Scopul principiului lui d'Alembert este dinamica sistemelor mecanice nelibere. d'Alembert a propus o metodă originală de rezolvare a problemelor de dinamică, care face posibilă utilizarea suficientă ecuații simple statică. El a scris: „Această regulă aduce la mai mult toate problemele legate de mișcarea corpurilor sarcini simple despre echilibru.”
Baza aceasta metoda sunt stabilite forțele de inerție. Să introducem acest concept.
Forța de inerție se numește suma geometrică a forțelor de contracarare a unei particule de material în mișcare față de corpurile care îi imprimă accelerație.
Să explicăm această definiție. Pe fig. 15.1 prezintă o particulă materială M , interacționând cu n obiecte materiale. Pe fig. 15.1 arată forţele de interacţiune: fără
care de fapt nu sunt per particulă, ci pe corpuri cu mase m 1 , …, m n . Este clar că rezultanta acestui sistem de forțe de reacție convergente, R'=ΣF'k , modulo egal cu R și este îndreptată opus accelerației, adică: R' = -ma. Această forță este forța de inerție la care se face referire în definiție. În cele ce urmează, îl vom desemna prin literă F , adică:
În cazul general al mișcării curbilinii a unui punct, accelerația este suma a două componente:
Din (15.4) se poate observa că componentele forței de inerție sunt îndreptate opus direcțiilor componentelor corespunzătoare ale accelerației punctului. Modulele componentelor forței de inerție sunt determinate de următoarele formule:
Unde ρ este raza de curbură a traiectoriei punctului.
După determinarea forței de inerție, luați în considerare principiul lui d'Alembert.
Fie un sistem mecanic format din n puncte materiale (Fig. 15.2). Să luăm una dintre ele. Toate forțele care acționează asupra k -al-lea punct, clasificăm în grupe:
Expresia (15.6) reflectă esența principiului d'Alembert, scris pentru un punct material. Repetând pașii de mai sus cu privire la fiecare punct al sistemului mecanic, putem scrie sistemul n ecuații similare cu (15.6), care va fi înregistrarea matematică a principiului d'Alembert aplicat unui sistem mecanic. Astfel, formulăm Principiul lui d'Alembert pentru un sistem mecanic:
Dacă în orice moment, pe lângă forțele externe și interne care acţionează efectiv asupra acestuia, se aplică o forță de inerție adecvată fiecărui punct al unui sistem mecanic, atunci întregul sistem de forțe va fi adus într-o stare de echilibru și toate i se pot aplica ecuații de statică.
Ține minte:
Principiul d'Alembert poate fi aplicat proceselor dinamice care au loc în
sisteme de referință inerțiale. Aceeași cerință, așa cum sa menționat mai devreme, ar trebui respectată atunci când se aplică legile dinamicii;
Forțele de inerție, care, conform metodologiei principiului d'Alembert, trebuie aplicate
trăiesc până la punctele sistemului, de fapt ele nu sunt afectate. Într-adevăr, dacă ar exista, atunci întregul set de forțe aplicate fiecărui punct ar fi în echilibru, iar formularea problemei dinamicii în sine ar fi absentă.
Pentru un sistem de forțe de echilibru, se pot scrie următoarele ecuații:
acestea. suma geometrică a tuturor forțelor sistemului, inclusiv forțele de inerție, și suma geometrică a momentelor tuturor forțelor în jurul unui centru arbitrar sunt egale cu zero.
Având în vedere proprietățile forțelor interne ale sistemului:
expresiile (15.7) pot fi simplificate semnificativ.
Introducerea notației vectoriale principale
și punctul principal
expresiile (15.7) vor apărea sub forma:
Ecuațiile (15.11) sunt o continuare directă a principiului d'Alembert, dar nu conțin forțe interne, ceea ce este avantajul lor incontestabil. Utilizarea lor este cea mai eficientă în studierea dinamicii sistemelor mecanice constând din solide.
Dacă luăm în considerare un sistem care este format din mai multe puncte materiale, evidențiind un punct specific cu o masă cunoscută, atunci sub acțiunea forțelor externe și interne aplicate acestuia, acesta primește o oarecare accelerație față de cadrul de referință inerțial. Printre astfel de forțe pot exista atât forțe active, cât și reacții de cuplare.
