particulă de masă m se mișcă cu viteză v. Apoi viteza de fază de Broglie valuri
Deoarece c > v,Acea viteza fazei undei de Broglie mai repede decât viteza luminiiîn vid ( v f poate fi mai mare și poate fi mai mică decât c, spre deosebire de grup).
Viteza grupului
prin urmare, viteza de grup a undelor de Broglie este egală cu viteza particulei.
Pentru un foton
acestea. viteza grupului egală cu viteza luminii.
§3 Relația de incertitudine Heisenberg
Microparticulele în unele cazuri se manifestă ca unde, în altele ca corpusculi. Legile fizicii clasice ale particulelor și ale undelor nu se aplică acestora. În fizica cuantică este dovedit că conceptul de traiectorie nu poate fi aplicat unei microparticule, dar putem spune că particula este situată într-un anumit volum de spațiu cu o anumită probabilitate. R. Prin reducerea volumului, vom reduce probabilitatea de a detecta o particulă în el. O descriere probabilistică a traiectoriei (sau poziției) unei particule duce la faptul că impulsul și, prin urmare, viteza particulei pot fi determinate cu o anumită precizie.
În plus, nu putem vorbi despre lungimea de undă într-un punct dat din spațiu și rezultă că, dacă specificăm exact coordonatele X, atunci nu putem spune nimic despre impulsul particulei, deoarece . Numai luând în considerare o secțiune extinsă putem determina impulsul particulei. Cu cât este mai mare, cu atât este mai precisă Rși invers, cu cât este mai mic, cu atât este mai mare incertitudinea în găsirea R.
Relația de incertitudine Heisenberg stabilește limita în determinarea simultană a preciziei cantități conjugate canonic, care includ poziția și impulsul, energia și timpul.
Relația de incertitudine Heisenberg: produsul incertitudinilor în valorile a două mărimi conjugate nu poate fi mai mic decât constanta lui Planck în ordinea mărimii h
(uneori scris)
Prin urmare. Pentru o microparticulă nu există stări în care coordonatele și impulsul ei să aibă simultan valori exacte. Cu cât este mai puțină incertitudinea unei cantități, cu atât este mai mare incertitudinea celeilalte.
Relația de incertitudine este o constrângere cuantică aplicabilitatea mecanicii clasice la microobiecte.
prin urmare, cu atât mai mult m, cu atât există mai puțină incertitudine în determinarea coordonatelor și a vitezei. La m= 10 -12 kg, ? = 10 -6 și Δ X= 1% 5, A v= 6,62·10 -14 m/s, adică. nu va avea efect la toate vitezele la care particulele de praf se pot mișca, de exemplu. pentru macrocorpi proprietățile lor de undă nu joacă niciun rol.
Lasă un electron să se miște într-un atom de hidrogen. Să spunem Δ X -10 m (de ordinul mărimii unui atom, adică electronul aparține acestui atom). Apoi
Δ v= 7,27· m/s. Conform mecanicii clasice atunci când se deplasează pe o rază r ,· m v= 2,3.10 -6 m/s. Acestea. incertitudinea vitezei este un ordin de mărime mai mare decât mărimea vitezei; prin urmare, legile mecanicii clasice nu pot fi aplicate microlumii.
Din relație rezultă că un sistem cu o viață t, nu poate fi caracterizat printr-o anumită valoare energetică. Distribuția energiei crește odată cu scăderea duratei medii de viață. Prin urmare, frecvența fotonului emis trebuie să aibă și incertitudine = h, adică liniile spectrale vor avea o anumită lățime h, va fi neclară. Măsurând lățimea liniei spectrale, se poate estima ordinea duratei de viață a unui atom în stare excitată.
Omul de știință francez Louis de Broglie, realizând simetria existentă în natură și dezvoltând idei despre natura undelor corpusculare duble a luminii, a înaintat o ipoteză despre universalitatea dualității undă-particulă. Potrivit lui de Broglie, cu fiecare microobiect sunt conectate, pe de o parte, corpuscular caracteristici – energie Eși impuls R, iar pe de alta - val caracteristici – frecventa nși lungimea de undă l. Relațiile cantitative care conectează proprietățile corpusculare și de undă ale particulelor sunt aceleași ca pentru fotoni:
Îndrăzneala ipotezei lui de Broglie constă tocmai în faptul că relația (1) a fost postulată nu numai pentru fotoni, ci și pentru alte microparticule, în special pentru cele care au o masă în repaus. Astfel, orice particulă cu impuls este asociată cu un proces de undă cu o lungime de undă determinată de formula lui de Broglie:
Această relație este valabilă pentru orice particulă cu impuls R.
