Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Este posibil să vi se solicite să furnizați informatii personaleîn orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza solicitărilor sau solicitărilor publice din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
Cursul video „Obțineți un A” include toate subiectele necesare pentru un succes promovarea examenului la matematică pentru 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 examen de profil matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea USE de bază în matematică. Dacă vrei să treci examenul cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru examen pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce ai nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student de o sută de puncte, nici un umanist nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului. Au fost analizate toate sarcinile relevante din partea 1 din sarcinile Băncii FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele USE-2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen. Sarcini de textși teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini USE. Stereometrie. Trucuri viclene pentru rezolvare, fișe utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero - la sarcina 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicarea vizuală a conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. Baza pentru rezolvarea problemelor complexe din partea a 2-a a examenului.
- -
De obicei, când vor să sperie pe cineva cu MATEMATICĂ TERRIBILĂ, sunt citate ca exemplu tot felul de sinusuri și cosinusuri, ca fiind ceva foarte complex și urât. Dar, de fapt, aceasta este o secțiune frumoasă și interesantă care poate fi înțeleasă și rezolvată.
Subiectul începe să se desfășoare în clasa a IX-a și totul nu este întotdeauna clar prima dată, există multe subtilități și trucuri. Am incercat sa spun ceva pe tema.
Introducere în lumea trigonometriei:
Înainte de a arunca cu capul în formule, trebuie să înțelegeți din geometrie ce sunt sinus, cosinus etc.
Sinusul unui unghi- raportul dintre latura opusă (unghiului) față de ipotenuză.
Cosinus este raportul dintre adiacentele ipotenuzei.
Tangentă- partea opusă în partea adiacentă
Cotangentă- adiacent la opus.
Acum luați în considerare un cerc cu raza unitară pe planul de coordonate și marcați un unghi alfa pe el: (poate face clic pe imagini, cel puțin pe unele dintre ele)
- 
-
Liniile roșii subțiri sunt perpendiculare de la punctul de intersecție al cercului și unghiul drept pe axele x și y. Roșul x și y sunt valoarea coordonatelor x și y de pe axe (x și y gri sunt doar pentru a indica faptul că acestea sunt axe de coordonate și nu doar linii).
Trebuie remarcat faptul că unghiurile sunt numărate din direcția pozitivă a axei x în sens invers acelor de ceasornic.
Găsim pentru el sinusul, cosinusul și așa mai departe.
sin a: latura opusă este y, ipotenuza este 1.
sin a = y / 1 = y
Pentru a fi complet clar de unde obțin y și 1, pentru claritate, să aranjam literele și să luăm în considerare triunghiurile.
- -
AF = AE = 1 - raza cercului.
Prin urmare, AB = 1, ca rază. AB este ipotenuza.
BD = CA = y - ca valoare pentru oh.
AD \u003d CB \u003d x - ca valoare pentru oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Cosinus suplimentar:
cos a: latura adiacentă - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Deducem și noi tangentă și cotangentă.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Deja brusc am derivat formula tangentei și cotangentei.
Ei bine, să aruncăm o privire la modul în care se rezolvă cu unghiuri specifice.
De exemplu, a = 45 de grade.
Obținem un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45 de grade. Cuiva îi este imediat clar că acesta este un triunghi cu laturi diferite, dar îl voi semna oricum.
Găsiți al treilea colț al triunghiului (primul 90, al doilea 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Dacă două unghiuri sunt egale, atunci laturile sunt egale, așa cum suna.
Deci, se pare că, dacă adăugăm două astfel de triunghiuri unul peste altul, obținem un pătrat cu o diagonală egală cu raza \u003d 1. Prin teorema lui Pitagora, știm că diagonala unui pătrat cu latura a este egal cu rădăcinile a doi.
Acum ne gândim. Dacă 1 (ipotenuza sau diagonala) este egal cu latura pătratului înmulțită cu rădăcina lui doi, atunci latura pătratului trebuie să fie egală cu 1/sqrt(2), iar dacă înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții prin rădăcina lui doi, obținem sqrt(2)/2 . Și deoarece triunghiul este isoscel, atunci AD = AC => x = y
Găsirea funcțiilor noastre trigonometrice:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Cu restul unghiurilor, trebuie să lucrați în același mod. Doar triunghiurile nu vor fi isoscele, dar laturile sunt la fel de ușor de găsit folosind teorema lui Pitagora.
În acest fel obținem un tabel de valori funcții trigonometrice din diferite unghiuri:
- 
-
În plus, această masă este înșelătorie și foarte convenabilă.