Forța de inerție a unui punct este o mărime vectorială, care este egală în valoare absolută cu produsul dintre masa punctului și accelerația acestuia. Această valoare este uneori denumită forța de inerție d'Alembert, este direcționată opus accelerației. În acest caz, se dezvăluie următoarea proprietate a unui punct în mișcare: dacă în fiecare moment de timp adăugăm forța de inerție la forțele care acționează efectiv asupra punctului, atunci sistemul de forțe rezultat va fi echilibrat. Acesta este modul în care putem formula principiul d'Alembert pentru unul punct material. Această afirmație este pe deplin în concordanță cu a doua lege a lui Newton.
principiile lui d'Alembert pentru sistem
Dacă repetăm toate argumentele pentru fiecare punct din sistem, ele conduc la următoarea concluzie, care exprimă principiul d'Alembert formulat pentru sistem: dacă în orice moment aplicăm fiecăruia dintre punctele sistemului, pe lângă forțele externe și interne care acționează efectiv, atunci acest sistem va fi în echilibru, astfel încât toate ecuațiile care sunt utilizate în statică îi pot fi aplicate.
Dacă aplicăm principiul d'Alembert pentru a rezolva probleme de dinamică, atunci ecuaţiile de mişcare ale sistemului pot fi compilate sub forma unor ecuaţii de echilibru cunoscute nouă. Acest principiu simplifică foarte mult calculele și unifică abordarea rezolvării problemelor.
Aplicarea principiului d'Alembert
Trebuie avut în vedere că numai forțele externe și interne acționează asupra unui punct în mișcare într-un sistem mecanic, care apar ca urmare a interacțiunii punctelor dintre ele, precum și cu corpuri care nu sunt incluse în acest sistem. Punctele se deplasează cu anumite accelerații sub influența tuturor acestor forțe. Forțele de inerție nu acționează asupra punctelor în mișcare, altfel s-ar mișca fără accelerare sau s-ar afla în repaus.
Forțele de inerție sunt introduse doar pentru a alcătui ecuațiile de dinamică folosind metode mai simple și mai convenabile de statică. De asemenea, se ține cont de faptul că suma geometrică a forțelor interne și suma momentelor lor este egală cu zero. Utilizarea ecuațiilor care decurg din principiul d'Alembert facilitează procesul de rezolvare a problemelor, deoarece aceste ecuații nu mai conțin forțe interne.
Metodele de rezolvare a problemelor de mecanică, care au fost luate în considerare până acum, se bazează pe ecuații care decurg fie direct din legile lui Newton, fie din teoreme generale care sunt o consecință a acestor legi. Totuși, această cale nu este singura. Rezultă că ecuațiile de mișcare sau condițiile de echilibru ale unui sistem mecanic pot fi obținute prin asumarea altor propoziții generale în locul legilor lui Newton, numite principiile mecanicii. Într-o serie de cazuri, aplicarea acestor principii face posibilă, după cum vom vedea, să găsim mai multe metode eficiente rezolvarea problemelor relevante. În acest capitol va fi luat în considerare unul dintre principiile generale ale mecanicii, numit principiul lui d'Alembert.
Să găsim mai întâi o expresie a principiului pentru un punct material. Fie ca un sistem de forțe active să acționeze asupra unui punct material cu o masă, a cărei rezultantă se va nota prin reacția conexiunii N (dacă punctul nu este liber). Sub acțiunea tuturor acestor forțe, punctul se va deplasa în raport cu cadrul de referință inerțial cu o oarecare accelerație a.
Să introducem în considerare cantitatea
având dimensiunea forţei. O mărime vectorială egală în valoare absolută cu produsul dintre masa unui punct și accelerația acestuia și îndreptată opus acestei accelerații se numește forța de inerție a punctului.
