Magnitudinea
Caracteristicile numerice de bază ale aleatoriei
Legea distribuției densității caracterizează o variabilă aleatoare. Dar adesea este necunoscut și trebuie să te limitezi la mai puține informații. Uneori este și mai profitabil să folosești numere care descriu o variabilă aleatoare în total. Se numesc astfel de numere caracteristici numerice variabilă aleatorie. Să ne uităm la cele principale.
Definiție:Așteptarea matematică M(X) a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor posibile ale acestei mărimi și probabilitățile acestora:
Dacă o variabilă aleatoare discretă X ia un număr numărabil de valori posibile, atunci
în plus valorea estimata există dacă această serie absolut se potrivesc.
Din definiţie rezultă că M(X) o variabilă aleatoare discretă este o variabilă non-aleatorie (constantă).
Exemplu: Lăsa X– numărul de apariții ale evenimentului Aîntr-un singur test, P(A) = p. Trebuie să găsim așteptările matematice X.
Soluţie: Să creăm o lege de distribuție tabelară X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - p | p |
Să găsim așteptările matematice:
Prin urmare, așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestui eveniment.
Originea termenului valorea estimata asociat cu perioada initiala apariția teoriei probabilităților (secolele XVI-XVII), când sfera de aplicare a acesteia se limita la jocurile de noroc. Jucătorul a fost interesat de valoarea medie a câștigului așteptat, adică. așteptarea matematică de a câștiga.
Sa luam in considerare sens probabilistic al așteptărilor matematice.
Lasă-l să fie produs n teste în care variabila aleatoare X admis m 1 ori valoarea x 1, m 2 ori valoarea x 2, și așa mai departe, iar în cele din urmă ea a acceptat m k ori valoarea x k, și m 1 + m 2 +…+ + m k = n.
Apoi suma tuturor valorilor luate de variabila aleatoare X, este egal x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k.
Media aritmetică a tuturor valorilor luate de o variabilă aleatorie X, egal cu:
deoarece este frecvența relativă a unei valori pentru orice valoare i = 1, …, k.
După cum se știe, dacă numărul de teste n este suficient de mare, atunci frecvența relativă este aproximativ egală cu probabilitatea ca evenimentul să se producă, prin urmare,
Prin urmare, .
Concluzie:Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete sunt aproximativ egale (cu cât este mai precis, cu atât numărul de teste este mai mare) cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.
Să luăm în considerare proprietățile de bază ale așteptărilor matematice.
Proprietatea 1:Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu valoarea constantă în sine:
M(C) = C.
Dovada: Constant CU poate fi considerat , care are un sens posibil CUși o acceptă cu probabilitate p = 1. Prin urmare, M(C) = C 1= S.
Să definim produsul dintre o variabilă constantă C și o variabilă aleatoare discretă X ca o variabilă aleatoare discretă CX, ale căror posibile valori sunt egale cu produsele constantei CU la valorile posibile X CX egală cu probabilităţile valorilor posibile corespunzătoare X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Proprietatea 2:Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării matematice:
M(CX) = CM(X).
Dovada: Fie variabila aleatoare X este dat de legea distribuției probabilităților:
| X | … | |||
| P | … |
Să scriem legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) = C M(X).
Definiție:Două variabile aleatoare sunt numite independente dacă legea de distribuție a uneia dintre ele nu depinde de valorile posibile luate de cealaltă variabilă. În caz contrar, variabilele aleatoare sunt dependente.
Definiție:Se spune că mai multe variabile aleatoare sunt independente reciproc dacă legile de distribuție ale oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au luat variabilele rămase.
Să definim produsul variabilelor aleatoare discrete independente X și Y ca o variabilă aleatoare discretă X Y, ale căror valori posibile sunt egale cu produsele fiecărei valori posibile X pentru fiecare valoare posibilă Y. Probabilități de valori posibile X Y sunt egale cu produsele probabilităților valorilor posibile ale factorilor.
