Pentru a utiliza metoda coordonatelor, trebuie să cunoașteți bine formulele. Sunt trei dintre ele:
La prima vedere, pare amenințător, dar doar puțină practică - și totul va funcționa grozav.
O sarcină. Aflați cosinusul unghiului dintre vectorii a = (4; 3; 0) și b = (0; 12; 5).
Soluţie. Deoarece ni se dau coordonatele vectorilor, le înlocuim în prima formulă:
O sarcină. Scrieți o ecuație pentru planul care trece prin punctele M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) și K = (2; 1; 0), dacă se știe că nu trece prin originea.
Soluţie. Ecuația generală a planului: Ax + By + Cz + D = 0, dar din moment ce planul dorit nu trece prin origine - punctul (0; 0; 0) - atunci punem D = 1. Deoarece acest plan trece prin punctele M, N și K, atunci coordonatele acestor puncte ar trebui să transforme ecuația într-o egalitate numerică adevărată.
Să înlocuim coordonatele punctului M = (2; 0; 1) în loc de x, y și z. Avem:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
În mod similar, pentru punctele N = (0; 1; 1) și K = (2; 1; 0) obținem ecuațiile:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Deci avem trei ecuații și trei necunoscute. Compunem și rezolvăm sistemul de ecuații:
Am obținut că ecuația planului are forma: − 0.25x − 0.5y − 0.5z + 1 = 0.
O sarcină. Planul este dat de ecuația 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Aflați coordonatele vectorului perpendicular pe planul dat.
Soluţie. Folosind a treia formulă, obținem n = (7; − 2; 4) - asta e tot!
Calculul coordonatelor vectorilor
Dar dacă nu există vectori în problemă - există doar puncte situate pe linii drepte și este necesar să se calculeze unghiul dintre aceste linii drepte? Este simplu: cunoscând coordonatele punctelor - începutul și sfârșitul vectorului - puteți calcula coordonatele vectorului în sine.
Pentru a găsi coordonatele unui vector, este necesar să scădem coordonatele începutului din coordonatele sfârșitului său.
Această teoremă funcționează în mod egal în plan și în spațiu. Expresia „scăderea coordonatelor” înseamnă că coordonatele x a altui punct este scăzută din coordonatele x a unui punct, apoi același lucru trebuie făcut cu coordonatele y și z. Aici sunt cateva exemple:
O sarcină. Există trei puncte în spațiu, date de coordonatele lor: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) și C = (− 4; 3; − 2). Aflați coordonatele vectorilor AB, AC și BC.
Se consideră vectorul AB: începutul său este în punctul A, iar sfârșitul său este în punctul B. Prin urmare, pentru a-i găsi coordonatele, este necesar din coordonatele punctului B scade coordonatele punctului A:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).
În mod similar, începutul vectorului AC este în continuare același punct A, dar sfârșitul este punctul C. Prin urmare, avem:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).
În cele din urmă, pentru a găsi coordonatele vectorului BC, este necesar să scădem coordonatele punctului B din coordonatele punctului C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Răspuns: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)
Atenție la calculul coordonatelor ultimului vector BC: mulți oameni greșesc atunci când lucrează cu numere negative. Acest lucru se aplică variabilei y: punctul B are coordonata y = − 1, iar punctul C are y = 3. Obținem exact 3 − (− 1) = 4, și nu 3 − 1, așa cum cred mulți oameni. Nu faceti asemenea greseli stupide!
Calcularea vectorilor de direcție pentru linii drepte
Dacă citiți cu atenție problema C2, veți fi surprins să descoperiți că nu există vectori acolo. Există doar linii drepte și plane.
Să începem cu linii drepte. Totul este simplu aici: pe orice linie există cel puțin două puncte diferite și, invers, oricare două puncte diferite definesc o singură linie...
