Ορισμένα φυσικά μεγέθη, για παράδειγμα, δύναμη ή ταχύτητα, χαρακτηρίζονται όχι μόνο από μια αριθμητική τιμή, αλλά και από την κατεύθυνση. Τέτοια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά μεγέθη: φά⃗ - δύναμη, v⃗ - ταχύτητα.
Ας δώσουμε γεωμετρικός ορισμόςδιάνυσμα.
Διάνυσμα
καλείται ένα τμήμα, για το οποίο υποδεικνύεται ποιο από τα οριακά του σημεία θεωρείται αρχή και ποιο τέλος.
Στα σχέδια, ένα διάνυσμα απεικονίζεται ως τμήμα γραμμής με ένα βέλος που δείχνει το τέλος του διανύσματος. Ένα διάνυσμα συμβολίζεται με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα με ένα βέλος από πάνω τους. Το πρώτο γράμμα δείχνει την αρχή του διανύσματος, το δεύτερο - το τέλος.
Ένα διάνυσμα μπορεί επίσης να υποδηλωθεί με ένα μόνο πεζό λατινικό γράμμα με ένα βέλος από πάνω του.
Το μήκος ενός διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος που αντιπροσωπεύει αυτό το διάνυσμα. Οι κάθετες αγκύλες χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν το μήκος ενός διανύσματος.
Ένα διάνυσμα του οποίου το τέλος είναι ίδιο με την αρχή του ονομάζεται μηδέν
διάνυσμα. Το μηδενικό διάνυσμα αντιπροσωπεύεται με μια τελεία και συμβολίζεται με δύο πανομοιότυπα γράμματα ή μηδέν με ένα βέλος πάνω από αυτό. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι ίσο με μηδέν: |0 ⃗|= 0.
Ας εισαγάγουμε την έννοια συγγραμμική φορείς. Τα μη μηδενικά διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικά εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.
Εάν τα μη μηδενικά συγγραμμικά διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε τέτοια διανύσματα θα είναι ομοκατευθυντικά. Αν οι κατευθύνσεις τους είναι αντίθετες, ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενες.
Υπάρχουν ειδικοί συμβολισμοί για τον προσδιορισμό των διανυσμάτων συνκατευθυνόμενων και αντίθετα κατευθυνόμενων:
- Μ ⃗ R⃗ αν τα διανύσματα Μ⃗ και R⃗ συν-σκηνοθεσία.
- Μ ⃗ ↓ n⃗ αν τα διανύσματα Μ⃗ και n⃗ Αντίθετα σκηνοθετημένη.
Σκεφτείτε την κίνηση ενός αυτοκινήτου. Η ταχύτητα καθενός από τα σημεία του είναι διανυσματική ποσότητα και αντιπροσωπεύεται από ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Δεδομένου ότι όλα τα σημεία του αυτοκινήτου κινούνται με την ίδια ταχύτητα, όλα τα κατευθυνόμενα τμήματα που αντιπροσωπεύουν τις ταχύτητες διαφορετικών σημείων έχουν την ίδια κατεύθυνση και τα μήκη τους είναι ίσα. Αυτό το παράδειγμα μας δίνει μια υπόδειξη για το πώς να προσδιορίσουμε εάν τα διανύσματα είναι ίσα.
Δύο διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι στην ίδια κατεύθυνση και τα μήκη τους είναι ίσα. Η ισότητα των διανυσμάτων μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το πρόσημο ίσου: ένα ⃗ = σι ⃗, KH ⃗ = Ο.Ε ⃗
Αν σημείο Rδιανυσματική έναρξη R⃗, τότε θεωρούμε ότι το διάνυσμα R⃗ αναβλήθηκε από το σημείο R.
Ας το αποδείξουμε από οποιοδήποτε σημείο Ομπορείτε να παραμερίσετε ένα διάνυσμα ίσο με ένα δεδομένο διάνυσμα R⃗ και μόνο ένα.
Απόδειξη:
1) Αν R⃗ είναι το μηδενικό διάνυσμα, λοιπόν OO ⃗ = R ⃗.
2) Αν το διάνυσμα R⃗ μη μηδενικό, σημείο Rείναι η αρχή αυτού του διανύσματος και το σημείο Τ- το τέλος.
Περάστε από την τελεία Οευθεία, παράλληλη RT. Στην κατασκευασμένη ευθεία, παραμερίζουμε τα τμήματα ΟΑ 1 και ΟΑ 2 ίσο με το τμήμα RT.
Επιλέξτε από διανύσματα ΟΑ 1 και ΟΑ 2 διάνυσμα που είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα R⃗. Στο σχέδιό μας, αυτό είναι ένα διάνυσμα ΟΑένας . Αυτό το διάνυσμα θα είναι ίσο με το διάνυσμα R⃗. Από την κατασκευή προκύπτει ότι ένα τέτοιο διάνυσμα είναι μοναδικό.
Τυπικός ορισμός: "Ένα διάνυσμα είναι ένα τμήμα κατευθυνόμενης γραμμής." Αυτό είναι συνήθως το όριο της γνώσης ενός πτυχιούχου για διανύσματα. Ποιος χρειάζεται κάποιου είδους «κατευθυνόμενα τμήματα»;
Αλλά στην πραγματικότητα, τι είναι τα διανύσματα και γιατί είναι;
Μετεωρολογική πρόγνωση. «Άνεμος βορειοδυτικός, ταχύτητα 18 μέτρα το δευτερόλεπτο». Συμφωνώ, η κατεύθυνση του ανέμου (από όπου φυσά) και η ενότητα (δηλαδή η απόλυτη τιμή) της ταχύτητάς του έχουν επίσης σημασία.