Cum să o faci singur fără nicio bătaie de cap: desenați un astfel de tabel și scrieți numerele 1 2 3 în celule.
- 
-
Acum din acești 1 2 3 extrageți rădăcina și împărțiți la 2. Rezultă așa:
- 
-
Acum tăiem sinusul și scriem cosinusul. Valorile sale sunt sinusul oglindit:
- 
-
Este la fel de ușor să derivați tangenta - trebuie să împărțiți valoarea liniei sinusului la valoarea liniei cosinus:
- 
-
Valoarea cotangentei este valoarea inversată a tangentei. Ca rezultat, obținem ceva de genul acesta:
- 
-
Notă că tangenta nu există în P/2, de exemplu. Gândește-te de ce. (Nu poți împărți la zero.)
Ce să rețineți aici: sinus este valoarea y, cosinus este valoarea x. Tangenta este raportul dintre y și x, iar cotangenta este invers. deci, pentru a determina valorile sinusurilor / cosinusurilor, este suficient să desenați o placă, pe care am descris-o mai sus și un cerc cu axe de coordonate (este convenabil să ne uităm la valorile unghiuri 0, 90, 180, 360).
- 
-
Ei bine, sper că poți spune sferturi:
- 
-
Semnul sinusului, cosinusului etc. depinde de sfertul în care se află unghiul. Deși, gândirea logică absolut primitivă vă va conduce la răspunsul corect, dacă țineți cont de faptul că în al doilea și al treilea trimestru x este negativ, iar y este negativ în al treilea și al patrulea. Nimic îngrozitor sau înfricoșător.
Cred că nu ar fi de prisos să menționez formule de reducere ala fantome, după cum aude toată lumea, care are un grăunte de adevăr. Nu există formule ca atare, pentru inutilitate. Însuși sensul acestei acțiuni: găsim cu ușurință valorile unghiurilor doar pentru primul sfert (30 de grade, 45, 60). Funcțiile trigonometrice sunt periodice, așa că putem trage orice unghi mare în primul cadran. Atunci îi vom găsi imediat sensul. Dar doar tragerea nu este suficientă - trebuie să vă amintiți despre semn. Pentru asta sunt formulele de casting.
Deci, avem un unghi mare, sau mai degrabă mai mult de 90 de grade: a \u003d 120. Și trebuie să-i găsiți sinusul și cosinusul. Pentru a face acest lucru, descompunem 120 în astfel de unghiuri cu care să putem lucra:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Vedem că acest unghi se află în al doilea sfert, sinusul este pozitiv acolo, prin urmare semnul + din fața sinusului este păstrat.
Pentru a scăpa de 90 de grade, schimbăm sinusul în cosinus. Ei bine, iată o regulă de reținut:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Și vă puteți imagina în alt fel:
sin 120 = sin (180 - 60)
Pentru a scăpa de 180 de grade, nu schimbăm funcția.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Avem aceeași valoare, așa că totul este corect. Acum cosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Cosinusul din al doilea trimestru este negativ, așa că punem semnul minus. Și schimbăm funcția la opus, deoarece trebuie să eliminăm 90 de grade.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Sau:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2
Ce trebuie să știți, să puteți face și să faceți pentru a traduce colțuri în primul trimestru:
-descompune unghiul în termeni digerabili;
- se ia in calcul in ce sfert se afla unghiul si se pune semnul corespunzator daca functia din acest sfert este negativa sau pozitiva;
- scapa de exces
*dacă trebuie să scăpați de 90, 270, 450 și restul 90+180n, unde n este orice număr întreg, atunci funcția este inversată (sinus la cosinus, tangentă la cotangentă și invers);
*dacă trebuie să scăpați de 180 și restul de 180+180n, unde n este orice număr întreg, atunci funcția nu se schimbă. (Există o caracteristică aici, dar este dificil să o explic în cuvinte, bine, bine).
Asta e tot. Nu consider că este necesar să memorați formulele în sine, când vă puteți aminti câteva reguli și le puteți folosi cu ușurință. Apropo, aceste formule sunt foarte ușor de demonstrat:
- 
-
Și alcătuiesc mese voluminoase, atunci știm:
- 
-
Ecuații trigonometrice de bază: trebuie să fie cunoscuți foarte, foarte bine, pe de rost.
Principal identitate trigonometrică
(egalitatea):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Dacă nu mă credeți, verificați singur și vedeți singur. Înlocuiți valorile diferitelor unghiuri.