Înțelege cineva ce scrie în paragraful anterior? Nu l-am înțeles eu, așa că o voi explica mai simplu: în problema C2, liniile sunt întotdeauna date de o pereche de puncte. Dacă introducem un sistem de coordonate și considerăm un vector cu începutul și sfârșitul în aceste puncte, obținem așa-numitul vector de direcție pentru o dreaptă:
De ce este nevoie de acest vector? Ideea este că unghiul dintre două drepte este unghiul dintre vectorii lor de direcție. Astfel, trecem de la linii drepte de neînțeles la vectori specifici, ale căror coordonate sunt ușor de calculat. Ce usor? Aruncă o privire la exemple:
O sarcină. Liniile AC și BD 1 sunt trasate în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Aflați coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte.
Deoarece lungimea muchiilor cubului nu este specificată în condiție, punem AB = 1. Să introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A și axele x, y, z direcționate de-a lungul liniilor AB, AD și AA. 1, respectiv. Segmentul unitar este egal cu AB = 1.
Acum să găsim coordonatele vectorului direcție pentru linia dreaptă AC. Avem nevoie de două puncte: A = (0; 0; 0) și C = (1; 1; 0). De aici obținem coordonatele vectorului AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - acesta este vectorul de direcție.
Acum să ne ocupăm de linia dreaptă BD 1 . Are și două puncte: B = (1; 0; 0) și D 1 = (0; 1; 1). Se obține vectorul direcție BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Răspuns: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)
O sarcină. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1 , ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, sunt trasate drepte AB 1 și AC 1. Aflați coordonatele vectorilor de direcție ai acestor drepte.
Să introducem un sistem de coordonate: originea este în punctul A, axa x coincide cu AB, axa z coincide cu AA 1 , axa y formează planul OXY cu axa x, care coincide cu ABC avion.
Mai întâi, să ne ocupăm de linia dreaptă AB 1 . Totul este simplu aici: avem punctele A = (0; 0; 0) și B 1 = (1; 0; 1). Se obține vectorul direcție AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).
Acum să găsim vectorul de direcție pentru AC 1 . Totul este la fel - singura diferență este că punctul C 1 are coordonate iraționale. Deci, A = (0; 0; 0), deci avem:
Răspuns: AB 1 = (1; 0; 1);
O notă mică, dar foarte importantă despre ultimul exemplu. Dacă începutul vectorului coincide cu originea, calculele sunt mult simplificate: coordonatele vectorului sunt pur și simplu egale cu coordonatele sfârșitului. Din păcate, acest lucru este valabil doar pentru vectori. De exemplu, atunci când lucrați cu avioane, prezența originii coordonatelor pe ele complică doar calculele.
Calculul vectorilor normali pentru avioane
Vectorii normali nu sunt vectori care merg bine sau care se simt bine. Prin definiție, un vector normal (normal) pe un plan este un vector perpendicular pe planul dat.
Cu alte cuvinte, o normală este un vector perpendicular pe orice vector dintr-un plan dat. Cu siguranță ați întâlnit o astfel de definiție - totuși, în loc de vectori, era vorba despre linii drepte. Cu toate acestea, chiar mai sus s-a arătat că în problema C2 se poate opera cu orice obiect convenabil - chiar și o linie dreaptă, chiar și un vector.
Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată că orice plan este definit în spațiu prin ecuația Ax + By + Cz + D = 0, unde A, B, C și D sunt niște coeficienți. Fără a diminua generalitatea soluției, putem presupune D = 1 dacă planul nu trece prin origine, sau D = 0 dacă o trece. În orice caz, coordonatele vectorului normal la acest plan sunt n = (A; B; C).
Deci, avionul poate fi înlocuit cu succes și cu un vector - același normal. Orice plan este definit în spațiu prin trei puncte. Cum să găsiți ecuația planului (și, prin urmare, normalul), am discutat deja chiar la începutul articolului. Cu toate acestea, acest proces cauzează probleme pentru mulți, așa că voi mai oferi câteva exemple:
O sarcină. Secţiunea A 1 BC 1 este desenată în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Găsiți vectorul normal pentru planul acestei secțiuni dacă originea este în punctul A și axele x, y și z coincid cu muchiile AB, AD și, respectiv, AA 1.
