- Conceptul de asimptote
Unul dintre pașii importanți în construirea graficelor de funcții este căutarea asimptotelor. Ne-am întâlnit cu asimptote de mai multe ori: la trasarea funcțiilor, y=tgx, y=ctgx. Le-am definit drept linii pe care graficul unei funcții „tinde” dar nu le încrucișează niciodată. Este timpul să oferim o definiție precisă a asimptotelor.
Există trei tipuri de asimptote: verticale, orizontale și oblice. În desen, asimptotele sunt de obicei notate prin linii punctate.
Luați în considerare următorul grafic al funcției trasat artificial (Fig. 16.1), al cărui exemplu arată clar toate tipurile de asimptote:
Oferim o definiție pentru fiecare tip de asimptotă:
1. Direct x=a numit asimptotă verticală funcții dacă .
2. Direct y=s numit asimptotă orizontală funcții dacă .
3. Direct y=kx+b numit asimptotă oblică funcții dacă .
Geometric, definiția unei asimptote oblice înseamnă că, pe măsură ce →∞, graficul unei funcții se apropie de o dreaptă arbitrar apropiată y=kx+b, adică sunt practic la fel. Diferența expresiilor aproape identice tinde spre zero.
Rețineți că asimptotele orizontale și oblice sunt considerate numai cu condiția →∞. Uneori ele se disting în asimptote orizontale și oblice ca →+∞ și →-∞.
- Algoritmul de căutare asimptotă
Următorul algoritm poate fi utilizat pentru a găsi asimptote:
Poate exista o singură asimptotă verticală, mai multe sau deloc.
- Dacă c este un număr, atunci y=s este asimptota orizontală;
- Dacă c este infinit, atunci nu există asimptote orizontale.
Dacă o funcție este un raport de două polinoame, atunci dacă funcția are asimptote orizontale, nu vom căuta asimptote oblice - acestea nu există.
Luați în considerare exemple de găsire a asimptotelor unei funcții:
Exemplul 16.1. Găsiți asimptotele curbei.
Soluţie X-1≠0; X≠1.
Să verificăm dacă linia este x= 1 asimptotă verticală. Pentru a face acest lucru, calculăm limita funcției în punct x= 1: .
x= 1 - asimptotă verticală.
Cu= .
Cu= = . pentru că Cu=2 (număr), atunci y=2 este asimptota orizontală.
Deoarece funcția este un raport de polinoame, în prezența asimptotelor orizontale afirmăm că nu există asimptote oblice.
x= 1 și asimptota orizontală y=2. Pentru claritate, graficul acestei funcții este prezentat în Fig. 16.2.
Exemplul 16.2. Găsiți asimptotele curbei.
Soluţie. 1. Găsiți domeniul funcției: X-2≠0; X≠2.
Să verificăm dacă linia este x= 2 asimptote verticale. Pentru a face acest lucru, calculăm limita funcției în punct x= 2: .
Prin urmare, am înțeles că x= 2 - asimptotă verticală.
2. Pentru a căuta asimptote orizontale, găsim: Cu= .
Deoarece există o incertitudine în limită, folosim regula L'Hopital: Cu= = . pentru că Cu este infinit, atunci nu există asimptote orizontale.
3. Pentru a căuta asimptote oblice, găsim:
Avem o incertitudine a formei , folosim regula L'Hopital: = =1. b dupa formula: .
b= = =
Am inteles b= 2. Apoi y=kx+b – asimptotă oblică. În cazul nostru, arată astfel: y=x+2.
|
Cursul 17
În această prelegere, vom rezuma tot materialul studiat anterior. Scopul final al călătoriei noastre lungi este să putem investiga orice analiză funcţie datăși să-și construiască programul. Părți importante ale studiului nostru vor fi studiul funcției pentru extrema, determinarea intervalelor de monotonitate, convexitate și concavitate a graficului, căutarea punctelor de inflexiune, asimptote ale graficului funcției.
Ținând cont de toate aspectele de mai sus, vă prezentăm schema de studiere a functiei si trasare .
1. Găsiți domeniul funcției.
2. Investigați funcția pentru par-impar:
dacă , atunci funcția este pară (graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa OU);
daca , atunci functia este impara (graficul unei functii impare este simetric fata de origine);
În caz contrar, funcția nu este nici pară, nici impară.
3. Investigați funcția pentru periodicitate (dintre funcțiile pe care le studiem, numai funcțiile trigonometrice pot fi periodice).
4. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate:
· Oh: la=0 (rezolvăm ecuația doar dacă putem folosi metodele cunoscute nouă);
· OU: X=0.
5. Aflați derivata întâi a funcției și punctele critice de primul fel.
6. Găsiți intervalele de monotonitate și extremele funcției.
7. Aflați derivata a doua a funcției și punctele critice de al doilea fel.
8. Aflați intervalele de convexitate-concavitate ale graficului funcției și punctele de inflexiune.
9. Aflați asimptotele graficului funcției.
10. Reprezentați grafic funcția. Când construiți, luați în considerare cazuri de posibilă localizare a graficului în apropierea asimptotelor :
11. Dacă este necesar, selectați punctele de control pentru o construcție mai precisă.
Luați în considerare o schemă pentru studierea unei funcții și construirea graficului acesteia exemple concrete:
Exemplul 17.1. Trasează funcția.
Soluţie. 1. Această funcție este definită pe întreaga linie numerică, cu excepția X=3, pentru că în acest moment numitorul ajunge la zero.
2. Pentru a determina uniformitatea și ciudățenia funcției, găsim:
Vedem că și, prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară.
3. Funcția este neperiodică.
4. Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate. Pentru a găsi punctul de intersecție cu axa Oh Accept la=0. Obținem ecuația: . Deci, punctul (0; 0) este punctul de intersecție cu axele de coordonate.
5. Aflați derivata funcției după regula de diferențiere a unei fracții: = = = = .
Pentru a găsi punctele critice, găsim punctele în care derivata funcției este egală cu 0 sau nu există.
Dacă =0, prin urmare, . Produsul este atunci 0 când cel puțin unul dintre factori este 0: sau .
X-3) 2 este egal cu 0, i.e. nu există la X=3.
Deci, funcția are trei puncte critice de primul fel: ; ; .
6. Pe axa reală, se marchează punctele critice de primul fel și se marchează punctul cu un punct perforat, deoarece nu definește o funcție.
Aranjați semnele derivatei = pe fiecare interval:
|
|
La intervalele în care , funcția inițială crește (la (-∞;0] ), unde - descrește (la ).
Punct X=0 este punctul maxim al funcției. Pentru a găsi maximul funcției, să găsim valoarea funcției în punctul 0: .
Punct X=6 este punctul minim al funcției. Pentru a găsi minimul funcției, să găsim valoarea funcției la punctul 6: .
Rezultatele cercetării pot fi introduse în tabel. Numărul de rânduri din tabel este fix și egal cu patru, iar numărul de coloane depinde de funcția studiată. În celulele primului rând sunt introduse secvenţial intervalele în care punctele critice împart domeniul definiţiei funcţiei, inclusiv punctele critice în sine. Pentru a evita erorile la construirea punctelor care nu aparțin zonei de definire, este posibil să nu le includeți în tabel.
A doua linie a tabelului conține semnele derivatei pe fiecare dintre intervalele considerate și valoarea derivatei în punctele critice. În conformitate cu semnele derivatei funcției, intervalele de creștere, scădere și extreme ale funcției sunt marcate pe a treia linie.
Ultima linie este folosită pentru a desemna maximul și minimul funcției.
| X | (-∞;0) | (0;3) | (3;6) | (6;+ ∞) | |||
| + | - | - | + | ||||
| f(x) | |||||||
| concluzii | max | min |
7. Aflați derivata a doua a funcției ca derivată a derivatei întâi: = =
Scoateți la numărător X-3 în afara parantezei și faceți reducerea:
Prezentăm la numărător termeni ca: .
Să găsim puncte critice de al doilea fel: puncte la care derivata a doua a funcției este egală cu zero sau nu există.
0 dacă =0. Această fracție nu poate fi egală cu zero, prin urmare, nu există puncte în care derivata a doua a funcției să fie egală cu zero.
Nu există dacă numitorul ( X-3) 3 este 0, adică nu există la X=3. : Oh , OU, origine, unități de măsură pentru fiecare axă.
Înainte de a trasa o funcție, trebuie să:
desenați asimptote cu linii punctate;
marcați punctele de intersecție cu axele de coordonate;
|
· Folosind datele obținute privind intervalele de creștere, scădere, convexitate și concavitate, construiți un grafic al funcției. Ramurile graficului ar trebui să „tindă” spre asimptote, dar să nu le traverseze.
