Особое место в статистическом анализе принадлежит определению среднего уровня изучаемого признака или явления. Средний уровень признака измеряют средними величинами.
Средняя величина характеризует общий количественный уровень изучаемого признака и является групповым свойством статистической совокупности. Она нивелирует, ослабляет случайные отклонения индивидуальных наблюдений в ту или иную сторону и выдвигает на первый план основное, типичное свойство изучаемого признака.
Средние величины широко используются:
1. Для оценки состояния здоровья населения: характеристики физического развития (рост, вес, окружность грудной клетки и пр.), выявления распространенности и длительности различных заболеваний, анализа демографических показателей (естественного движения населения, средней продолжительности предстоящей жизни, воспроизводства населения, средней численности населения и др.).
2. Для изучения деятельности лечебно-профилактических учреждений, медицинских кадров и оценки качества их работы, планирования и определения потребности населения в различных видах медицинской помощи (среднее число обращений или посещений на одного жителя в год, средняя длительность пребывания больного в стационаре, средняя продолжительность обследования больного, средняя обеспеченность врачами, койками и пр.).
3. Для характеристики санитарно-эпидемиологического состояния (средняя запыленность воздуха в цехе, средняя площадь на одного человека, средние нормы потребления белков, жиров и углеводов и т. д.).
4. Для определения медико-физиологических показателей в норме и патологии, при обработке лабораторных данных, для установления достоверности результатов выборочного исследования в социально-гигиенических, клинических, экспериментальных исследованиях.
Вычисление средних величин выполняется на основе вариационных рядов. Вариационный ряд – это однородная в качественном отношении статистическая совокупность, отдельные единицы которой характеризуют количественные различия изучаемого признака или явления.
Количественная вариация может быть двух типов: прерывная (дискретная) и непрерывная.
Прерывный (дискретный) признак выражается только целым числом и не может иметь никаких промежуточных значений (например, число посещений, численность населения участка, число детей в семье, степень тяжести болезни в баллах и др.).
Непрерывный признак может принимать любые значения в определенных пределах, в том числе и дробные, и выражается лишь приближенно (например, вес – для взрослых можно ограничиться килограммами, а для новорожденных – граммами; рост, артериальное давление, время, потраченное на прием больного, и т. д.).
Цифровое значение каждого отдельного признака или явления, входящего в вариационный ряд, называется вариантой и обозначается буквой V . В математической литературе встречаются и другие обозначения, например x или y.
Вариационный ряд, где каждая варианта указана один раз, называется простым. Такие ряды используются в большинстве статистических задач в случае компьютерной обработки данных.
При увеличении числа наблюдений, как правило, встречаются повторяющиеся значения вариант. В этом случае создается сгруппированный вариационный ряд , где указывается число повторений (частота, обозначается буквой «р »).
Ранжированный вариационный ряд состоит из вариант, расположенных в порядке возрастания или убывания. Как простой, так и сгруппированный ряды могут быть составлены с ранжированием.
Интервальный вариационный ряд составляют с целью упрощения последующих вычислений, выполняемых без использования компьютера, при очень большом числе единиц наблюдения (более 1000).
Непрерывный вариационный ряд включает значения вариант, которые могут выражаться любыми значениями.
Если в вариационном ряде значения признака (варианты) заданы в виде отдельных конкретных чисел, то такой ряд называют дискретным .
Общими характеристиками значений признака, отражаемого в вариационном ряду, являются средние величины. Среди них наиболее применяемые: средняя арифметическая величина М, мода Мо и медиана Me. Каждая из этих характеристик своеобразна. Они не могут подменить друг друга и лишь в совокупности достаточно полно и в сжатой форме представляют собой особенности вариационного ряда.
Модой (Мо) называют значение наиболее часто встречающейся варианты.
Медиана (Me) – это значение варианты, делящей ранжированный вариационный ряд пополам (с каждой стороны медианы находится половина вариант). В редких случаях, когда имеется симметричный вариационный ряд, мода и медиана равны между собой и совпадают со значением средней арифметической.
Наиболее типичной характеристикой значений вариант является средняя арифметическая величина(М ). В математической литературе она обозначается .
Средняя арифметическая величина (M, ) – это общая количественная характеристика определенного признака изучаемых явлений, составляющих качественно однородную статистическую совокупность. Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную. Средняя арифметическая простая вычисляется для простого вариационного ряда путем суммирования всех вариант и делением этой суммы на общее количество вариант, входящих в данный вариационный ряд. Вычисления проводятся по формуле:
где: М - средняя арифметическая простая;
ΣV - сумма вариант;
n - число наблюдений.
В сгруппированном вариационном ряду определяют взвешенную среднюю арифметическую. Формула ее вычисления:
где: М - средняя арифметическая взвешенная;
ΣVp - сумма произведений вариант на их частоты;
n - число наблюдений.
При большом числе наблюдений в случае ручных вычислений может применяться способ моментов.
Средняя арифметическая имеет следующие свойства:
· сумма отклонений вариант от средней (Σd ) равна нулю (см. табл. 15);
· при умножении (делении) всех вариант на один и тот же множитель (делитель) средняя арифметическая умножается (делится) на тот же множитель (делитель);
· если прибавить (вычесть) ко всем вариантам одно и то же число, средняя арифметическая увеличивается (уменьшается) на это же число.
Средние арифметические величины, взятые сами по себе, без учета вариабельности рядов, из которых они вычислены, могут не в полной мере отражать свойства вариационного ряда, в особенности когда необходимо сопоставление с другими средними. Близкие по значению средние могут быть получены из рядов с различной степенью рассеяния. Чем ближе друг к другу отдельные варианты по своей количественной характеристике, тем меньше рассеяние (колеблемость, вариабельность) ряда, тем типичнее его средняя.