Deoarece planul nu trece prin origine, ecuația lui arată astfel: Ax + By + Cz + 1 = 0, adică. coeficientul D \u003d 1. Deoarece acest plan trece prin punctele A 1, B și C 1, coordonatele acestor puncte transformă ecuația planului în egalitatea numerică corectă.
A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
În mod similar, pentru punctele B = (1; 0; 0) și C 1 = (1; 1; 1) obținem ecuațiile:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Dar coeficienții A = − 1 și C = − 1 ne sunt deja cunoscuți, așa că rămâne de găsit coeficientul B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Obținem ecuația planului: - A + B - C + 1 = 0, Prin urmare, coordonatele vectorului normal sunt n = (- 1; 1; - 1).
O sarcină. O secțiune AA 1 C 1 C este desenată în cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Găsiți vectorul normal pentru planul acestei secțiuni dacă originea este în punctul A, iar axele x, y și z coincid cu muchiile AB, AD și respectiv AA 1.
În acest caz, planul trece prin origine, deci coeficientul D \u003d 0, iar ecuația planului arată astfel: Ax + By + Cz \u003d 0. Deoarece planul trece prin punctele A 1 și C, coordonatele acestor puncte transformă ecuația planului în egalitatea numerică corectă.
Să înlocuim coordonatele punctului A 1 = (0; 0; 1) în loc de x, y și z. Avem:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;
În mod similar, pentru punctul C = (1; 1; 0) obținem ecuația:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Fie B = 1. Atunci A = − B = − 1, iar ecuația întregului plan este: − A + B = 0. Prin urmare, coordonatele vectorului normal sunt n = (− 1; 1; 0).
În general vorbind, în problemele de mai sus este necesar să se compună un sistem de ecuații și să-l rezolve. Vor fi trei ecuații și trei variabile, dar în al doilea caz una dintre ele va fi liberă, adică. ia valori arbitrare. De aceea avem dreptul să punem B = 1 - fără a aduce atingere generalității soluției și corectitudinii răspunsului.
Foarte des în problema C2 este necesar să se lucreze cu puncte care împart segmentul în jumătate. Coordonatele unor astfel de puncte sunt ușor de calculat dacă sunt cunoscute coordonatele capetelor segmentului.
Deci, lăsați segmentul să fie dat de capetele sale - punctele A \u003d (x a; y a; z a) și B \u003d (x b; y b; z b). Apoi coordonatele mijlocului segmentului - îl notăm cu punctul H - pot fi găsite prin formula:
Cu alte cuvinte, coordonatele mijlocului unui segment sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor acestuia.
O sarcină. Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat în sistemul de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și respectiv AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Punctul K este punctul de mijloc al muchiei A 1 B unu . Găsiți coordonatele acestui punct.
Deoarece punctul K este mijlocul segmentului A 1 B 1 , coordonatele acestuia sunt egale cu media aritmetică a coordonatelor capetelor. Să notăm coordonatele capetelor: A 1 = (0; 0; 1) și B 1 = (1; 0; 1). Acum să găsim coordonatele punctului K:
O sarcină. Cubul unității ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 este plasat în sistemul de coordonate astfel încât axele x, y și z să fie direcționate de-a lungul muchiilor AB, AD și respectiv AA 1, iar originea coincide cu punctul A. Aflați coordonatele a punctului L unde se intersectează diagonalele pătratului A 1 B 1 C 1 D 1 .
Din cursul planimetriei se știe că punctul de intersecție al diagonalelor unui pătrat este echidistant de toate vârfurile acestuia. În special, A 1 L = C 1 L, adică. punctul L este mijlocul segmentului A 1 C 1 . Dar A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), deci avem:
Răspuns: L = (0,5; 0,5; 1)
Test la lecția de geometrie în clasa a 11-a
Subiect: " Metoda coordonatelor în spațiu”.