Verificați dacă graficul funcției corespunde studiului: dacă funcția este pară sau impară, atunci dacă se respectă simetria; dacă intervalele teoretic găsite de creștere și scădere, convexitate și concavitate, puncte de inflexiune.
11. Pentru o construcție mai precisă, puteți selecta mai multe puncte de control. De exemplu, să găsim valorile funcției la punctele -2 și 7:
Ajustăm graficul ținând cont de punctele de control.
Întrebări de test:
- Care este algoritmul pentru trasarea graficului unei funcții?
- Poate o funcție să aibă un extremum în puncte care nu aparțin domeniului definiției?
CAPITOLUL 3. 3. CALCULUL INTEGRAL AL FUNCȚIEI
Așa este formulat sarcină tipică, și implică găsirea TOATE asimptotele graficului (vertical, oblic/orizontal). Deși, pentru a fi mai precis în formularea întrebării, vorbim despre un studiu pentru prezența asimptotelor (la urma urmei, poate să nu existe deloc).
Să începem cu ceva simplu:
Exemplul 1
Soluţie Este convenabil să o împărțim în două puncte:
1) Mai întâi verificăm dacă există asimptote verticale. Numitorul dispare la , și este imediat clar că în acest moment funcția suferă decalaj nesfârșit, iar linia dreaptă dată de ecuație este asimptota verticală a graficului funcției . Dar înainte de a trage o astfel de concluzie, este necesar să găsiți limite unilaterale: 
Vă reamintesc de tehnica de calcul, asupra căreia m-am ocupat și eu în articol continuitatea functiei. puncte de pauză. În expresia de sub semnul limită, în loc de „x” înlocuim . Nu există nimic interesant în numărător:
.
Dar la numitor se dovedește număr negativ infinitezimal:
, determină soarta limitei.
Limita din stânga este infinită și, în principiu, este deja posibil să se pronunțe asupra prezenței unei asimptote verticale. Dar limitele unilaterale sunt necesare nu numai pentru aceasta, ci AJUTĂ LA ÎNȚELEGE CUM se localizează graficul funcției și se trasează-l CORECT. Prin urmare, trebuie să calculăm și limita din dreapta: 
Concluzie: limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că linia este o asimptotă verticală a graficului funcției la .
Prima limită finit, ceea ce înseamnă că este necesar să „continuați conversația” și să găsiți a doua limită:
Și a doua limită finit.
Deci asimptota noastră este:
Concluzie: dreapta dată de ecuație este asimptota orizontală a graficului funcției la .
Pentru a găsi asimptota orizontală Puteți folosi formula simplificată:
Dacă există o limită finită, atunci linia este o asimptotă orizontală a graficului funcției la .
Este ușor de observat că numărătorul și numitorul funcției un ordin de creștere, ceea ce înseamnă că limita dorită va fi finită: 
Răspuns:
Conform condiției, nu este necesară finalizarea desenului, dar dacă este în plină desfășurare cercetarea funcţiei, apoi pe schiță facem imediat o schiță: 
Pe baza celor trei limite găsite, încercați să vă dați seama în mod independent cum poate fi localizat graficul funcției. Destul de dificil? Găsiți 5-6-7-8 puncte și marcați-le pe desen. Cu toate acestea, graficul acestei funcții este construit folosind transformări grafice functie elementara
, iar cititorii care au examinat cu atenție Exemplul 21 al acestui articol vor ghici cu ușurință ce fel de curbă este aceasta.
Exemplul 2
Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Acesta este un exemplu pentru solutie independenta. Procesul, vă reamintesc, este împărțit convenabil în două puncte - asimptote verticale și asimptote oblice. În soluția eșantion, asimptota orizontală este găsită folosind o schemă simplificată.
În practică, funcțiile fracționale-raționale sunt cel mai des întâlnite, iar după antrenamentul pe hiperbole, vom complica sarcina:
Exemplul 3
Găsiți asimptotele graficului unei funcții 
Soluţie: Unu, doi și gata:
1) Se găsesc asimptotele verticale în punctele de discontinuitate infinită, deci trebuie să verificați dacă numitorul ajunge la zero. Vom decide ecuație pătratică :
Discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini reale, iar munca se adaugă semnificativ =) 
Pentru a găsi în continuare limite unilaterale, este convenabil să factorizezi trinomul pătrat:
(pentru notarea compactă, „minus” a fost introdus în prima paranteză). Pentru plasa de siguranta, vom efectua o verificare, mentala sau la curent, deschizand parantezele.