Основными параметрами, которые позволяют оценить вариабельность признака, являются:
· Размах;
· Амплитуда;
· Среднее квадратическое отклонение;
· Коэффициент вариации.
Приблизительно о колеблемости признака можно судить по размаху и амплитуде вариационного ряда. Размах указывает на максимальную (V max) и минимальную (V min) варианты в ряду. Амплитуда (A m) является разностью этих вариант: A m = V max - V min .
Основной, общепринятой мерой колеблемости вариационного ряда являются дисперсия (D ). Но наиболее часто применяется более удобный параметр, вычисляемый на основе дисперсии - среднее квадратическое отклонение (σ ). Оно учитывает величину отклонения (d ) каждой варианты вариационного ряда от его средней арифметической (d=V - M ).
Поскольку отклонения вариант от средней могут быть положительными и отрицательными, то при суммировании они дают значение «0» (Sd=0 ). Чтобы избежать этого, величины отклонения (d ) возводятся во вторую степень и усредняются. Таким образом, дисперсия вариационного ряда является средним квадратом отклонений вариант от средней арифметической и вычисляется по формуле:
Она является важнейшей характеристикой вариабельности и применяется для вычисления многих статистических критериев.
Поскольку дисперсия выражается квадратом отклонений, ее величина не может использоваться в сопоставлении со средней арифметической. Для этих целей применяется среднее квадратическое отклонение , которое обозначается знаком «Сигма» (σ ). Оно характеризует среднее отклонение всех вариант вариационного ряда от средней арифметической величины в тех же единицах, что и сама средняя величина, поэтому они могут использоваться совместно.
Среднее квадратическое отклонение определяют по формуле:
Указанная формула применяется при числе наблюдений (n ) больше 30. При меньшем числе n значение среднего квадратического отклонения будет иметь погрешность, связанную с математическим смещением (n - 1). В связи с этим, более точный результат может быть получен с помощью учета такого смещения в формуле расчета стандартного отклонения:
стандартное отклонение (s ) – это оценка среднеквадратического отклонения случайной величины Х относительно её математического ожидания на основе несмещённой оценки её дисперсии.
При значениях n > 30 среднее квадратическое отклонение (σ ) и стандартное отклонение (s ) будут одинаковыми (σ =s ). Поэтому в большинстве практических пособий эти критерии рассматриваются как разнозначные. В программе Excel вычисление стандартного отклонения может быть выполнено функцией =СТАНДОТКЛОН(диапазон). А с целью расчета среднего квадратического отклонения требуется создать соответствующую формулу.
Среднее квадратическое или стандартное отклонение позволяет определить, насколько значения признака могут отличаться от среднего значения. Предположим, существуют два города с одинаковой средней дневной температурой в летний период. Один их этих городов расположен на побережье, а другой на континенте. Известно, что в городах, расположенных на побережье, различия дневных температур меньше, чем у городов, расположенных внутри континента. Поэтому среднее квадратическое отклонение дневных температур у прибрежного города будет меньше, чем у второго города. На практике это означает, что средняя температура воздуха каждого конкретного дня в городе, расположенного на континенте будет сильнее отличаться от среднего значения, чем в городе на побережье. Кроме того стандартное отклонение позволяет оценить возможные отклонения температуры от средней с требуемым уровнем вероятности.
Согласно теории вероятности, в явлениях, подчиняющихся нормальному закону распределения, между значениями средней арифметической, среднего квадратического отклонения и вариантами существует строгая зависимость (правило трех сигм ). Например, 68,3% значений варьирующего признака находятся в пределах М ± 1σ , 95,5% - в пределах М ± 2σ и 99,7% - в пределах М ± 3σ .
Величина среднего квадратического отклонения позволяет судить о характере однородности вариационного ряда и исследуемой группы. Если величина среднего квадратического отклонения небольшая, то это свидетельствует о достаточно высокой однородности изучаемого явления. Среднюю арифметическую в таком случае следует признать вполне характерной для данного вариационного ряда. Однако слишком малая величина сигмы заставляет думать об искусственном подборе наблюдений. При очень большой сигме средняя арифметическая в меньшей степени характеризует вариационный ряд, что говорит о значительной вариабельности изучаемого признака или явления или о неоднородности исследуемой группы. Однако сопоставление величины среднего квадратического отклонения возможно только для признаков одинаковой размерности. Действительно, если сравнивать разнообразие веса новорожденных детей и взрослых, мы всегда получим более высокие значения сигмы у взрослых.
Сравнение вариабельности признаков различной размерности может быть выполнено с помощью коэффициента вариации . Он выражает разнообразие в процентах от средней величины, что позволяет производить сравнение различных признаков. Коэффициент вариации в медицинской литературе обозначается знаком «С », а в математической «v » и вычисляемого по формуле:
Значения коэффициента вариации менее 10% свидетельствует о малом рассеянии, от 10 до 20% – о среднем, более 20% – о сильном рассеянии вариант вокруг средней арифметической.
Средняя арифметическая величина, как правило, вычисляется на основе данных выборочной совокупности. При повторных исследованиях под влиянием случайных явлений средняя арифметическая может изменяться. Это обусловлено тем, что исследуется, как правило, только часть возможных единиц наблюдения, то есть выборочная совокупность. Информация обо всех возможных единицах, представляющих изучаемое явление, может быть получена при изучении всей генеральной совокупности, что не всегда возможно. В то же время с целью обобщения данных эксперимента представляет интерес величина средней в генеральной совокупности. Поэтому для формулировки общего вывода об изучаемом явлении, результаты, полученные на основе выборочной совокупности, должны быть, перенесены на генеральную совокупность статистическими методами.
