Η απλούστερη γενίκευση της διαδικασίας Poisson επιτυγχάνεται με την υπόθεση ότι οι πιθανότητες άλματος μπορεί να εξαρτώνται από την τρέχουσα κατάσταση του συστήματος. Αυτό μας φέρνει στις ακόλουθες απαιτήσεις.

Αξιώματα. (i) Μια άμεση μετάβαση από την κατάσταση είναι δυνατή μόνο στην κατάσταση . (ii) Εάν τη στιγμή που το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση , τότε η (υπό όρους) πιθανότητα ενός άλματος στο επόμενο σύντομο χρονικό διάστημα μεταξύ και είναι ίση, ενώ η (υπό όρους) πιθανότητα για περισσότερα από ένα άλματα σε αυτό το διάστημα είναι .

Διακριτικό χαρακτηριστικόΑυτή η υπόθεση είναι ότι ο χρόνος που αφιερώνει το σύστημα σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη κατάσταση δεν παίζει κανένα ρόλο. Είναι δυνατές ξαφνικές αλλαγές κατάστασης, ωστόσο, εφόσον το σύστημα βρίσκεται στην ίδια κατάσταση, δεν γερνάει.

Έστω πάλι η πιθανότητα ότι τη στιγμή που το σύστημα είναι σε κατάσταση. Αυτές οι λειτουργίες ικανοποιούν το σύστημα διαφορικές εξισώσεις, το οποίο μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τα ορίσματα της προηγούμενης ενότητας, με μόνη αλλαγή ότι το (5) στην προηγούμενη ενότητα αντικαθίσταται από

Έτσι, παίρνουμε το κύριο σύστημα διαφορικών εξισώσεων

(2)

Στη διαδικασία Poisson, ήταν φυσικό να υποθέσουμε ότι τη χρονική στιγμή 0 το σύστημα φεύγει από την αρχική κατάσταση. Τώρα μπορούμε να υποθέσουμε μια πιο γενική περίπτωση όπου το σύστημα αφήνει μια αυθαίρετη αρχική κατάσταση. Τότε το καταλαβαίνουμε

Αυτές οι αρχικές συνθήκες καθορίζουν μοναδικά τη λύση του συστήματος (2). (Συγκεκριμένα, ). Οι σαφείς τύποι προέκυψαν ανεξάρτητα από πολλούς συγγραφείς, αλλά δεν μας ενδιαφέρουν.

Παράδειγμα. ραδιενεργή διάσπαση. Ως αποτέλεσμα της εκπομπής σωματιδίων ή ακτίνων, ένα ραδιενεργό άτομο, ας πούμε το ουράνιο, μπορεί να μετατραπεί σε άτομο άλλου είδους. Κάθε προβολή αντιπροσωπεύει μια πιθανή κατάσταση και καθώς προχωρά η διαδικασία, λαμβάνουμε μια ακολουθία μεταβάσεων. Σύμφωνα με αποδεκτές φυσικές θεωρίες, η πιθανότητα μετάβασης παραμένει αμετάβλητη όσο το άτομο βρίσκεται στην κατάσταση , και αυτή η υπόθεση βρίσκει έκφραση στην αρχική μας υπόθεση. Επομένως, αυτή η διαδικασία περιγράφεται από τις διαφορικές εξισώσεις (2) (γεγονός πολύ γνωστό στους φυσικούς). Εάν είναι η τελική κατάσταση από την οποία δεν είναι δυνατές άλλες μεταβάσεις, τότε το σύστημα (2) τερματίζει στο . (Όταν λαμβάνουμε αυτόματα ).

Εισαγωγή

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε ένα σχήμα συνεχών αλυσίδων Markov - το λεγόμενο "σχήμα θανάτου και αναπαραγωγής"

Η διαδικασία της αναπαραγωγής και του θανάτου είναι μια τυχαία διαδικασία με ένα μετρήσιμο (πεπερασμένο ή άπειρο) σύνολο καταστάσεων, που προχωρά σε διακριτό ή συνεχή χρόνο. Συνίσταται στο γεγονός ότι κάποιο σύστημα σε τυχαίες στιγμέςΟ χρόνος περνά από τη μια κατάσταση στην άλλη και οι μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων συμβαίνουν απότομα όταν συμβαίνουν ορισμένα γεγονότα. Κατά κανόνα, αυτά τα γεγονότα είναι δύο τύπων: ένα από αυτά ονομάζεται υπό όρους γέννηση κάποιου αντικειμένου και το δεύτερο - ο θάνατος αυτού του αντικειμένου.

Αυτό το θέμα είναι εξαιρετικά σχετικό λόγω της μεγάλης σημασίας των διαδικασιών Markov στη μελέτη οικονομικών, περιβαλλοντικών και βιολογικών διεργασιών, επιπλέον, οι διεργασίες Markov αποτελούν τη βάση της θεωρίας της ουράς, η οποία χρησιμοποιείται σήμερα ενεργά σε διάφορους οικονομικούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της διαχείρισης επιχειρησιακών διαδικασιών.

Οι διαδικασίες Markov του θανάτου και της αναπαραγωγής χρησιμοποιούνται ευρέως στην εξήγηση διάφορες διαδικασίεςπου εμφανίζονται στη φυσική, τη βιόσφαιρα, το οικοσύστημα κ.λπ. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός ο τύπος διεργασιών Markov πήρε το όνομά του ακριβώς λόγω της ευρείας εφαρμογής του στη βιολογία, ιδίως στη μοντελοποίηση του θανάτου και της αναπαραγωγής ατόμων διαφόρων πληθυσμών.

Σε αυτή την εργασία, θα τεθεί μια εργασία, σκοπός της οποίας είναι ο προσδιορισμός της μαθηματικής προσδοκίας για ορισμένες διαδικασίες αναπαραγωγής και θανάτου. Θα δοθούν παραδείγματα υπολογισμού του μέσου αριθμού αιτημάτων στο σύστημα στη στατική λειτουργία και θα γίνουν εκτιμήσεις για διάφορες περιπτώσεις αναπαραγωγής και διεργασιών θανάτου.

Οι διαδικασίες της αναπαραγωγής και του θανάτου

Οι διαδικασίες αναπαραγωγής και θανάτου είναι μια ειδική περίπτωση τυχαίων διαδικασιών Markov, οι οποίες, ωστόσο, χρησιμοποιούνται ευρέως στη μελέτη διακριτών συστημάτων με στοχαστική φύση λειτουργίας. Η διαδικασία της αναπαραγωγής και του θανάτου είναι μια τυχαία διαδικασία Markov κατά την οποία οι μεταβάσεις από την κατάσταση E i επιτρέπονται μόνο στις γειτονικές καταστάσεις E i-1 , E i και E i+1 . Η διαδικασία της αναπαραγωγής και του θανάτου είναι ένα επαρκές μοντέλο για την περιγραφή των αλλαγών που συμβαίνουν στον όγκο των βιολογικών πληθυσμών. Ακολουθώντας αυτό το μοντέλο, μια διεργασία λέγεται ότι βρίσκεται στην κατάσταση E i εάν το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με τα μέλη i. Σε αυτή την περίπτωση, η μετάβαση από την κατάσταση E i στην κατάσταση E i+1 αντιστοιχεί στη γέννηση και η μετάβαση από την E i στην E i-1 αντιστοιχεί στον θάνατο, υποτίθεται ότι ο όγκος του πληθυσμού μπορεί να αλλάξει κατά κανένα ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΑΠΟ ΕΝΑ; Αυτό σημαίνει ότι για τις διαδικασίες αναπαραγωγής και θανάτου δεν επιτρέπονται πολλαπλές ταυτόχρονες γεννήσεις ή/και θάνατοι.