Atunci se dovedește că mișcarea unui punct are următoarea proprietate: dacă în orice moment se adaugă forța de inerție la forțele active care acționează asupra punctului și reacția conexiunii, atunci sistemul de forțe rezultat va fi echilibrat, adică
Această prevedere exprimă principiul lui d'Alembert pentru un punct material. Este ușor de observat că este echivalentă cu a doua lege a lui Newton și invers. Într-adevăr, a doua lege a lui Newton pentru punctul considerat dă.Transferând aici valoarea m în partea dreaptă a egalității și ținând cont de notația (84), ajungem la relația (85). Dimpotrivă, transferând valoarea din ecuația (85) într-o altă parte a ecuației și ținând cont de notația (84), obținem expresia celei de-a doua legi a lui Newton.
Luați în considerare acum un sistem mecanic format din puncte materiale. Să evidențiem câteva dintre punctele sistemului cu masa . Sub acțiunea forțelor externe și interne aplicate acestuia (care includ atât forțe active, cât și reacții de constrângeri), punctul se va deplasa față de cadrul de referință inerțial cu o oarecare accelerație.Intrand forța de inerție pentru acest punct, obținem conform egalităţii (85), că
adică care formează un sistem echilibrat de forțe. Repetând un astfel de raționament pentru fiecare dintre punctele sistemului, ajungem la următorul rezultat, care exprimă principiul d'Alembert pentru sistem: dacă în orice moment de timp la fiecare dintre punctele sistemului, în plus față de cel extern și forțele interne care acționează asupra acestuia, atașăm forțele de inerție corespunzătoare, apoi sistemul de forțe rezultat va fi echilibrat și i se pot aplica toate ecuațiile staticii.
Din punct de vedere matematic, principiul d'Alembert pentru un sistem este exprimat prin egalităţi vectoriale de forma (85), care sunt evident echivalente cu ecuatii diferentiale mișcarea sistemului (13), obținută în § 106. Prin urmare, din principiul d'Alembert, precum și din ecuațiile (13), putem obține toate teoreme generale dinamica.
Semnificația principiului d'Alembert constă în faptul că atunci când este aplicat direct problemelor de dinamică, ecuațiile de mișcare ale sistemului sunt compilate sub forma unor ecuații de echilibru binecunoscute; aceasta uniformizează abordarea rezolvării problemelor și simplifică adesea calculele corespunzătoare. Mai mult, în legătură cu principiul posibile mișcări, despre care vom discuta în capitolul următor, principiul d'Alembert ne permite să obţinem un nou metoda generala rezolvarea problemelor de dinamică (vezi § 141).
Din statică se știe că suma geometrică a forțelor aflate în echilibru și suma momentelor lor relativ la orice centru O sunt egale cu zero și, așa cum se arată în § 120, acest lucru este valabil și pentru forțele care acționează nu numai asupra unui corp rigid, dar si pe orice sistem mecanic variabil .
Apoi, pe baza principiului d'Alembert, ar trebui să fie:
Să introducem notația:
Mărimile reprezintă vectorul principal și momentul principal relativ la centrul O al sistemului de forțe de inerție. Ca urmare, ținând cont de faptul că suma geometrică a forțelor interne și suma momentelor lor sunt egale cu zero, obținem din egalități (86):
Aplicarea ecuațiilor (88), care decurg din principiul d'Alembert, simplifică procesul de rezolvare a problemelor, deoarece aceste ecuații nu conțin forțe interne. În esență, ecuațiile (88) sunt echivalente cu ecuațiile care exprimă teoremele privind modificarea impulsului și a momentului principal al impulsului sistemului și diferă de acestea doar prin formă.
Ecuațiile (88) sunt deosebit de convenabile de utilizat atunci când se studiază mișcarea unui corp rigid sau a unui sistem de corpuri rigide. Pentru un studiu complet al mișcării oricărui sistem variabil, aceste ecuații nu vor fi suficiente, la fel cum ecuațiile de statică nu sunt suficiente pentru a studia echilibrul oricărui sistem mecanic (vezi § 120).
În proiecțiile pe axele de coordonate, egalitățile (88) dau ecuații analoge cu ecuațiile corespunzătoare de statică (vezi §§ 16, 30). Pentru a utiliza aceste ecuații la rezolvarea problemelor, trebuie să cunoașteți expresiile pentru vectorul principal și momentul principal al forțelor de inerție.