Să rescriem funcția în formă 
Găsiți limite unilaterale în punctul: 
Și la punctul: 
Astfel, liniile drepte sunt asimptotele verticale ale graficului funcției luate în considerare.
2) Dacă te uiți la funcție 
, atunci este destul de evident că limita va fi finită și avem o asimptotă orizontală. Să o arătăm pe scurt: 
Astfel, linia dreaptă (abscisa) este asimptota orizontală a graficului acestei funcții.
Răspuns:
Limitele și asimptotele găsite oferă o mulțime de informații despre graficul funcției. Încercați să vă imaginați mental desenul, ținând cont de următoarele fapte: 
Schițați versiunea dvs. a graficului pe o schiță.
Desigur, limitele găsite nu determină fără echivoc tipul de grafic și puteți face o greșeală, dar exercițiul în sine vă va fi de un ajutor neprețuit în timpul studiu complet al funcției. Poza corectă este la sfârșitul lecției.
Exemplul 4
Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Exemplul 5
Găsiți asimptotele graficului unei funcții 
Acestea sunt sarcini pentru decizii independente. Ambele grafice au din nou asimptote orizontale, care sunt detectate imediat de următoarele caracteristici: în Exemplul 4 ordinea de creștere numitorul este mai mare decât ordinea de creștere a numărătorului, iar în exemplul 5 numărătorul și numitorul un ordin de creștere. În soluția de probă, prima funcție este investigată pentru prezența asimptotelor oblice într-un mod complet, iar a doua - prin limită.
Asimptotele orizontale, în impresia mea subiectivă, sunt vizibil mai frecvente decât cele care sunt „cu adevărat înclinate”. Caz general mult așteptat:
Exemplul 6
Găsiți asimptotele graficului unei funcții 
Soluţie: clasice ale genului:
1) Deoarece numitorul este pozitiv, funcția continuu pe întreaga linie numerică și nu există asimptote verticale. …Este bine? Nu este cuvântul potrivit - grozav! Elementul #1 este închis.
2) Verificați prezența asimptotelor oblice:
Prima limită finit, deci să mergem mai departe. În timpul calculului a doua limită de eliminat incertitudine „infinit minus infinit” aducem expresia la un numitor comun: 
Și a doua limită finit, prin urmare, graficul funcției luate în considerare are o asimptotă oblică:
Concluzie:
Astfel, pentru graficul funcției infinit de aproape se apropie de o linie dreaptă: 
Rețineți că își intersectează asimptota oblică la origine și astfel de puncte de intersecție sunt destul de acceptabile - este important ca „totul este normal” la infinit (de fapt, aici vorbim despre asimptote).
Exemplul 7
Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Soluţie: nu este nimic special de comentat, așa că voi emite eșantion exemplar solutie curata:
1) Asimptote verticale. Să explorăm ideea. 
Linia dreaptă este asimptota verticală pentru graficul de la .
2) Asimptote oblice: 
Linia dreaptă este asimptota oblică pentru graficul de la .
Răspuns: 
Limitele și asimptotele unilaterale găsite ne permit să presupunem cu mare siguranță cum arată graficul acestei funcții. Desenul corect la sfârșitul lecției.
Exemplul 8
Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă, pentru comoditatea calculării unor limite, puteți împărți numărătorul la numitor termen cu termen. Și din nou, analizând rezultatele, încercați să desenați un grafic al acestei funcții.
Evident, proprietarii asimptotelor oblice „reale” sunt graficele acelor funcții fracționale-raționale pentru care cel mai înalt grad al numărătorului încă una cel mai înalt grad al numitorului. Dacă mai mult, nu va exista nicio asimptotă oblică (de exemplu, ).
Dar alte miracole se întâmplă în viață:
Exemplul 9
Soluţie: funcţia continuu pe întreaga linie numerică, ceea ce înseamnă că nu există asimptote verticale. Dar pot exista pante. Verificăm:
Îmi amintesc cum am dat peste o funcție similară la universitate și pur și simplu nu-mi venea să cred că are o asimptotă oblică. Până am calculat a doua limită:
Strict vorbind, există două incertitudini aici: și, dar într-un fel sau altul, trebuie să utilizați metoda soluției, care este discutată în exemplele 5-6 ale articolului despre limitele complexității crescute. Înmulțiți și împărțiți cu expresia conjugată pentru a utiliza formula:
Răspuns:
Poate cea mai populară asimptotă oblică.