Οι διακριτές διαδικασίες αναπαραγωγής και θανάτου είναι λιγότερο ενδιαφέρουσες από τις συνεχείς· επομένως, στη συνέχεια δεν εξετάζονται λεπτομερώς και η κύρια προσοχή δίνεται στις συνεχείς διαδικασίες. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι γίνονται σχεδόν παράλληλοι υπολογισμοί για διακριτές διαδικασίες. Η μετάβαση της διαδικασίας αναπαραγωγής και θανάτου από την κατάσταση E i πίσω στην κατάσταση E i ενδιαφέρει άμεσο μόνο τις διακριτές αλυσίδες Markov. Στη συνεχή περίπτωση, ο ρυθμός με τον οποίο η διεργασία επιστρέφει στην τρέχουσα κατάσταση είναι άπειρος, και αυτό το άπειρο έχει εξαλειφθεί και ορίζεται ως εξής:

Στην περίπτωση μιας διαδικασίας αναπαραγωγής και θανάτου με διακριτό χρόνο, οι πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων

Εδώ d i είναι η πιθανότητα ότι στο επόμενο βήμα (όσον αφορά τον βιολογικό πληθυσμό) θα συμβεί ένας θάνατος, μειώνοντας το μέγεθος του πληθυσμού υπό την προϋπόθεση ότι σε αυτό το βήμα το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με i. Ομοίως, b i είναι η πιθανότητα γέννησης στο επόμενο βήμα, με αποτέλεσμα την αύξηση του μεγέθους του πληθυσμού σε? αντιπροσωπεύει την πιθανότητα ότι κανένα από αυτά τα γεγονότα δεν θα συμβεί και το μέγεθος του πληθυσμού δεν θα αλλάξει στο επόμενο βήμα. Μόνο αυτές οι τρεις δυνατότητες επιτρέπονται. Είναι σαφές ότι, αφού ο θάνατος δεν μπορεί να έρθει αν δεν υπάρχει κανείς να πεθάνει.

Ωστόσο, σε αντίθεση με τη διαίσθηση, υποτίθεται ότι, που αντιστοιχεί στη δυνατότητα γέννησης όταν δεν υπάρχει ούτε ένα μέλος στον πληθυσμό. Αν και αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως αυθόρμητη γέννηση ή θεϊκή δημιουργία, αλλά στη θεωρία των διακριτών συστημάτων, ένα τέτοιο μοντέλο είναι μια απολύτως ουσιαστική υπόθεση. Δηλαδή, το μοντέλο έχει ως εξής: ο πληθυσμός είναι μια ροή απαιτήσεων στο σύστημα, ο θάνατος σημαίνει την αποχώρηση μιας απαίτησης από το σύστημα και η γέννηση αντιστοιχεί στην είσοδο μιας νέας απαίτησης στο σύστημα. Είναι σαφές ότι σε ένα τέτοιο μοντέλο είναι αρκετά πιθανό να μπει μια νέα ζήτηση (γέννηση) στο ελεύθερο σύστημα. Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης για τη γενική διαδικασία αναπαραγωγής και θανάτου έχει την ακόλουθη μορφή:

Εάν η αλυσίδα Markov είναι πεπερασμένη, τότε η τελευταία σειρά του πίνακα γράφεται ως ; Αυτό αντιστοιχεί στο γεγονός ότι δεν επιτρέπεται η αναπαραγωγή αφού ο πληθυσμός φτάσει στο μέγιστο μέγεθός του n. Ο πίνακας T περιέχει μηδενικούς όρους μόνο στην κύρια διαγώνιο και στις δύο διαγώνιους που βρίσκονται πιο κοντά σε αυτήν. Λόγω αυτής της συγκεκριμένης μορφής του πίνακα T, είναι φυσικό να περιμένουμε ότι η ανάλυση της διαδικασίας αναπαραγωγής και θανάτου δεν θα πρέπει να προκαλεί δυσκολίες. Περαιτέρω, θα εξετάσουμε μόνο συνεχείς διαδικασίες αναπαραγωγής και θανάτου, στις οποίες οι μεταβάσεις από την κατάσταση Ε i είναι δυνατές μόνο σε γειτονικές καταστάσεις Ε i-1 (θάνατος) και Ε i+1 (γέννηση). Δηλώστε με i την ένταση αναπαραγωγής. περιγράφει τον ρυθμό με τον οποίο λαμβάνει χώρα η αναπαραγωγή σε έναν πληθυσμό όγκου i. Ομοίως, συμβολίζουμε με i την ένταση του θανάτου, η οποία καθορίζει το ρυθμό με τον οποίο συμβαίνει ο θάνατος σε έναν πληθυσμό όγκου i. Σημειώστε ότι οι εισαγόμενοι ρυθμοί αναπαραγωγής και θανάτου δεν εξαρτώνται από το χρόνο, αλλά εξαρτώνται μόνο από την κατάσταση E i, επομένως, λαμβάνουμε μια συνεχή ομοιογενή αλυσίδα Markov του τύπου αναπαραγωγής και θανάτου. Αυτές οι ειδικές σημειώσεις εισάγονται επειδή οδηγούν απευθείας στις σημειώσεις που γίνονται αποδεκτές στη θεωρία των διακριτών συστημάτων. Ανάλογα με τον συμβολισμό που εισήχθη προηγουμένως, έχουμε:

i = q i,i+1 και i = q i,i-1 .

Η απαίτηση ότι οι μεταβάσεις μόνο στα πλησιέστερα γειτονικά κράτη είναι αποδεκτές σημαίνει ότι, με βάση το γεγονός ότι

παίρνουμε q ii =-(i + i). Έτσι, η μήτρα των εντάσεων των μεταβάσεων της γενικής ομοιογενούς διαδικασίας αναπαραγωγής και θανάτου παίρνει τη μορφή:

Σημειώστε ότι, με εξαίρεση την κύρια διαγώνιο και τις παρακείμενες σε αυτήν διαγώνιο κάτω και πάνω, όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με μηδέν. Το αντίστοιχο γράφημα έντασης μετάβασης φαίνεται στο αντίστοιχο σχήμα (2.1):

Εικόνα 2.1 - Γράφημα εντάσεων μετάβασης για τη διαδικασία αναπαραγωγής και θανάτου

Ένας πιο ακριβής ορισμός της συνεχούς διαδικασίας γέννησης και θανάτου είναι ο εξής: μια διαδικασία είναι μια διαδικασία γέννησης και θανάτου εάν είναι μια ομοιογενής αλυσίδα Markov με ένα σύνολο καταστάσεων (E 0 , E 1 , E 2 , ...), αν είναι η γέννηση και ο θάνατος ανεξάρτητες εκδηλώσεις(αυτό προκύπτει απευθείας από την ιδιοκτησία Markov) και εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

(ακριβώς 1 γέννηση στο χρονικό διάστημα (t, t + Dt), το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με i) ;

(ακριβώς 1 θάνατος στο χρονικό διάστημα (t, t + Dt) | το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με i).

= (ακριβώς 0 γεννήσεις στο χρονικό διάστημα (t, t + Дt) | το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με i).

= (ακριβώς 0 θάνατοι στο χρονικό διάστημα (t, t + Δt) | το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με i).

Έτσι, ?t μέχρι είναι η πιθανότητα γέννησης ενός νέου ατόμου σε έναν πληθυσμό n ατόμων και είναι η πιθανότητα θανάτου ενός ατόμου σε αυτόν τον πληθυσμό κατά τη διάρκεια του χρόνου .

Οι πιθανότητες μετάβασης ικανοποιούν τις αντίστροφες εξισώσεις Kolmogorov. Έτσι, η πιθανότητα η συνεχής διαδικασία αναπαραγωγής και θανάτου τη στιγμή t να βρίσκεται στην κατάσταση E i (το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με i) ορίζεται ως (2.1):

Για την επίλυση του προκύπτοντος συστήματος διαφορικών εξισώσεων στη μη στάσιμη περίπτωση, όταν οι πιθανότητες P i (t), i=0,1,2,…, εξαρτώνται από το χρόνο, είναι απαραίτητο να οριστεί η κατανομή των αρχικών πιθανοτήτων P i (0), i=0,1,2 ,…, σε t=0. Επιπλέον, πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη κανονικοποίησης.