Această formulă este foarte, foarte utilă, amintiți-vă mereu. cu el, puteți exprima sinusul prin cosinus și invers, ceea ce uneori este foarte util. Dar, ca și în cazul oricărei alte formule, trebuie să fii capabil să o faci. Rețineți întotdeauna că semnul funcției trigonometrice depinde de sfertul în care este situat unghiul. De aceea la extragerea rădăcinii, trebuie să știți un sfert.
Tangenta si cotangente: am derivat deja aceste formule chiar de la început.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
Produsul tangentei și cotangentei:
tg a * ctg a = 1
Pentru că:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - fracțiile se anulează.
După cum puteți vedea, toate formulele sunt un joc și o combinație.
Iată încă două, obținute din împărțirea la pătratul cosinus și pătratul sinus al primei formule:
- 
-
Vă rugăm să rețineți că ultimele două formule pot fi folosite cu o restricție asupra valorii unghiului a, deoarece nu puteți împărți la zero.
Formule de adunare: sunt demonstrate folosind algebra vectorială.
- 
-
Sunt folosite rar, dar pe măsură. Există formule pe scanare, dar poate fi ilizibilă sau forma digitală este mai ușor de perceput:
- -
Formule cu unghi dublu:
Ele se obțin pe baza formulelor de adunare, de exemplu: cosinusul unui unghi dublu este cos 2a = cos (a + a) - vă amintește de ceva? Tocmai au înlocuit beta cu alfa.
- 
-
Următoarele două formule sunt derivate din prima substituție sin^2(a) = 1 - cos^2(a) și cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Cu sinusul unui unghi dublu, este mai simplu și este folosit mult mai des:
- 
-
Și pervertiții speciali pot obține tangenta și cotangenta unui unghi dublu, având în vedere că tg a \u003d sin a / cos a și așa mai departe.
- 
-
Pentru persoanele de mai sus Formule cu unghi triplu: ele sunt derivate prin adăugarea unghiurilor 2a și a, deoarece știm deja formulele unghiului dublu.
- 
-
Formule cu jumătate de unghi:
- 
-
Nu știu cum sunt derivate, sau mai degrabă cum să le explic... Dacă scriem aceste formule, înlocuind identitatea trigonometrică de bază cu a / 2, atunci răspunsul va converge.
Formule de adunare și scădere a funcțiilor trigonometrice:
- 
-
Sunt obținute din formule de adaos, dar nimănui nu-i pasă. Ne întâlnim des.
După cum înțelegeți, există încă o mulțime de formule, a căror enumerare este pur și simplu lipsită de sens, pentru că nu voi putea scrie ceva adecvat despre ele, iar formulele uscate pot fi găsite oriunde și sunt un joc cu precedentul formule existente. Totul este teribil de logic și de precis. Îți spun doar ultima dată despre metoda unghiului auxiliar:
Convertirea expresiei a cosx + b sinx la forma Acos(x+) sau Asin(x+) se numește metoda de introducere a unui unghi auxiliar (sau argument suplimentar). Metoda se aplică la rezolvare ecuații trigonometrice, la estimarea valorilor funcțiilor, probleme in extremum, și ceea ce este important de reținut, unele probleme nu pot fi rezolvate fără introducerea unui unghi auxiliar.
Ca și dvs., nu am încercat să explic această metodă, nu a rezultat nimic, așa că trebuie să o faceți singur:
- 
-
Este înfricoșător, dar util. Dacă rezolvi probleme, ar trebui să funcționeze.
De aici de exemplu: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Urmează pe curs graficele funcțiilor trigonometrice. Dar o lecție este suficientă. Avand in vedere ca asta se preda la scoala timp de sase luni.
Scrieți-vă întrebările, rezolvați problemele, cereți scanări ale unor sarcini, înțelegeți-le, încercați.
Întotdeauna al tău, Dan Faraday.
Sinus, cosinus, tangentă - atunci când pronunțați aceste cuvinte în prezența elevilor de liceu, puteți fi sigur că două treimi dintre ei își vor pierde interesul pentru conversația ulterioară. Motivul constă în faptul că elementele de bază ale trigonometriei la școală sunt predate complet izolat de realitate și, prin urmare, elevii nu văd rostul studierii formulelor și teoremelor.
De fapt, acest domeniu de cunoaștere, la o examinare mai atentă, se dovedește a fi foarte interesant, precum și aplicat - trigonometria este folosită în astronomie, construcții, fizică, muzică și multe alte domenii.