Până acum infinitul a reușit să fie „tăiat cu aceeași perie”, dar se întâmplă ca graficul funcției două diferite asimptote oblice pentru și pentru:
Exemplul 10
Examinați graficul unei funcții pentru asimptote 
Soluţie: expresia rădăcină este pozitivă, ceea ce înseamnă domeniu- orice număr real și nu pot exista bețe verticale.
Să verificăm dacă există asimptote oblice.
Dacă „x” tinde spre „minus infinit”, atunci:
(la introducerea „x” sub rădăcina pătrată, trebuie să adăugați semnul „minus” pentru a nu pierde numitorul negativ)
Pare neobișnuit, dar aici incertitudinea este „infinitul minus infinitul”. Înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia adjunctă:
Astfel, linia dreaptă este asimptota oblică a graficului la .
Cu „plus infinit” totul este mai banal: 
Iar linia dreaptă - la .
Răspuns:
În cazul în care un ;
, dacă .
Nu pot rezista imaginii grafice: 
Aceasta este una dintre ramuri hiperbolă .
Nu este neobișnuit când prezența potențială a asimptotelor este inițial limitată domeniul de aplicare al funcției:
Exemplul 11
Examinați graficul unei funcții pentru asimptote
Soluţie: este evident că 
, prin urmare, considerăm doar semiplanul drept, unde există un grafic al funcției.
1) Funcție continuu pe intervalul , ceea ce înseamnă că dacă asimptota verticală există, atunci poate fi doar axa y. Studiem comportamentul funcției în apropierea punctului pe dreapta:
Notă, nu există ambiguitate aici(pe astfel de cazuri, atenția a fost concentrată la începutul articolului Metode de soluție limită).
Astfel, linia dreaptă (axa y) este asimptota verticală pentru graficul funcției la .
2) Studiul asimptotei oblice poate fi efectuat conform schemei complete, dar în articol Regulile Lopital am aflat că funcție liniară ordin de creștere mai mare decât cel logaritmic, prin urmare: 
(vezi exemplul 1 din aceeași lecție).
Concluzie: axa absciselor este asimptota orizontală a graficului funcției la .
Răspuns:
În cazul în care un ;
, dacă .
Desen pentru claritate: 
Interesant este că o funcție aparent similară nu are deloc asimptote (cei care doresc pot verifica acest lucru).
Două exemple finale de auto-studiu:
Exemplul 12
Examinați graficul unei funcții pentru asimptote 
Pentru a testa asimptotele verticale, mai întâi trebuie să găsim domeniul de aplicare al funcției, apoi calculați o pereche de limite unilaterale în puncte „suspecte”. Nici asimptotele oblice nu sunt excluse, deoarece funcția este definită la infinit „plus” și „minus”.
Exemplul 13
Examinați graficul unei funcții pentru asimptote
Și aici pot exista doar asimptote oblice, iar direcțiile ar trebui luate în considerare separat.
Sper că ai găsit asimptotul potrivit =)
Îți doresc succes!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2:Soluţie
:
. Să găsim limite unilaterale:
Drept este asimptota verticală a graficului funcției la .
2) Asimptote oblice.
Drept .
Răspuns:
Desen
la Exemplul 3:
Exemplul 4:Soluţie
:
1) Asimptote verticale. Funcția suferă o întrerupere infinită într-un punct . Să calculăm limitele unilaterale:
Notă: un număr infinitezimal negativ la o putere pare este egal cu un număr infinitezimal pozitiv: .
Drept este asimptota verticală a graficului funcției.
2) Asimptote oblice.
Drept (abscisa) este asimptota orizontală a graficului funcției la .
Răspuns:
Vor exista și sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.
Conceptul de asimptotă
Dacă construiți mai întâi asimptotele curbei, atunci în multe cazuri construcția graficului funcției este facilitată.
Soarta asimptotei este plină de tragedie. Imaginați-vă cum este să vă deplasați în linie dreaptă obiectiv prețuit abordați-l cât mai aproape posibil, dar nu ajungeți niciodată la el. De exemplu, încercând să vă conectați drumul vietii cu calea persoanei dorite, la un moment dat sa-l apropii aproape aproape, dar nici sa nu-l atingi. Sau să te străduiești să câștigi un miliard, dar înainte de a atinge acest obiectiv și de a intra în Cartea Recordurilor Guinness pentru cazul său, îi lipsesc sutimi de cent. etc. Așa este și cu asimptota: se străduiește constant să ajungă la curba graficului funcției, se apropie de ea la distanța minimă posibilă, dar nu o atinge.