Чтобы определить степень совпадения выборочного исследования и генеральной совокупности, необходимо оценить величину ошибки, которая неизбежно возникает при выборочном наблюдении. Такая ошибка называется «Ошибкой репрезентативности » или «Средней ошибкой средней арифметической». Она фактически является разностью между средними, полученными при выборочном статистическом наблюдении, и аналогичными величинами, которые были бы получены при сплошном исследовании того же объекта, т.е. при изучении генеральной совокупности. Поскольку выборочная средняя является случайной величиной, такой прогноз выполняется с приемлемым для исследователя уровнем вероятности. В медицинских исследованиях он составляет не менее 95%.
Ошибку репрезентативности нельзя смешивать с ошибками регистрации или ошибками внимания (описки, просчеты, опечатки и др.), которые должны быть сведены до минимума адекватной методикой и инструментами, применяемыми при проведении эксперимента.
Величина ошибки репрезентативности зависит как от объема выборки, так и от вариабельности признака. Чем больше число наблюдений, тем ближе выборка к генеральной совокупности и тем меньше ошибка. Чем более изменчив признак, тем больше величина статистической ошибки.
На практике для определения ошибки репрезентативности в вариационных рядах пользуются следующей формулой:
где: m – ошибка репрезентативности;
σ – среднее квадратическое отклонение;
n – число наблюдений в выборке.
Из формулы видно, что размер средней ошибки прямо пропорционален среднему квадратическому отклонению, т. е. вариабельности изучаемого признака, и обратно пропорционален корню квадратному из числа наблюдений.
При выполнении статистического анализа на основе вычисления относительных величин построение вариационного ряда не является обязательным. При этом определение средней ошибки для относительных показателей может выполняться по упрощенной формуле:
где: Р – величина относительного показателя, выраженного в процентах, промилле и т.д.;
q – величина, обратная Р и выраженная как (1-Р), (100-Р), (1000-Р) и т. д., в зависимости от основания, на которое рассчитан показатель;
n – число наблюдений в выборочной совокупности.
Однако, указанная формула вычисления ошибки репрезентативности для относительных величин может применяться только в том случае, когда значение показателя меньше его основания. В ряде случаев расчета интенсивных показателей такое условие не соблюдается, и показатель может выражаться числом более 100% или 1000%о. В такой ситуации выполняется построение вариационного ряда и вычисление ошибки репрезентативности по формуле для средних величин на основе среднего квадратического отклонения.
Прогнозирование величины средней арифметической в генеральной совокупности выполняется с указанием двух значений – минимального и максимального. Эти крайние значения возможных отклонений, в пределах которых может колебаться искомая средняя величина генеральной совокупности, называются «Доверительные границы ».
Постулатами теории вероятностей доказано, что при нормальном распределении признака с вероятностью 99,7%, крайние значения отклонений средней будут не больше величины утроенной ошибки репрезентативности (М ± 3m ); в 95,5% – не больше величины удвоенной средней ошибки средней величины (М ± 2m ); в 68,3% – не больше величины одной средней ошибки (М ± 1m ) (рис. 9).
| P% |
Рис. 9. Плотность вероятностей нормального распределения.
Отметим, что приведенное выше утверждение справедливо только для признака, который подчиняется нормальному закону распределения Гаусса.
Большинство экспериментальных исследований, в том числе и в области медицины, связано с измерениями, результаты которых могут принимать практически любые значения в заданном интервале, поэтому, как правило, описываются моделью непрерывных случайных величин. В связи с этим в большинстве статистических методов рассматриваются непрерывные распределения. Одним из таких распределений, имеющим основополагающую роль в математической статистике, является нормальное, или гауссово, распределение .
Это объясняется целым рядом причин.
1. Прежде всего, многие экспериментальные наблюдения можно успешно описать с помощью нормального распределения. Следует сразу же отметить, что не существует распределений эмпирических данных, которые были бы в точности нормальными, поскольку нормально распределенная случайная величина находится в пределах от до , чего никогда не встречается на практике. Однако нормальное распределение очень часто хорошо подходит как приближение.
Проводятся ли измерения веса, роста и других физиологических параметров организма человека - везде на результаты оказывает влияние очень большое число случайных факторов (естественные причины и ошибки измерения). Причем, как правило, действие каждого из этих факторов незначительно. Опыт показывает, что результаты именно в таких случаях будут распределены приближенно нормально.
2. Многие распределения, связанные со случайной выборкой, при увеличении объема последней переходят в нормальное.
3. Нормальное распределение хорошо подходит в качестве приближенного описания других непрерывных распределений (например, асимметричных).
4. Нормальное распределение обладает рядом благоприятных математических свойств, во многом обеспечивших его широкое применение в статистике.
В то же время следует отметить, что в медицинских данных встречается много экспериментальных распределений, описание которых моделью нормального распределения невозможно. Для этого в статистке разработаны методы, которые принято называть «Непараметрическими».
Выбор статистического метода, который подходит для обработки данных конкретного эксперимента, должен производиться в зависимости от принадлежности полученных данных к нормальному закону распределения. Проверка гипотезы на подчинение признака нормальному закону распределения выполняется с помощью гистограммы распределения частот (графика), а также ряда статистических критериев. Среди них:
Критерий асимметрии (b );
Критерий проверки на эксцесс (g );
Критерий Шапиро – Уилкса (W ) .
Анализ характера распределения данных (его еще называют проверкой на нормальность распределения) осуществляется по каждому параметру. Чтобы уверенно судить о соответствии распределения параметра нормальному закону, необходимо достаточно большое число единиц наблюдения (не менее 30 значений).