Ţintă: Verificați cunoștințele teoretice ale elevilor, abilitățile și abilitățile acestora de a aplica aceste cunoștințe în rezolvarea problemelor în moduri vectoriale, coordonate vectoriale.
Sarcini:
1 .Creează condiții de control (autocontrol, control reciproc) al asimilării cunoștințelor și aptitudinilor.
2. Dezvoltați gândirea matematică, vorbirea, atenția.
3. Să promoveze activitatea, mobilitatea, capacitatea de comunicare, cultura generală a studenților.
Formular de conduită: lucrul în grupuri.
Echipamente și surse de informații: ecran, proiector multimedia, foaie de calcul, carduri de credit, teste.
În timpul orelor
1. Moment mobilizator.
Lecție de utilizare a CSR; elevii sunt împărțiți în 3 grupe dinamice, în care elevii cu un nivel acceptabil, optim și avansat. Fiecare grup are un coordonator care gestionează munca întregului grup.
2 . Autodeterminarea elevilor pe baza anticipării.
O sarcină:stabilirea scopurilor conform schemei: amintiți-vă-învățați-puteți.
Test de admitere - Completați spațiile libere (pe tipărite)
proba de admitere
Completează spațiile…
1. Trei drepte perpendiculare perechi sunt trasate printr-un punct din spațiu
noi, pe fiecare dintre ele, sunt selectate direcția și unitatea de măsură a segmentelor,
apoi ei spun că este setat …………. in spatiu.
2. Liniile drepte cu direcțiile alese pe ele se numesc ……………..,
iar punctul lor comun este …………. .
3. Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, fiecare punct M al spațiului este asociat cu un triplu de numere care îl numesc ………………..
4. Coordonatele unui punct din spațiu se numesc ………………..
5. Un vector a cărui lungime este egală cu unu se numește …………..
6. Vectori iyksunt numite………….
7. Cote Xyzîn descompunere A= Xi + yj + zk numit
……………vector A .
8. Fiecare coordonată a sumei a doi sau mai mulți vectori este egală cu ……………..
9. Fiecare coordonată a diferenței a doi vectori este egală cu ……………….
10. Fiecare coordonată a produsului unui vector și a unui număr este egală cu………………..
11.Fiecare coordonată a vectorului este egală cu…………….
12. Fiecare coordonată a mijlocului segmentului este egală cu……………….
13. Lungimea vectorului A { Xyz) se calculează cu formula ……………………
14. Distanța dintre punctele M 1(X 1 ; y 1; z 1) și M 2 (X 2; y 2 ; z2) se calculează cu formula …………………
15. Produsul scalar a doi vectori se numește……………..
16. Produsul scalar al vectorilor nenuli este egal cu zero………..
17. Produsul scalar al vectorilorA{ X 1; y 1; z 1} b { X 2 ; y 2 ; z 2) în exprimat prin formula …………………
Verificarea reciprocă a probei de admitere. Răspunsuri la sarcinile testului de pe ecran.
Criteriu de evaluare:
1-2 greșeli - „5”
3-4 erori - „4”
5-6 erori - „3”
În alte cazuri - „2”
3. Efectuarea de muncă. (pentru carduri).
Fiecare card conține două sarcini: Nr. 1 - teoretic cu dovezi, Nr. 2 include sarcini.
Explicați nivelul de dificultate al sarcinilor incluse în lucrare. Grupul îndeplinește o sarcină, dar având 2 părți. Coordonatorul grupului gestionează munca întregului grup. Discutarea aceleiași informații cu mai mulți parteneri crește responsabilitatea nu numai pentru propriile succese, ci și pentru rezultatele muncii colective, care are un efect pozitiv asupra microclimatului din echipă.
CARDUL #1
1. Deduceți formule care exprimă coordonatele mijlocului segmentului în termeni de coordonatele capetelor acestuia.
2. Sarcină: 1) Sunt date punctele A (-3; 1; 2) și B (1; -1; 2)
Găsi:
a) coordonatele punctului mijlociu al segmentului AB
b) coordonatele şi lungimea vectorului AB
2) Este dat cubul ABCDA1 B1 C1 D1. Folosind metoda coordonatelor, găsiți unghiul
între liniile AB1 și A1 D.
