|
Σκεύασμα σε οριακή μορφή
Σχόλιο.Αν ένα Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (εκτελέσιμο αρχείο textvcδεν βρέθηκε; Δείτε math/README για βοήθεια σχετικά με τη ρύθμιση.): R=1, τότε το κριτήριο Raabe δεν απαντά στην ερώτηση για τη σύγκλιση της σειράς.
Απόδειξη
Η απόδειξη βασίζεται στη χρήση ενός γενικευμένου κριτηρίου σύγκρισης σε σύγκριση με μια γενικευμένη αρμονική σειρά
δείτε επίσης
- Το τεστ σύγκλισης d'Alembert είναι ένα παρόμοιο τεστ που βασίζεται στην αναλογία γειτονικών όρων.
Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Sign of Raabe"
Βιβλιογραφία
- Arkhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N.Διαλέξεις για τη μαθηματική ανάλυση: Εγχειρίδιο πανεπιστημίων και π.δ. πανεπιστήμια / Εκδ. V. A. Sadovnichy. - Μ .: Ανώτατο Σχολείο, 1999. - 695 σελ. - ISBN 5-06-003596-4..
- - άρθρο από τη Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια
Συνδέσεις
- Weisstein, Eric W.(Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
| |||
Θεωρήστε μια θετική σειρά αριθμών.
Εάν υπάρχει όριο, τότε:
α) Στη σειρά αποκλίνει. Επιπλέον, η τιμή που προκύπτει μπορεί να είναι μηδέν ή αρνητική.
β) Στη σειρά συγκλίνει. Συγκεκριμένα, η σειρά συγκλίνει για .
γ) Πότε Το ζώδιο του Raabe δεν δίνει απάντηση.
Συνθέτουμε το όριο και απλοποιούμε προσεκτικά το κλάσμα:
Ναι, η εικόνα είναι, για να το θέσω ήπια, δυσάρεστη, αλλά δεν με εξέπληξε πλέον. τοπικούς κανόνες, και η πρώτη σκέψη, όπως αποδείχθηκε αργότερα, αποδείχθηκε σωστή. Αλλά πρώτα, για περίπου μία ώρα, έστριψα και γύρισα το όριο χρησιμοποιώντας «συνήθεις» μεθόδους, αλλά η αβεβαιότητα δεν ήθελε να εξαλειφθεί. Και το να περπατάς σε κύκλους, όπως υποδηλώνει η εμπειρία, είναι χαρακτηριστικό σημάδι ότι έχει επιλεγεί λάθος τρόπος επίλυσης.
Έπρεπε να στραφώ στη ρωσική λαϊκή σοφία: "Αν τίποτα δεν βοηθά, διαβάστε τις οδηγίες". Και όταν άνοιξα τον 2ο τόμο του Fichtenholtz, προς μεγάλη μου χαρά ανακάλυψα μια μελέτη μιας πανομοιότυπης σειράς. Και μετά η λύση πήγε σύμφωνα με το μοντέλο:
Επειδή η αριθμητική ακολουθίαθεωρείται ειδική περίπτωση της συνάρτησης, τότε στο όριο θα κάνουμε την αντικατάσταση: . Αν τότε .
Σαν άποτέλεσμα:
Τωρα εχω όριο λειτουργίαςκαι ισχύει Ο κανόνας του L'Hopital. Στη διαδικασία της διαφοροποίησης, πρέπει να λάβει κανείς παράγωγος εκθετικής συνάρτησης, που είναι τεχνικά βολικό να βρεθεί χωριστά από την κύρια λύση:
Κάντε υπομονή, αφού φτάσαμε εδώ - προειδοποίησε ο Barmaley στην αρχή του άρθρου =) =)
Χρησιμοποιώ τον κανόνα του L'Hopital δύο φορές:
αποκλίνει.
Πολύς χρόνος χαμένος, αλλά η πύλη μου κράτησε!
Για λόγους ενδιαφέροντος, υπολόγισα 142 όρους της σειράς στο Excel (δεν υπήρχε αρκετή υπολογιστική ισχύς για περισσότερα) και φαίνεται (αλλά όχι αυστηρά θεωρητικά εγγυημένο!), ότι για αυτή η σειράακόμη και το απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση δεν ικανοποιείται. Μπορείτε να δείτε το επικό αποτέλεσμα εδώ >>>Μετά από τέτοιες ατυχίες, δεν μπόρεσα να αντισταθώ στον πειρασμό να δοκιμάσω το όριο με τον ίδιο ερασιτεχνικό τρόπο.