Definiție 1. Asimptotele sunt numite astfel de linii, de care graficul funcției se apropie cât se dorește atunci când variabila tinde spre plus infinit sau minus infinit.
Definiția 2. O linie dreaptă se numește asimptotă a graficului unei funcții dacă distanța de la punctul variabil M graficul funcției până la această dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează la infinit M de la originea coordonatelor de-a lungul oricărei ramuri a graficului funcției.
Există trei tipuri de asimptote: verticale, orizontale și oblice.
Asimptote verticale
Primul lucru de știut despre asimptotele verticale: sunt paralele cu axa Oi .
Definiție. Drept X = A este asimptotă verticală a graficului funcției dacă punct X = A este punct de rupere de al doilea fel pentru această caracteristică.
Din definiție rezultă că linia X = A este asimptota verticală a graficului funcției f(X) dacă este îndeplinită cel puțin una dintre următoarele condiții:
În același timp, funcția f(X) poate să nu fie definită deloc, respectiv, pt X ≥ Ași X ≤ A .
Cometariu:
Exemplul 1 Graficul funcției y=ln X are o asimptotă verticală X= 0 (adică coincide cu axa Oi) la limita domeniului de definitie, deoarece limita functiei ca x tinde spre zero in dreapta este egala cu minus infinit:
(fig. mai sus).
pe cont propriu și apoi vezi soluțiile
Exemplul 2 Găsiți asimptotele graficului funcției.
Exemplul 3 Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Asimptote orizontale
Primul lucru de știut despre asimptotele orizontale: sunt paralele cu axa Bou .
Dacă (limita funcției când argumentul tinde spre plus sau minus infinit este egală cu o anumită valoare b), apoi y = b – asimptotă orizontală strâmb y = f(X ) (dreapta când x tinde spre plus infinit, stânga când x tinde spre minus infinit și cu două fețe dacă limitele când x tinde spre plus sau minus infinit sunt egale).
Exemplul 5 Graficul funcției
la A> 1 are o asimptotă orizontală stângă y= 0 (adică coincide cu axa Bou), deoarece limita funcției când „x” tinde spre minus infinit este egală cu zero:
Curba nu are o asimptotă orizontală dreaptă, deoarece limita funcției ca x tinde spre plus infinit este egală cu infinit:
Asimptote oblice
Asimptotele verticale și orizontale pe care le-am considerat mai sus sunt paralele cu axele de coordonate, prin urmare, pentru a le construi, ne-a trebuit doar un anumit număr - un punct pe axa abscisă sau ordonată prin care trece asimptota. Este nevoie de mai mult pentru asimptota oblică - pantă k, care arată unghiul de înclinare a dreptei și interceptarea b, care arată cât de mult este linia deasupra sau sub origine. Cei care nu au avut timp să uite geometria analitică, iar din ea - ecuațiile unei linii drepte, vor observa că pentru o asimptotă oblică găsesc ecuația pantei. Existența unei asimptote oblice este determinată de următoarea teoremă, pe baza căreia se găsesc coeficienții tocmai numiți.
Teorema. Pentru a face o curbă y = f(X) avea o asimptotă y = kx + b , este necesar și suficient să existe limite finite kși b a funcției luate în considerare așa cum tinde variabila X la plus infinit și minus infinit:
(1)
(2)
Cifrele astfel găsite kși bși sunt coeficienții asimptotei oblice.
În primul caz (când x tinde spre plus infinit), se obține asimptota oblică dreaptă, în al doilea (când x tinde spre minus infinit), se obține asimptota stângă. Asimptota oblică dreaptă este prezentată în Fig. de desubt.
La găsirea ecuației asimptotei oblice, este necesar să se țină cont de tendința lui x atât la plus infinit, cât și la minus infinit. Pentru unele funcții, de exemplu, pentru raționalele fracționale, aceste limite coincid, dar pentru multe funcții aceste limite sunt diferite și doar una dintre ele poate exista.
Dacă limitele coincid cu x tinde spre plus infinit și minus infinit, linia dreaptă y = kx + b este o asimptotă cu două fețe a curbei.
Dacă cel puţin una dintre limitele care definesc asimptota y = kx + b , nu există, atunci graficul funcției nu are o asimptotă oblică (dar poate avea una verticală).
Este ușor de observat că asimptota orizontală y = b este un caz special de oblic y = kx + b la k = 0 .