CARD#2
Deduceți o formulă pentru calcularea lungimii unui vector din coordonatele sale.
Sarcină: 1) Punctele date M(-4; 7; 0),N(0; -1; 2). Aflați distanța de la originea coordonatelor până la mijlocul segmentului MN.
→ → → → →
2) Date vectoriale Ași b. Găsi b(a+b), dacă a(-2;3;6),b=6i-8k
CARDUL #3
Deduceți o formulă pentru calcularea distanței dintre punctele cu coordonate date.
Sarcină: 1) Sunt date punctele A(2;1;-8), B(1;-5;0), C(8;1;-4).
Demonstrați că ∆ABC este isoscel și găsiți lungimea liniei mediane a triunghiului care leagă punctele de mijloc ale laturilor.
2) Calculați unghiul dintre liniile drepte AB și SD dacă A(1;1;0),
B(3;-1;2), D(0;1;0).
CARD#4
Deduceți formule pentru cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli cu coordonate date.
Sarcină: 1) Sunt date coordonatele a trei vârfuri ale paralelogramului ABCD:
A(-6;-;4;0), B(6;-6;2), C(10;0;4). Aflați coordonatele punctului D.
2) Aflați unghiul dintre dreptele AB și CD, dacă A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .
CARD#5
Spune-ne cum să calculăm unghiul dintre două linii în spațiu folosind vectorii de direcție ai acestor linii. →→
Sarcină: 1) Aflați produsul scalar al vectorilorAși b, dacă:
→ → → ^ →
a) | A| =4; | b| =√3 (Ab)=30◦
b) A {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k
2) Sunt date punctele A(0;4;0), B(2;0;0), C(4;0;4) și D(2;4;4). Demonstrați că ABCD este un romb.
4. Verificarea lucrului grupurilor dinamice pe carduri.
Ascultăm discursurile reprezentanților grupurilor. Munca grupelor este evaluată de profesor cu participarea elevilor.
5. Reflecție. Note pentru credit.
Test final cu o alegere de răspunsuri (în imprimate).
1) Se dau vectorii A {2 ;-4 ;3} b(-3; ─ ; 1). Găsiți coordonatele vectoriale
→ 2
c = A+ b
a) (-5; 3 −; 4); b) (-1; -3,5; 4) c) (5; -4 -; 2) d) (-1; 3,5; -4)
2) Se dau vectori A(4; -3; 5) și b(-3; 1; 2). Găsiți coordonatele vectoriale
C=2 A – 3 b
a) (7;-2;3); b) (11; -7; 8); c) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4).
→ → → → → →
3) Calculați produsul scalar al vectorilormși n, dacă m = A + 2 b- c
→ → → → →^ → → → → →
n= 2 A - b dacă | A|=2 , | b |=3, (Ab)=60°, c ┴ A , c ┴ b.
a)-1; b) -27; în 1; d) 35.
4) Lungimea vectorului A { Xyz) este egal cu 5. Aflați coordonatele vectorului a dacăX=2, z=-√5
a) 16; b) 4 sau -4; la 9; d) 3 sau -3.
5) Aflați aria ∆ABC dacă A(1;-1;3); B(3;-1;1) şi C(-1;1;-3).
a) 4√3; b) √3; c) 2√3; d) √8.
Test de validare încrucișată. Codurile de răspuns la sarcinile de testare de pe ecran: 1(b); 2(c);
3(a); 4(b); 5(c).
Criteriu de evaluare:
Totul este corect - „5”
1 greșeală - „4”
2 erori - „3”
În alte cazuri - „2”
Tabelul de cunoștințe al elevilor
Lucrați la
carduri
final
Test
Scorul de credit
Sarcini
teorie
practică
1 grup
2 grupa
3 grupa
Evaluarea pregătirii elevilor pentru test.