Εξετάστε τώρα την απλούστερη διαδικασία καθαρής αναπαραγωγής, η οποία ορίζεται ως μια διαδικασία για την οποία i = 0 για όλα τα i. Επίσης, για να απλοποιήσουμε περαιτέρω το πρόβλημα, ας υποθέσουμε ότι i = για όλα τα i=0,1,2,... . Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στις εξισώσεις (2.1) παίρνουμε το (2.2):

Για απλότητα, υποθέτουμε επίσης ότι η διαδικασία ξεκινά τη στιγμή μηδέν με μηδενικούς όρους, δηλαδή:

Άρα για P 0 (t) παίρνουμε τη λύση:

Αντικαθιστώντας αυτή τη λύση με την εξίσωση (2.2) για i = 1, καταλήγουμε στην εξίσωση:

Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει προφανώς τη μορφή:

Αυτή είναι η γνωστή διανομή Poisson. Έτσι, μια διαδικασία καθαρής αναπαραγωγής με σταθερή ένταση οδηγεί σε μια σειρά γεννήσεων που σχηματίζουν μια ροή Poisson.

Μεγαλύτερο ενδιαφέρον από πρακτικούς όρους είναι οι πιθανότητες των καταστάσεων της διαδικασίας αναπαραγωγής και του θανάτου στη σταθερή κατάσταση. Υποθέτοντας ότι η διαδικασία έχει μια εργοδοτική ιδιότητα, δηλαδή υπάρχουν όρια

ας περάσουμε στον ορισμό των περιοριστικών πιθανοτήτων P i . Οι εξισώσεις για τον προσδιορισμό των πιθανοτήτων του στατικού καθεστώτος μπορούν να ληφθούν απευθείας από το (2.1), λαμβάνοντας υπόψη ότι dP i (t)/dt = 0 για:

Το προκύπτον σύστημα εξισώσεων επιλύεται λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη κανονικοποίησης (2.4):

Το σύστημα των εξισώσεων (2.3) για τη σταθερή κατάσταση της διαδικασίας γέννησης και θανάτου μπορεί να συνταχθεί απευθείας από το γράφημα έντασης μετάβασης στο Σχήμα 2.1, εφαρμόζοντας την αρχή της ισότητας των ροών πιθανότητας σε μεμονωμένες καταστάσεις της διαδικασίας. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε την κατάσταση E i σε σταθερή κατάσταση, τότε:

η ένταση της ροής των πιθανοτήτων σε και

την ένταση της ροής των πιθανοτήτων προς τα έξω.

Σε κατάσταση ισορροπίας, αυτές οι δύο ροές πρέπει να είναι ίσες και επομένως λαμβάνουμε άμεσα:

Αλλά αυτή είναι ακριβώς η πρώτη ισότητα στο σύστημα (2.3). Η δεύτερη ισότητα του συστήματος μπορεί να ληφθεί με παρόμοιο τρόπο. Τα ίδια επιχειρήματα διατήρησης ροής που δόθηκαν προηγουμένως μπορούν να εφαρμοστούν στη ροή των πιθανοτήτων μέσω οποιουδήποτε κλειστού ορίου. Για παράδειγμα, αντί να απομονώσετε κάθε κατάσταση και να γράψετε μια εξίσωση για αυτήν, μπορείτε να επιλέξετε μια ακολουθία περιγραμμάτων, η πρώτη από τις οποίες καλύπτει την κατάσταση E 0 , η δεύτερη - την κατάσταση E 0 και E 1 και ούτω καθεξής, συμπεριλαμβανομένου καθενός ώρα μέσα νέα σύνοραεπόμενη κατάσταση. Στη συνέχεια, για το i-ο κύκλωμα (κατάσταση περιβάλλοντος E 0 , E 1 ,..., E i-1) η συνθήκη διατήρησης της ροής των πιθανοτήτων μπορεί να γραφτεί με την εξής απλή μορφή:

Η ισότητα (2.5) μπορεί να διατυπωθεί ως κανόνας: για το απλούστερο σύστημααναπαραγωγή και θάνατος, που είναι σε στατικό τρόπο, οι πιθανότητες ροές μεταξύ δύο γειτονικών καταστάσεων είναι ίσες.

Το προκύπτον σύστημα εξισώσεων είναι ισοδύναμο με αυτό που προέκυψε προηγουμένως. Για να συντάξετε το τελευταίο σύστημα εξισώσεων, πρέπει να σχεδιάσετε μια κατακόρυφη γραμμή που χωρίζει τις γειτονικές καταστάσεις και να εξισώσετε τις ροές μέσω του προκύπτοντος ορίου .

Η λύση του συστήματος (2.5) μπορεί να βρεθεί με μαθηματική επαγωγή.

Για i=1 έχουμε

Η μορφή των ληφθέντων ισοτήτων δείχνει ότι κοινή απόφασησύστημα εξισώσεων (2.5) έχει τη μορφή:

ή, δεδομένου ότι, εξ ορισμού, το γινόμενο πάνω από το κενό σύνολο είναι ίσο με ένα:

Έτσι, όλες οι πιθανότητες P i για τη σταθερή κατάσταση εκφράζονται ως μια μοναδική άγνωστη σταθερά P 0 . Η ισότητα (2.4) δίνει μια πρόσθετη συνθήκη που καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό του P 0 . Στη συνέχεια, αθροίζοντας όλα τα i, για P 0 λαμβάνουμε (2.7):

Ας στραφούμε στο ζήτημα της ύπαρξης στατικών πιθανοτήτων P i . Προκειμένου οι παραστάσεις που προκύπτουν να προσδιορίζουν πιθανότητες, συνήθως επιβάλλεται η απαίτηση P 0 >0. Αυτό προφανώς επιβάλλει περιορισμό στους συντελεστές πολλαπλασιασμού και θανάτου στις αντίστοιχες εξισώσεις. Ουσιαστικά, απαιτεί το σύστημα να αδειάζει περιστασιακά. Αυτή η συνθήκη σταθερότητας φαίνεται να είναι αρκετά λογική, αν στραφούμε σε παραδείγματα πραγματική ζωή. Εάν μεγαλώσουν πολύ γρήγορα σε σύγκριση με, τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι με θετική πιθανότητα σε πεπερασμένο χρόνο t η διαδικασία θα αφήσει τον χώρο φάσης (0,1, ...) σε "ένα σημείο στο άπειρο;" (θα υπάρχουν πάρα πολλά άτομα στον πληθυσμό). Με άλλα λόγια, η διαδικασία θα γίνει ακανόνιστη και στη συνέχεια θα παραβιαστεί η ισότητα (2.4). Ορίζουμε τα ακόλουθα δύο αθροίσματα:

Για την κανονικότητα της διαδικασίας της αναπαραγωγής και του θανάτου, είναι απαραίτητο και αρκετό S 2 = .

Για την ύπαρξη της σταθερής κατανομής του είναι απαραίτητο και επαρκές το S 1< .

Προκειμένου όλες οι καταστάσεις E i της υπό εξέταση διαδικασίας γέννησης και θανάτου να είναι εργοδικές, είναι απαραίτητο και αρκετό η σειρά S 1 να συγκλίνει< , при этом ряд должен расходиться S 2 = . Только эргодический случай приводит к установившимся вероятностям P i , i = 0, 1, 2, …, и именно этот случай представляет интерес. Заметим, что условия эргодичности выполняются, например, когда, начиная с некоторого i, все члены последовательности {} ограничены единицей, т. е. тогда, когда существует некоторое i 0 (и некоторое С<1) такое, что для всех ii 0 выполняется неравенство:

Αυτή η ανισότητα μπορεί να δοθεί μια απλή ερμηνεία: ξεκινώντας από κάποια κατάσταση E i και για όλες τις επόμενες καταστάσεις, η ένταση της ροής αναπαραγωγής πρέπει να είναι μικρότερη από την ένταση της ροής του θανάτου.