Să definim câteva proprietăți de bază ale undelor de Broglie. Luați în considerare un obiect care se mișcă liber cu viteză v particulă cu masă m. Să calculăm vitezele de fază și de grup ale undelor de Broglie pentru aceasta. Deci, viteza fazei este:
, (3)
unde și , este numărul de undă. Deoarece c>v, atunci viteza de fază a undelor de Broglie este mai mare decât viteza luminii în vid.
Viteza grupului: 
.
Pentru o particulă liberă, conform teoriei relativității a lui Einstein, este adevărat 
, Apoi
.
În consecință, viteza de grup a undelor de Broglie este egală cu viteza particulelor.
Conform naturii cu undă corpusculară duală a particulelor de materie, pentru a descrie microparticulele sunt folosite fie concepte de undă, fie corpusculare. Prin urmare, este imposibil să le atribuim toate proprietățile particulelor și toate proprietățile undelor. Aceasta înseamnă că este necesară introducerea unor restricții în aplicarea conceptelor mecanicii clasice la obiectele microlumii.
V. Heisenberg, luând în considerare proprietățile de undă ale microparticulelor și limitările în comportamentul acestora asociate cu proprietățile undelor, a ajuns la concluzia că un obiect al microlumii nu poate fi caracterizat simultan cu nicio precizie predeterminată atât prin coordonate, cât și prin impuls. Conform Relația de incertitudine Heisenberg, o microparticulă (microobiect) nu poate avea simultan o coordonată specifică ( x, y, z), și o anumită proiecție a impulsului corespunzătoare ( p x , p y , p z), iar incertitudinile acestor cantități îndeplinesc condițiile
acestea. produsul incertitudinilor coordonatelor și proiecția impulsului corespunzătoare nu poate fi mai mic decât o valoare de ordinul h.
Din relația de incertitudine (4) rezultă că, de exemplu, dacă o microparticulă se află într-o stare cu o valoare exactă a coordonatei ( Dx=0), atunci în această stare ( Dp x®¥), și invers. Astfel, pentru o microparticulă nu există stări în care coordonatele și impulsul ei să aibă simultan valori exacte. Aceasta implică și imposibilitatea reală de a măsura simultan coordonatele și impulsul unui micro-obiect cu orice precizie predeterminată. Deoarece în mecanica clasică se acceptă că măsurarea coordonatelor și a impulsului poate fi efectuată cu orice precizie, atunci relația de incertitudine este, Prin urmare, limitarea cuantică a aplicabilității mecanicii clasice la microobiecte.
Teoria cuantică ia în considerare și relația de incertitudine pentru energie E si timpul t, adică incertitudinile acestor marimi satisfac conditia
Să subliniem asta DE– incertitudinea energiei unei anumite stări a sistemului, Dt- perioada de timp în care există. Prin urmare, un sistem cu o durată de viață medie Dt, nu poate fi caracterizat printr-o anumită valoare energetică; răspândirea energiei crește odată cu scăderea duratei medii de viață. Din expresia (5) rezultă că frecvența fotonului emis trebuie să aibă și incertitudine, i.e. liniile de spectru trebuie să fie caracterizate printr-o frecvenţă egală cu . Experiența arată într-adevăr că toate liniile spectrale sunt neclare; Măsurând lățimea liniei spectrale, se poate estima ordinea duratei de viață a unui atom în stare excitată.
2. Funcția de undă și proprietățile acesteia
Asa de, mecanica cuantică descrie legile mișcării și interacțiunii microparticulelor, ținând cont de proprietățile undelor acestora. Cu toate acestea, se observă că undele de Broglie (microparticule) nu au toate proprietățile undelor electromagnetice. De exemplu, undele electromagnetice sunt un câmp electromagnetic care se propagă în spațiu. Propagarea undelor de Broglie nu este asociată cu propagarea vreunei energie electrică în spațiu. camp magnetic. S-a dovedit experimental că particulele încărcate care se mișcă uniform și în linie dreaptă nu emit unde electromagnetice.
Din experimentele privind difracția de electroni rezultă că în aceste experimente se dezvăluie o distribuție inegală a fasciculelor de electroni reflectate sau împrăștiate în direcții diferite: în unele direcții se observă un număr mai mare de electroni decât în toate celelalte. Din punct de vedere al undei, prezența maximelor în numărul de electroni în unele direcții înseamnă că aceste direcții corespund intensității celei mai mari a undelor de Broglie. Cu alte cuvinte, intensitatea undelor într-un punct dat din spațiu determină densitatea probabilității ca electronii să lovească acel punct. Aceasta a servit drept bază pentru un fel de interpretare statistică, probabilistică a undelor de Broglie.