Să ne familiarizăm cu conceptele de bază și să numim mai multe motive pentru a studia această ramură a științei matematice.
Poveste
Nu se știe în ce moment a început omenirea să creeze trigonometrie viitoare de la zero. Cu toate acestea, este documentat că deja în al doilea mileniu î.Hr., egiptenii erau familiarizați cu elementele de bază ale acestei științe: arheologii au găsit un papirus cu o sarcină în care este necesar să se găsească unghiul de înclinare al piramidei pe două laturi cunoscute.
Oamenii de știință din Babilonul Antic au obținut succese mai serioase. Fiind angajați în astronomie de secole, au stăpânit o serie de teoreme, introduse moduri speciale măsurători ale unghiurilor, pe care, de altfel, le folosim astăzi: grade, minute și secunde au fost împrumutate de știința europeană în cultura greco-romană, în care aceste unități proveneau de la babilonieni.
Se presupune că celebra teoremă a lui Pitagora, legată de elementele de bază ale trigonometriei, era cunoscută babilonienilor în urmă cu aproape patru mii de ani.
Nume
Literal, termenul „trigonometrie” poate fi tradus ca „măsurarea triunghiurilor”. Obiectul principal de studiu în cadrul acestei secțiuni a științei a fost timp de multe secole un triunghi dreptunghic, sau mai degrabă, relația dintre mărimile unghiurilor și lungimile laturilor sale (astazi, studiul trigonometriei începe din această secțiune de la zgârietură). În viață, situațiile nu sunt neobișnuite când este imposibil să măsori practic toți parametrii necesari unui obiect (sau distanța până la obiect), iar atunci devine necesară obținerea datelor lipsă prin calcule.
De exemplu, în trecut, o persoană nu putea măsura distanța față de obiectele spațiale, dar încercările de a calcula aceste distanțe apar cu mult înaintea erei noastre. Trigonometria a jucat, de asemenea, un rol important în navigație: cu anumite cunoștințe, căpitanul putea întotdeauna să navigheze pe lângă stele noaptea și să corecteze cursul.
Noțiuni de bază
Pentru a stăpâni trigonometria de la zero, trebuie să înțelegeți și să vă amintiți câțiva termeni de bază.
Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. Să lămurim că piciorul opus este partea opusă unghiului pe care îl luăm în considerare. Astfel, dacă unghiul este de 30 de grade, sinusul acestui unghi va fi întotdeauna, pentru orice dimensiune a triunghiului, egal cu ½. Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
Tangenta este raportul dintre catelul opus față de cel adiacent (sau, echivalent, raportul dintre sinus și cosinus). Cotangenta este unitatea împărțită la tangentă.
Merită menționat celebrul număr Pi (3,14 ...), care este jumătate din lungimea unui cerc cu raza de o unitate.
Greșeli populare
Oamenii care învață trigonometria de la zero fac o serie de greșeli – mai ales din cauza neatenției.
În primul rând, atunci când rezolvați probleme de geometrie, trebuie amintit că utilizarea sinusurilor și cosinusurilor este posibilă numai în triunghi dreptunghic. Se întâmplă ca elevul „pe mașină” să ia cea mai lungă latură a triunghiului ca ipotenuză și să primească rezultate de calcul incorecte.
În al doilea rând, la început este ușor să confundați valorile sinusului și cosinusului pentru unghiul ales: amintiți-vă că sinusul de 30 de grade este numeric egal cu cosinusul lui 60 și invers. Dacă înlocuiți un număr greșit, toate calculele ulterioare vor fi greșite.
În al treilea rând, până la rezolvarea completă a problemei, nu merită să rotunjiți valorile, să extrageți rădăcini, să scrieți fracție comună ca zecimală. Adesea, elevii se străduiesc să obțină un număr „frumos” într-o problemă de trigonometrie și să extragă imediat rădăcina lui trei, deși după exact o acțiune această rădăcină poate fi redusă.
Etimologia cuvântului „sinus”
Istoria cuvântului „sinus” este cu adevărat neobișnuită. Faptul este că traducerea literală a acestui cuvânt din latină înseamnă „gol”. Acest lucru se datorează faptului că înțelegerea corectă a cuvântului s-a pierdut la traducerea dintr-o limbă în alta.