Для нормального распределения критерии асимметрии и эксцесса принимают значение 0. Если распределение смещено вправо b > 0 (положительная асимметрия), при b < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0. При g > 0 кривая распределения острее, если g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.
Для проверки на нормальность по критерию Шапиро – Уилкса требуется найти значение этого критерия по статистическим таблицам при необходимом уровне значимости и в зависимости от числа единиц наблюдения (степеней свободы). Приложение 1. Гипотеза о нормальности отвергается при малых значениях этого критерия, как правило, при w <0,8.
Совокупность предметов или явлений, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера, называется объектом наблюдения .
Всякий объект статистического наблюдения состоит из отдельных элементов - единиц наблюдения .
Результаты статистического наблюдения представляют собой числовую информацию - данные . Статистические данные - это сведения о том, какие значения принял интересующий исследователя признак в статистической совокупности.
Если значения признака выражаются числами, то признак называется количественным .
Если признак характеризует некоторое свойство или состояние элементов совокупности, то признак называется качественным .
Если исследованию подлежат все элементы совокупности (сплошное наблюдение), то статистическую совокупность называют генеральной.
Если исследованию подлежит часть элементов генеральной совокупности, то статистическую совокупность называют выборочной (выборкой) . Выборка из генеральной совокупности извлекается случайно, так чтобы каждый из n элементов выборки имел равные шансы быть отобранным.
Значения признака при переходе от одного элемента совокупности к другому изменяются (варьируют), поэтому в статистике различные значения признака также называют вариантами . Варианты обычно обозначаются малыми латинскими буквами x, y, z.
Порядковый номер варианта (значения признака) называется рангом . x 1 - 1-й вариант (1-е значение признака), x 2 - 2-й вариант (2-е значение признака), x i - i-й вариант (i-е значение признака).
Упорядоченный в порядке возрастания или убывания ряд значений признака (вариантов) с соответствующими им весами называется вариационным рядом (рядом распределения).
В качестве весов выступают частоты или частости.
Частота (m i) показывает сколько раз встречается тот или иной вариант (значение признака) в статистической совокупности.
Частость или относительная частота (w i) показывает, какая часть единиц совокупности имеет тот или иной вариант. Частость рассчитывается как отношение частоты того или иного варианта к сумме всех частот ряда.
. (6.1)
Сумма всех частостей равна 1.
. (6.2)
Вариационные ряды бывают дискретными и интервальными.
Дискретные вариационные ряды строят обычно в том случае, если значения изучаемого признака могут отличаться друг от друга не менее чем на некоторую конечную величину.
В дискретных вариационных рядах задаются точечные значения признака.
Общий вид дискретного вариационного ряда указан в таблице 6.1.
Таблица 6.1
где i = 1, 2, … , l.
В интервальных вариационных рядах в каждом интервале выделяют верхнюю и нижнюю границы интервала.
Разность между верхней и нижней границами интервала называют интервальной разностью или длиной (величиной) интервала .
Величина первого интервала k 1 определяется по формуле:
k 1 = а 2 - а 1 ;
второго: k 2 = а 3 - а 2 ; …
последнего: k l = a l - a l -1 .
В общем виде интервальная разность k i рассчитывается по формуле:
k i = x i (max) - x i (min) . (6.3)
Если интервал имеет обе границы, то его называют закрытым .
Первый и последний интервалы могут быть открытыми , т.е. иметь только одну границу.
Например, первый интервал может быть задан как "до 100", второй - "100-110", … , предпоследний - "190-200", последний - "200 и более". Очевидно, что первый интервал не имеет нижней границы, а последний - верхней, оба они - открытые.
Часто открытые интервалы приходится условно закрывать. Для этого обычно величину первого интервала принимают равной величине второго, а величину последнего - величине предпоследнего. В нашем примере величина второго интервала равна 110-100=10, следовательно, нижняя граница первого интервала условно составит 100-10=90; величина предпоследнего интервала равна 200-190=10, следовательно, верхняя граница последнего интервала условно составит 200+10=210.
Кроме этого, в интервальном вариационном ряде могут встречаются интервалы разной длины. Если интервалы в вариационном ряде имеют одинаковую длину (интервальную разность), их называют равновеликими , в противном случае - неравновеликими.
При построении интервального вариационного ряда часто встает проблема выбора величины интервалов (интервальной разности).
Для определения оптимальной величины интервалов (в том случае, если строится ряд с равными интервалами) применяют формулу Стэрджесса:
, (6.4)
где n - число единиц совокупности,
x (max) и x (min) - наибольшее и наименьшее значения вариантов ряда.
Для характеристики вариационного ряда наряду с частотами и частостями используются накопленные частоты и частости.
Накопленные частоты (частости) показывают сколько единиц совокупности (какая их часть) не превышают заданного значения (варианта) х.
Накопленные частоты (v i ) по данным дискретного ряда можно рассчитать по следующей формуле:
. (6.5)
Для интервального вариационного ряда - это сумма частот (частостей) всех интервалов, не превышающих данный.
Дискретный вариационный ряд графически можно представить с помощьюполигона распределения частот или частостей .
При построении полигона распределения по оси абсцисс откладываются значения признака (варианты), а по оси ординат - частоты или частости. На пересечении значений признака и соответствующих им частот (частостей) откладываются точки, которые, в свою очередь, соединяются отрезками. Получающаяся таким образом ломаная называется полигоном распределения частот (частостей).
|
|
|
Рис. 6.1.
Интервальные вариационные ряды графически можно представить с помощью гистограммы , т.е. столбчатой диаграммы.
При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются значения изучаемого признака (границы интервалов).