Χρήση στην υγεία, η λύση είναι νόμιμη!
Και αυτό είναι το μωρό σας ελέφαντα:
Παράδειγμα 20
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Αν είσαι καλός στις ιδέες αυτό το μάθημα, τότε ασχοληθείτε με αυτό το παράδειγμα! Είναι πολύ πιο απλό από το προηγούμενο ;-)
Το ταξίδι μας τελείωσε με λαμπερή νότα και ελπίζω να αφήσουν όλοι μια αξέχαστη εντύπωση. Όσοι επιθυμούν να συνεχίσουν το συμπόσιο μπορούν να μεταβούν στη σελίδα Έτοιμα προβλήματα στα ανώτερα μαθηματικάκαι κατεβάστε το αρχείο από πρόσθετες εργασίεςπανω σε αυτο το θεμα.
Σου εύχομαι επιτυχία!
Λύσεις και απαντήσεις:
Παράδειγμα 2: Λύση: συγκρίνετε αυτήν τη σειρά με τη συγκλίνουσα σειρά. Για όλους τους φυσικούς αριθμούς, η ανίσωση είναι αληθής, πράγμα που σημαίνει ότι, συγκριτικά, η υπό μελέτη σειρά συγκλίνειμαζί με δίπλα στο .
Παράδειγμα 4: Λύση: συγκρίνετε αυτή τη σειρά με την αποκλίνουσα αρμονική σειρά. Χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκρισης ορίων:
(το γινόμενο ενός απειροελάχιστου και ενός οριοθετημένου είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία)
αποκλίνειμαζί με την αρμονική σειρά.
Παράδειγμα 5: Λύση: παίρνουμε τον πολλαπλασιαστή-σταθερά του κοινού όρου έξω από το άθροισμα, η σύγκλιση ή η απόκλιση της σειράς δεν εξαρτάται από αυτό:
Ας συγκρίνουμε αυτή τη σειρά με μια συγκλίνουσα απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Η ακολουθία είναι περιορισμένη: , επομένως, η ανισότητα ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς. Και, επομένως, σύμφωνα με το τεστ σύγκρισης, η υπό μελέτη σειρά συγκλίνειμαζί με δίπλα στο .
Παράδειγμα 8: Λύση: συγκρίνετε αυτήν τη σειρά με τις αποκλίνουσες σειρές (ο κοινός όρος σταθερά πολλαπλασιαστή δεν επηρεάζει τη σύγκλιση ή την απόκλιση της σειράς). Χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκρισης ορίων και το αξιοσημείωτο όριο:
Λαμβάνεται πεπερασμένος αριθμός εκτός του μηδενός, που σημαίνει ότι η υπό μελέτη σειρά αποκλίνειμαζί με δίπλα στο .
Παράδειγμα 13: Λύση
Έτσι, η υπό μελέτη σειρά συγκλίνει.
Παράδειγμα 14: Λύση: χρησιμοποιήστε το σύμβολο d'Alembert:
Ας αντικαταστήσουμε τις απειροελάχιστες με τις ισοδύναμες: για .
Χρησιμοποιούμε το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο: .
Επομένως, η υπό μελέτη σειρά αποκλίνει.
Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε με την παρακείμενη παράσταση:
Λαμβάνεται πεπερασμένος αριθμός εκτός του μηδενός, που σημαίνει ότι η υπό μελέτη σειρά αποκλίνειμαζί με δίπλα στο .
Παράδειγμα 20: Λύση: ελέγξτε την απαραίτητη συνθήκη για τη σύγκλιση της σειράς. Κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, χρησιμοποιώντας μια τυπική τεχνική, οργανώνουμε το 2ο αξιοσημείωτο όριο:
Έτσι, η υπό μελέτη σειρά αποκλίνει.
Ανώτερα μαθηματικά για μαθητές αλληλογραφίας και όχι μόνο >>>
(Μετάβαση στην κεντρική σελίδα)
Ας πάρουμε το κριτήριο του Kummer ως αποκλίνουσα σειρά (12.1) την αρμονική σειρά
Σε αυτή την περίπτωση έχουμε
Το κριτήριο σύγκλισης που προκύπτει μπορεί να διατυπωθεί ως εξής.
Θεώρημα (δοκιμή σύγκλισης Raabe). Σειρά
συγκλίνει αν υπάρχει τέτοιο που
Αυτή η σειρά αποκλίνει αν, ξεκινώντας από κάποια
Η οριακή μορφή του σημείου Raabe είναι η εξής:
τότε η σειρά (12.9) συγκλίνει, και αν
τότε αποκλίνει.