Singura interpretare corectă a undelor de materie, care ne permite să reconciliăm faptele descrise, este interpretare statistică: Intensitatea undei este proporțională cu probabilitatea de a detecta o particule într-o anumită locație. Pentru a descrie distribuția probabilității de a găsi o particulă la un moment dat în timp într-un anumit punct din spațiu, o funcție numită funcția de undă(sau funcția psi). S-a determinat astfel încât probabilitatea d W că particula se află într-un element de volum d V, a fost egal cu produsul și elementul de volum d V:
Sensul fizic nu are funcția Y în sine, ci pătratul modulului său: , unde Y * este un complex de funcții conjugat cu Y. Valoarea are sens probabilitate densitate: , adică determină probabilitatea de a găsi o particulă într-o unitate de volum în vecinătatea unui punct cu coordonate x, y, z. Deoarece prezența unei particule undeva în spațiu este un eveniment de încredere și probabilitatea sa trebuie să fie egală cu unitatea, aceasta înseamnă că funcția de undă satisface condiție de normalizare a probabilității:
Deci, în mecanica cuantică starea microparticulelor este descrisă într-un mod fundamental nou - folosind funcția de undă, care este purtător principal de informații despre proprietățile lor corpusculare și ondulatorii. Aceasta impune o serie de condiții restrictive asupra funcției de undă. Funcția Y, care caracterizează probabilitatea detectării acțiunii unei microparticule într-un element de volum, ar trebui să fie:
1. final(probabilitatea nu poate fi mai mare de unu);
2. lipsit de ambiguitate(probabilitatea nu poate fi o cantitate ambiguă);
3. continuu(probabilitatea nu se poate schimba brusc).
Funcția de undă satisface principiul suprapunerii: dacă un sistem poate fi în diferite stări descrise de funcțiile de undă, atunci poate fi și în starea Y, descrisă printr-o combinație liniară a acestor funcții:
Unde Cu n (n=1, 2, …) sunt numere complexe arbitrare, în general.
Plus funcții de undă(amplitudini de probabilitate), nu probabilități(definit prin modulii pătrați ai funcțiilor de undă) distinge în mod fundamental teoria cuantică de teoria statistică clasică, în care pentru evenimente independente corect teorema de adunare a probabilității.
Funcția de undă, fiind principala caracteristică a stării microobiectelor, permite în mecanica cuantică să se calculeze valorile medii ale mărimilor fizice care caracterizează un microobiect dat:
.
unde integrarea se realizează pe întregul spațiu infinit, ca în cazul (7).
3. Ecuația Schrödinger.
Interpretarea statistică a undelor de Broglie și a relației de incertitudine Heisenberg a condus la concluzia că ecuația mișcării în mecanica cuantică, care descrie mișcarea microparticulelor în diferite câmpuri de forță, ar trebui să fie o ecuație din care proprietățile undei observate experimental ale particulelor ar trebui să fie urma. Ecuația principală trebuie să fie o ecuație relativă la funcția de undă, deoarece aceasta este sau, mai precis, valoarea care determină probabilitatea ca o particulă să fie prezentă în momentul de timp. tîn volum d V, adică în zona cu coordonate XȘi X+d X, yȘi y+d y, zȘi z+d z. Deoarece ecuația necesară trebuie să țină cont de proprietățile undei ale particulelor, trebuie să fie val ecuaţie.
Ecuația de bază a mecanicii cuantice nonrelativiste a fost formulată în 1926 de E. Schrödinger. Ecuația Schrödinger, ca toate ecuațiile de bază ale fizicii (de exemplu, ecuațiile lui Newton din mecanica clasică și ecuațiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic), nu dedus, ci postulat. Corectitudinea acestei ecuații este confirmată de acordul cu experiența a rezultatelor obținute cu ajutorul ei, care, la rândul său, îi conferă caracterul unei legi a naturii. Ecuația Schrödinger are forma:
, (8)
Unde , m– masa particulelor, D – operator Laplace 
, i– unitate imaginară, – funcție a energiei potențiale a particulei în câmpul de forță în care se mișcă, – funcția de undă dorită a particulei.
Ecuația (8) este valabilă pentru orice particulă care se mișcă cu o viteză mică (comparativ cu viteza luminii), adică v<
1) funcția Y trebuie să fie final, continuuȘi lipsit de ambiguitate;
2) derivate 
trebuie să fie continuu;
3) funcția trebuie să fie integrabil, adică integrală 
ar trebui să fie final.