Metoda coordonatelor este o modalitate foarte eficientă și versatilă de a găsi orice unghiuri sau distanțe între obiectele stereometrice din spațiu. Dacă profesorul tău de matematică este înalt calificat, atunci ar trebui să știe acest lucru. În caz contrar, aș sfătui ca partea „C” să schimbe tutorele. Pregătirea mea pentru examenul de matematică C1-C6 include de obicei o analiză a algoritmilor și formulelor de bază descrise mai jos.
Unghiul dintre liniile a și b
Unghiul dintre liniile din spațiu este unghiul dintre toate liniile care se intersectează paralele cu acestea. Acest colț egal cu unghiulîntre vectorii de direcție ai acestor linii (sau îl completează la 180 de grade).
Ce algoritm folosește profesorul de matematică pentru a găsi unghiul?
1) Alegeți orice vector 
și având direcțiile liniilor a și b (paralele cu acestea).
2) Determinăm coordonatele vectorilor și după coordonatele corespunzătoare ale începuturilor și sfârșiturilor acestora (coordonatele începutului trebuie scăzute din coordonatele sfârșitului vectorului).
3) Inlocuim coordonatele gasite in formula:
. Pentru a găsi unghiul în sine, trebuie să găsiți arcul cosinus al rezultatului.
Normal la avion
O normală la un plan este orice vector perpendicular pe acel plan.
Cum să găsești normalul? Pentru a găsi coordonatele normalei, este suficient să cunoaștem coordonatele oricăror trei puncte M, N și K situate în planul dat. Folosind aceste coordonate, găsim coordonatele vectorilor și și necesită ca condițiile și să fie îndeplinite. Echivalarea produs punctual vectori la zero, compunem un sistem de ecuații cu trei variabile, din care putem afla coordonatele normalei.
Nota profesorului de matematică : Nu este necesar să rezolvați complet sistemul, deoarece este suficient să alegeți cel puțin unul normal. Pentru a face acest lucru, puteți înlocui orice număr (de exemplu, unul) în loc de oricare dintre coordonatele sale necunoscute și puteți rezolva un sistem de două ecuații cu celelalte două necunoscute. Dacă nu are soluții, atunci aceasta înseamnă că în familia normale nu există nimeni care să aibă o unitate pentru variabila selectată. Apoi înlocuiți una cu o altă variabilă (o altă coordonată) și rezolvați sistem nou. Dacă ratați din nou, atunci normalul dvs. va avea o unitate pe ultima coordonată și se va dovedi a fi paralelă cu un plan de coordonate (în acest caz, este ușor să o găsiți fără un sistem).
Să presupunem că ni se dă o dreaptă și un plan cu coordonatele vectorului de direcție și ale normalului
Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan se calculează folosind următoarea formulă:
Fie și fie oricare două normale la planurile date. 
Atunci cosinusul unghiului dintre plane este egal cu modulul cosinusului unghiului dintre normale:
Ecuația unui plan în spațiu
Punctele care satisfac egalitatea formează un plan cu normala. Coeficientul este responsabil pentru cantitatea de abatere (deplasare paralelă) între două plane cu aceeași normală dată. Pentru a scrie ecuația unui plan, trebuie mai întâi să îi găsiți normala (așa cum este descris mai sus), apoi să înlocuiți coordonatele oricărui punct din plan, împreună cu coordonatele normalei găsite, în ecuație și să găsiți coeficientul .
Poziția oricărui punct din spațiu poate fi determinată în mod unic folosind un sistem de coordonate dreptunghiular. Acest sistem include trei axe reciproc perpendiculare care se intersectează într-un punct O este originea coordonatelor. Una dintre axe se numește axa x(axă Oh), celălalt axa y (OU), al treilea aplica axa (Oz). avioane XOY, XOZși YOZ se numesc planuri de coordonate. Orice segment este luat ca unitate de scară pentru toate cele trei axe . Direcțiile pozitive pe axe sunt alese astfel încât rotația cu 90 0 care combină fasciculul pozitiv BOU cu fascicul pozitiv OY, părea să meargă în sens invers acelor de ceasornic când este privit din fascicul oz. Acest sistem de coordonate este numit dreapta.