В том случае, если интервалы - одинаковой величины, по оси ординат можно откладывать частоты или частости.
Если же интервалы имеют разную величину, по оси ординат необходимо откладывать значения абсолютной или относительной плотности распределения.
Абсолютная плотность - отношение частоты интервала к величине интервала:
; (6.6)
где: f(a) i - абсолютная плотность i-го интервала;
m i - частота i-го интервала;
k i - величина i-го интервала (интервальная разность).
Абсолютная плотность показывает, сколько единиц совокупности приходится на единицу интервала.
Относительная плотность - отношение частости интервала к величине интервала:
; (6.7)
где: f(о) i - относительная плотность i-го интервала;
w i - частость i-го интервала.
Относительная плотность показывает, какая часть единиц совокупности приходится на единицу интервала.
|
|
|
И дискретные и интервальные вариационные ряды графически можно представить в виде кумуляты и огивы.
При построении кумуляты по данным дискретного ряда по оси абсцисс откладываются значения признака (варианты), а по оси ординат - накопленные частоты или частости. На пересечении значений признака (вариантов) и соответствующих им накопленных частот (частостей) строятся точки, которые, в свою очередь, соединяются отрезками или кривой. Получающаяся таким образом ломаная (кривая) называется кумулятой (кумулятивной кривой).
При построении кумуляты по данным интервального ряда по оси абсцисс откладываются границы интервалов. Абсциссами точек являются верхние границы интервалов. Ординаты образуют накопленные частоты (частости) соответствующих интервалов. Часто добавляют еще одну точку, абсциссой которой является нижняя граница первого интервала, а ордината равна нулю. Соединяя точки отрезками или кривой, получим кумуляту.
Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что на оси абсцисс наносятся точки, соответствующие накопленным частотам (частостям), а по оси ординат - значения признака (варианты).
Группа чисел, объединяемая каким-либо признаком, называется совокупностью.
Как было отмечено выше, первичный статистический спортивный материал представляет собой группу разрозненных чисел, не дающих тренеру представления о существе явления или процесса. Задача заключается в том, чтобы превратить эту совокупность в систему и воспользоваться ее показателями для получения требуемой информации.
Составление вариационного ряда как раз и представляет собой формирование определенной математической
Пример 2. У 34 спортсменов-лыжников зарегистрировано такое время восстановления пульса после прохождения дистанции (в секундах):
81; 78: 84; 90; 78; 74; 84; 85; 81; 84: 79; 84; 74; 84; 84;
85; 81; 84; 78: 81; 74; 84; 81; 84; 85; 81; 78; 81; 81; 84;
Как видно, данная группа цифр не несет никакой информации.
Для составления вариационного ряда вначале производим операцию ранжирования - расположения чисел в порядке возрастания или убывания. Например, в порядке возрастания ранжирование приводит к следующему;
78; 78; 78; 78; 78; 78;
81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81; 81;
84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84;
В порядке убывания ранжирование приводит к такой группе чисел:
84; 84; 84; 84; 84; 84; 84; 84: 84: 84; 84;
81; 81; 81; 81; 8!; 81: 81; 81; 81;
78; 78; 78; 78; 78; 78;
После проведения ранжирования становится очевидной нерациональная форма записи данной группы чисел-одни и те же числа повторяются многократно. Поэтому возникает естественная мысль преобразовать запись таким образом, чтобы указать, какое число сколько раз повторяется. Например, учитывая ранжирование в порядке возрастания:
Здесь слева записано число, указывающее время восстановления пульса спортсмена, справа-число повторений этого показания в данной группе из 34 спортсменов.
В соответствии с приведенными выше понятиями о математических символах рассмотренную группу измерений обозначим какой-либо буквой, например х. Учитывая возрастающий порядок чисел в данной группе: х 1 -74 с; х 2 - 78 с; х 3 - 81 с; х 4 - 84 с; х 5 - 85 с; х 6 -х n - 90 с, каждое рассмотренное число можно обозначить символом X i .
Обозначим число повторений рассмотренных измерений буквой n. Тогда:
n 1 =4; n 2 =6; n 3 =9; n 4 =11; n 5 =3;n 6 =n n =1, а каждое число повторений можно обозначить как n i .
Общее число проведенных измерений, как следует из условия примера, есть 34. Это означает, что сумма всех n равна 34. Или в символическом выражении:
Обозначим эту сумму одной буквой - n. Тогда исходные данные рассматриваемого примера можно записать в таком виде (табл. 1).
Полученная группа чисел есть преобразованный ряд хаотически рассеянных показаний, полученных тренером в начале работы.
Таблица 1
| х i | n i |
| n=34 |
Такая группа представляет собой определенную систему, параметры которой характеризуют проведенные измерения. Числа, представляющие собой результаты измерений (х i), называют вариантами; n i - числа их повторений - называются частотами; n - сумма всех частот - есть объем совокупности.
Вся полученная система называется вариационным рядом. Иногда эти ряды называются эмпирическими или статистическими.
Нетрудно заметить, что возможен частный случай вариационного ряда, когда все частоты равны единице n i ==1, то есть каждое измерение в данной группе чисел встретилось только один раз.
Полученный вариационный ряд, как и всякий другой, можно представить графически. Для построения графика полученного ряда, необходимо прежде всего условиться о масштабе на горизонтальной и вертикальной оси.
В данной задаче на горизонтальной оси будем откладывать значения времени восстановления пульса (х 1) таким образом, что единице длины, избранной произвольно, соответствует значение одной секунды. Откладывать эти значения начнем с 70 секунд, условно отступая от места пересечения двух осей 0.
На вертикальной оси отложим значения частот нашего ряда (n i), принимая масштаб: единица длины равна единице частоты.