Ecuația (8) este ecuația generală a lui Schrödinger. Se mai numeste timp ecuația Schrödinger, deoarece conține derivata funcției Y față de timp. Cu toate acestea, pentru majoritatea fenomenelor fizice care apar în microlume, ecuația (8) poate fi simplificată prin eliminarea dependenței lui Y de timp, cu alte cuvinte, găsiți ecuația Schrödinger pentru stări staționare – stări cu valori energetice fixe. Acest lucru este posibil dacă câmpul de forță în care se mișcă particula este staționar, de exemplu. funcția este clar independentă de timp și are semnificația energiei potențiale. În acest caz, soluția ecuației Schrödinger poate fi reprezentată ca un produs a două funcții, dintre care una este doar o funcție a coordonatelor, cealaltă numai a timpului, iar dependența de timp este exprimată prin factorul , astfel încât
Unde E este energia totală a particulei, constantă în cazul unui câmp staționar. Înlocuind aceasta în (8), obținem
din care ajungem la ecuația care definește funcția y:
. (9)
Ecuația (9) se numește Ecuația Schrödinger pentru stări staționare. Această ecuație include energia totală ca parametru E particule. În teoria ecuațiilor diferențiale, se dovedește că astfel de ecuații au un număr infinit de soluții, dintre care soluțiile care au sens fizic sunt selectate prin impunerea unor condiții la limită. Pentru ecuația Schrödinger, astfel de condiții sunt condițiile menționate mai sus pentru regularitatea funcțiilor de undă. Astfel, numai acele soluții care sunt exprimate prin funcții regulate au o semnificație fizică reală y. Dar soluții obișnuite nu au loc pentru nicio valoare a parametrului E, dar numai pentru un anumit set al acestora, caracteristic unei probleme date. Aceste valori energetice se numesc proprii. Soluții care corespund proprii se numesc valorile energetice funcții proprii. Valori proprii E poate forma atât o serie continuă, cât și o serie discretă. În primul caz vorbim despre continuu, sau complet, spectru, în al doilea – despre spectrul discret.
4. Modelul nuclear al atomului.
Modelul nuclear (planetar) al atomului care este general acceptat astăzi a fost propus de E. Rutherford. Conform acestui model, în jurul unui nucleu pozitiv având o sarcină Ze (Z– numărul de serie al elementului din sistemul Mendeleev, e– sarcină elementară), mărimea 10 -15 -10 -14 mși o masă aproape egală cu masa unui atom dintr-o regiune cu dimensiuni liniare de ordinul 10 -10 m Electronii se mișcă pe orbite închise, formând învelișul de electroni a atomului. Deoarece atomii sunt neutri, sarcina nucleului este egală cu sarcina totală a electronilor, adică. se învârte în jurul miezului Z electroni.
Încercările de a construi un model al atomului în cadrul fizicii clasice nu au condus la succes. Depășirea dificultăților apărute a necesitat crearea unui nou calitativ cuantic– teorii atomice. Prima încercare de a construi o astfel de teorie a fost făcută de Niels Bohr. Bohr și-a bazat teoria pe două postulate.
Primul postulat al lui Bohr (postulatul stărilor staționare): într-un atom există stări staţionare (nu se schimbă cu timpul) în care nu emite energie. Starea staționară a unui atom corespunde orbitelor staționare de-a lungul cărora se mișcă electronii. Mișcarea electronilor pe orbite staționare nu este însoțită de emisia de unde electromagnetice. În starea staționară a unui atom, un electron, care se mișcă pe o orbită circulară, trebuie să aibă valori cuantificate discrete ale momentului unghiular, îndeplinind condiția
Unde pe mine- masa electronilor, v- viteza sa n-a-a raza orbitei r n.
Al doilea postulat al lui Bohr (regula frecvenței): atunci când un electron se deplasează de pe o orbită staționară pe alta, un foton cu energie este emis (absorbit)
egal cu diferența de energie a stărilor staționare corespunzătoare ( E nȘi E m– respectiv, energia stărilor staționare ale atomului înainte și după radiație (absorbție)). La E n<E m Are loc emisia de fotoni (tranziția unui atom dintr-o stare cu energie mai mare la o stare cu energie mai mică, adică tranziția unui electron de pe o orbită mai îndepărtată de nucleu la una mai apropiată), cu E n>E m– absorbția acestuia (trecerea unui atom la o stare cu energie mai mare, adică trecerea unui electron pe o orbită mai îndepărtată de nucleu). Set de posibile frecvențe discrete 
Tranzițiile cuantice sunt determinate de spectrul de linii ale unui atom.
Postulatele propuse de Bohr au făcut posibilă calcularea spectrului atomului de hidrogen și sisteme asemănătoare hidrogenului– sisteme formate dintr-un nucleu cu sarcină Zeși un electron (de exemplu, ioni He +, Li 2+). Urmând Bohr, luăm în considerare mișcarea unui electron într-un astfel de sistem, limitându-ne la orbite circulare staționare. Rezolvând împreună ecuația propusă de Rutherford și ecuația (10), obținem o expresie pentru raza n a-a orbită staționară:
.