Οι ποσότητες που δεν έχουν κατεύθυνση ονομάζονται βαθμωτές. βάρος, εργασία, ηλεκτρικό φορτίοδεν εστάλη πουθενά. Χαρακτηρίζονται μόνο από μια αριθμητική τιμή - "πόσα κιλά" ή "πόσα joules".
Φυσικές ποσότητες που δεν έχουν μόνο απόλυτη τιμή, αλλά και η κατεύθυνση, ονομάζονται διάνυσμα.
Ταχύτητα, δύναμη, επιτάχυνση - διανύσματα. Για αυτούς είναι σημαντικό «πόσο» και σημαντικό «που». Για παράδειγμα, η επιτάχυνση ελεύθερη πτώσηκατευθύνεται προς την επιφάνεια της Γης και η τιμή του είναι 9,8 m / s 2. ορμή, ένταση ηλεκτρικό πεδίο, η επαγωγή του μαγνητικού πεδίου είναι επίσης διανυσματικά μεγέθη.
Θυμάστε ότι τα φυσικά μεγέθη δηλώνονται με γράμματα, λατινικά ή ελληνικά. Το βέλος πάνω από το γράμμα δείχνει ότι η ποσότητα είναι διάνυσμα:
Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα.
Το αυτοκίνητο κινείται από το Α στο Β. Το τελικό αποτέλεσμα είναι η μετακίνησή του από το σημείο Α στο σημείο Β, δηλαδή η κίνηση από ένα διάνυσμα 
.
Τώρα είναι σαφές γιατί ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Προσοχή, το τέλος του διανύσματος είναι το βέλος. Διάνυσμα μήκοςονομάζεται μήκος αυτού του τμήματος. Ορισμένοι: ή
Μέχρι στιγμής, δουλεύαμε με βαθμωτές ποσότητες, σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής και της στοιχειώδους άλγεβρας. Τα διανύσματα είναι μια νέα έννοια. Αυτή είναι μια άλλη κατηγορία μαθηματικών αντικειμένων. Έχουν τους δικούς τους κανόνες.
Μια φορά κι έναν καιρό, δεν ξέραμε καν για αριθμούς. Η γνωριμία μαζί τους ξεκίνησε από τις δημοτικές τάξεις. Αποδείχθηκε ότι οι αριθμοί μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους, να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Μάθαμε ότι υπάρχει ένας αριθμός ένα και ένας αριθμός μηδέν.
Τώρα γνωρίζουμε τα διανύσματα.
Οι έννοιες "μεγαλύτερο από" και "λιγότερο από" δεν υπάρχουν για τα διανύσματα - τελικά, οι κατευθύνσεις τους μπορεί να είναι διαφορετικές. Μπορείτε να συγκρίνετε μόνο τα μήκη των διανυσμάτων.
Αλλά η έννοια της ισότητας για διανύσματα είναι.
Ισοςείναι διανύσματα που έχουν το ίδιο μήκος και την ίδια κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα μπορεί να μετακινηθεί παράλληλα με τον εαυτό του σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου.
μονόκλινοονομάζεται διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι 1 . Μηδέν - ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή η αρχή του συμπίπτει με το τέλος.
Είναι πιο βολικό να εργάζεστε με διανύσματα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων - αυτό στο οποίο σχεδιάζουμε γραφήματα συναρτήσεων. Κάθε σημείο του συστήματος συντεταγμένων αντιστοιχεί σε δύο αριθμούς - τις συντεταγμένες x και y, την τετμημένη και την τεταγμένη.
Το διάνυσμα δίνεται επίσης από δύο συντεταγμένες:
Εδώ, οι συντεταγμένες του διανύσματος γράφονται σε αγκύλες - σε x και σε y.
Είναι εύκολο να βρεθούν: η συντεταγμένη του τέλους του διανύσματος μείον τη συντεταγμένη της αρχής του.
Εάν δίνονται οι συντεταγμένες του διανύσματος, το μήκος του βρίσκεται από τον τύπο
Διάνυσμα προσθήκη
Υπάρχουν δύο τρόποι για να προσθέσετε διανύσματα.
ένας . κανόνας παραλληλογράμμου. Για να προσθέσουμε τα διανύσματα και , τοποθετούμε την αρχή και των δύο στο ίδιο σημείο. Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο και σχεδιάζουμε τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου από το ίδιο σημείο. Αυτό θα είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .
Θυμάστε τον μύθο για τον κύκνο, τον καρκίνο και τον λούτσο; Προσπάθησαν πολύ σκληρά, αλλά δεν κίνησαν ποτέ το κάρο. Εξάλλου, το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούσαν στο καρότσι ήταν ίσο με μηδέν.
2. Ο δεύτερος τρόπος για να προσθέσετε διανύσματα είναι ο κανόνας του τριγώνου. Ας πάρουμε τα ίδια διανύσματα και . Προσθέτουμε την αρχή του δεύτερου στο τέλος του πρώτου διανύσματος. Τώρα ας συνδέσουμε την αρχή του πρώτου και το τέλος του δεύτερου. Αυτό είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .
Με τον ίδιο κανόνα, μπορείτε να προσθέσετε πολλά διανύσματα. Τα στερεώνουμε ένα προς ένα και μετά συνδέουμε την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.
Φανταστείτε ότι πηγαίνετε από το σημείο Α στο σημείο Β, από το Β στο Γ, από το Γ στο Δ, μετά στο Ε και μετά στο ΣΤ. Το τελικό αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών είναι η μετάβαση από το Α στο ΣΤ.