Prin urmare, dacă o curbă are o asimptotă orizontală în orice direcție, atunci nu există nicio asimptotă oblică în acea direcție și invers.
Exemplul 6 Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Soluţie. Funcția este definită pe întreaga linie numerică, cu excepția X= 0 , adică
Prin urmare, la punctul de rupere X= 0 curba poate avea o asimptotă verticală. Într-adevăr, limita funcției pe măsură ce x tinde spre zero din stânga este plus infinit:
Prin urmare, X= 0 este asimptota verticală a graficului acestei funcții.
Graficul acestei funcții nu are o asimptotă orizontală, deoarece limita funcției când x tinde spre plus infinit este egală cu plus infinit:
Să aflăm prezența unei asimptote oblice:
Am limite finite k= 2 și b= 0 . Drept y = 2X este o asimptotă oblică cu două fețe a graficului acestei funcții (fig. în interiorul exemplului).
Exemplul 7 Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Soluţie. Funcția are un punct de întrerupere X= −1 . Să calculăm limitele unilaterale și să determinăm tipul de discontinuitate:
Concluzie: X= −1 este un punct de discontinuitate de al doilea fel, deci linia X= −1 este asimptota verticală a graficului acestei funcții.
Caut asimptote oblice. Deoarece această funcție este fracționar rațională, limitele pentru și pentru vor coincide. Astfel, găsim coeficienții pentru înlocuirea dreptei - asimptotă oblică în ecuație:
Înlocuind coeficienții găsiți în ecuația unei drepte cu pantă, obținem ecuația asimptotei oblice:
y = −3X + 5 .
În figură, graficul funcției este marcat cu visiniu, iar asimptotele sunt în negru.
Exemplul 8 Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Soluţie. Deoarece această funcție este continuă, graficul ei nu are asimptote verticale. Căutăm asimptote oblice:
.
Astfel, graficul acestei funcții are o asimptotă y= 0 la și nu are asimptotă la .
Exemplul 9 Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Soluţie. În primul rând, căutăm asimptotele verticale. Pentru a face acest lucru, găsim domeniul funcției. Funcția este definită atunci când inegalitatea este valabilă și . semn variabil X se potrivește cu semnul. Prin urmare, luați în considerare inegalitatea echivalentă. De aici obținem domeniul de aplicare al funcției: 
. Asimptota verticală poate fi doar la limita domeniului funcției. Dar X= 0 nu poate fi o asimptotă verticală, deoarece funcția este definită pentru X = 0
.
Luați în considerare limita din dreapta la (limita din stânga nu există):
.
Punct X= 2 este un punct de discontinuitate de al doilea fel, deci linia X= 2 - asimptota verticală a graficului acestei funcții.
Căutăm asimptote oblice:
Asa de, y = X+ 1 - asimptotă oblică a graficului acestei funcții la . Căutăm o asimptotă oblică pentru:
Asa de, y = −X − 1 - asimptotă oblică la .
Exemplul 10 Găsiți asimptotele graficului unei funcții
Soluţie. Funcția are un domeniu de aplicare 
. Deoarece asimptota verticală a graficului acestei funcții poate fi doar la limita domeniului de definiție, vom găsi limitele unilaterale ale funcției la .
Asimptota graficului unei funcții y \u003d f (x) se numește o linie care are proprietatea că distanța de la punctul (x, f (x)) la această linie tinde spre zero cu o îndepărtare nelimitată a punctului grafic de la origine.
Figura 3.10. sunt date exemple grafice vertical, orizontalăși oblic asimptotă.
Găsirea asimptotelor graficului se bazează pe următoarele trei teoreme.
Teorema asimptotei verticale. Fie ca funcția y \u003d f (x) să fie definită într-o vecinătate a punctului x 0 (eventual excluzând acest punct în sine) și cel puțin una dintre limitele unilaterale ale funcției să fie egală cu infinitul, adică. Atunci linia x \u003d x 0 este asimptota verticală a graficului funcției y \u003d f (x).
Evident, linia x \u003d x 0 nu poate fi o asimptotă verticală dacă funcția este continuă în punctul x 0, deoarece în acest caz 
. Prin urmare, asimptotele verticale trebuie căutate în punctele de discontinuitate ale unei funcții sau la capetele domeniului acesteia.
Teorema asimptotei orizontale. Fie definită funcția y \u003d f (x) pentru x suficient de mare și există o limită finită a funcției. Atunci linia y = b este asimptota orizontală a graficului funcției.