Rezultă că razele orbitelor cresc proporțional cu pătratele numerelor întregi. Pentru un atom de hidrogen ( Z=1) raza primei orbite de electroni la n=1, numit prima rază Bohr (A), este egal cu
,
care corespunde calculelor bazate pe teoria cinetică a gazelor.
În plus, ținând cont de valorile cuantificate pentru rază n Valoarea a orbitală staționară, se poate demonstra că energia electronului poate lua doar următoarele valori discrete permise:
,
unde semnul minus înseamnă că electronul este într-o stare legată.
5. Atomul de hidrogen în mecanica cuantică.
Rezolvarea problemei nivelurilor de energie a electronilor pentru un atom de hidrogen (precum și sistemele de tip hidrogen: ion heliu He +, litiu dublu ionizat Li ++ etc.) se reduce la problema mișcării electronilor în câmpul Coulomb al nucleului. .
Energia potențială de interacțiune a unui electron cu un nucleu având o sarcină Ze(pentru un atom de hidrogen Z=1),
,
Unde r– distanța dintre electron și nucleu.
Starea unui electron într-un atom de hidrogen este descrisă de funcția de undă y, satisfăcând ecuația staționară Schrödinger (9), ținând cont de valoarea anterioară a energiei potențiale:
, (12)
Unde m- masa electronilor, E este energia totală a unui electron dintr-un atom. Deoarece câmpul în care se mișcă electronul este simetric central, se folosește de obicei un sistem de coordonate sferice pentru a rezolva ecuația (12): r, q, j. Fără a intra în soluția matematică a acestei probleme, ne vom limita la a lua în considerare cele mai importante rezultate care decurg din aceasta.
1. Energie. În teoria ecuațiilor diferențiale se dovedește că ecuațiile de tip (27) au soluții care satisfac cerințele de unicitate, finititate și continuitate ale funcției de undă y, numai pentru valorile proprii ale energiei
, (13)
acestea. pentru un set discret de valori ale energiei negative. Cel mai mic nivel E 1, corespunzătoare energiei minime posibile, - de bază, alte ( E n >E 1, n=1, 2, 3, …) – excitat. La E<0 движение электрона является legate de, și atunci când E>0 – gratuit; regiune continuum E>0 meciuri atom ionizat. Expresia (13) coincide cu formula obținută de Bohr pentru energia atomului de hidrogen. Totuși, dacă Bohr a trebuit să introducă ipoteze suplimentare (postulate), atunci în mecanica cuantică valorile discrete de energie, fiind o consecință a teoriei în sine, decurg direct din soluția ecuației Schrödinger.
2. Numerele cuantice. În mecanica cuantică se dovedește că ecuația Schrödinger (12) este satisfăcută de funcții proprii definite de trei numere cuantice: principalul n, orbital lși magnetice m l.
Numărul cuantic principal n, conform (13), determină nivelurile de energie a electronilorîntr-un atom și poate lua orice valoare întreagă începând de la unul:
n=1, 2, 3, …
Din soluția ecuației Schrödinger rezultă că impuls unghiular(momentul orbital mecanic) electronul este cuantificat, adică nu poate fi arbitrară, ci ia valori discrete determinate de formulă
Unde l – numărul cuantic orbital, care pentru un dat n ia valori l=0, 1, …, (n-1), adică Total n valorile și determină moment unghiular electronicîntr-un atom.
Din soluția ecuației Schrödinger rezultă și că vectorul Ll momentul unghiular al unui electron poate avea doar astfel de orientări în spațiu la care proiecția sa Llz la directie z câmpul magnetic extern ia valori cuantificate, multipli de:
 Orez. 1 |
Unde m l – număr cuantic magnetic, care pentru un dat l poate lua valori m l=0, ±1, ±2, …, ± l, adică doar 2 l+1 valori. Prin urmare, număr cuantic magnetic m l defineste proiecția momentului unghiular al electronului pe o direcție dată, iar vectorul moment unghiular al unui electron dintr-un atom poate avea 2 în spațiu l+1 orientări.
Probabilitatea de a găsi un electron în diferite părți ale unui atom este diferită. În timpul mișcării sale, electronul este, așa cum ar fi, „untat” pe întregul volum, formând un nor de electroni, a cărui densitate (grosime) caracterizează probabilitatea de a găsi electronul în diferite puncte ale volumului atomului. Numerele cuantice n și l caracterizează dimensiunea și forma norului de electroni, iar numărul cuantic m l caracterizează orientarea norului de electroni în spațiu.