Подготовив таким образом условия для построения графика, приступаем к работе с полученным вариационным рядом.
Первую пару чисел х 1 =74, n 1 =4 наносим на график так: на оси х; находим х 1 =74 и восстанавливаем перпендикуляр из этой точки, на оси n находим n 1 =4 и проводим из нее горизонтальную линию до пересечения с восстановленным прежде перпендикуляром. Обе линии-вертикаль и горизонталь-являются линиями вспомогательными и потому наносятся на рисунок пунктиром. Точка их пересечения представляет собой в масштабе данного графика соотношение Х 1 =74 и n 1 =4.
Таким же образом наносятся все остальные точки графика. Затем они соединяются отрезками прямых. Для того чтобы график имел замкнутый вид, крайние точки соединяем отрезками с соседними точками горизонтальной оси.
Полученная фигура есть график нашего вариационного ряда (рис. 1).
Совершенно понятно, что каждый вариационный ряд представляется своим собственным графиком.
Рис. 1. Графическое представление вариационного ряда.
На рис. 1 видно:
1) из всех обследованных наибольшую группу составили спортсмены, время восстановления пульса у которых 84 с;
2) у многих это время 81 с;
3) наименьшую группу составили спортсмены с малым временем восстановления пульса - 74 с и большим - 90 с.
Таким образом, выполнив серию испытаний, следует ранжировать полученные числа и составить вариационный ряд, представляющий собой определенную математическую систему. Для наглядности вариационный ряд можно иллюстрировать графиком.
Приведенный выше вариационный ряд называется еще дискретным рядом - таким, у которого каждый вариант выражен одним числом.
Приведем еще несколько примеров на составление вариационных рядов.
Пример 3. 12 стрелков, выполняя упражнение лежа из 10 выстрелов, показали такие результаты (в очках):
94; 91; 96; 94; 94; 92; 91; 92; 91; 95; 94; 94.
Для образования вариационного ряда произведем ранжирование данных чисел;
94; 94; 94; 94; 94;
После ранжирования составляем вариационный ряд (табл. 3).
Статистический ряд распределения – это упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определённому варьирующему признаку.В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения .
Наличие общего признака является основой для образования статистической совокупности, которая представляет собой результаты описания или измерения общих признаков объектов исследования.
Предметом изучения в статистике являются изменяющиеся (варьирующие) признаки или статистические признаками.
Виды статистических признаков .
Атрибутивными называют ряды распределения
, построенные по качественным признакам. Атрибутивный
– это признак, имеющий наименование, (например профессия: швея, учитель и т.д.).
Ряд распределения принято оформлять в виде таблиц. В табл. 2.8 приведён атрибутивный ряд распределения.
Таблица 2.8 - Распределение видов юридической помощи, оказанной адвокатами гражданам одного из регионов РФ.
Вариационными рядами называют ряды распределения , построенные по количественному признаку. Любой вариационный ряд состоит из двух элементов: вариантов и частот.
Вариантами считаются отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду.
Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, её объём.
Частостями называются частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1 или 100 %. Вариационный ряд позволяет по фактическим данным оценить форму закона распределения.
В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды
.
Пример дискретного вариационного ряда приведен в табл. 2.9.
Таблица 2.9 - Распределение семей по числу занимаемых комнат в отдельных квартирах в 1989 г. в РФ.
Вариационный ряд
В генеральной совокупности исследуется некоторый количественный признак. Из нее случайным образом извлекается выборка объема n , то есть число элементов выборки равно n . На первом этапе статистической обработки производят ранжирование выборки, т.е. упорядочивание чисел x 1 , x 2 , …, x n по возрастанию. Каждое наблюдаемое значение x i называется вариантой . Частота m i – это число наблюдений значения x i в выборке. Относительная частота (частость) w i – это отношение частоты m i к объему выборкиn : .При изучении вариационного ряда также используют понятия накопленной частоты и накопленной частости. Пусть x некоторое число. Тогда количество вариантов, значения которых меньше x , называется накопленной частотой: для x i
Признак называется дискретно варьируемым, если его отдельные значения (варианты) отличаются друг от друга на некоторую конечную величину (обычно целое число). Вариационный ряд такого признака называется дискретным вариационным рядом.
Таблица 1. Общий вид дискретного вариационного ряда частот
| Значения признака | x i | x 1 | x 2 | … | x n |
| Частоты | m i | m 1 | m 2 | … | m n |
Признак называется непрерывно варьирующим, если его значения отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину, т.е. признак может принимать любые значения в некотором интервале. Непрерывный вариационный ряд для такого признака называется интервальным.
Таблица 2. Общий вид интервального вариационного ряда частот
Таблица 3. Графические изображения вариационного ряда
| Ряд | Полигон или гистограмма | Эмпирическая функция распределения | |
| Дискретный |  |  |  |
| Интервальный |  |  |  |
Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая и эмпирическая функция распределения.
В табл. 2.3 (Группировка населения России по размеру среднедушевого дохода в апреле 1994г.) представлен интервальный вариационный ряд
.
Удобно ряды распределения анализировать при помощи графического изображения, позволяющего судить и о форме распределения. Наглядное представление о характере изменения частот вариационного ряда дают полигон и гистограмма
.
Полигон используется при изображении дискретных вариационных рядов
.
Изобразим, например графически распределение жилого фонда по типу квартир, (табл. 2.10).
Таблица 2.10 - Распределение жилого фонда городского района по типу квартир (цифры условные).
Рис. Полигон распределения жилого фонда
На оси ординат могут наноситься не только значения частот, но и частостей вариационного ряда.