Poziția oricărui punct Mîn spațiu poate fi definit prin trei coordonate după cum urmează . PrinMtrageți plane paralele cu planeleXOY, XOZși YOZ. La intersecția cu axele, obținem puncte, de exemplu, P, Qși R respectiv. Numerele X (abscisă), la(ordonată), z (aplicatie), măsurarea segmentelorOP, OQșiSAUpe scara aleasă sunt numitecoordonate dreptunghiularepuncte M. Ele sunt luate pozitiv sau negativ, în funcție de dacă segmentele corespunzătoare se află pe semiaxa pozitivă sau negativă. Fiecare triplu de numere ( X; la; z) corespunde unui singur punct din spațiu și invers.
Distanța dintre două puncteși se calculează prin formula: (1.6)
Coordonatele (X; y; z) puncteM împărțind într-un raport dat segment de linie AB, (,) sunt determinate de formulele:
În special, la (punctul Mîmparte segmentul ABîn jumătate), se obțin formule pentru determinarea coordonatelor punctului de mijloc al segmentului:
Exemplul 4: pe osie OU găsiți un punct echidistant de două puncte și .
Soluţie: Punct M culcat pe ax OU, are coordonate . Conform sarcinii |AM| = |VM|. Să găsim distanțele |AM|și |VM|, folosind formula (1.6):
Obținem ecuația: .
Prin urmare, constatăm că 4 la= 16, adică y= 4. Punctul dorit este M(0; 4; 0).
Exemplul 5: Segment de linie ABîmpărțit în 3 părți egale. Aflați coordonatele punctelor de împărțire, dacă punctele sunt cunoscute și .
Soluţie:
Notați punctele de împărțire ale segmentului ABîn următoarea ordine: DINși D. Conform sarcinii |AC| = |CD| = |DB|. Prin urmare, punctul DINîmparte segmentul AB intr-o relatie . Folosind formulele (1.7), găsim coordonatele punctului C:
Prin formulele (1.8) găsim coordonatele punctului D- mijlocul segmentului SW:
Adică punctul D are coordonatele: .
Exemplul 6: La puncte , ,, masele sunt concentrate în mod corespunzător m 1 , m 2 , m 3 , m patru . Aflați coordonatele centrului de greutate al sistemului acestor mase.
Soluţie:
După cum se știe din cursul fizicii, centrul de greutate al maselor m 1 și m 2 plasate la puncte DARși LA,împarte segmentul ABîn părți invers proporționale cu masele concentrate la capetele segmentului (). Pe baza acestui lucru, găsim mai întâi centrul de greutate al sistemului de două mase m 1 și m 2 plasate la puncte DAR 1 și DAR 2 :
,
,
.
Centrul de greutate al unui sistem cu trei mase m 1 și m 2 și m 3 () găsim în mod similar:
,
,.
Găsim în sfârșit centrul de greutate al sistemului de trei masem 1 , m 2 , m 3 șim 4 :
,
,
.
Întrebări de controlat:
Descrieți un sistem de coordonate dreptunghiular în plan și toate componentele sale.
Cum se determină coordonatele unui punct arbitrar dintr-un plan?
Scrieți o formulă pentru a găsi pdistanța dintre două puncte pe avion .
Cum să găseșticoordonatele unui punct care împarte un segment într-un raport dat?
Scrieți formulele pentru coordonatele punctului de mijloc al segmentului.
Scrieți o formulă care calculează aria unui triunghi dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acestuia .
Descrie sistemul de coordonate polare.
Care este raza polară? În ce măsură se măsoară?
Ce este un unghi polar? Limitele măsurării sale?
Cum găsiți coordonatele dreptunghiulare ale unui punct pentru care sunt cunoscute coordonatele polare?