Cometariu. Dacă numai una dintre limite este finită, atunci funcția are, respectiv, pe partea stângă sau pe partea dreaptă asimptotă orizontală.
În cazul în care , funcția poate avea o asimptotă oblică.
Teorema asimptotei oblice. Fie definită funcția y = f(x) pentru x suficient de mare și există limite finite 
. Atunci linia y = kx + b este o asimptotă oblică a graficului funcției.
Fără dovezi.
Asimptota oblică, la fel ca și cea orizontală, poate fi dreptaci sau stângaci dacă baza limitelor corespunzătoare este infinitatea unui anumit semn.
Studiul funcțiilor și construcția graficelor acestora include de obicei următorii pași:
1. Găsiți domeniul funcției.
2. Investigați funcția pentru par-impar.
3. Aflați asimptotele verticale examinând punctele de discontinuitate și comportamentul funcției la limitele domeniului de definiție, dacă acestea sunt finite.
4. Găsiți asimptote orizontale sau oblice examinând comportamentul funcției la infinit.
5. Găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției.
6. Aflați intervalele de convexitate ale funcției și punctele de inflexiune.
7. Găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate și, eventual, câteva puncte suplimentare care rafinează graficul.
Diferenţial de funcţie
Se poate dovedi că, dacă o funcție are o limită egală cu un număr finit pentru o anumită bază, atunci ea poate fi reprezentată ca sumă a acestui număr și la infinit mărime mică cu aceeași bază (și invers): .
Sa aplicam aceasta teorema unei functii diferentiabile: .
Astfel, incrementul funcției Dy este format din doi termeni: 1) liniar față de Dx, adică. f`(x)Dx; 2) neliniar în raport cu Dx, i.e. a(Dx)Dx. În același timp, de când 
, acest al doilea termen este un infinitezimal de ordin mai mare decât Dx (cum Dx tinde spre zero, tinde spre zero și mai repede).
Diferenţial funcția se numește partea principală a incrementului funcției, liniară față de Dx, egală cu produsul derivatei și incrementul variabilei independente dy = f `(x)Dx.
Aflați diferența funcției y = x.
Deoarece dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, atunci dx = Dx, i.e. diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acelei variabile.
Prin urmare, formula pentru diferența unei funcții poate fi scrisă ca dy = f `(x)dх. De aceea, unul dintre simbolurile derivatei este fracția dy/dх.
Se ilustrează semnificația geometrică a diferenţialului
figura 3.11. Luați un punct arbitrar M(x, y) pe graficul funcției y = f(x). Să dăm argumentului x un increment Dx. Atunci funcția y = f(x) va primi un increment Dy = f(x + Dх) - f(x). Să desenăm o tangentă la graficul funcției în punctul M, care formează un unghi a cu direcția pozitivă a axei x, adică. f `(x) = tg a. Din triunghi dreptunghic MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.
Astfel, diferența unei funcții este creșterea în ordonată a tangentei trasate la graficul funcției într-un punct dat când x este incrementat cu Dx.
Proprietățile unei diferențiale sunt practic aceleași cu cele ale unei derivate:
3. d(u ± v) = du ± dv.
4. d(uv) = v du + u dv.
5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .
Cu toate acestea, există o proprietate importantă a diferenţialului unei funcţii pe care derivata ei nu o are - aceasta este invarianța formei diferențiale.
Din definiția diferenţialului pentru funcţia y = f(x), diferenţialul este dy = f`(x)dх. Dacă această funcție y este complexă, i.e. y = f(u), unde u = j(x), atunci y = f și f `(x) = f `(u)*u`. Atunci dy = f`(u)*u`dx. Dar pentru funcție
u = j(x) diferential du = u`dx. Prin urmare dy = f `(u)*du.
Comparând egalitățile dy = f`(x)dх și dy = f`(u)*du, ne asigurăm că formula diferențială nu se modifică dacă în loc de o funcție a variabilei independente x considerăm o funcție a variabila dependenta u. Această proprietate a diferenţialului se numeşte invarianţa (adică invarianţa) formei (sau formulei) diferenţialului.
Cu toate acestea, există încă o diferență între aceste două formule: în prima dintre ele, diferența variabilei independente este egală cu incrementul acestei variabile, i.e. dx = Dx, iar în al doilea, diferența funcției du este doar partea liniară a incrementului acestei funcție Du, și numai pentru Dх du » Du mici.