Μερικές φορές στην πράξη υπάρχουν διαδικασίες «καθαρής» αναπαραγωγής. Η διαδικασία της «καθαρής» αναπαραγωγής είναι μια τέτοια διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής, στην οποία η ένταση όλων των ροών θανάτου είναι ίση με μηδέν. Το γράφημα κατάστασης μιας τέτοιας διαδικασίας χωρίς περιορισμό στον αριθμό των καταστάσεων φαίνεται στο σχήμα (2.2):

Εικόνα 2.2 - Γράφημα εντάσεων μετάβασης για τη διαδικασία της «καθαρής» αναπαραγωγής

Παρομοίως εισάγεται η έννοια του «καθαρού» θανάτου. Η διαδικασία του «καθαρού» θανάτου είναι μια τέτοια διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής, στην οποία οι εντάσεις όλων των ροών αναπαραγωγής είναι ίσες με μηδέν. Το γράφημα κατάστασης μιας τέτοιας διαδικασίας χωρίς περιορισμό στον αριθμό των καταστάσεων φαίνεται στο σχήμα:

Εικόνα 2.3 - Γράφημα εντάσεων μετάβασης για τη διαδικασία του «καθαρού» θανάτου

Το σύστημα της εξίσωσης Kolmogorov για τέτοιες διεργασίες μπορεί να ληφθεί από το σύστημα των εξισώσεων (2.1), στο οποίο είναι απαραίτητο να οριστούν όλες οι εντάσεις των ροών των διεργασιών θανάτου ίσες με μηδέν: .

Μία από τις πιο σημαντικές περιπτώσεις αλυσίδων Markov είναι γνωστή ως η διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής. Αυτή η διαδικασία μπορεί να είναι με διακριτό ή συνεχή χρόνο και η προϋπόθεση που την καθορίζει είναι ότι επιτρέπονται μόνο μεταβάσεις σε γειτονικές πολιτείες.

Εξετάστε τη διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής με συνεχή χρόνο. Μια τέτοια διαδικασία είναι ένα μοντέλο αλλαγών στο μέγεθος του πληθυσμού.

Η διαδικασία είναι στο κράτος Αυτήν,αν ο όγκος (αριθμός) του πληθυσμού είναι ίσος με k. μεταβατική κατάσταση Εκαντιστοιχεί στο θάνατο ενός μέλους του πληθυσμού και στη μετάβαση στο κράτος Εκ+- γέννηση.

Αυτή η διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί ως μοντέλο QS στο οποίο Εκαντιστοιχεί προς τηναιτήματα στο σύστημα και τη μετάβαση στο κράτος Εκ-ή Εκ+- έξοδος της εφαρμογής από το σύστημα ή άφιξη της.

Για τη διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής με ένα σύνολο καταστάσεων 0, 1,2, ..., πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Εδώ P(+i; bt; k)- πιθανότητα Εγώγεννήσεις με την πάροδο του χρόνου btμε την προϋπόθεση ότι το μέγεθος του πληθυσμού είναι ίσο με προς την; P(-i; bt; k)- πιθανότητα Εγώθάνατο υπό τις ίδιες συνθήκες.

Σύμφωνα με αυτές τις συνθήκες, οι πολλαπλές γεννήσεις, οι πολλαπλοί εκμηδενισμοί και οι ταυτόχρονες γεννήσεις και εκμηδενισμοί μέσα σε ένα μικρό χρονικό διάστημα απαγορεύονται με την έννοια ότι η πιθανότητα αυτών των πολλαπλών γεγονότων είναι της τάξης της μικρότητας o(6r). Αυτή η ιδιότητα προκύπτει από την ιδιότητα της εκθετικής κατανομής, όπως φαίνεται νωρίτερα.

Βρείτε την πιθανότητα ότι το μέγεθος του πληθυσμού σε κάποια χρονική στιγμή είναι ίσο με k p(k, t) = P.

Εξετάστε τη μεταβολή του όγκου του πληθυσμού στο χρονικό διάστημα (t, t+ 5/). Στο χρονικό σημείο t+btη διαδικασία θα γίνει στην κατάσταση Ε προς την,εάν έχει συμβεί ένα από τα τρία αμοιβαία αποκλειόμενα και που αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων:

• 1) εκείνη τη στιγμή tτο μέγεθος του πληθυσμού ήταν Α: και κατά τη διάρκεια του χρόνου btη κατάσταση δεν έχει αλλάξει.
• 2) τη στιγμή του χρόνου tμέγεθος πληθυσμού ήταν προς την - 1 και για το χρόνο btγεννήθηκε ένα μέλος του πληθυσμού.
• 3) εκείνη τη στιγμή tμέγεθος πληθυσμού ήταν προς την+ 1 και για ώρα btένα μέλος του πληθυσμού πέθανε.

Τότε η πιθανότητα ότι κατά το χρόνο t+btη διαδικασία θα γίνει στο κράτος Εκ,είναι ίσο με

Η δεδομένη ισότητα έχει νόημα μόνο όταν προς >Α, αφού ένας πληθυσμός δεν μπορεί να αποτελείται από (-1) μέλη. Ισότητα ορίων στο προς την= Το O έχει τη μορφή:

Επιπλέον, πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη κανονικοποίησης

Διαχωρισμός στις εξισώσεις (49.3) και (49.5) p(k)και διαιρώντας με bkπαίρνουμε

Περνώντας στο όριο στο bt-> 0, έχουμε:

Έτσι, η θεωρούμενη πιθανολογική διαδικασία περιγράφεται από ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να προκύψουν απευθείας από το διάγραμμα κατάστασης (Εικόνα 49.2).

Ρύζι. 49.2.

κατάσταση Εκυποδεικνύεται με ένα οβάλ στο οποίο αναγράφεται ο αριθμός προς την.Οι μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων υποδεικνύονται με βέλη, τα οποία αντιπροσωπεύουν τις εντάσεις των μεταβάσεων.

Η διαφορά μεταξύ της έντασης με την οποία το σύστημα εισέρχεται στην κατάσταση ek,και η ένταση με την οποία τον αφήνει πρέπει να ισούται με την ένταση της αλλαγής της ροής σε αυτή την κατάσταση.

Ρυθμός ροής ανά κατάσταση

Ρυθμός ροής από την κατάσταση ~

Η διαφορά μεταξύ τους είναι ίση με την αποτελεσματική ένταση της ροής των πιθανοτήτων στην κατάσταση

Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι γενική εικόνααδύνατο. Το μοντέλο ακόμη και ενός απλού συστήματος είναι εξαιρετικά περίπλοκο και δύσκολο να αναλυθεί. Αν αναλογιστούμε το SMO περισσότερο σύνθετου τύπου, τότε οι υπολογιστικές δυσκολίες θα είναι ακόμη μεγαλύτερες. Επομένως, οι λύσεις του συστήματος (49.3) - (49.4) συνήθως θεωρούνται σε σταθερή κατάσταση με t-> ω, p "(k; t) -> 0,p(k, t) -> p(k)= συνθ.

Η διαδικασία της καθαρής αναπαραγωγής

Για αυτή τη διαδικασία p*=0, A* = A = const. Μπορεί να θεωρηθεί ως μοντέλο της ροής των εφαρμογών που λαμβάνονται από το QS. Το σύστημα εξισώσεων για αυτή τη διαδικασία έχει τη μορφή:

Οι αρχικές συνθήκες ας είναι οι εξής:

Επειτα και στο k= 1 παίρνουμε: exp

Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι R(; /) \u003d A / exp (-AD) Με επαγωγή, μπορούμε να το λάβουμε

Έτσι, οι πιθανότητες κατανέμονται σύμφωνα με το νόμο Poisson.

Η διαδικασία Poisson είναι κεντρική στη μελέτη του QS. Αυτό οφείλεται, πρώτον, στις απλοποιητικές αναλυτικές και πιθανοτικές του ιδιότητες. Δεύτερον, περιγράφει πολλές πραγματικές διαδικασίες που είναι το αποτέλεσμα της σωρευτικής επίδρασης ενός μεγάλου αριθμού μεμονωμένων γεγονότων.

Στη θεωρία της ουράς, μια ειδική κατηγορία τυχαίων διεργασιών, η λεγόμενη η διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής.Το όνομα αυτής της διαδικασίας συνδέεται με μια σειρά από βιολογικά προβλήματα, όπου είναι ένα μαθηματικό μοντέλο αλλαγών στον αριθμό των βιολογικών πληθυσμών.