Όταν προσθέτουμε διανύσματα και παίρνουμε:
Αφαίρεση διάνυσμα
Το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα. Τα μήκη των διανυσμάτων και είναι ίσα.
Τώρα είναι σαφές τι είναι η αφαίρεση των διανυσμάτων. Η διαφορά των διανυσμάτων και είναι το άθροισμα του διανύσματος και του διανύσματος .
Πολλαπλασιάστε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό
Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό k προκύπτει ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι k φορές διαφορετικό από το μήκος. Είναι συνκατευθυντικό με το διάνυσμα εάν το k είναι μεγαλύτερο από το μηδέν και κατευθύνεται αντίθετα εάν το k είναι μικρότερο από μηδέν.
Σημείο γινόμενο διανυσμάτων
Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν όχι μόνο με αριθμούς, αλλά και μεταξύ τους.
Το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας.
Δώστε προσοχή - πολλαπλασιάσαμε δύο διανύσματα και πήραμε έναν βαθμωτό, δηλαδή έναν αριθμό. Για παράδειγμα, στη φυσική, το μηχανικό έργο είναι ίσο με το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων - δύναμη και μετατόπιση:
Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το γινόμενο των τελειών τους είναι μηδέν.
Και έτσι εκφράζεται το βαθμωτό γινόμενο ως προς τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και:
Από τον τύπο για προϊόν με κουκκίδεςμπορείτε να βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων:
Αυτή η φόρμουλα είναι ιδιαίτερα βολική στη στερεομετρία. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα 14 εξετάσεις προφίλστα μαθηματικά, πρέπει να βρείτε τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων γραμμών ή μεταξύ ευθείας και επιπέδου. Το πρόβλημα 14 συχνά λύνεται πολλές φορές πιο γρήγορα από το κλασικό.
ΣΤΟ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνστα μαθηματικά μελετάται μόνο το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων.
Αποδεικνύεται ότι, εκτός από το βαθμωτό, υπάρχει επίσης ένα διανυσματικό γινόμενο, όταν λαμβάνεται ένα διάνυσμα ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο διανυσμάτων. Όποιος περνάει τις εξετάσεις στη φυσική, ξέρει τι είναι η δύναμη Lorentz και η δύναμη Ampère. Οι τύποι για την εύρεση αυτών των δυνάμεων περιλαμβάνουν ακριβώς διανυσματικά γινόμενα.
Τα διανύσματα είναι ένα πολύ χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο. Θα πειστείτε για αυτό στο πρώτο μάθημα.
Γνώσεις και δεξιότητες που αποκτήθηκαν στο αυτό το μάθημα, θα είναι χρήσιμο στους μαθητές όχι μόνο στα μαθήματα γεωμετρίας, αλλά και σε τάξεις άλλων επιστημών. Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, οι μαθητές θα μάθουν πώς να σχεδιάζουν ένα διάνυσμα από ένα δεδομένο σημείο. Μπορεί να είναι ένα κανονικό μάθημα γεωμετρίας, καθώς και ένα εξωσχολικό ή εξωσχολικό μάθημα μαθηματικών. Αυτή η εξέλιξη θα βοηθήσει τον δάσκαλο να εξοικονομήσει χρόνο προετοιμασίας για το μάθημα με θέμα «Καθυστέρηση ενός διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο». Θα είναι αρκετό για αυτόν να παίξει το βίντεο μάθημα στην τάξη και στη συνέχεια να εμπεδώσει το υλικό με τη δική του επιλογή ασκήσεων.
Η διάρκεια του μαθήματος διαρκεί μόνο 1:44 λεπτά. Αλλά αυτό είναι αρκετό για να διδάξουμε στους μαθητές να αναβάλουν το διάνυσμα από ένα δεδομένο σημείο.
Το μάθημα ξεκινά με μια επίδειξη ενός διανύσματος του οποίου η αρχή είναι κάποια στιγμή. Λένε ότι το διάνυσμα αναβάλλεται από αυτό. Στη συνέχεια, ο συγγραφέας προτείνει να αποδείξει μαζί του τη δήλωση σύμφωνα με την οποία ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο και, επιπλέον, μοναδικό μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο. Στην πορεία της απόδειξης, ο συγγραφέας εξετάζει κάθε περίπτωση λεπτομερώς. Πρώτον, παίρνει την κατάσταση όταν το δεδομένο διάνυσμα είναι μηδέν, και δεύτερον, όταν το διάνυσμα είναι μη μηδενικό. Κατά τη διάρκεια της απόδειξης, χρησιμοποιούνται εικονογραφήσεις με τη μορφή σχεδίων και κατασκευών, μαθηματικών σημειώσεων, που σχηματίζουν μαθηματικό γραμματισμό μεταξύ των μαθητών. Ο συγγραφέας μιλάει αργά, γεγονός που επιτρέπει στους μαθητές να κρατούν σημειώσεις παράλληλα ενώ σχολιάζουν. Η κατασκευή που πραγματοποιήθηκε από τον συγγραφέα κατά την απόδειξη της προηγουμένως διατυπωμένης δήλωσης δείχνει πώς μπορεί να κατασκευαστεί από κάποιο σημείο ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο.