3. Spectrul. Gazele strălucitoare dau spectre de linii emisii. În conformitate cu legea lui Kirchhoff, spectrele de absorbție ale gazelor au și o structură de linii. Toate formulele seriale ale spectrului de hidrogen pot fi exprimate printr-o singură formulă numită formula Balmer generalizată:
, (16)
Unde R=3,293×10 15 s -1 – constanta Rydberg, mȘi n– numere întregi și pentru o serie dată n=m+1, m+2, m+3 etc. În total, se disting șase serii de linii spectrale: seria Lyman ( m=1), seria Balmer ( m=2), seria Paschen ( m=3), seria paranteze ( m=4), seria Pfund ( m=5), seria Humphrey ( m=6) (Fig. 1).
6. Spinul electronilor. principiul lui Pauli. Principiul indistinctabilitatii
particule identice.
În 1922, s-a descoperit că un fascicul îngust de atomi de hidrogen, evident în starea s, se împarte în două fascicule într-un câmp magnetic neuniform. În această stare, momentul unghiular al electronului este zero (14). Momentul magnetic al unui atom, asociat cu mișcarea orbitală a unui electron, este proporțional cu momentul mecanic, prin urmare este egal cu zero și câmpul magnetic nu ar trebui să afecteze mișcarea atomilor de hidrogen în starea fundamentală, adică. nu ar trebui să existe divizarea.
Pentru a explica acest fenomen, precum și o serie de alte dificultăți în fizica atomica s-a propus că electronul are propriul moment unghiular mecanic indestructibil, care nu are legătură cu mișcarea electronului în spațiu, – a învârti. Spinul unui electron (și al tuturor celorlalte particule) este o mărime cuantică, nu are un analog clasic; este o proprietate internă inerentă a unui electron, similară cu sarcina și masa acestuia.
Dacă electronului i se atribuie propriul său moment unghiular mecanic (spin) L s, atunci corespunde propriului moment magnetic. Conform concluziilor generale ale mecanicii cuantice, spinul este cuantificat conform legii
,
Unde s – număr cuantic de spin.
Prin analogie cu momentul unghiular orbital, proiecția L sz spinul este cuantificat astfel încât vectorul L s pot lua 2 s+1 orientări. Deoarece în experimente au fost observate doar două orientări, atunci 2 s+1=2, de unde s=1/2. Proiecția spinului pe direcția câmpului magnetic extern, fiind o mărime cuantificată similară cu (15):
Unde Domnișoară – număr cuantic de spin magnetic; nu poate avea decât două sensuri: .
Distribuția electronilor într-un atom respectă o lege mecanică cuantică numită principiul Pauli sau principiul excluderii. În formularea sa cea mai simplă, se afirmă: „În orice atom nu pot exista doi electroni în două stări staționare identice, determinate de un set de patru numere cuantice: cel principal. n, orbital l, magnetic m lși învârte Domnișoară", adică Z(n, l, m l , m s)=0 sau 1, unde Z(n, l, m l , m s)– numărul de electroni într-o stare cuantică descris de un set de patru numere cuantice: n, l, m l, m s. Astfel, principiul Pauli afirmă că doi electroni legați în același atom diferă în valorile a cel puțin unui număr cuantic.
Colecția de electroni dintr-un atom multielectron care au același număr cuantic principal n, numit învelișul de electroni. În fiecare înveliș, electronii sunt distribuiți în funcție de subcochilii, corespunzătoare acesteia l. Deoarece numărul cuantic orbital ia valori de la 0 la n-1, numărul de subshell este egal cu numărul de serie n scoici. Numărul de electroni dintr-un subshell este determinat de numerele cuantice de spin magnetic și magnetic: numărul maxim de electroni dintr-un subshell cu un anumit l este egal cu 2(2 l+1).
Dacă trecem de la luarea în considerare a mișcării unei microparticule (un electron) la sisteme cu mai multe elemente, atunci apar proprietăți speciale care nu au analog în fizica clasica. Să fie un sistem mecanic cuantic format din particule identice, de exemplu, electroni. Toți electronii au la fel proprietăți fizice- masa, incarcare electrica, spin și alte caracteristici interne. Astfel de particule sunt numite identic.
Proprietățile neobișnuite ale unui sistem de particule identice identice se manifestă în fundamental principiul mecanicii cuantice - principiul indistinguirii particulelor identice, conform căruia este imposibil să distingem experimental particule identice. În mecanica clasică, chiar și particulele identice pot fi distinse prin poziția lor în spațiu și momente, de exemplu. particulele clasice au individualitate.