Το γράφημα κατάστασης της διαδικασίας θανάτου και αναπαραγωγής έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 15.4.

Ρύζι. 15.4

Εξετάστε ένα διατεταγμένο σύνολο καταστάσεων συστήματος Από το κράτος, οι μεταβάσεις είναι δυνατές μόνο είτε στο κράτος είτε στο κράτος.

Ας υποθέσουμε ότι όλες οι ροές γεγονότων που μεταφράζουν το σύστημα κατά μήκος των βελών του γραφήματος είναι οι απλούστερες με τις αντίστοιχες εντάσεις ή

Σύμφωνα με το γράφημα που φαίνεται στο Σχ. 15.4, συνθέτουμε και λύνουμε αλγεβρικές εξισώσεις για τις περιοριστικές πιθανότητες καταστάσεων (η ύπαρξή τους προκύπτει από τη δυνατότητα μετάβασης από κάθε κατάσταση μεταξύ τους και το πεπερασμένο του αριθμού των καταστάσεων).

Σύμφωνα με τον κανόνα για τη σύνταξη τέτοιων εξισώσεων (βλ. 15.10), λαμβάνουμε: για την κατάσταση μικρό 0

για το κράτος ΜΙΚΡΟ,

Το οποίο, λαμβάνοντας υπόψη (15.12), ανάγεται στο έντυπο

Ομοίως, γράφοντας εξισώσεις για τις περιοριστικές πιθανότητες άλλων καταστάσεων, μπορεί κανείς να αποκτήσει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

(15.14)

στην οποία προστίθεται η συνθήκη κανονικοποίησης

Επίλυση συστήματος (15.14), (15.15), μπορεί κανείς να αποκτήσει

(15.16)

Είναι εύκολο να δούμε ότι στους τύπους (15.17) για τους συντελεστές στο υπάρχουν όροι μετά τη μονάδα στον τύπο (15.16). Οι αριθμητές αυτών των συντελεστών αντιπροσωπεύουν το γινόμενο όλων των εντάσεων στα βέλη που οδηγούν από αριστερά προς τα δεξιά στη δεδομένη κατάσταση, και οι παρονομαστές είναι το γινόμενο όλων των εντάσεων στα βέλη που οδηγούν από δεξιά προς τα αριστερά από την κατάσταση προς.

15.4. Η διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής αναπαρίσταται με ένα γράφημα (Εικ. 15.5). Βρείτε τις περιοριστικές πιθανότητες των καταστάσεων.

Ρύζι. 15.5

Λύση.Με τον τύπο (15.16) βρίσκουμε

από (15.17) δηλ. σε σταθερή, ακίνητη λειτουργία, κατά μέσο όρο, το 70,6% του χρόνου θα βρίσκεται στην κατάσταση 5 (), το 17,6% - στην κατάσταση 5 και το 11,8% - στην κατάσταση S2.

ΚΟΑ με αστοχίες

Ως δείκτες της αποτελεσματικότητας του QS με αστοχίες, θα εξετάσουμε:

ΑΛΛΑ – απόλυτη απόδοση QS, δηλ. ο μέσος αριθμός αιτήσεων που εξυπηρετήθηκαν ανά μονάδα χρόνου·

Q είναι η σχετική απόδοση,εκείνοι. το μέσο μερίδιο των εισερχόμενων αιτημάτων που εξυπηρετούνται από το σύστημα·

R tk - πιθανότητα αποτυχίαςεκείνοι. το γεγονός ότι η αίτηση θα αφήσει την ΚΟΑ χωρίς επίδοση·

k - μέσος αριθμός καναλιών με κόμματα(για πολυκαναλικό σύστημα).

Μονοκαναλικό σύστημα με αστοχίες. Ας εξετάσουμε το πρόβλημα.

Υπάρχει ένα κανάλι, το οποίο δέχεται μια ροή αιτημάτων με ένταση λ. Η ροή των υπηρεσιών έχει ένταση μ . Βρείτε τις περιοριστικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος και τους δείκτες της αποτελεσματικότητάς του.

Το σύστημα 5 (QS) έχει δύο καταστάσεις: 50 - το κανάλι είναι ελεύθερο, 5 - το κανάλι είναι απασχολημένο. Το γράφημα κατάστασης με ετικέτα φαίνεται στο σχ. 15.6.

Όταν ο περιοριστικός, στατικός τρόπος της διεργασίας καθιερωθεί στο QS, το σύστημα αλγεβρικές εξισώσειςγια τις πιθανότητες κατάστασης έχει τη μορφή (βλ. τον κανόνα για τη σύνταξη τέτοιων εξισώσεων στη σελ. 370):

εκείνοι. το σύστημα εκφυλίζεται σε μια εξίσωση. Λαμβάνοντας υπόψη την κατάσταση κανονικοποίησης R 0+σελ x \u003d 1, βρίσκουμε από το (15.18) τις περιοριστικές πιθανότητες των καταστάσεων

(15.19)

που εκφράζουν τον μέσο σχετικό χρόνο που ξοδεύει το σύστημα στην κατάσταση 50 (όταν το κανάλι είναι ελεύθερο) και 5 (όταν το κανάλι είναι απασχολημένο), δηλ. προσδιορίζουν, αντίστοιχα, τη σχετική απόδοση Qσυστήματα και πιθανότητα αστοχίας:

Βρίσκουμε την απόλυτη διεκπεραίωση πολλαπλασιάζοντας τη σχετική παροχή Q με την ένταση της ροής των εφαρμογών

15.5. Είναι γνωστό ότι οι αιτήσεις για τηλεφωνικές συνομιλίες σε τηλεοπτικό στούντιο λαμβάνονται με ένταση λ ίση με 90 αιτήσεις ανά ώρα και η μέση διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνομιλίας είναι ελάχιστη. Προσδιορίστε τους δείκτες απόδοσης του QS (τηλεφωνική επικοινωνία) παρουσία ενός αριθμού τηλεφώνου.

Λύση. Έχουμε λ = 90 (1 / h), min. Ένταση ροής υπηρεσίας μ = 1/ίο6 = 1/2 = 0,5 (1/λεπτό) = 30 (1/ώρα). Σύμφωνα με (15.20), η σχετική χωρητικότητα του QS Q= 30/(90 + 30) = 0,25, δηλ. Κατά μέσο όρο, μόνο το 25% των εισερχόμενων αιτήσεων θα είναι τηλεφωνικές συνομιλίες. Αντίστοιχα, η πιθανότητα άρνησης της υπηρεσίας θα είναι R tk = 0,75 (βλ. (15.21)). Το απόλυτο εύρος ζώνης του QS αλλά (15,22) ΑΛΛΑ= 90 ∙ 0,25 = 22,5, δηλ. Κατά μέσο όρο, 22,5 αιτήσεις για διαπραγματεύσεις θα εξυπηρετούνται ανά ώρα. Προφανώς, με έναν μόνο αριθμό τηλεφώνου, ο ΚΟΑ δεν θα μπορεί να ανταπεξέλθει καλά στη ροή των αιτήσεων.

Πολυκαναλικό σύστημα με βλάβες. Σκεφτείτε το κλασικό Πρόβλημα Erlang.

Διαθέσιμος Πκανάλια που δέχονται ροή αιτημάτων με ένταση λ. Η ροή εξυπηρέτησης κάθε καναλιού έχει ένταση μ. Βρείτε τις περιοριστικές πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος και τους δείκτες της αποτελεσματικότητάς του.

Σύστημα μικρό(QS) έχει τις ακόλουθες καταστάσεις (τις αριθμούμε ανάλογα με τον αριθμό των εφαρμογών στο σύστημα):

πού είναι η κατάσταση του συστήματος πότε κεφαρμογές, δηλ. απασχολημένος κκαναλιών.

Το γράφημα κατάστασης QS αντιστοιχεί στη διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής και φαίνεται στο Σχ. 15.7.