Să fie date distribuțiile variabilelor aleatoare XȘi Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Apoi distribuția variabilei aleatoare X Y are forma:
| X Y | … | |||
| P | … |
Unele lucrări pot fi egale. În acest caz, probabilitatea unei posibile valori a produsului este egală cu suma probabilităților corespunzătoare. De exemplu, dacă = , atunci probabilitatea valorii este
Proprietatea 3:Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
M(XY) = M(X) ALE MELE).
Dovada: Fie variabile aleatoare independente XȘi Y sunt specificate de propriile legi de distribuție a probabilității:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Pentru a simplifica calculele, ne vom limita la un număr mic de valori posibile. În cazul general, dovada este similară.
Să creăm o lege de distribuție a unei variabile aleatoare X Y:
| X Y | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) ALE MELE).
Consecinţă:Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Dovada: Să demonstrăm pentru trei variabile aleatoare reciproc independente X,Y,Z. Variabile aleatoare X YȘi Z independent, atunci obținem:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) ALE MELE) M(Z).
Pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare reciproc independente, demonstrația este efectuată prin metoda inducției matematice.
Exemplu: Variabile aleatoare independente XȘi Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Trebuie să găsești M(XY).
Soluţie: Din moment ce variabile aleatoare XȘi Y sunt independente, atunci M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Să definim suma variabilelor aleatoare discrete X și Y ca o variabilă aleatoare discretă X+Y, ale căror valori posibile sunt egale cu sumele fiecărei valori posibile X cu toate valorile posibile Y. Probabilități de valori posibile X+Y pentru variabile aleatoare independente XȘi Y sunt egale cu produsele probabilităților termenilor, iar pentru variabile aleatoare dependente - cu produsele probabilității unui termen cu probabilitatea condiționată a celui de-al doilea.
Dacă = și probabilitățile acestor valori sunt, respectiv, egale, atunci probabilitatea (la fel ca ) este egală cu .
Proprietatea 4:Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (dependente sau independente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Dovada: Fie două variabile aleatoare XȘi Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Pentru a simplifica concluzia, ne vom limita la două valori posibile ale fiecărei mărimi. În cazul general, dovada este similară.
Să compunem toate valorile posibile ale unei variabile aleatorii X+Y(presupunem, pentru simplitate, că aceste valori sunt diferite; dacă nu, atunci dovada este similară):
| X+Y | ||||
| P |
Să găsim așteptarea matematică a acestei valori.
M(X+Y) = + + + +
Să demonstrăm că + = .
Eveniment X = ( probabilitatea acestuia P(X = ) implică evenimentul că variabila aleatoare X+Y va lua valoarea sau (probabilitatea acestui eveniment, conform teoremei de adunare, este egală cu ) și invers. Atunci = .
Egalitățile = = = sunt dovedite în mod similar
Înlocuind părțile din dreapta acestor egalități în formula rezultată pentru așteptarea matematică, obținem:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Consecinţă:Așteptările matematice ale sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.
Dovada: Să demonstrăm pentru trei variabile aleatoare X,Y,Z. Să găsim așteptările matematice ale variabilelor aleatoare X+YȘi Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare, demonstrația este efectuată prin metoda inducției matematice.
Exemplu: Aflați media sumei numărului de puncte care pot fi obținute la aruncarea a două zaruri.
Soluţie: Lăsa X– numărul de puncte care pot apărea pe primul zar, Y- Pe a doua. Este evident că variabile aleatorii XȘi Y au aceleași distribuții. Să notăm datele de distribuție XȘi Yîntr-un singur tabel:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Deci, valoarea medie a sumei numărului de puncte care poate apărea la aruncarea a două zaruri este 7 .
Teorema:Așteptarea matematică M(X) a numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare încercare: M(X) = np.
Dovada: Lăsa X– numărul de apariții ale evenimentului A V n teste independente. Evident, numărul total X aparițiile evenimentului Aîn aceste încercări este suma numărului de apariții ale evenimentului în probe individuale. Atunci, dacă numărul de apariții ale unui eveniment în prima încercare, în a doua și așa mai departe, în sfârșit, este numărul de apariții ale evenimentului în n--lea test, apoi numărul total de apariții ale evenimentului se calculează prin formula:
De proprietatea 4 a așteptării matematice avem:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Deoarece așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea evenimentului, atunci
M( ) = M( )= … = M( ) = p.