În concluzie, trebuie subliniat că atunci când se studiază mișcarea în raport cu un cadru de referință inerțial, care este considerat aici, forțele inerțiale sunt introduse numai atunci când se aplică principiul d’Alembert pentru rezolvarea problemelor.
Inițial, ideea acestui principiu a fost exprimată de Jacob Bernoulli (1654-1705) când a luat în considerare problema centrului de oscilație al corpurilor de formă arbitrară. În 1716, academicianul din Sankt Petersburg J. Herman (1678 - 1733) a propus principiul echivalenței statice a mișcărilor „libere” și a mișcărilor „actuale”, adică mișcările efectuate în prezența conexiunilor. Mai târziu, acest principiu a fost aplicat de L. Euler (1707-1783) la problema vibrațiilor corpurilor flexibile (lucrarea a fost publicată în 1740) și a fost numit „principiul Petersburg”. Cu toate acestea, primul care a formulat principiul în cauză în vedere generala, deși nu i-a dat o expresie analitică adecvată, a fost d'Alembert (1717-1783). În „Dynamics” publicat în 1743, el a indicat o metodă generală de abordare a rezolvării problemelor de dinamică a sistemelor nelibere. O expresie analitică a acestui principiu a fost dată mai târziu de Lagrange în Mecanica analitică.
Luați în considerare un sistem mecanic neliber. Să notăm rezultanta tuturor forțelor active care acționează asupra oricărui punct al sistemului prin și rezultanta reacțiilor legăturilor - prin Atunci ecuația de mișcare a punctului va avea forma
unde este vectorul de accelerație al unui punct și este masa acestui punct.
Dacă introducem în considerare o forță numită forța de inerție d'Alembert, atunci ecuația de mișcare (2.9) poate fi rescrisă sub forma unei ecuații pentru echilibrul a trei forțe:
Ecuația (2.10) este esența principiului d'Alembert pentru un punct, iar aceeași ecuație, extinsă la un sistem, este esența principiului d'Alembert pentru un sistem.
Ecuația mișcării, scrisă sub forma (2.10), ne permite să dăm principiului d'Alembert următoarea formulare: dacă sistemul în mișcare este oprit în orice moment de timp și forțele de reacție active ale legăturilor care acționează asupra lui la momentul de oprire se aplică fiecărui punct material al acestui sistem și forțele de inerție d'Alembert, apoi sistemul va rămâne în echilibru.
Principiul d'Alembert este o soluţie metodică convenabilă sarcini dinamice, deoarece permite ca ecuațiile de mișcare ale sistemelor nelibere să fie scrise sub formă de ecuații de statică.
Prin aceasta, bineînțeles, problema dinamicii nu se reduce la problema staticii, deoarece problema integrării ecuațiilor de mișcare este încă păstrată, dar principiul d'Alembert oferă o metodă unificată de compilare a ecuațiilor de mișcare ale non-ului. -sisteme gratuite, iar acesta este principalul său avantaj.
Dacă avem în vedere că reacțiile sunt acțiunea legăturilor asupra punctelor sistemului, atunci principiului d'Alembert i se poate da și următoarea formulare: dacă adăugăm forțele de inerție d'Alembert la forțele active care acționează asupra punctele unui sistem neliber, atunci forțele rezultate ale acestor forțe vor fi echilibrate de reacțiile legăturilor. Trebuie subliniat că această formulare este arbitrară, întrucât în realitate
atunci când sistemul se mișcă, nu există echilibrare, deoarece forțele de inerție nu sunt aplicate punctelor sistemului.
În sfârșit, principiului d'Alembert i se poate da încă o formulare echivalentă, pentru care rescriem ecuația (2.9) în următoarea formă:
principiul d'Alembert Se folosește în rezolvarea primei probleme principale a dinamicii unui punct neliber, când se cunosc mișcarea punctului și forțele active care acționează asupra acestuia și se constată reacția emergentă a conexiunii.
Să scriem ecuația de bază pentru dinamica unui punct neliber într-un cadru de referință inerțial:
Să rescriem ecuația sub forma:
.
Indicând , obținem
, (11.27)
unde se numeste vectorul forța de inerție d'Alembert.