Ρύζι. 15.7

Η ροή των αιτημάτων μεταφέρει διαδοχικά το σύστημα από οποιαδήποτε αριστερή κατάσταση στη γειτονική δεξιά με την ίδια ένταση λ. Η ένταση της ροής των υπηρεσιών που μεταφέρουν το σύστημα από οποιαδήποτε δεξιά κατάσταση σε μια γειτονική αριστερή πολιτεία αλλάζει συνεχώς ανάλογα με την κατάσταση. Πράγματι, εάν το QS βρίσκεται στην κατάσταση ΜΙΚΡΟ.,(δύο κανάλια είναι κατειλημμένα), τότε μπορεί να πάει στην κατάσταση 5, (ένα κανάλι είναι απασχολημένο) όταν τελειώσει η εξυπηρέτηση είτε του πρώτου είτε του δεύτερου καναλιού, π.χ. η συνολική ένταση των ροών εξυπηρέτησης τους θα είναι 2μ. Ομοίως, η συνολική ροή υπηρεσιών, μεταφέροντας το QS από την κατάσταση 53 (τρία κανάλια είναι κατειλημμένα) στο 52, θα έχει ένταση 3μ, δηλ. οποιοδήποτε από τα τρία κανάλια μπορεί να γίνει δωρεάν και ούτω καθεξής.

Στον τύπο (15.16) για το σχήμα του θανάτου και της αναπαραγωγής, λαμβάνουμε για την περιοριστική πιθανότητα της κατάστασης

(15.23)

πού είναι οι όροι επέκτασης θα είναι οι συντελεστές για Rκαι σε εκφράσεις για περιοριστικές πιθανότητες αξία

που ονομάζεται η μειωμένη ένταση της ροής των αιτήσεων,ή ένταση φορτίου καναλιού.Εκφράζει τον μέσο αριθμό αιτημάτων που φτάνουν κατά τη διάρκεια του μέσου χρόνου εξυπηρέτησης ενός αιτήματος. Τώρα

(15.25)

Οι τύποι (15.25) και (15.26) για τις οριακές πιθανότητες ονομάζονται Τύποι Erlangπρος τιμήν του ιδρυτή της θεωρίας της ουράς.

Η πιθανότητα αποτυχίας του QS είναι η οριακή πιθανότητα όλων Πτα κανάλια του συστήματος θα είναι απασχολημένα, π.χ.

Σχετική απόδοση - η πιθανότητα να εξυπηρετηθεί η εφαρμογή:

(15.28)

Απόλυτο εύρος ζώνης:

(15.29)

Μέση τιμή ( αναμενόμενη αξίααριθμός) απασχολημένα κανάλια:

όπου /;, είναι οι περιοριστικές πιθανότητες των καταστάσεων που καθορίζονται από τους τύπους (15.25), (15.26).

Ωστόσο, ο μέσος αριθμός κατειλημμένων καναλιών μπορεί να βρεθεί πιο εύκολα αν λάβουμε υπόψη ότι η απόλυτη απόδοση του συστήματος ΑΛΛΑδεν υπάρχει τίποτα άλλο παρά η ένταση της ροής εξυπηρετείταισύστημα εφαρμογής (ανά μονάδα χρόνου). Δεδομένου ότι κάθε κατειλημμένο κανάλι εξυπηρετεί κατά μέσο όρο μ αιτήματα (ανά μονάδα χρόνου), ο μέσος αριθμός κατειλημμένων καναλιών

ή, δεδομένου (15.29), (15.24):

15.6. Υπό τις συνθήκες του προβλήματος 15.5, καθορίστε τον βέλτιστο αριθμό τηλεφωνικών αριθμών σε ένα τηλεοπτικό στούντιο, εάν η προϋπόθεση βέλτιστης είναι η ικανοποίηση κατά μέσο όρο κάθε 100 αιτήσεων λιγότερων από 90 αιτήματα για διαπραγματεύσεις.

Λύση.Ένταση φορτίου καναλιού σύμφωνα με τον τύπο (15.24) p = 90/30 = 3, δηλ. κατά τη διάρκεια μιας μέσης (σε διάρκεια) τηλεφωνικής συνομιλίας 7 στροφές = 2 λεπτά, λαμβάνονται κατά μέσο όρο 3 αιτήσεις για διαπραγματεύσεις.

Σταδιακά θα αυξήσουμε τον αριθμό των καναλιών (αριθμοί τηλεφώνου) Π= 2, 3, 4, ... και προσδιορίστε με τους τύπους (15.25–15.29) για το προκύπτον χαρακτηριστικό υπηρεσίας U-channel QS. Για παράδειγμα, όταν Π = 2 R 0 = \u003d (1 + 3 + 32/2!) "" \u003d 0,118 ≈ 0,12; Q \u003d 1 - (z2 / 2l) - 0,118 \u003d 0,47. Α = 90 ∙ 0,47 = 42,3 κ.λπ. Οι τιμές των χαρακτηριστικών QS συνοψίζονται στον Πίνακα. 15.1.

Πίνακας 15.1

Με την συνθήκη βελτιστοποίησης Q> 0,9, επομένως, στο τηλεοπτικό στούντιο είναι απαραίτητο να ορίσετε 5 τηλεφωνικούς αριθμούς (σε αυτήν την περίπτωση Q= 0,90 - βλέπε πίνακα. 15.1). Παράλληλα, θα εξυπηρετούνται κατά μέσο όρο 80 αιτήσεις ανά ώρα. (ΑΛΛΑ= 80,1) και ο μέσος αριθμός απασχολημένων τηλεφωνικών αριθμών (κανάλια) σύμφωνα με τον τύπο (15,30) προς την = 80,1/30 = 2,67.

15.7. Το υπολογιστικό κέντρο συλλογικής χρήσης με τρεις υπολογιστές λαμβάνει παραγγελίες από επιχειρήσεις για υπολογιστική εργασία. Εάν και οι τρεις υπολογιστές λειτουργούν, τότε η νέα εισερχόμενη παραγγελία δεν γίνεται αποδεκτή και η επιχείρηση αναγκάζεται να απευθυνθεί σε άλλο κέντρο υπολογιστών. Ο μέσος χρόνος εργασίας με μία παραγγελία είναι 3 ώρες Η ένταση της ροής των αιτήσεων είναι 0,25 (1/ώρα). Βρείτε τις περιοριστικές πιθανότητες καταστάσεων και τους δείκτες απόδοσης του κέντρου υπολογιστών.

Λύση.Κατά συνθήκη n = 3, λ = 0,25 (1/h), ^ = 3 (h). Ένταση ροής υπηρεσίας μ=1/ίο6 =1/3 = 0,33. Η ένταση του φορτίου του υπολογιστή σύμφωνα με τον τύπο (15,24) p \u003d 0,25 / 0,33 \u003d 0,75. Ας βρούμε τις περιοριστικές πιθανότητες των καταστάσεων:

σύμφωνα με τον τύπο (15,25) р0 = (1 + 0,75 + 0,752/2! + 0,753/3!) = 0,476;

σύμφωνα με τον τύπο (15,26) p, \u003d 0,75 0,476 \u003d 0,357; R 2 \u003d (θ,752 / 2ΐ)χ xO,476 \u003d 0,134; R 3 \u003d (θ,753 / 3ΐ) 0,476 \u003d 0,033, δηλ. στη σταθερή λειτουργία του κέντρου υπολογιστών, κατά μέσο όρο, 47,6% των περιπτώσεων δεν υπάρχει ούτε μία εφαρμογή, 35,7% - υπάρχει μία εφαρμογή (ένας υπολογιστής είναι κατειλημμένος), 13,4% - δύο εφαρμογές (δύο υπολογιστές), 3,3% - τρεις εφαρμογές (τρεις υπολογιστές είναι κατειλημμένοι).

Πιθανότητα αποτυχίας (όταν και οι τρεις υπολογιστές είναι απασχολημένοι), επομένως, Rtk = R 3 = 0,033.