Prin urmare, M(X) = np.
Exemplu: Probabilitatea de a lovi ținta atunci când tragi dintr-o armă este p = 0,6. Găsiți numărul mediu de accesări dacă ați făcut 10 lovituri.
Soluţie: Lovitura pentru fiecare lovitură nu depinde de rezultatele altor lovituri, prin urmare evenimentele luate în considerare sunt independente și, prin urmare, așteptarea matematică necesară este egală cu:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Deci numărul mediu de accesări este de 6.
Acum luați în considerare așteptările matematice ale unei variabile aleatoare continue.
Definiție:Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue X, ale cărei valori posibile aparțin intervalului,numit integrala definita:
unde f(x) este densitatea distribuției de probabilitate.
Dacă valorile posibile ale unei variabile aleatoare continue X aparțin întregii axe Ox, atunci
Se presupune că această integrală improprie converge absolut, adică. integrala converge Dacă această cerință nu ar fi îndeplinită, atunci valoarea integralei ar depinde de rata la care (separat) limita inferioară tinde spre -∞, iar limita superioară tinde spre +∞.
Se poate dovedi că toate proprietățile așteptărilor matematice ale unei variabile aleatoare discrete sunt păstrate pentru o variabilă aleatoare continuă. Demonstrarea se bazează pe proprietățile integralelor definite și improprii.
Este evident că așteptarea matematică M(X) mai mare decât cea mai mică și mai mică decât cea mai mare valoare posibilă a variabilei aleatoare X. Acestea. pe axa numerelor, valorile posibile ale unei variabile aleatoare sunt situate la stânga și la dreapta așteptărilor sale matematice. În acest sens, așteptarea matematică M(X) caracterizează locația distribuției și de aceea este adesea numită centru de distributie.
Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Cu toate acestea, de multe ori legea distribuției este necunoscută și trebuie să te limitezi la mai puține informații. Uneori este și mai profitabil să folosiți numere care descriu o variabilă aleatorie în total; astfel de numere sunt numite caracteristici numerice variabilă aleatorie. Una dintre caracteristicile numerice importante este așteptarea matematică.
Așteptările matematice, așa cum se va arăta mai jos, este aproximativ egală cu valoarea medie a variabilei aleatoare. Pentru a rezolva multe probleme, este suficient să cunoașteți așteptările matematice. De exemplu, dacă se știe că așteptarea matematică a numărului de puncte marcate de primul trăgător este mai mare decât cea a celui de-al doilea, atunci primul trăgător, în medie, obține mai multe puncte decât al doilea și, prin urmare, trage mai bine. decât al doilea.
Definiție 4.1: Așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.
Fie variabila aleatoare X poate lua doar valori x 1, x 2, … x n, ale căror probabilități sunt, respectiv, egale p 1, p 2, … p n. Apoi așteptarea matematică M(X) variabilă aleatorie X este determinat de egalitate
M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x n p n .
Dacă o variabilă aleatoare discretă X ia un set numărabil de valori posibile, atunci
,
Mai mult, așteptarea matematică există dacă seria din partea dreaptă a egalității converge absolut.
Exemplu. Găsiți așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment Aîntr-o singură încercare, dacă probabilitatea evenimentului A egal cu p.
Soluţie: Valoare aleatoare X– numărul de apariții ale evenimentului A are o distribuție Bernoulli, deci
Prin urmare, așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestui eveniment.
Sensul probabilistic al așteptărilor matematice
Lasă-l să fie produs n teste în care variabila aleatoare X admis m 1 ori valoarea x 1, m 2 ori valoarea x 2 ,…, m k ori valoarea x k, și m 1 + m 2 + …+ m k = n. Apoi suma tuturor valorilor luate X, este egal x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .
Media aritmetică a tuturor valorilor luate de variabila aleatoare va fi
Atitudine m i/n- frecventa relativa W i valorile x i aproximativ egală cu probabilitatea producerii evenimentului p i, Unde , De aceea
Sensul probabilistic al rezultatului obținut este următorul: așteptările matematice sunt aproximativ egale(cu cât este mai precis, cu atât este mai mare numărul de teste) media aritmetică a valorilor observate ale unei variabile aleatorii.
Proprietățile așteptărilor matematice
Proprietatea 1:Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine
Proprietatea 2:Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul așteptării matematice
Definiție 4.2: Două variabile aleatorii sunt numite independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori posibile a luat cealaltă cantitate. In caz contrar variabilele aleatoare sunt dependente.
Definiție 4.3: Mai multe variabile aleatorii numit independent reciproc, dacă legile de distribuție a oricărui număr dintre ele nu depind de ce valori posibile au luat celelalte cantități.
Proprietatea 3:Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Consecinţă:Așteptările matematice ale produsului mai multor variabile aleatoare independente reciproc este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Proprietatea 4:Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.
Consecinţă:Așteptările matematice ale sumei mai multor variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice.
Exemplu. Să calculăm așteptarea matematică a unei variabile aleatoare binomiale X - data producerii evenimentului A V n experimente.
Soluţie: Numărul total X aparițiile evenimentului Aîn aceste încercări este suma numărului de apariții ale evenimentului în probe individuale. Să introducem variabile aleatoare X i– numărul de apariții ale evenimentului în i testul, care sunt variabile aleatoare Bernoulli cu așteptări matematice, unde . Prin proprietatea așteptării matematice avem
Prin urmare, valorea estimata distribuție binomială cu parametrii n și p este egal cu produsul np.
Exemplu. Probabilitatea de a lovi ținta la tragerea cu arma p = 0,6. Găsiți așteptarea matematică a numărului total de lovituri dacă sunt trase 10 focuri.
Soluţie: Lovitura pentru fiecare lovitură nu depinde de rezultatele altor lovituri, prin urmare evenimentele luate în considerare sunt independente și, în consecință, așteptările matematice dorite
Conceptul de așteptare matematică poate fi luat în considerare folosind exemplul aruncării unui zar. La fiecare aruncare, punctele pierdute sunt înregistrate. Pentru a le exprima, se folosesc valori naturale în intervalul 1 – 6.
După un anumit număr de aruncări, folosind calcule simple poți găsi media valoare aritmetică puncte scazute.
La fel ca și apariția oricăreia dintre valorile din interval, această valoare va fi aleatorie.
Ce se întâmplă dacă măriți numărul de aruncări de mai multe ori? La cantitati mari aruncări, media aritmetică a punctelor se va apropia de un anumit număr, care în teoria probabilității se numește așteptare matematică.
Deci, prin așteptare matematică înțelegem valoarea medie a unei variabile aleatorii. Acest indicator poate fi prezentat și ca o sumă ponderată a valorilor probabile.
Acest concept are mai multe sinonime:
- valoarea medie;
- valoarea medie;
- indicator de tendință centrală;
- primul moment.
Cu alte cuvinte, nu este altceva decât un număr în jurul căruia sunt distribuite valorile unei variabile aleatorii.
În diferite sfere ale activității umane, abordările pentru înțelegerea așteptărilor matematice vor fi oarecum diferite.
Poate fi considerat ca:
- beneficiul mediu obținut din luarea unei decizii, atunci când o astfel de decizie este considerată din punctul de vedere al teoriei numerelor mari;
- cantitatea posibilă de câștig sau pierdere (teorie jocuri de noroc), calculată în medie pentru fiecare pariu. În argo, ele sună ca „avantajul jucătorului” (pozitiv pentru jucător) sau „avantaj de cazinou” (negativ pentru jucător);
- procentul din profitul primit din câștiguri.
Aşteptarea nu este obligatorie pentru absolut toate variabilele aleatoare. Este absent pentru cei care au o discrepanță în suma sau integrala corespunzătoare.