Numele funcțiilor trigonometrice de bază au provenit din India, unde conceptul de sinus a fost notat cu cuvântul „șir” în sanscrită - adevărul este că segmentul, împreună cu arcul de cerc pe care se sprijinea, arăta ca un arc. . În perioada de glorie a civilizației arabe, realizările indiene în domeniul trigonometriei au fost împrumutate, iar termenul a trecut în limba araba sub formă de transcriere. S-a întâmplat că această limbă avea deja un cuvânt similar pentru o depresie, iar dacă arabii au înțeles diferența fonetică dintre un cuvânt nativ și un cuvânt împrumutat, atunci europenii, traducând tratate științifice în latină, din greșeală au tradus literal cuvântul arab, care nu avea nimic de-a face cu conceptul de sinus . Le folosim până astăzi.
Tabele de valori
Există tabele care conțin valori numerice pentru sinusuri, cosinusuri și tangente ale tuturor unghiurilor posibile. Mai jos vă prezentăm date pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60 și 90 de grade, care trebuie învățate ca secțiune obligatorie de trigonometrie pentru „manichini”, deoarece este destul de ușor să le amintiți.
Dacă s-a întâmplat ca valoarea numerică a sinusului sau a cosinusului unghiului să „zboare din capul meu”, există o modalitate de a o deriva singur.
Reprezentare geometrică
Să desenăm un cerc, să desenăm abscisa și axele ordonate prin centrul său. Axa absciselor este orizontală, axa ordonatelor este verticală. Ele sunt de obicei semnate ca „X” și, respectiv, „Y”. Acum trasăm o linie dreaptă din centrul cercului astfel încât să obținem unghiul de care avem nevoie între ea și axa X. În cele din urmă, din punctul în care dreapta intersectează cercul, coborâm perpendiculara pe axa X. Lungimea segmentului rezultat va fi egală cu valoarea numerică a sinusului unghiului nostru.
Această metodă este foarte relevantă dacă ați uitat valoarea dorită, de exemplu, la un examen, și nu există un manual de trigonometrie la îndemână. Nu veți obține cifra exactă în acest fel, dar veți vedea cu siguranță diferența dintre ½ și 1,73 / 2 (sinus și cosinus al unui unghi de 30 de grade).
Aplicație
Unul dintre primii specialiști care a folosit trigonometria au fost marinarii care nu aveau alt punct de referință în marea liberă decât cerul deasupra capetelor lor. Astăzi, căpitanii de nave (aeronave și alte moduri de transport) nu caută calea cea mai scurtă prin stele, ci recurg în mod activ la ajutorul navigației GPS, ceea ce ar fi imposibil fără utilizarea trigonometriei.
În aproape fiecare secțiune a fizicii, veți găsi calcule folosind sinusuri și cosinus: fie că este vorba de aplicarea forței în mecanică, calcule ale traseului obiectelor în cinematică, vibrații, propagarea undelor, refracția luminii - pur și simplu nu puteți face fără trigonometrie de bază. în formule.
O altă profesie de neconceput fără trigonometrie este topograful. Folosind un teodolit și un nivel, sau un dispozitiv mai sofisticat - un turometru, acești oameni măsoară diferența de înălțime dintre diferite puncte de pe suprafața pământului.
Repetabilitate
Trigonometria se ocupă nu numai de unghiurile și laturile unui triunghi, deși aici și-a început existența. În toate domeniile în care ciclicitatea este prezentă (biologie, medicină, fizică, muzică etc.), veți întâlni un grafic al cărui nume vă este probabil familiar - acesta este un sinusoid.
Un astfel de grafic este un cerc desfășurat de-a lungul axei timpului și arată ca o undă. Dacă ai lucrat vreodată cu un osciloscop la o oră de fizică, știi despre ce vorbesc. Atât egalizatorul muzical, cât și monitorul de ritm cardiac folosesc formule de trigonometrie în munca lor.
In cele din urma
Când se gândesc la cum să învețe trigonometria, majoritatea elevilor de gimnaziu și liceu încep să o considere o știință dificilă și nepractică, deoarece se familiarizează doar cu informații plictisitoare din manuale.
În ceea ce privește impracticabilitatea, am văzut deja că, într-o măsură sau alta, capacitatea de a manipula sinusurile și tangentele este necesară în aproape orice domeniu de activitate. Și în ceea ce privește complexitatea... Gândiți-vă: dacă oamenii au folosit aceste cunoștințe în urmă cu mai mult de două mii de ani, când un adult avea mai puține cunoștințe decât elevul de liceu de astăzi, este realist să studiem acest domeniu al științei pe nivel de bază la tine personal? Câteva ore de practică atentă cu rezolvarea problemelor - și îți vei atinge obiectivul studiind cursul de bază, așa-numita trigonometrie pentru „manichi”.