Σύμφωνα με τον τύπο (15.28), η σχετική απόδοση του κέντρου<2= 1 – 0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

Σύμφωνα με τον τύπο (15.29), η απόλυτη απόδοση του κέντρου ΑΛΛΑ= 0,25-0,967 = 0,242, δηλ. Εξυπηρετούνται κατά μέσο όρο 0,242 αιτήσεις ανά ώρα.

Σύμφωνα με τον τύπο (15,30), ο μέσος αριθμός κατειλημμένων υπολογιστών προς την= = 0,242/0,33 = 0,725, δηλ. καθένας από τους τρεις υπολογιστές θα είναι απασχολημένος με εφαρμογές εξυπηρέτησης κατά μέσο όρο μόνο 72,5/3 = 24,2%.

Κατά την αξιολόγηση της αποδοτικότητας του κέντρου υπολογιστών, είναι απαραίτητο να συγκριθούν τα έσοδα από την εκτέλεση αιτημάτων με τις απώλειες από το χρόνο διακοπής λειτουργίας ακριβών υπολογιστών (αφενός έχουμε υψηλή απόδοση του QS και, αφετέρου , σημαντικός χρόνος διακοπής λειτουργίας των καναλιών εξυπηρέτησης) και επιλέξτε έναν συμβιβασμό λύση.

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη τυπικό σχήμα συνεχών αλυσίδων Markov - το λεγόμενο σχέδιο θανάτου και αναπαραγωγής, το οποίο συναντάται συχνά σε διάφορα πρακτικά προβλήματα.

Διαδικασία Markov με διακριτές καταστάσεις S 0 , S 1 , ..., S nονομάζεται διαδικασία θάνατο και αναπαραγωγή, αν όλες οι καταστάσεις μπορούν να συρθούν σε μια αλυσίδα, στην οποία καθεμία από τις μεσαίες καταστάσεις ( S 1 , S 2 , ...,
Sn-1) μπορεί να πάει μόνο σε γειτονικές πολιτείες, οι οποίες, με τη σειρά τους, επιστρέφουν, και οι ακραίες πολιτείες ( S 0 και S n) πηγαίνετε μόνο σε γειτονικές πολιτείες (Εικ. 3.7).

Το όνομα προέρχεται από βιολογικά προβλήματα, όπου η κατάσταση του πληθυσμού Σκσημαίνει ότι περιέχει κμονάδες ατόμων.

Η μετάβαση προς τα δεξιά συνδέεται με την αναπαραγωγή των μονάδων και προς τα αριστερά - με το θάνατό τους.

Ρύζι. 3.7. Γράφημα κατάστασης για τη διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής

l 0 (t), l 1 (t), l 2 (t), …, l n (t)- ένταση αναπαραγωγής.

m 1 (t), m 2 (t), …, m n (t)- ένταση θανάτου.

Στο μεγάλοκαι μ ο δείκτης της κατάστασης από την οποία εξέρχεται το βέλος.

Με κράτος Σκσυσχετισμένη μη τυχαία μεταβλητή Χ κ: εάν το σύστημα μικρότην εποχή εκείνη tβρίσκεται σε κατάσταση Σκ, τότε η διακριτή τυχαία μεταβλητή X(t), που σχετίζεται με τη λειτουργία του συστήματος, παίρνει την τιμή κ. Έτσι, έχουμε μια τυχαία διαδικασία X(t),το οποίο σε τυχαίες, προηγουμένως άγνωστες στιγμές του χρόνου αλλάζει απότομα την κατάστασή του.

διαδικασία Markov θάνατος και αναπαραγωγή με συνεχή χρόνοείναι μια τυχαία διαδικασία που μπορεί να λάβει μόνο μη αρνητικές ακέραιες τιμές. Αλλαγές σε αυτή τη διαδικασία μπορούν να συμβούν ανά πάσα στιγμή, δηλαδή ανά πάσα στιγμή μπορεί είτε να αυξηθεί κατά μία, είτε να μειωθεί κατά μία ή να παραμείνει αμετάβλητη.

Στην πράξη, υπάρχουν διαδικασίες καθαρής αναπαραγωγής και καθαρού θανάτου. Η διαδικασία της καθαρής αναπαραγωγής είναι μια τέτοια διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής, στην οποία οι εντάσεις όλων των ροών θανάτου είναι ίσες με μηδέν. Ομοίως, η διαδικασία του καθαρού «θανάτου» είναι μια τέτοια διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής, στην οποία οι εντάσεις όλων των ροών αναπαραγωγής είναι ίσες με μηδέν.

Παράδειγμα 1Εξετάστε τη λειτουργία μοντέλων αυτοκινήτων της ίδιας μάρκας σε μια μεγάλη εταιρεία μεταφορών (στην επιχείρηση). Η ένταση της άφιξης των αυτοκινήτων στην επιχείρηση είναι ίση με l(t). Κάθε αυτοκίνητο που παραλαμβάνεται από την επιχείρηση διαγράφεται μετά από τυχαίο χρόνο Τ γ. Διάρκεια ζωής οχήματος tκατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο με την παράμετρο Μ. Η διαδικασία λειτουργίας του αυτοκινήτου είναι μια τυχαία διαδικασία. Στο)- τον αριθμό των αυτοκινήτων αυτής της μάρκας που είναι σε λειτουργία εκείνη τη στιγμή t. Ας βρούμε τον μονοδιάστατο νόμο κατανομής της τυχαίας διαδικασίας P i (t) = P(A(t) = i),εάν: 1) δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό των μηχανημάτων σε λειτουργία, 2) η επιχείρηση δεν μπορεί να λειτουργήσει περισσότερο από nαυτοκίνητα.

Λύση.

1. Μια τυχαία διαδικασία λειτουργίας του αυτοκινήτου είναι μια διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής, η γραφική παράσταση της οποίας φαίνεται στο σχ. 3.8.

Ρύζι. 3.8. Γράφημα κατάστασης

Το σύστημα των εξισώσεων Kolmogorov που αντιστοιχεί σε αυτό το γράφημα έχει τη μορφή

όπου Εγώ = 1, 2, …

Αν στον αρχικό χρόνο t= 0 δεν υπήρχε ούτε ένα αυτοκίνητο στην επιχείρηση, τότε αυτό το σύστημα εξισώσεων πρέπει να λυθεί υπό τις αρχικές συνθήκες P 0 (0) = 1, Pi (0) = 0 (Εγώ= 1, 2, ...). Αν στο t= 0 καυτοκίνητα ( κ= 1, 2, ...), τότε οι αρχικές συνθήκες θα έχουν τη μορφή

P k (0) = 1, Pi (0) = 0 (Εγώ = 1, 2, …, i ¹ k).

2. Εάν η επιχείρηση δεν μπορεί να χειριστεί περισσότερα από n αυτοκίνητα μοντέλων της ίδιας μάρκας, τότε υπάρχει μια διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής με περιορισμένο αριθμό καταστάσεων, το γράφημα της οποίας με την ετικέτα φαίνεται στο Σχ. 3.9.

Ρύζι. 3.9. Γράφημα κατάστασης

Το σύστημα των εξισώσεων Kolmogorov για ένα σημειωμένο γράφημα (Εικ. 3.9) έχει τη μορφή (3.4).

Αυτό το σύστημα πρέπει να επιλυθεί υπό τις αρχικές συνθήκες που συζητήθηκαν παραπάνω. Οι λύσεις των συστημάτων των εξισώσεων (3.4) και (3.5) είναι μονοδιάστατοι νόμοι κατανομής P i (t).Εύρεση λύσεων σε συστήματα σε γενική μορφή για αυθαίρετη μορφή συνάρτησης l(t)παρουσιάζει σημαντικές δυσκολίες και δεν έχει πρακτικές εφαρμογές.

Σε σταθερές εντάσεις ροών θανάτου και αναπαραγωγής και σε έναν πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων, θα υπάρχει ένα στατικό καθεστώς. Σύστημα μικρόμε πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων ( n+ 1), στο οποίο η διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής προχωρά με σταθερές εντάσεις των ροών του θανάτου και της αναπαραγωγής, είναι το απλούστερο εργοδοτικό σύστημα. Το γράφημα κατάστασης με ετικέτα για ένα τέτοιο σύστημα φαίνεται στο Σχ. 3.9.