Proprietățile așteptărilor matematice
Ca orice parametru statistic, așteptarea matematică are următoarele proprietăți:
Formule de bază pentru așteptările matematice
Calculul așteptării matematice poate fi efectuat atât pentru variabile aleatoare caracterizate atât prin continuitate (formula A) cât și prin discretitate (formula B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, unde xi sunt valorile variabilei aleatoare, pi sunt probabilitățile:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, unde f(x) – densitate dată probabilități.
Exemple de calcul a așteptărilor matematice
Exemplul A.
Este posibil să aflați înălțimea medie a piticilor din basmul despre Albă ca Zăpada. Se știe că fiecare dintre cei 7 pitici avea o anumită înălțime: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 și 0,81 m.
Algoritmul de calcul este destul de simplu:
- găsim suma tuturor valorilor indicatorului de creștere (variabilă aleatoare):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Împărțiți suma rezultată la numărul de gnomi:
6,31:7=0,90.
Astfel, înălțimea medie a gnomilor într-un basm este de 90 cm. Cu alte cuvinte, aceasta este așteptarea matematică a creșterii gnomilor.
Formula de lucru - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Implementarea practică a așteptărilor matematice
Spre calcul indicator statistic așteptările matematice sunt folosite în diverse domenii activitati practice. În primul rând, vorbim despre sfera comercială. La urma urmei, introducerea de către Huygens a acestui indicator este asociată cu determinarea șanselor care pot fi favorabile sau, dimpotrivă, nefavorabile, pentru un anumit eveniment.
Acest parametru este utilizat pe scară largă pentru evaluarea riscurilor, mai ales când vine vorba de investiții financiare.
Astfel, în afaceri, calculul așteptărilor matematice acționează ca o metodă de evaluare a riscului la calcularea prețurilor.
Acest indicator poate fi folosit și pentru a calcula eficacitatea anumitor măsuri, de exemplu, protecția muncii. Datorită acesteia, puteți calcula probabilitatea de apariție a unui eveniment.
Un alt domeniu de aplicare a acestui parametru este managementul. Poate fi calculat și în timpul controlului calității produsului. De exemplu, folosind mat. așteptări, puteți calcula numărul posibil de piese defecte produse.
De asemenea, așteptarea matematică se dovedește a fi de neînlocuit atunci când se efectuează prelucrarea statistică a rezultatelor obținute în timpul cercetare științifică rezultate. Vă permite să calculați probabilitatea unui rezultat dorit sau nedorit al unui experiment sau studiu, în funcție de nivelul de realizare a obiectivului. La urma urmei, realizarea sa poate fi asociată cu câștig și beneficiu, iar eșecul său poate fi asociat cu pierderea sau pierderea.
Utilizarea așteptărilor matematice în Forex
Aplicarea practică a acestui parametru statistic este posibilă atunci când se efectuează tranzacții pe piața valutară. Cu ajutorul acestuia, puteți analiza succesul tranzacțiilor comerciale. Mai mult, o creștere a valorii așteptărilor indică o creștere a succesului lor.
De asemenea, este important de reținut că așteptarea matematică nu trebuie considerată ca fiind singurul parametru statistic utilizat pentru a analiza performanța unui comerciant. Utilizarea mai multor parametri statistici împreună cu valoarea medie crește acuratețea analizei în mod semnificativ.
Acest parametru sa dovedit bine în monitorizarea observațiilor conturilor de tranzacționare. Datorită acesteia, se realizează o evaluare rapidă a lucrărilor efectuate pe contul de depozit. În cazurile în care activitatea comerciantului este de succes și el evită pierderile, nu se recomandă utilizarea exclusivă a calculului așteptărilor matematice. În aceste cazuri, riscurile nu sunt luate în considerare, ceea ce reduce eficacitatea analizei.
Studiile efectuate asupra tacticilor comercianților indică faptul că:
- Cele mai eficiente tactici sunt cele bazate pe intrarea aleatorie;
- Cele mai puțin eficiente sunt tacticile bazate pe intrări structurate.