În această lecție, vom învăța definițiile funcțiile trigonometrice și principalele lor proprietăți, învață cum să lucrezi cu cerc trigonometric, afla ce este perioada de functionareși amintiți-vă de diverse modalități de măsurare a unghiurilor. În plus, să ne uităm la utilizarea formule de reducere.
Această lecție vă va ajuta să vă pregătiți pentru unul dintre tipurile de sarcini. LA 7.
Pregătirea pentru examenul la matematică
Experiment
Lecția 7Introducere în trigonometrie.
Teorie
Rezumatul lecției
Astăzi începem o secțiune care are un nume înfricoșător pentru mulți, Trigonometrie. Să aflăm imediat că acesta nu este un obiect separat, asemănător ca nume cu geometria, așa cum cred unii oameni. Deși tradus din greacă, cuvântul „trigonometrie” înseamnă „măsurarea triunghiurilor” și este direct legat de geometrie. În plus, calculele trigonometrice sunt utilizate pe scară largă în fizică și tehnologie. Dar vom începe cu tine tocmai prin a lua în considerare modul în care funcțiile trigonometrice de bază sunt introduse în geometrie folosind un triunghi dreptunghic.
Tocmai am folosit termenul „funcție trigonometrică” – asta înseamnă că vom introduce o întreagă clasă de anumite legi pentru corespondența unei variabile cu alta.
Pentru a face acest lucru, luați în considerare un triunghi dreptunghic, în care, pentru comoditate, sunt utilizate denumirile standard ale laturilor și unghiurilor, pe care le puteți vedea în figură:
Luați în considerare, de exemplu, unghiulși introduceți următoarele acțiuni pentru acesta:
Raportul catetului opus față de ipotenuză se numește sinus, adică.
Raportul catetei adiacente la ipotenuza se numeste cosinus, i.e. ;
Raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent se numește tangentă, adică. ;
Raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus va fi numit cotangentă, adică. .
Toate aceste acțiuni cu un unghi sunt numite funcții trigonometrice. Unghiul în sine, în același timp, este de obicei numit argumentul funcției trigonometriceși poate fi notat, de exemplu, cu x, așa cum este obișnuit în algebră.
Este important să înțelegeți imediat că funcțiile trigonometrice depind exact de unghiul dintr-un triunghi dreptunghic, și nu de laturile acestuia. Acest lucru este ușor de demonstrat dacă luăm în considerare un triunghi similar cu acesta, în care lungimile laturilor vor fi diferite, iar toate unghiurile și rapoartele laturilor nu se vor schimba, adică. şi funcţiile trigonometrice ale unghiurilor vor rămâne neschimbate.
După o astfel de definiție a funcțiilor trigonometrice, poate apărea întrebarea: „Există, de exemplu,? La urma urmei, colțulnu poate fi într-un triunghi dreptunghic» . În mod ciudat, răspunsul la această întrebare este da, iar valoarea acestei expresii este , ceea ce este și mai surprinzător, deoarece toate funcțiile trigonometrice sunt raportul laturilor unui triunghi dreptunghic, iar lungimile laturilor sunt numere pozitive.
Dar nu există niciun paradox în asta. Faptul este că, de exemplu, în fizică, atunci când se descriu anumite procese, este necesar să se utilizeze funcțiile trigonometrice ale unghiurilor nu numai mari, ci și mari și uniforme. Pentru a face acest lucru, este necesar să se introducă o regulă mai generalizată pentru calcularea funcțiilor trigonometrice folosind așa-numita „cerc trigonometric unitar”.
Este un cerc cu raza unitară desenată astfel încât centrul său să fie la originea planului cartezian.
 |
Pentru a descrie unghiurile din acest cerc, este necesar să cădeți de acord unde să le puneți. Se acceptă ca fasciculul de referință unghiular să ia direcția pozitivă a axei absciselor, i.e. axa x. Direcția de depunere a colțurilor este considerată a fi direcția în sens invers acelor de ceasornic. Pe baza acestor acorduri, am lăsat mai întâi deoparte un unghi ascuțit. Pentru astfel de unghiuri ascuțite știm deja cum să calculăm valorile funcțiilor trigonometrice într-un triunghi dreptunghic. Se pare că, cu ajutorul cercului reprezentat, este posibil să se calculeze și funcții trigonometrice, doar mai convenabil.