Cum găsiți coordonatele polare ale unui punct pentru care sunt cunoscute coordonatele dreptunghiulare?
Cum să găsești distanța dintre punctele din sistemul de coordonate polare?
Descrieți un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu și toate componentele sale.
Cum se determină coordonatele unui punct din spațiu?
Scrieți formula pentru găsirea distanței dintre două puncte din spațiu.
Scrieți formule pentru găsirea coordonatelor unui punct care împarte un segment într-un raport dat pentru un sistem de coordonate tridimensional.
Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrări slide-uri:
Sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu. Coordonatele vectoriale.
Sistem de coordonate dreptunghiular
Dacă se trasează trei drepte perpendiculare perechi printr-un punct din spațiu, pe fiecare dintre ele se alege o direcție și se alege o unitate de măsură a segmentelor, atunci se spune că un sistem de coordonate dreptunghiular este stabilit în spațiu
Liniile drepte, cu direcțiile alese pe ele, se numesc axe de coordonate, iar punctul lor comun se numește originea coordonatelor. Este de obicei notat cu litera O. Axele de coordonate sunt notate astfel: Ox, Oy, O z - și au denumiri: axa absciselor, axa y, axa aplicată.
Întregul sistem de coordonate este notat Oxy z . Planele care trec prin axele de coordonate Ox și Oy, Oy și O z , O z și, respectiv, Ox, se numesc planuri de coordonate și se notează Oxy, Oy z , O z x.
Punctul O împarte fiecare dintre axele de coordonate în două fascicule. Raza a cărei direcție coincide cu direcția axei se numește semiaxa pozitivă, iar cealaltă rază este semiaxa negativă.
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, fiecare punct M al spațiului este asociat cu un triplu de numere, care se numesc coordonatele sale.
Figura prezintă șase puncte A (9; 5; 10), B (4; -3; 6), C (9; 0; 0), D (4; 0; 5), E (0; 3; 0) , F(0; 0; -3).
Coordonatele vectoriale
Orice vector poate fi descompus în vectori de coordonate, adică reprezentați sub forma în care coeficienții de expansiune x, y, z sunt determinați în mod unic.
Coeficienții x, y și z în expansiunea unui vector în termeni de vectori de coordonate se numesc coordonatele vectorului în sistemul de coordonate dat.
Luați în considerare regulile care ne permit să găsim coordonatele sumei și diferenței lor, precum și coordonatele produsului unui vector dat cu un număr dat, folosind coordonatele acestor vectori.
zece . Fiecare coordonată a sumei a doi sau mai mulți vectori este egală cu suma coordonatelor corespunzătoare acestor vectori. Cu alte cuvinte, dacă a (x 1, y 1, z 1) și b (x 2, y 2, z 2 ) sunt dați vectori, atunci vectorul a + b are coordonatele (x 1 + x 2, y 1 + y2, z1 + z2).
douăzeci . Fiecare coordonată a diferenței a doi vectori este egală cu diferența coordonatelor corespunzătoare acestor vectori. Cu alte cuvinte, dacă a (x 1, y 1, z 1) și b (x 2 y 2; z 2) sunt vectori dați, atunci vectorul a - b are coordonate (x 1 - x 2, y 1 - y 2, z1-z2).
treizeci . Fiecare coordonată a produsului unui vector cu un număr este egală cu produsul coordonatei corespunzătoare a vectorului cu acel număr. Cu alte cuvinte, dacă a (x; y; x) - vector dat, α este un număr dat, atunci vectorul α a are coordonate (αх; αу; α z).
Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note
Fișă didactică „Un set de note pentru elevi pe tema „Metoda coordonatelor în spațiu” pentru desfășurarea lecțiilor sub formă de prelegeri. Geometrie clasa 10-11....
Scopul lecției: Pentru a testa cunoștințele, abilitățile și abilitățile elevilor pe tema „Folosirea metodei coordonatelor în spațiu pentru rezolvarea sarcinilor C2 UTILIZARE.” Rezultate educaționale planificate: Elevii demonstrează: ...