Εάν οι μαθητές παρακολουθήσουν προσεκτικά το μάθημα και κρατήσουν σημειώσεις ταυτόχρονα, θα μάθουν εύκολα την ύλη. Επιπλέον, ο συγγραφέας αφηγείται λεπτομερώς, μετρημένα και πλήρως. Εάν για κάποιο λόγο δεν ακούσατε κάτι, μπορείτε να επιστρέψετε και να παρακολουθήσετε ξανά το μάθημα.
Αφού παρακολουθήσετε το εκπαιδευτικό βίντεο, συνιστάται να ξεκινήσετε τη διόρθωση του υλικού. Συνιστάται στον δάσκαλο να επιλέξει εργασίες σε αυτό το θέμα για να επεξεργαστεί την ικανότητα της αναβολής του διανύσματος από ένα δεδομένο σημείο.
Αυτό το μάθημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αυτοδιδασκαλίαςθέματα για μαθητές. Αλλά για να ενοποιήσετε, πρέπει να επικοινωνήσετε με τον δάσκαλο, ώστε να επιλέξει τις κατάλληλες εργασίες. Πράγματι, χωρίς εμπέδωση του υλικού, είναι δύσκολο να επιτευχθεί ένα θετικό αποτέλεσμα στην προπόνηση.
Διάνυσμα – είναι ένα κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα τμήμα που έχει ορισμένο μήκος και συγκεκριμένη διεύθυνση. Αφήστε το θέμα ΑΛΛΑείναι η αρχή του διανύσματος και το σημείο σι είναι το τέλος του, τότε το διάνυσμα συμβολίζεται με το σύμβολοή . Το διάνυσμα ονομάζεται απεναντι απο διάνυσμα και μπορεί να επισημανθεί .
Ας διατυπώσουμε έναν αριθμό βασικών ορισμών.
Μήκοςή μονάδα μέτρησης διάνυσμαονομάζεται μήκος του τμήματος και συμβολίζεται. Ένα διάνυσμα μηδενικού μήκους (η ουσία του είναι ένα σημείο) ονομάζεται μηδέν και δεν έχει κατεύθυνση. Διάνυσμα μονάδα μήκους ονομάζεταιμονόκλινο . Μοναδιαίο διάνυσμα του οποίου η διεύθυνση είναι ίδια με την κατεύθυνση του διανύσματος , λέγεται διάνυσμα διάνυσμα .
Τα διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική , αν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες, γράψτε. Τα συγγραμμικά διανύσματα μπορεί να έχουν τις ίδιες ή αντίθετες κατευθύνσεις. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό με οποιοδήποτε διάνυσμα.
Τα διανύσματα ονομάζονται ίσααν είναι συγγραμμικά, έχουν την ίδια κατεύθυνση και το ίδιο μήκος.
Τρία διανύσματα στο χώρο ονομάζονται ομοεπίπεδη αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα. Εάν μεταξύ τριών διανυσμάτων τουλάχιστον ένα είναι μηδέν ή οποιαδήποτε δύο είναι συγγραμμικά, τότε τέτοια διανύσματα είναι συνεπίπεδα.
Θεωρήστε στο διάστημα ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων 0 xyz. Επιλέξτε στους άξονες συντεταγμένων 0 Χ, 0y, 0zμοναδιαία διανύσματα (orts) και να τα συμβολίσετε μεαντίστοιχα. Επιλέγουμε ένα αυθαίρετο διάνυσμα χώρου και αντιστοιχίζουμε την προέλευσή του με την αρχή. Προβάλλουμε το διάνυσμα στους άξονες συντεταγμένων και συμβολίζουμε τις προβολές με ένα x, ένα υ, a zαντίστοιχα. Τότε είναι εύκολο να το δείξεις αυτό
.
(2.25)
Αυτός ο τύπος είναι βασικός στον διανυσματικό λογισμό και ονομάζεται επέκταση του διανύσματος στα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων συντεταγμένων . Αριθμοί ένα x, ένα υ, a zπου ονομάζεται διανυσματικές συντεταγμένες . Έτσι, οι συντεταγμένες ενός διανύσματος είναι οι προβολές του στους άξονες συντεταγμένων. Η διανυσματική ισότητα (2,25) συχνά γράφεται ως
Θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό του διανύσματος σε σγουρές αγκύλες για να διευκολύνουμε την οπτική διάκριση μεταξύ διανυσματικών συντεταγμένων και σημειακών συντεταγμένων. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το μήκος του τμήματος, γνωστό από τη σχολική γεωμετρία, μπορείτε να βρείτε μια έκφραση για τον υπολογισμό του συντελεστή του διανύσματος:
,
(2.26)
δηλαδή το μέτρο συντελεστή ενός διανύσματος είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του.
Ας υποδηλώσουμε τις γωνίες μεταξύ του διανύσματος και των αξόνων συντεταγμένων α, β, γ αντίστοιχα. συνημίτονα αυτές οι γωνίες ονομάζονται για το διάνυσμα οδηγούς , και ισχύει η ακόλουθη σχέση για αυτά:Η ορθότητα αυτής της ισότητας μπορεί να φανεί χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της προβολής του διανύσματος στον άξονα, η οποία θα εξεταστεί στην επόμενη παράγραφο 4.
Αφήνω μέσα τρισδιάστατο χώροφορείςμε τις συντεταγμένες τους. Σε αυτές εκτελούνται οι ακόλουθες πράξεις: γραμμική (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό και προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα ή άλλο διάνυσμα). μη γραμμικό - διάφορα προϊόντα διανυσμάτων (βαθμωτό, διανυσματικό, μικτό).
1. Πρόσθεση παράγονται δύο διανύσματα συντεταγμένα, δηλαδή αν
Αυτός ο τύπος ισχύει για έναν αυθαίρετο πεπερασμένο αριθμό όρων.