Valorile sinusului și cosinusului unui unghi ascuțit sunt coordonatele punctului de intersecție a laturii acestui unghi cu cercul unitar:
Aceasta poate fi scrisă sub această formă:
:
Pe baza faptului că coordonatele de pe abscisă arată valoarea cosinusului, iar coordonatele de pe ordonată arată valorile sinusului unghiului, este convenabil să redenumiți numele axelor din sistemul de coordonate cu un cerc unitar, așa cum vedeți în figură:
 |
Axa absciselor este redenumită în axa cosinus, iar axa ordonatelor în axa sinusului.
Regula indicată pentru determinarea sinusului și cosinusului este generalizată atât la unghiuri obtuze, cât și la unghiuri care variază de la până la. În acest caz, sinusurile și cosinusurile pot lua atât valori pozitive, cât și negative. Variat semnele valorilor acestor funcții trigonometriceîn funcție de sfertul în care se încadrează unghiul luat în considerare, se obișnuiește să-l descrie după cum urmează:
După cum puteți vedea, semnele funcțiilor trigonometrice sunt determinate de direcțiile pozitive și negative ale axelor respective.
În plus, merită să acordați atenție faptului că, deoarece cea mai mare coordonată a unui punct pe un cerc unitar și de-a lungul abscisei și de-a lungul axei ordonatelor este egală cu unu, iar cea mai mică minus, atunci valorile sinus și cosinus limitat la aceste numere:
Aceste înregistrări sunt de obicei scrise sub această formă:
Pentru a introduce funcțiile tangentei și cotangentei pe un cerc trigonometric, este necesar să se înfățișeze elemente suplimentare: tangenta la cerc în punctul A - valoarea tangentei unghiului este determinată din aceasta și tangenta la la punctul B - din acesta se determină valoarea cotangentei unghiului.
 |
|||
 |
Cu toate acestea, nu vom aprofunda în definiția tangentelor și cotangentelor de-a lungul unui cerc trigonometric, deoarece. ele pot fi calculate cu ușurință, cunoscând valorile sinusului și cosinusului unui unghi dat, ceea ce știm deja să facem. Dacă ești interesat să înveți cum să calculezi tangente și cotangente într-un cerc trigonometric, repetă programul cursului de algebră de clasa a 10-a.
Specificați doar imaginea de pe cerc semne de tangente și cotangente in functie de unghi:
Rețineți că, în mod similar cu intervalele de valori sinus și cosinus, puteți specifica intervale de valori tangente și cotangente. Pe baza definiției lor pe un cerc trigonometric, valorile acestor funcții nu sunt limitate:
Ce altceva se mai poate scrie așa:
Pe lângă unghiurile din intervalul de la până la, cercul trigonometric vă permite să lucrați cu unghiuri mai mari și chiar cu unghiuri negative. Astfel de valori unghiulare, deși par lipsite de sens pentru geometrie, sunt folosite pentru a descrie unele procese fizice. De exemplu, cum ați răspunde la întrebare: În ce unghi se va întoarce acul ceasului într-o zi?În acest timp, va finaliza două revoluții complete, iar într-o singură revoluție va trece, adică. într-o zi se va transforma în . După cum puteți vedea, astfel de valori au o semnificație destul de practică. Semnele de unghi sunt folosite pentru a indica direcția de rotație - una dintre direcții este convenită să fie măsurată prin unghiuri pozitive, iar cealaltă prin unghiuri negative. Cum poate fi luat în considerare acest lucru într-un cerc trigonometric?
Pe un cerc cu astfel de unghiuri, ele funcționează după cum urmează:
1) Unghiurile care sunt mai mari decât , sunt trasate în sens invers acelor de ceasornic cu trecerea punctului de referință de câte ori este necesar. De exemplu, pentru a construi un unghi, trebuie să treceți prin două ture complete și mai multe. Pentru poziția finală și toate funcțiile trigonometrice sunt calculate. Este ușor de observat că valoarea tuturor funcțiilor trigonometrice pentru și pentru va fi aceeași.
2) Unghiurile negative sunt trasate exact după același principiu ca și cele pozitive, doar în sensul acelor de ceasornic.
Deja prin metoda construirii unghiurilor mari, putem concluziona că valorile sinusurilor și cosinusurilor unghiurilor care diferă sunt aceleași. Dacă analizăm valorile tangentelor și cotangentelor, atunci acestea vor fi aceleași pentru unghiurile care diferă cu .
Astfel de numere minime diferite de zero, atunci când sunt adăugate la argument, valoarea funcției nu se schimbă, sunt apelate perioadă această funcție.