În mecanica cuantică situația este diferită. Din relația de incertitudine rezultă că conceptul de traiectorie este în general inaplicabil pentru microparticule; starea unei microparticule este descrisă de o funcție de undă, care permite să se calculeze doar probabilitatea () de a găsi o microparticulă în vecinătatea unui anumit punct din spațiu. Dacă funcțiile de undă a două particule identice din spațiu se suprapun, atunci vorbirea despre ce particulă se află într-o anumită regiune nu are deloc sens: putem vorbi doar despre probabilitatea ca una dintre particulele identice să se afle într-o anumită regiune. Astfel, în mecanica cuantică, particulele identice își pierd complet individualitatea și devin imposibil de distins.
7. Statistica cuantică. Gaz degenerat.
Sarcina principală a fizicii statistice în statistica cuantică este de a găsi funcția de distribuție a particulelor unui sistem în funcție de anumiți parametri - coordonate, momente, energii etc., precum și de a găsi valorile medii ale acestor parametri care caracterizează starea macroscopică a întregului sistem de particule. Pentru sistemele de fermioni și bozoni, aceste probleme sunt rezolvate în același mod, dar oarecum diferit datorită faptului că bosonii nu se supun principiului Pauli. În conformitate cu aceasta, se disting două statistici cuantice: Fermi-Dirac și Bose-Einstein, în cadrul cărora se determină forma funcției de distribuție a energiei a particulelor sistemului.
Să vă reamintim că funcția de distribuție a energiei reprezintă proporția din numărul total de particule care au energii în intervalul de valori de la W inainte de L+dW:
,
Unde N- numărul total de particule, f(W)– functia de distributie a energiei.
Pentru un sistem de la n fermionii care nu interacţionează cu energia W(gaz Fermi ideal) sau sisteme de n bosonii care nu interacţionează cu energia W(gaz ideal Bose) au fost definite funcții de distribuție similare:
, (17)
Unde k– constanta Boltzmann, T- temperatura termodinamica, m- potenţialul chimic, care este modificarea energiei sistemului atunci când numărul de particule din sistem se modifică cu o unitate în timpul unui proces izocor sau izoentropic. În cadrul statisticii Fermi-Dirac, în (32) este luat semnul „+”, adică. în acest caz . În consecință, pentru gazul Bose – semnul „-” și .
Gaz numit degenerat, dacă proprietățile sale diferă de proprietățile unui gaz ideal clasic. Într-un gaz degenerat, are loc o influență cuantică-mecanică reciprocă a particulelor de gaz, din cauza nediferențirii particulelor identice. Comportamentul fermionilor și bosonilor este diferit în timpul degenerării.
Pentru a caracteriza gradul de degenerare a gazelor, introducem parametru de degenerare A:
Funcția de distribuție care utilizează parametrul de degenerare pentru ambele statistici cuantice va fi scrisă astfel:
.
Dacă parametrul de degenerare este mic A<<1, то и функция распределения превращается в Funcția de distribuție Maxwell-Boltzmann, care stă la baza statisticilor clasice ale unui gaz nedegenerat:
Temperatura de degenerare este temperatura sub care se manifestă în mod clar proprietățile cuantice ale unui gaz ideal, datorită identității particulelor. Este relativ ușor de estimat aproximativ criteriul de temperatură pentru degenerarea gazului. Degenerarea gazelor obișnuite este evidentă la temperaturi scăzute. Acest lucru nu este valabil pentru gazul fotonic și de electroni din metale. Gazul de electroni din metale este aproape întotdeauna degenerat. Numai la temperaturi peste câteva zeci de mii de grade electronii metalului s-ar supune statisticilor clasice Maxwell-Boltzmann. Dar existența metalelor în stare condensată la astfel de temperaturi este imposibilă. Prin urmare, descrierea clasică a comportamentului electronilor în metale duce în electrodinamică într-un număr de cazuri la legi care contrazic puternic experimentul. În semiconductori, concentrația de electroni gazos este mult mai mică decât în metale. În aceste condiții, temperatura de degenerare este de ordinul a 10 -4 K și gazul de electroni din semiconductori este nedegenerat și se supune statisticilor clasice. Un exemplu de gaz degenerat este un gaz fotonic. Deoarece masa fotonului este zero, temperatura de degenerare tinde spre infinit. Gazul fotonic la orice temperatură este degenerat. Gazele atomice și moleculare au temperaturi de degenerare foarte scăzute. De exemplu, pentru hidrogen în condiții normale temperatura de degenerare este de aproximativ 1 K. Pentru alte gaze care sunt mai grele decât hidrogenul, aceasta este și mai mică. Gazele în condiții normale nu sunt degenerate. Degenerarea asociată cu proprietățile cuantice ale gazelor se manifestă mult mai puțin decât abaterea gazelor de la idealitate cauzată de interacțiunile intermoleculare.