Γεωμετρικά, δύο διανύσματα προστίθενται σύμφωνα με δύο κανόνες:
ένα) κανόνας τρίγωνο - το προκύπτον διάνυσμα του αθροίσματος δύο διανυσμάτων συνδέει την αρχή του πρώτου από αυτά με το τέλος του δεύτερου, υπό την προϋπόθεση ότι η αρχή του δεύτερου συμπίπτει με το τέλος του πρώτου διανύσματος. για το άθροισμα των διανυσμάτων, το διάνυσμα του αθροίσματος που προκύπτει συνδέει την αρχή του πρώτου από αυτά με το τέλος του τελευταίου διανυσματικού όρου, υπό την προϋπόθεση ότι η αρχή του επόμενου όρου συμπίπτει με το τέλος του προηγούμενου.
σι) κανόνας παραλληλόγραμμο (για δύο διανύσματα) - ένα παραλληλόγραμμο είναι χτισμένο σε διανύσματα-προσθέτει όπως στις πλευρές μειωμένες σε μία αρχή. η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που προέρχεται από την κοινή τους αρχή είναι το άθροισμα των διανυσμάτων.
2. Αφαίρεση παράγονται δύο διανύσματα κατά συντεταγμένες, παρόμοια με την πρόσθεση, δηλαδή αν, έπειτα
Γεωμετρικά, προστίθενται δύο διανύσματα σύμφωνα με τον ήδη αναφερθέντα κανόνα του παραλληλογράμμου, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι η διαφορά των διανυσμάτων είναι η διαγώνιος που συνδέει τα άκρα των διανυσμάτων και το διάνυσμα που προκύπτει κατευθύνεται από το άκρο του διανύσματος που αφαιρείται σε το τέλος του μειωμένου διανύσματος.
Μια σημαντική συνέπεια της αφαίρεσης των διανυσμάτων είναι το γεγονός ότι εάν οι συντεταγμένες της αρχής και του τέλους του διανύσματος είναι γνωστές, τότε για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τις συντεταγμένες της αρχής του από τις συντεταγμένες του τέλους του
. Πράγματι, οποιοδήποτε διάνυσμα χώρουμπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά δύο διανυσμάτων που προέρχονται από την αρχή:
. Διανυσματικές συντεταγμένεςκαι συμπίπτουν με τις συντεταγμένες των σημείωνΑΛΛΑκαι ΣΤΟ, από την καταγωγήΟ(0;0;0). Έτσι, σύμφωνα με τον κανόνα της αφαίρεσης του διανύσματος, θα πρέπει να αφαιρεθούν οι συντεταγμένες του σημείουΑΛΛΑαπό συντεταγμένες σημείουΣΤΟ.
3.
Στο
πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό λ
συντονισμένα:
.
Στο λ> 0 - διάνυσμασυν-σκηνοθεσία ; λ< 0 - διάνυσμα αντίθετη κατεύθυνση ; | λ|> 1 - διανυσματικό μήκος αυξάνεται σε λ μια φορά;| λ|< 1 - το μήκος του διανύσματος μειώνεται σε λ μια φορά.
4. Αφήστε μια κατευθυνόμενη γραμμή να δοθεί στο διάστημα (ο άξονας μεγάλο), διάνυσμαδίνονται από το τέλος και τις συντεταγμένες έναρξης. Να δηλώσετε τις προβολές των σημείων ΕΝΑκαι σι ανά άξονα μεγάλοαντίστοιχα μέσω ΕΝΑ’ και σι’ .
προβολή διάνυσμα ανά άξονα μεγάλοονομάζεται μήκος του διανύσματος, λαμβάνονται με το σύμβολο "+", εάν το διάνυσμακαι άξονα μεγάλοσυνκατευθυντικό, και με σύμβολο "-", ανκαι μεγάλοαντίθετα κατευθυνόμενη.
Αν ως άξονας μεγάλοπάρτε κάποιο άλλο διάνυσμα, τότε παίρνουμε την προβολή του διανύσματοςστο διάνυσμα r.
Ας εξετάσουμε μερικές βασικές ιδιότητες των προβολών:
1) διανυσματική προβολήανά άξονα μεγάλοείναι ίσο με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματοςαπό το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του διανύσματος και του άξονα, δηλαδή
;
2.) η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι θετική (αρνητική) εάν το διάνυσμα σχηματίζει οξεία (αμβλεία) γωνία με τον άξονα και είναι ίση με μηδέν εάν αυτή η γωνία είναι ορθή.
3) η προβολή του αθροίσματος πολλών διανυσμάτων στον ίδιο άξονα είναι ίση με το άθροισμα των προβολών σε αυτόν τον άξονα.
Ας διατυπώσουμε ορισμούς και θεωρήματα για προϊόντα διανυσμάτων που αντιπροσωπεύουν μη γραμμικές πράξεις σε διανύσματα.
5. Προϊόν με τελείες φορείς καιονομάζεται αριθμός (κλιμακωτός) ίσος με το γινόμενο των μηκών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της γωνίαςφ μεταξύ τους δηλαδή
.
(2.27)
Προφανώς, το βαθμωτό τετράγωνο οποιουδήποτε μη μηδενικού διανύσματος είναι ίσο με το τετράγωνο του μήκους του, αφού σε αυτή την περίπτωση η γωνία , άρα το συνημίτονο του (στο 2,27) είναι 1.