În acest fel, perioadăsinus și cosinus egal, și tangenta și cotangenta. Și asta înseamnă că, indiferent cât de mult ai adăuga sau scădea aceste perioade din unghiurile luate în considerare, valorile funcțiilor trigonometrice nu se vor schimba.
De exemplu, , si etc.
Mai târziu vom reveni la o explicație și aplicare mai detaliată a acestei proprietăți a funcțiilor trigonometrice.
Există anumite relații între funcțiile trigonometrice ale aceluiași argument, care sunt foarte des folosite și sunt numite identități trigonometrice de bază.
Arata asa:
1)
, așa-numita „unitate trigonometrică”
3)
4)
5)
Rețineți că, de exemplu, notația înseamnă că întreaga funcție trigonometrică este la pătrat. Acestea. poate fi reprezentat sub această formă: 
. Este important de înțeles că aceasta nu este egală cu o astfel de notație ca , în acest caz doar argumentul este pătrat, și nu întreaga funcție, în plus, expresiile de acest fel sunt extrem de rare.
Există două corolare foarte utile pentru prima identitate care pot fi utile în rezolvarea multor tipuri de probleme. După transformări simple, puteți exprima sinusul prin cosinusul aceluiași unghi și invers:
Cele două semne posibile ale expresiilor apar pentru că extragerea rădăcinii pătrate aritmetice dă numai valori nenegative, iar sinusul și cosinusul, așa cum am văzut deja, pot avea și valori negative. Mai mult decât atât, semnele acestor funcții sunt cel mai convenabil determinate exact cu ajutorul unui cerc trigonometric, în funcție de ce unghiuri sunt prezente în ele.
Acum să ne amintim că unghiurile pot fi măsurate în două moduri: în grade și în radiani. Să indicăm definițiile unui grad și un radian.
un grad- acesta este unghiul format din două raze care subtind un arc egal cu un cerc.
Un radian- acesta este unghiul format din două raze, care sunt contractate de un arc egal în lungime cu razele.
Acestea. sunt doar două moduri diferite de a măsura unghiuri care sunt absolut egale. În descrierea proceselor fizice care sunt caracterizate prin funcții trigonometrice, se obișnuiește să se utilizeze măsura radianilor unghiurilor, așa că va trebui să ne obișnuim și cu aceasta.
Se obișnuiește să se măsoare unghiurile în radiani în fracții din numărul „pi”, de exemplu, sau. În acest caz, valoarea numărului „pi”, care este 3,14, poate fi înlocuită, dar acest lucru se face rar.
Pentru a converti măsura gradului de unghiuri în radiani profita de faptul ca unghiul din care este usor de obtinut formula generala traducere:
De exemplu, să convertim în radiani: 
.
Există și un opus formulăconversie din radiani în grade:
De exemplu, să convertim în grade: 
.
Vom folosi măsura în radian a unghiului în acest subiect destul de des.
Acum este momentul să ne amintim ce valori specifice pot da funcțiile trigonometrice ale diferitelor unghiuri. Pentru unele unghiuri care sunt multipli de , există tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Pentru comoditate, unghiurile sunt date în grade și măsuri în radiani.
Aceste unghiuri sunt adesea întâlnite în multe probleme și este de dorit să poți naviga cu încredere în acest tabel. Valorile tangentei și cotangentei unor unghiuri nu au sens, ceea ce este indicat în tabel sub formă de liniuțe. Gândiți-vă singur de ce este așa, sau citiți-l mai detaliat în insertul la lecție.
Ultimul lucru cu care trebuie să fim familiarizați în prima noastră lecție de trigonometrie este transformarea funcţiilor trigonometrice după aşa-numitele formule de reducere.
Se pare că există un anumit tip de expresie pentru funcțiile trigonometrice, care este destul de comună și simplificată convenabil. De exemplu, acestea sunt astfel de expresii: etc.
Acestea. vom vorbi despre funcții care au ca argument un unghi arbitrar, schimbat într-un întreg sau jumătate. Astfel de funcții sunt simplificate la un argument care este egal cu un unghi arbitrar de adunare sau scădere a părților. De exemplu, 
, A 
. După cum putem vedea, funcția opusă poate deveni rezultat, iar funcția își poate schimba semnul.
Prin urmare, regulile de transformare a unor astfel de funcții pot fi împărțite în două etape. În primul rând, este necesar să se determine ce funcție va fi obținută după transformare:
1) Dacă un argument arbitrar este schimbat într-un număr întreg, atunci funcția nu se schimbă. Acest lucru este valabil pentru funcțiile de tip în care orice număr întreg;