Οι περιοριστικές (τελικές) πιθανότητες των καταστάσεων για την απλούστερη εργοδοτική διαδικασία θανάτου και αναπαραγωγής, η οποία βρίσκεται σε στατικό τρόπο, καθορίζονται από τους ακόλουθους τύπους:

Κανόνας.Πιθανότητα κ-η κατάσταση στο σχήμα του θανάτου και της αναπαραγωγής είναι ίση με ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι το γινόμενο όλων των εντάσεων αναπαραγωγής προς τα αριστερά Σκ, και στον παρονομαστή - το γινόμενο όλων των εντάσεων θανάτου προς τα αριστερά Σκπολλαπλασιαζόμενη με την πιθανότητα της αριστερής κατάστασης του γερανού του συστήματος P0.

Στο προηγούμενο παράδειγμα για μια στατική λειτουργία, εάν η ένταση των αφίξεων αυτοκινήτων είναι σταθερή ( l(t) = l = συνεχ), τότε οι τελικές πιθανότητες των καταστάσεων, υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί στον αριθμό των αυτοκινήτων στην επιχείρηση, είναι ίσες με

Ταυτόχρονα, η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των χειριζόμενων αυτοκινήτων είναι ίση με τη διακύμανσή του:

M=D=l/Μ. (3.10)

Εάν υπάρχει όριο στον αριθμό των αυτοκινήτων στην επιχείρηση (όχι περισσότερο από n), τότε οι τελικές πιθανότητες μπορούν να γραφτούν ως εξής:

όπου ρ = μεγάλο/Μ.

όπου κ = 0, 1, 2, ..., n.

Μαθηματική προσδοκία του αριθμού των οχημάτων που λειτουργούν σε στάση

Παράδειγμα 2Η γραμμή παραγωγής περιλαμβάνει τέσσερα μηχανήματα. Μια ομάδα τεσσάρων υπαλλήλων σέρβις πραγματοποιεί προληπτική συντήρηση καθενός από αυτά. Η συνολική ροή των στιγμών ολοκλήρωσης επισκευής για όλη την ομάδα είναι Poisson με ένταση l(t).Αφού ολοκληρωθεί η επισκευή, το μηχάνημα ελέγχεται. με πιθανότητα Rαποδεικνύεται ότι είναι λειτουργικό (ο χρόνος ελέγχου είναι σύντομος και μπορεί να αγνοηθεί σε σύγκριση με τον χρόνο προληπτικής συντήρησης). Εάν το μηχάνημα αποδειχθεί ότι δεν λειτουργεί, τότε γίνεται ξανά η προληπτική του συντήρηση (ο χρόνος για τον οποίο δεν εξαρτάται από το αν είχε πραγματοποιηθεί νωρίτερα) κ.λπ. Στην αρχική στιγμή, όλα τα μηχανήματα χρειάζονται προληπτική συντήρηση. Απαιτείται:

1. Δημιουργήστε ένα γράφημα κατάστασης για το σύστημα μικρό(τέσσερα μηχανήματα).

2. Να γράψετε διαφορικές εξισώσεις για πιθανότητες καταστάσεων.

3. Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμού των μηχανών Μ τ, η επιτυχία όσων έχουν υποβληθεί σε προφύλαξη μέχρι τότε t.

Λύση.

Το γράφημα κατάστασης φαίνεται στο σχ. 3.10, στο οποίο:

S 0 -Και τα τέσσερα μηχανήματα χρειάζονται προληπτική συντήρηση.

S1- ένα μηχάνημα έχει περάσει με επιτυχία την προληπτική συντήρηση και τρία χρειάζονται προληπτική συντήρηση.

S2- δύο μηχανές έχουν περάσει με επιτυχία την προληπτική συντήρηση και δύο χρειάζονται προληπτική συντήρηση.

S3– τρία μηχανήματα έχουν περάσει με επιτυχία την προληπτική συντήρηση, το ένα χρειάζεται προληπτική συντήρηση.

S4– και τα τέσσερα μηχανήματα έχουν περάσει με επιτυχία την προληπτική συντήρηση.

Ρύζι. 3.10. Γράφημα κατάστασης συστήματος

Κάθε προληπτική συντήρηση ολοκληρώνεται επιτυχώς με μια πιθανότητα Π, που είναι ισοδύναμο Π- μετασχηματισμός της ροής των επισκευών, μετά τον οποίο θα παραμείνει Poisson, αλλά με ένταση Pl(t). Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε να κάνουμε με μια καθαρή διαδικασία πολλαπλασιασμού με περιορισμένο αριθμό καταστάσεων.

Οι εξισώσεις Kolmogorov έχουν την ακόλουθη μορφή:

Αρχικές συνθήκες P 0 (0) = 1, P 1 (0) = … = P 4 (0)= 0. Σε σταθερή ένταση l(t) = lκαι οι πιθανότητες κατάστασης καθορίζονται από τους ακόλουθους τύπους:

Η μαθηματική προσδοκία του αριθμού των δίσκων που έχουν υποστεί επιτυχώς προληπτική συντήρηση μέχρι τη στιγμή t είναι ίση με

όπου n = 4.

Παράδειγμα 3Σκεφτείτε την παραγωγή αυτοκινήτων σε ένα εργοστάσιο. Η ροή των παραγόμενων αυτοκινήτων είναι ένα μη ακίνητο Poisson με ένταση l(t).Ας βρούμε τον μονοδιάστατο νόμο κατανομής της τυχαίας διαδικασίας X(t)- τον αριθμό των οχημάτων που παρήχθησαν κατά τη στιγμή t, αν αυτή τη στιγμή t= 0 ξεκίνησε η παραγωγή αυτοκινήτου.

Λύση

Είναι προφανές ότι εδώ η διαδικασία της καθαρής αναπαραγωγής χωρίς περιορισμούς στον αριθμό των καταστάσεων, ενώ l i (t) = l(t), αφού η ένταση της παραγωγής των αυτοκινήτων δεν εξαρτάται από το πόσα από αυτά έχουν ήδη παραχθεί. Το γράφημα κατάστασης μιας τέτοιας διαδικασίας φαίνεται στο Σχ. 3.11.

Ρύζι. 3.11. Γράφημα κατάστασης

Μονοδιάστατος νόμος κατανομής μιας τυχαίας διαδικασίας X(t)για το γράφημα που φαίνεται στο Σχ. Το 3.11 προσδιορίζεται από το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων Kolmogorov:

Δεδομένου ότι ο αριθμός των παραγόμενων αυτοκινήτων X(t)για οποιαδήποτε σταθερή στιγμή tκατανέμεται σύμφωνα με το νόμο Poisson με την παράμετρο

M = D = a(t).

Η διαδικασία που περιγράφεται σε αυτό το παράδειγμα X(t)που ονομάζεται ανομοιογενής διαδικασία Poisson.Αν η ένταση l(t) = l = συνεχ, τότε παίρνουμε ομοιογενής διαδικασία Poisson. Για μια τέτοια διαδικασία, P 0 (0) = 1, P i (0) = 0 (i > 0)

Τα χαρακτηριστικά της διαδικασίας Poisson θα είναι

M = D = l×t.

Εργασία 1.Υπάρχει μια συσκευή που αποτελείται από τέσσερις κόμβους. η ροή αστοχίας είναι η απλούστερη, ο μέσος χρόνος λειτουργίας χωρίς αστοχία κάθε κόμβου είναι 11 ώρες. Ο αποτυχημένος κόμβος αρχίζει αμέσως να επισκευάζεται. Ο μέσος χρόνος επισκευής για έναν κόμβο είναι 2 ώρες. (η ροή ανάκτησης είναι η απλούστερη). Βρείτε τη μέση απόδοση της συσκευής, αν με τέσσερις κόμβους εργασίας είναι 100%, με τρεις 60%, με δύο ή λιγότερους η συσκευή δεν λειτουργεί καθόλου.