Θεώρημα 2.2.Απαραίτητο και επαρκής κατάστασηη καθετότητα δύο διανυσμάτων είναι η ισότητα προς το μηδέν του κλιμακωτού γινομένου τους
Συνέπεια.Τα ζευγαρωτά βαθμωτά γινόμενα μονάδων διανυσμάτων είναι ίσα με μηδέν, δηλαδή
Θεώρημα 2.3.Σημείο γινόμενο δύο διανυσμάτων, που δίνονται από τις συντεταγμένες τους, ισούται με το άθροισμα των γινομένων των συντεταγμένων τους με το ίδιο όνομα, δηλαδή
(2.28)
Χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνίαμεταξυ τους. Αν δοθούν δύο μη μηδενικά διανύσματα με τις συντεταγμένες τους, τότε το συνημίτονο της γωνίαςφ μεταξυ τους:
(2.29)
Αυτό συνεπάγεται την συνθήκη της καθετότητας μη μηδενικών διανυσμάτωνκαι :
(2.30)
Εύρεση της προβολής ενός διανύσματοςπρος την κατεύθυνση που δίνει το διάνυσμα , μπορεί να πραγματοποιηθεί σύμφωνα με τον τύπο
(2.31)
Χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, βρίσκεται το έργο μιας σταθερής δύναμηςσε ευθεία τροχιά.
Υποθέτουμε ότι υπό τη δράση μιας σταθερής δύναμης υλικό σημείοκινείται κατευθείαν από τη θέση ΑΛΛΑστη θέση σι.Διάνυσμα δύναμης σχηματίζει γωνία φ με διάνυσμα μετατόπισης (Εικ. 2.14). Η φυσική λέει ότι το έργο που γίνεται από μια δύναμη κατά τη μετακίνησηείναι ίσο με .
Παράδειγμα 2.9.Χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, βρείτε τη γωνία στην κορυφήΕΝΑπαραλληλόγραμμοΑ Β Γ Δ, χτίζω σε φορείς
Λύση.Ας υπολογίσουμε τις ενότητες των διανυσμάτων και το βαθμωτό γινόμενο τους σύμφωνα με το θεώρημα (2.3):
Από εδώ, σύμφωνα με τον τύπο (2.29), παίρνουμε το συνημίτονο της επιθυμητής γωνίας
Παράδειγμα 2.10.Το κόστος των πρώτων υλών και των υλικών πόρων που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή ενός τόνου τυριού cottage δίνονται στον πίνακα 2.2 (ρούβλια).
Ποια είναι η συνολική τιμή αυτών των πόρων που δαπανώνται για την παραγωγή ενός τόνου τυριού cottage;Πίνακας 2.2
Επειτα 
.Συνολικό κόστος πόρων
, που είναι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων. Το υπολογίζουμε με τον τύπο (2.28) σύμφωνα με το Θεώρημα 2.3:
Σημείωση. Οι ενέργειες με διανύσματα που εκτελούνται στο παράδειγμα 2.10 μπορούν να εκτελεστούν σε προσωπικό υπολογιστή. Για να βρεθεί το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων στο MS Excel, χρησιμοποιείται η συνάρτηση SUMPRODUCT(), όπου οι διευθύνσεις των περιοχών των στοιχείων μήτρας, το άθροισμα των γινομένων των οποίων πρέπει να βρεθεί, καθορίζονται ως ορίσματα. Στο MathCAD, το γινόμενο κουκίδων δύο διανυσμάτων εκτελείται χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τελεστή της γραμμής εργαλείων Matrix
Παράδειγμα 2.11. Υπολογίστε το έργο που έκανε η δύναμη
, αν το σημείο εφαρμογής του κινείται ευθύγραμμα από τη θέση ΕΝΑ(2;4;6) στη θέση ΕΝΑ(4;2;7). Σε ποια γωνία να ΑΒ κατευθυνόμενη δύναμη ?Λύση.Βρίσκουμε το διάνυσμα μετατόπισης αφαιρώντας από τις συντεταγμένες του άκρου τουσυντεταγμένες έναρξης
. Με τον τύπο (2.28)(μονάδες εργασίας).
Γωνία φ ανάμεσα και βρίσκουμε με τον τύπο (2.29), δηλ.
6. Τρία μη ομοεπίπεδα διανύσματα, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, μορφήδεξιά τρία, εάν όταν το δούμε από το τέλος του τρίτου διανύσματοςσυντομότερη στροφή από το πρώτο διάνυσμαστο δεύτερο διάνυσμαεκτελείται αριστερόστροφα καιαριστερά εάν είναι δεξιόστροφα.
διανυσματική τέχνη διάνυσμα σε διάνυσμα που ονομάζεται διάνυσμα , ικανοποιώντας τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
– κάθετα στα διανύσματακαι ;
- έχει μήκος ίσο με
, όπου φ
είναι η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματακαι ;
– φορείς σχηματίζουν δεξιό τριπλό (Εικ. 2.15).
Θεώρημα 2.4.Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων είναι η ισότητα προς το μηδέν του διανυσματικού γινομένου τους
Θεώρημα 2.5.Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων, που δίνονται από τις συντεταγμένες τους, ισούται με την ορίζουσα τρίτης τάξης της μορφής
(2.32)
Σημείωση.Καθοριστικός Το (2.25) επεκτείνεται σύμφωνα με την ιδιότητα των 7 προσδιοριστικών παραγόντων
Συνέπεια 1.Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη συγγραμμικότητα δύο διανυσμάτων είναι η αναλογικότητα των αντίστοιχων συντεταγμένων τους
Συνέπεια 2.Τα διανυσματικά γινόμενα των μονάδων διανυσμάτων είναι ίσα
Συνέπεια 3.Το διανυσματικό τετράγωνο οποιουδήποτε διανύσματος είναι μηδέν
Γεωμετρική ερμηνεία του διανυσματικού προϊόντος
είναι ότι το μήκος του διανύσματος που προκύπτει είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν μικρόένα παραλληλόγραμμο χτισμένο σε διανύσματα-παράγοντες όπως σε πλευρές ανάγονται στην ίδια αρχή. Πράγματι, σύμφωνα με τον ορισμό, το μέτρο του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι ίσο με
.