Declarație de principiu: La fiecare moment de mișcare a unui punct material neliber, forța activă și reacția conexiunii sunt echilibrate de forța de inerție d'Alembert.
Proiectare ecuație vectorială(11.27) pe orice axă de coordonate, vom obține ecuațiile de echilibru corespunzătoare, folosindu-ne să găsim reacții necunoscute.
Proiectăm ecuația (11.27) pe axele naturale:
(11.28)
Unde 
numită forță centrifugă de inerție, întotdeauna îndreptată spre interior latura negativă normal principal; .
Note:
1). În realitate, în afară de forțe și orice alte forțe fizice, nu se aplică alte forțe fizice la punct, iar cele trei forțe nu constituie un sistem echilibrat de forțe. În acest sens, forța de inerție d'Alembert este o forță fictivă aplicată condiționat unui punct.
2). Principiul lui d'Alembert ar trebui privit ca o tehnică metodologică convenabilă care permite ca problema dinamicii să fie redusă la o problemă a staticii.
Exemplul 1 Să determinăm reacția conexiunii care acționează asupra pilotului atunci când o aeronavă care se deplasează într-un plan vertical iese dintr-un zbor în scufundare (Fig. 11.5).
Pilotul este afectat de gravitație și de reacția scaunului. Să aplicăm principiul d'Alembert adăugând forţa de inerţie d'Alembert la aceste forţe:
(11.29)
Să scriem ecuația (11.29) în proiecții pe normală:
(11.30)
Unde r- raza cercului când aeronava intră în zbor la nivel,
Viteza maximă a aeronavei în acel moment.
Din ecuația (11.30)
(11.31)
Exemplul 2 Să determinăm acum aceeași reacție care acționează asupra pilotului în momentul ieșirii din modul de urcare (Fig. 11.6).
Mișcarea relativă a unui punct material
Dacă cadrele de referință nu se mișcă în raport cu cadrul de referință inerțial sau originile coordonatelor lor se mișcă inegal sau curbiliniu, atunci astfel de cadre de referință sunt neinerțială. În aceste cadre de referință, axiomele DAR 1 și DAR 2 nu sunt observate, dar nu rezultă din aceasta că doar mișcările care apar în cadre de referință inerțiale sunt studiate în dinamică. Luați în considerare mișcarea unui punct material într-un sistem de coordonate non-inerțial, dacă forțele care acționează asupra punctului material sunt cunoscute și este dată mișcarea sistemului de referință non-inerțial în raport cu sistemul de referință inerțial. În cele ce urmează, cadrul de referință inerțial va fi numit cadru fix, iar cadrul neinerțial, cadru de referință mobil. Fie - rezultanta forțelor active care acționează asupra punctului și - rezultanta reacției legăturilor; - sistem de coordonate fix; - sistem de coordonate în mișcare.
Luați în considerare mișcarea unui punct material M(Fig. 11.7), neconectat rigid cu sistemul de coordonate în mișcare, ci în mișcare relativ la acesta. Această mișcare a unui punct în cinematică se numea relativă, mișcarea unui punct relativ la un sistem de coordonate fix se numea absolută, mișcarea unui sistem de coordonate în mișcare se numea portabilă.
 |
Legea de bază a dinamicii pentru mișcarea absolută a unui punct M va arăta ca
(11.33)
unde este accelerația absolută a punctului.
Pe baza teoremei de adunare a accelerației cinematice (teorema Coriolis), accelerația absolută este suma accelerațiilor relative, translaționale și Coriolis.
. (11.34)
Înlocuind (11.34) în (11.33), obținem
iar după transferul şi introducerea notaţiei
(11.35)
Unde ; vectorul se numește forța portabilă de inerție; - Forța de inerție Coriolis.
Egalitatea (11.35) exprimă legea mișcării relative a unui punct. Prin urmare, mișcarea unui punct dintr-un cadru de referință non-inerțial poate fi considerată ca o mișcare într-un cadru inerțial, dacă adăugăm forțele de translație și Coriolis de inerție la numărul de forțe active care acționează asupra punctului și reacțiile de obligațiunile.