Гистограмма принимается для изображения интервального вариационного ряда . При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столбиков в случае равных интервалов должна быть пропорциональна частотам. Гистограмма – график, на котором ряд изображен в виде смежных друг с другом столбиков.
Изобразим графически интервальный ряд распределения, приведённый в табл. 2.11.
Таблица 2.11 - Распределение семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека (цифры условные).
| N п/п | Группы семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека | Число семей с данным размером жилой площади | Накопленное число семей |
| 1 | 3 – 5 | 10 | 10 |
| 2 | 5 – 7 | 20 | 30 |
| 3 | 7 – 9 | 40 | 70 |
| 4 | 9 – 11 | 30 | 100 |
| 5 | 11 – 13 | 15 | 115 |
| ВСЕГО | 115 | ---- | |
Рис. 2.2. Гистограмма распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
Используя данные накопленного ряда (табл. 2.11), построим кумуляту распределения.
Рис. 2.3. Кумулята распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
Изображение вариационного ряда в виде кумуляты особенно эффективно для вариационных рядов, частоты которых выражены в долях или процентах к сумме частот ряда.
Если при графическом изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси поменять, то мы получим огиву . На рис. 2.4 приведена огива, построенная на основе данных табл. 2.11.
Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если найти середины сторон прямоугольников и затем эти точки соединить прямыми линиями. Полученный полигон распределения изображён на рис. 2.2 пунктирной линией.
При построении гистограммы распределения вариационного ряда с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность распределения признака в соответствующих интервалах.
Плотность распределения – это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала, т.е. сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала. Пример расчета плотности распределения представлен в табл. 2.12.
Таблица 2.12 - Распределение предприятий по числу занятых (цифры условные)
| N п/п | Группы предприятий по числу занятых, чел. | Число предприятий | Величина интервала, чел. | Плотность распределения |
| А | 1 | 2 | 3=1/2 | |
| 1 | До 20 | 15 | 20 | 0,75 |
| 2 | 20 – 80 | 27 | 60 | 0,25 |
| 3 | 80 – 150 | 35 | 70 | 0,5 |
| 4 | 150 – 300 | 60 | 150 | 0,4 |
| 5 | 300 – 500 | 10 | 200 | 0,05 |
| ВСЕГО | 147 | ---- | ---- |
Для графического изображения вариационных рядов может также использоваться кумулятивная кривая . При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяются путём последовательно суммирования частот по группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение.
Рис. 2.4. Огива распределения семей по размеру жилой площади, приходящейся на одного человека
При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат накопленные частоты.
Непрерывный вариационный ряд
Непрерывный вариационный ряд - ряд, построенный на основе количественного статистического признака . Пример . Средняя продолжительность заболеваний осужденных (дней на одного человека) в осенне-зимний период в текущем год составила:| 7,0 | 6,0 | 5,9 | 9,4 | 6,5 | 7,3 | 7,6 | 9,3 | 5,8 | 7,2 |
| 7,1 | 8,3 | 7,5 | 6,8 | 7,1 | 9,2 | 6,1 | 8,5 | 7,4 | 7,8 |
| 10,2 | 9,4 | 8,8 | 8,3 | 7,9 | 9,2 | 8,9 | 9,0 | 8,7 | 8,5 |
Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора Вы сможете:
- построить вариационный ряд , построить гистограмму и полигон;
- найти показатели вариации (среднюю, моду (в т.ч. и графическим способом), медиану, размах вариации, квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации, коэффициент вариации и другие показатели);
Инструкция . Для группировки ряда необходимо выбрать вид получаемого вариационного ряда (дискретный или интервальный) и указать количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример группировки статистических данных).
Если группировка уже осуществлена и заданы дискретный вариационный ряд или интервальный ряд , то необходимо воспользоваться онлайн-калькулятором Показатели вариации . Проверка гипотезы о виде распределения производится с помощью сервиса Изучение формы распределения .
Виды статистических группировок
Вариационный ряд . В случае наблюдений дискретной случайной величины одно и то же значение можно встретить несколько раз. Такие значения x i случайной величины записывают с указанием n i числа раз его появления в n наблюдениях, это и есть частота данного значения.В случае непрерывной случайной величины на практике применяют группировку.
- Типологическая группировка – это разделение исследуемой качественно разнородной совокупности на классы, социально–экономические типы, однородные группы единиц. Для построения данной группировки используйте параметр Дискретный вариационный ряд.
- Структурной называется группировка , в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому–либо варьирующему признаку. Для построения данной группировки используйте параметр Интервальный ряд.
- Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой (см. аналитическая группировка ряда).
Пример №1 . По данным таблицы 2 постройте ряды распределения по 40 коммерческим банкам РФ. По полученным рядам распределения определите: прибыль в среднем на один коммерческий банк, кредитные вложения в среднем на один коммерческий банк, модальное и медианное значение прибыли; квартили, децили, размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Решение
:
В разделе «Вид статистического ряда»
выбираем Дискретный ряд. Нажимаем Вставить из Excel . Количество групп: по формуле Стэрджесса
Принципы построения статистических группировок
Ряд наблюдений, упорядоченных по возрастанию, называется вариационным рядом . Группировочным признаком называется признак, по которому производится разбивка совокупности на отдельные группы. Его называют основанием группировки. В основание группировки могут быть положены как количественные, так и качественные признаки.После определения основания группировки следует решить вопрос о количестве групп, на которые надо разбить исследуемую совокупность.
При использовании персональных компьютеров для обработки статистических данных группировка единиц объекта производится с помощью стандартных процедур.
Одна из таких процедур основана на использовании формулы Стерджесса для определения оптимального числа групп:
k = 1+3,322*lg(N)
Где k – число групп, N – число единиц совокупности.