Από την άλλη πλευρά, η περιοχή ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματακαι , ισούται επίσης με 
. Συνεπώς,
.
(2.33)
Επίσης, χρησιμοποιώντας το εγκάρσιο γινόμενο, μπορείτε να προσδιορίσετε τη ροπή δύναμης σε ένα σημείο και γραμμική ταχύτητα περιστροφής.
Αφήστε στο σημείο ΕΝΑ ασκούμενη δύναμηάστο να πάει Ο - κάποιο σημείο στο χώρο (Εικ. 2.16). Είναι γνωστό από το μάθημα της φυσικής ότι στιγμή της δύναμης σε σχέση με το σημείο Οπου ονομάζεται διάνυσμα , που διέρχεται από το σημείοΟκαι πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
Κάθετα στο επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία Ο, ΕΝΑ, σι;
Το μέτρο του είναι αριθμητικά ίσο με το γινόμενο της δύναμης και του βραχίονα.
- σχηματίζει ένα δεξιό τριπλό με διανύσματακαι.
Επομένως, η στιγμή της δύναμης σε σχέση με το σημείοΟείναι ένα διανυσματικό προϊόν
. (2.34)
σημείο άξονα (Εικ. 2.17).
Παράδειγμα 2.12.Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το εγκάρσιο γινόμενο αλφάβητο, βασισμένο σε διανύσματαανάγεται στην ίδια προέλευση.
Σελίδα 1 από 2
Ερώτηση 1.Τι είναι ένας φορέας; Πώς ορίζονται τα διανύσματα;
Απάντηση.Ένα κατευθυνόμενο τμήμα θα ονομάσουμε διάνυσμα (Εικ. 211). Η κατεύθυνση ενός διανύσματος καθορίζεται προσδιορίζοντας την αρχή και το τέλος του. Στο σχέδιο, η κατεύθυνση του διανύσματος σημειώνεται με ένα βέλος. Για να ορίσουμε διανύσματα, θα χρησιμοποιήσουμε πεζά λατινικά γράμματα a, b, c, ... . Μπορείτε επίσης να ορίσετε ένα διάνυσμα προσδιορίζοντας την αρχή και το τέλος του. Σε αυτή την περίπτωση, η αρχή του διανύσματος τοποθετείται στην πρώτη θέση. Αντί για τη λέξη "διάνυσμα", ένα βέλος ή μια παύλα τοποθετείται μερικές φορές πάνω από τον χαρακτηρισμό του γράμματος του διανύσματος. Το διάνυσμα στο σχήμα 211 μπορεί να συμβολιστεί ως εξής:
\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) ή \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).
Ερώτηση 2.Ποια διανύσματα ονομάζονται εξίσου κατευθυνόμενα (αντίθετα κατευθυνόμενα);
Απάντηση.Τα διανύσματα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) λέγονται ότι είναι ίσα κατευθυνόμενα εάν οι ημιευθείες AB και CD είναι εξίσου κατευθυνόμενες.
Τα διανύσματα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα εάν οι ημιευθείες AB και CD έχουν αντίθετη κατεύθυνση.
Στο σχήμα 212, τα διανύσματα \(\overline(a)\) και \(\overline(b)\) έχουν την ίδια κατεύθυνση, ενώ τα διανύσματα \(\overline(a)\) και \(\overline(c) \) έχουν αντίθετες κατευθύνσεις.
Ερώτηση 3.Ποια είναι η απόλυτη τιμή ενός διανύσματος;
Απάντηση.Η απόλυτη τιμή (ή συντελεστής) ενός διανύσματος είναι το μήκος του τμήματος που αντιπροσωπεύει το διάνυσμα. Η απόλυτη τιμή του διανύσματος \(\overline(a)\) συμβολίζεται με |\(\overline(a)\)|.
Ερώτηση 4.Τι είναι ένα μηδενικό διάνυσμα;
Απάντηση.Η αρχή ενός διανύσματος μπορεί να συμπίπτει με το τέλος του. Ένα τέτοιο διάνυσμα θα ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα. Το μηδενικό διάνυσμα συμβολίζεται με μηδέν με μια παύλα (\(\overline(0)\)). Κανείς δεν μιλάει για την κατεύθυνση του μηδενικού διανύσματος. Η απόλυτη τιμή του μηδενικού διανύσματος θεωρείται ίση με το μηδέν.
Ερώτηση 5.Ποια διανύσματα ονομάζονται ίσα;
Απάντηση.Δύο διανύσματα λέγονται ίσα εάν συνδυάζονται με παράλληλη μετάφραση. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια παράλληλη μετάφραση που μετακινεί την αρχή και το τέλος ενός διανύσματος στην αρχή και στο τέλος ενός άλλου διανύσματος, αντίστοιχα.
Ερώτηση 6.Να αποδείξετε ότι τα ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και είναι ίσα σε απόλυτη τιμή. Και αντίστροφα: ίσα κατευθυνόμενα διανύσματα που είναι ίσα σε απόλυτη τιμή είναι ίσα.