În obținerea unor rezultate pozitive, nu mai puțin importante sunt:
- tactici de gestionare a banilor;
- strategii de ieșire.
Folosind un astfel de indicator precum așteptarea matematică, puteți prezice care va fi profitul sau pierderea atunci când investiți 1 dolar. Se știe că acest indicator, calculat pentru toate jocurile practicate în cazinou, este în favoarea înființării. Acesta este ceea ce vă permite să faceți bani. În cazul unei serii lungi de jocuri, probabilitatea ca un client să piardă bani crește semnificativ.
Jocurile jucate de jucători profesioniști sunt limitate la perioade scurte de timp, ceea ce crește probabilitatea de a câștiga și reduce riscul de a pierde. Același model se observă la efectuarea operațiunilor de investiții.
Un investitor poate câștiga o sumă semnificativă cu anticipare și execuție pozitive. cantitate mare tranzacții pe o perioadă scurtă de timp.
Așteptările pot fi gândite ca diferența dintre procentul de profit (PW) înmulțit cu profitul mediu (AW) și probabilitatea de pierdere (PL) înmulțită cu pierderea medie (AL).
Ca exemplu, putem considera următoarele: poziție – 12,5 mii dolari, portofoliu – 100 mii dolari, riscul depozitului – 1%. Rentabilitatea tranzacțiilor este de 40% din cazuri cu un profit mediu de 20%. În caz de pierdere, pierderea medie este de 5%. Calcularea așteptărilor matematice pentru tranzacție dă o valoare de 625 USD.
Fiecare valoare individuală este complet determinată de funcția sa de distribuție. De asemenea, pentru a rezolva probleme practice, este suficient să cunoașteți mai multe caracteristici numerice, datorită cărora devine posibilă prezentarea principalelor caracteristici ale unei variabile aleatorii într-o formă scurtă.
Aceste cantități includ în primul rând valorea estimataȘi dispersie .
Valorea estimata— valoarea medie a unei variabile aleatoare în teoria probabilității. Notat ca .
Cel mai într-un mod simplu așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X(w), afla cum integralăLebesgueîn raport cu măsura probabilităţii R original spațiu de probabilitate
De asemenea, puteți găsi așteptarea matematică a unei valori ca integrala Lebesgue din X prin distribuție de probabilitate R X cantități X:
unde este setul tuturor valorilor posibile X.
Așteptări matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare X găsit prin distribuție R X. De exemplu, Dacă X- o variabilă aleatorie cu valori în și f(x)- lipsit de ambiguitate a lui Borelfuncţie X , Acea:
Dacă F(x)- functia de distributie X, atunci așteptarea matematică este reprezentabilă integralăLebesgue - Stieltjes (sau Riemann - Stieltjes):
în acest caz integrabilitatea XÎn ceea ce privește ( * ) corespunde finiturii integralei
În cazuri specifice, dacă X are o distribuție discretă cu valori probabile x k, k=1, 2, . , și probabilități, atunci
Dacă X are absolut distribuție continuă cu densitate de probabilitate p(x), Acea
în acest caz, existența unei așteptări matematice este echivalentă cu convergența absolută a seriei sau integralei corespunzătoare.
Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare.
- Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu această valoare:
C- constant;
- M=C.M[X]
- Așteptările matematice ale sumei valorilor luate aleatoriu este egală cu suma așteptărilor lor matematice:
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor independente luate aleatoriu = produsul așteptărilor lor matematice:
L=M[X]+L[Y]
Dacă XȘi Y independent.
dacă seria converge:
Algoritm pentru calcularea așteptărilor matematice.
Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate numere naturale; atribuiți fiecărei valori o probabilitate diferită de zero.
1. Înmulțiți perechile una câte una: x i pe p i.
2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.
De exemplu, Pentru n = 4 :
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, crește brusc în acele puncte ale căror probabilități au semn pozitiv.
Exemplu: Găsiți așteptările matematice folosind formula.