Длину частичных интервалов вычисляют как h=(x max -x min)/k
Затем подсчитывают числа попаданий наблюдений в эти интервалы, которые принимают за частоты n i . Малочисленные частоты, значения которых меньше 5 (n i < 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В качестве новых значений вариант берут середины интервалов x i =(c i-1 +c i)/2.
Пример №3
.
В результате 5%-ной собственно-случайной выборки получено следующее распределение изделий по содержанию влаги. Рассчитайте:
1) средний процент влажности; 2) показатели, характеризующие вариацию влажности.
Решение получено с помощью калькулятора : Пример №1
Построить вариационный ряд. По найденному ряду построить полигон распределения, гистограмму, кумуляту. Определить моду и медиану.
Скачать решение
Пример
. По результатам выборочного наблюдения (выборка А приложение):
а) составьте вариационный ряд;
б) вычислите относительные частоты и накопленные относительные частоты;
в) постройте полигон;
г) составьте эмпирическую функцию распределения;
д) постройте график эмпирической функции распределения;
е) вычислите числовые характеристики: среднее арифметическое, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение
На основе данных, приведенных в Таблице 4 (Приложение 1) и соответствующих Вашему варианту, выполнить:
- На основе структурной группировки построить вариационный частотный и кумулятивный ряды распределения, используя равные закрытые интервалы, приняв число групп равным 6. Результаты представить в виде таблицы и изобразить графически.
- Проанализировать вариационный ряд распределения, вычислив:
- среднее арифметическое значение признака;
- моду, медиану, 1-ый квартиль, 1-ый и 9-тый дециль;
- среднее квадратичное отклонение;
- коэффициент вариации.
- Сделать выводы.
Требуется: ранжировать ряд, построить интервальный ряд распределения, вычислить среднее значение, колеблемость среднего значения, моду и медиану для ранжированного и интервального рядов.
На основе исходных данных построить дискретный вариационный ряд ; представить его в виде статистической таблицы и статистических графиков. 2). На основе исходных данных построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Число интервалов выбрать самостоятельно и объяснить этот выбор. Представить полученный вариационный ряд в виде статистической таблицы и статистических графиков. Указать виды примененных таблиц и графиков.
С целью определения средней продолжительности обслуживания клиентов в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 клиентов. Результаты обследования представлены в таблице. Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0.9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда;
б) вероятность того, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине);
в) объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0.9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине).
2. По данным задачи 1, используя X 2 критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – время обслуживания клиентов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Скачать решение
Дана выборка из 100 элементов. Необходимо:
- Построить ранжированный вариационный ряд;
- Найти максимальный и минимальный члены ряда;
- Найти размах вариации и количество оптимальных промежутков для построения интервального ряда. Найти длину промежутка интервального ряда;
- Построить интервальный ряд. Найти частоты попадания элементов выборки в составленные промежутки. Найти средние точки каждого промежутка;
- Построить гистограмму и полигон частот. Сравнить с нормальным распределением (аналитически и графически);
- Построить график эмпирической функции распределения;
- Рассчитать выборочные числовые характеристики: выборочное среднее и центральный выборочный момент;
- Рассчитать приближенные значения среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса (пользуясь пакетом анализа MS Excel). Сравнить приближенные расчетные значения с точными (рассчитанные по формулам MS Excel);
- Сравнить выборочные графические характеристики с соответствующими теоретическими.
Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб. По исходным данным:
Задание 13.1.
13.1.1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.
13.1.2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.
Задание 13.2.
13.2.1. Определите границы, в которых с вероятностью 0.997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
13.2.2. Используя x2-критерий Пирсона , при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.
Задание 13.3.
13.3.1. Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии.
13.3.2. Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.
13.3.3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока .
Методические рекомендации
. Задание 13.3 выполняется с помощью этого сервиса .
Скачать решение
Задача . Следующие данные представляют собой затраты времени клиентов на заключение договоров. Построить интервальный вариационный ряд представленных данных, гистограмму, найти несмещенную оценку математического ожидания, смещенную и несмещенную оценку дисперсии.
Пример
. По данным таблицы 2:
1) Постройте ряды распределения по 40 коммерческим банкам РФ:
А) по величине прибыли;
Б) по величине кредитных вложений.
2) По полученным рядам распределения определите:
А) прибыль в среднем на один коммерческий банк;
Б) кредитные вложения в среднем на один коммерческий банк;
В) модальное и медианное значение прибыли; квартили, децили;
Г) модальное и медианное значение кредитных вложений.
3) По полученным в п. 1 рядам распределения рассчитайте:
а) размах вариации;
б) среднее линейное отклонение;
в) среднее квадратическое отклонение;
г) коэффициент вариации.
Необходимые расчеты оформите в табличной форме. Результаты проанализируйте. Сделайте выводы.
Постройте графики полученных рядов распределения. Графически определите моду и медиану.
Решение:
Для построения группировка с равными интервалами воспользуемся сервисом Группировка статистических данных .
Рисунок 1 – Ввод параметров
Описание параметровКоличество строк : количество исходных данных. Если размерность ряда небольшая, укажите его количество. Если выборка достаточно объемная, то нажмите кнопку Вставить из Excel .
Количество групп : 0 – число групп будет определяться по формуле Стэрджесса.
Если задано конкретное число групп, укажите его (например, 5).
Вид ряда : Дискретный ряд.
Уровень значимости : например, 0.954 . Этот параметр задается для определения доверительного интервала среднего значения.
Выборка : Например, проведена 10% -ная механическая выборка. Указываем число 10 . Для наших данных указываем 100 .