Απάντηση.Με την παράλληλη μετάφραση, το διάνυσμα διατηρεί την κατεύθυνσή του, καθώς και την απόλυτη τιμή του. Αυτό σημαίνει ότι τα ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και είναι ίσα σε απόλυτη τιμή.
Έστω τα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) να είναι ισοκατευθυνόμενα διανύσματα ίσα σε απόλυτη τιμή (Εικ. 213). Μια παράλληλη μετάφραση που μεταφέρει το σημείο C στο σημείο Α συνδυάζει ημιευθεία CD με μισή ευθεία ΑΒ, αφού κατευθύνονται εξίσου. Και εφόσον τα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα, τότε το σημείο Δ συμπίπτει με το σημείο Β, δηλ. η παράλληλη μετάφραση μεταφράζει το διάνυσμα \(\overline(CD)\) στο διάνυσμα \(\overline(AB)\). Επομένως, τα διανύσματα \(\overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) είναι ίσα, όπως απαιτείται.
Ερώτηση 7.Να αποδείξετε ότι από οποιοδήποτε σημείο μπορεί κανείς να σχεδιάσει ένα διάνυσμα ίσο με το δεδομένο διάνυσμα, και μόνο ένα.
Απάντηση.Έστω το CD μια γραμμή και το διάνυσμα \(\overline(CD)\) μέρος της γραμμής CD. Έστω AB η γραμμή στην οποία πηγαίνει η γραμμή CD κατά την παράλληλη μετάφραση, \(\overline(AB)\) είναι το διάνυσμα στο οποίο μπαίνει το διάνυσμα \(\overline(CD)\) κατά την παράλληλη μετάφραση, και επομένως τα διανύσματα Τα \(\ overline(AB)\) και \(\overline(CD)\) είναι ίσα και οι γραμμές AB και CD είναι παράλληλες (βλ. Εικ. 213). Όπως γνωρίζουμε, μέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε στο επίπεδο το πολύ μία ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη (το αξίωμα των παράλληλων ευθειών). Ως εκ τούτου, μέσω του σημείου Α μπορεί κανείς να σχεδιάσει μία ευθεία παράλληλη στην ευθεία CD. Εφόσον το διάνυσμα \(\overline(AB)\) είναι μέρος της ευθείας AB, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε ένα διάνυσμα \(\overline(AB)\) μέσω του σημείου A, το οποίο είναι ίσο με το διάνυσμα \(\overline (CD)\).
Ερώτηση 8.Τι είναι οι διανυσματικές συντεταγμένες; Ποια είναι η απόλυτη τιμή του διανύσματος με συντεταγμένες a 1 , a 2 ;
Απάντηση.Έστω το διάνυσμα \(\overline(a)\) να ξεκινά από το σημείο A 1 (x 1 ; y 1) και να τελειώνει στο σημείο A 2 (x 2 ; y 2). Οι συντεταγμένες του διανύσματος \(\overline(a)\) θα είναι οι αριθμοί a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Θα βάλουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος δίπλα στον χαρακτηρισμό του γράμματος του διανύσματος, σε αυτήν την περίπτωση \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) ή απλώς \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). Οι συντεταγμένες μηδενικών διανυσμάτων είναι ίσες με μηδέν.
Από τον τύπο που εκφράζει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων ως προς τις συντεταγμένες τους, προκύπτει ότι η απόλυτη τιμή του διανύσματος με συντεταγμένες a 1 , a 2 είναι \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\).
Ερώτηση 9.Να αποδείξετε ότι τα ίσα διανύσματα έχουν αντίστοιχα ίσες συντεταγμένες και τα διανύσματα με αντίστοιχα ίσες συντεταγμένες είναι ίσα.
Απάντηση.Έστω A 1 (x 1 ; y 1) και A 2 (x 2 ; y 2) η αρχή και το τέλος του διανύσματος \(\overline(a)\). Εφόσον το διάνυσμα \(\overline(a")\) ίσο με αυτό λαμβάνεται από το διάνυσμα \(\overline(a)\) με παράλληλη μετάφραση, τότε η αρχή και το τέλος του θα είναι αντίστοιχα A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 + d). Αυτό δείχνει ότι και τα δύο διανύσματα \(\overline(a)\) και \(\overline(a")\) έχουν οι ίδιες συντεταγμένες: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Ας αποδείξουμε τώρα τον αντίστροφο ισχυρισμό. Έστω ίσες οι αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων \(\overline(A 1 A 2 )\) και \(\overline(A" 1 A" 2 )\). Αποδεικνύουμε ότι τα διανύσματα είναι ίσα.
Έστω x" 1 και y" 1 οι συντεταγμένες του σημείου A" 1 και x" 2, y" 2 οι συντεταγμένες του σημείου A" 2. Με την συνθήκη του θεωρήματος x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Επομένως x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Παράλληλη μετάφραση που δίνεται από τύπους
x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,
μεταφέρει το σημείο A 1 στο σημείο A" 1 , και το σημείο A 2 στο σημείο A" 2 , δηλ. τα διανύσματα \(\overline(A 1 A 2 )\) και \(\overline(A" 1 A" 2)\) είναι ίσα, όπως απαιτείται.
Ερώτηση 10.Ορίστε το άθροισμα των διανυσμάτων.
Απάντηση.Το άθροισμα των διανυσμάτων \(\overline(a)\) και \(\overline(b)\) με συντεταγμένες a 1 , a 2 και b 1 , b 2 είναι το διάνυσμα \(\overline(c)\) με συντεταγμένες a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , δηλ.
\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).