Se numește energia maximă pe care o pot avea electronii de conducție într-un cristal la 0 K Energia Fermi si este desemnat E F. Cel mai înalt nivel de energie ocupat de electroni se numește Nivelul Fermi. Nivelul Fermi corespunde energiei Fermi pe care o au electronii la acest nivel. Nivelul Fermi, evident, va fi mai mare, cu cât densitatea gazului electronic va fi mai mare. Funcția de lucru a unui electron dintr-un metal trebuie calculată de la nivelul Fermi, i.e. de la cel mai înalt nivel de energie ocupat de electroni.
8. Conceptul de teoria benzilor solide.
Folosind ecuația Schrödinger, se poate lua în considerare, în principiu, problema unui cristal, de exemplu găsirea valorilor posibile ale energiei sale, precum și a stărilor energetice corespunzătoare. Cu toate acestea, atât în mecanica clasică, cât și în cea cuantică, nu există metode de rezolvare cu acuratețe a unei astfel de probleme pentru cazul multor particule. Prin urmare, această problemă este rezolvată aproximativ prin reducerea problemei cu mai multe particule la problema unui singur electron a unui electron care se mișcă într-un câmp extern dat. Această cale duce la teoria benzilor solide.
 Orez. 2 |
În timp ce atomii sunt izolați, de ex. sunt la distanțe macroscopice unul de celălalt, au modele de niveluri de energie care se potrivesc. Când se formează o rețea cristalină, de ex. Când atomii se apropie unul de celălalt la distanțele rețelei interatomice, interacțiunea dintre atomi duce la faptul că nivelurile de energie ale atomilor se schimbă, se împart și se extind în zone, formând spectrul de energie de bandă. În fig. Figura 2 arată împărțirea nivelurilor de energie în funcție de distanța dintre atomi. Se poate observa că doar nivelurile electronilor exteriori, de valență, care sunt cel mai slab legați de nucleu și au cea mai mare energie, precum și nivelurile mai înalte, care în starea fundamentală a atomului nu sunt deloc ocupate de electroni. , sunt vizibil divizate și extinse. Nivelurile electronilor interni fie nu se împart deloc, fie sunt divizate slab. Astfel, în solide, electronii interni se comportă în același mod ca în atomii izolați, în timp ce electronii de valență sunt „colectivizați” - ei aparțin întregului corp solid.
Energia electronilor externi poate lua valori în limitele umbrite în Fig. 2 zone numite nivelurile de energie permise. Fiecare zonă permisă „conține” atâtea niveluri discrete din apropiere câte atomi sunt în cristal: cu cât sunt mai mulți atomi în cristal, cu atât nivelurile sunt mai aproape situate în zonă. Distanța dintre nivelurile energetice învecinate este atât de nesemnificativă (de ordinul a 10 -22 eV) încât benzile pot fi considerate practic continue, dar faptul că există un număr finit de niveluri într-o bandă joacă un rol important în distribuția electronilor între state. Zonele de energie permise sunt separate de zone cu valori de energie interzise, numite zone energetice interzise. Electronii nu pot fi în ele. Lățimea benzilor (permise și interzisă) nu depinde de mărimea cristalului. Cu cât legătura dintre electronii de valență și atomi este mai slabă, cu atât benzile permise sunt mai largi.
Teoria benzilor solide a făcut posibilă interpretarea existenței metalelor, dielectricilor și semiconductorilor dintr-un punct de vedere unitar, explicând diferența în proprietățile lor electrice, în primul rând, prin umplerea inegală a benzilor permise cu electroni și, în al doilea rând, prin lățimea benzilor interzise. Gradul în care electronii umplu nivelurile de energie dintr-o bandă este determinat de umplerea nivelurilor atomice corespunzătoare. În general, putem vorbi despre banda de valență, care este complet umplut cu electroni și este format din nivelurile de energie ale electronilor interni ai atomilor liberi și aproximativ zona de conducere (zona libera), care este fie parțial umplut cu electroni, fie liber și format din nivelurile de energie ale electronilor exteriori „colectivizați” ai atomilor izolați. În funcție de gradul de umplere a benzilor cu electroni și de lățimea benzii interzise, sunt posibile patru cazuri (Fig. 3).
În fig. 3, A zona superioară care conține electroni este doar parțial umplută, adică. are niveluri vacante. În acest caz, un electron, care a primit un „aditiv” de energie arbitrar mic (de exemplu, datorită mișcării termice sau a unui câmp electric), se va putea muta la un nivel de energie mai înalt al aceleiași zone,