Η δοκιμή σύγκλισης Raabe είναι πολύ πιο ευαίσθητη από την παρόμοια δοκιμή σύγκλισης d'Alembert. Πράγματι, όπου το κριτήριο d'Alembert, λαμβανόμενο στην περιοριστική του μορφή, καθορίζει τη σύγκλιση της σειράς (12.9):
εκεί ο Raabe δίνει ένα σημάδι.
Ομοίως, για μια σειρά της οποίας η απόκλιση υποδεικνύεται από τη δοκιμή d'Alembert, σύμφωνα με τη δοκιμή Raabe,
1. Σκεφτείτε τη σειρά
Εδώ ώστε για κάθε συγκεκριμένο x
και η εφαρμογή του σημείου του d'Alembert είναι αναποτελεσματική εδώ. Το ζώδιο του Raabe δίνει
Αυτό δείχνει ότι η υπό εξέταση σειρά συγκλίνει και αποκλίνει στο . Σημειώνουμε παρεμπιπτόντως ότι στο , η σειρά (12.10) μετατρέπεται σε αρμονική, η οποία, ως γνωστόν, αποκλίνει. Το γεγονός ότι το κριτήριο Raabe στην αρχική του (μη περιοριστική) μορφή καθιερώνει την απόκλιση της αρμονικής σειράς δεν μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητο αποτέλεσμα, καθώς ο ισχυρισμός που συνιστά το κριτήριο Raabe βασίζεται σε αυτήν την απόκλιση.
Συνθέστε την αναλογία των γειτονικών μελών αυτής της σειράς:
Θα επεκτείνουμε τους λογάριθμους και τις τετραγωνικές ρίζες στα δεξιά σύμφωνα με τον τύπο Taylor στις δυνάμεις. Σε αυτό και στα ακόλουθα παραδείγματα, θα χρησιμοποιήσουμε οριακές δοκιμές για σύγκλιση. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να αυξάνουμε την τιμή της μεταβλητής επ' αόριστον.Επομένως, κάθε επόμενος βαθμός θα είναι μια αύξηση σε απειροελάχιστη υψηλότερη τάξη σε σύγκριση με τους προηγούμενους. Απορρίπτοντας όλους τους βαθμούς, ξεκινώντας από έναν συγκεκριμένο, θα κάνουμε ένα σφάλμα που θα είναι μικρό όχι μόνο απολύτως, αλλά και σε σύγκριση με τον τελευταίο από τους όρους που διατηρήθηκαν. Αυτό το σχετικό σφάλμα θα είναι όσο μικρότερο, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή και εξαφανίζεται στο όριο με απεριόριστη αύξηση στο . Ανάλογα με την απαιτούμενη ακρίβεια συλλογισμού, θα διατηρήσουμε έναν ή τον άλλο αριθμό όρων στους τύπους Taylor για τις αντίστοιχες συναρτήσεις. Περαιτέρω, θα συνδεθούμε με ένα πρόσημο εκφράσεις που διαφέρουν μεταξύ τους από τιμές που είναι μικρές σε σύγκριση με την ακρίβεια που δίνουν οι όροι που διατηρούνται και έχουν γραφτεί.
Πρώτον, περιοριζόμαστε σε όρους λογαρίθμων και ριζών που περιέχουν σε βαθμό όχι υψηλότερο από τον πρώτο. Θα έχουμε
Κατά συνέπεια, το κριτήριο σύγκλισης του d'Alembert δεν μπορεί να μας δώσει καμία απάντηση ούτε εδώ.
Τυπικές μέθοδοι, αλλά έφτασαν σε αδιέξοδο με ένα άλλο παράδειγμα.
Ποια είναι η δυσκολία και πού μπορεί να υπάρξει εμπόδιο; Ας αφήσουμε στην άκρη το σαπουνόσχοινο, ας αναλύσουμε ήρεμα τους λόγους και ας εξοικειωθούμε με τις πρακτικές μεθόδους λύσης.
Πρώτο και σημαντικότερο: στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, για να μελετηθεί η σύγκλιση μιας σειράς, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί κάποια γνωστή μέθοδος, αλλά ο κοινός όρος της σειράς είναι γεμάτος με τόσο περίπλοκη γέμιση που δεν είναι καθόλου προφανές τι να κάνει με αυτήν . Και κάνετε κύκλους: το πρώτο σημάδι δεν λειτουργεί, το δεύτερο δεν λειτουργεί, η τρίτη, η τέταρτη, η πέμπτη μέθοδος δεν λειτουργεί, μετά τα προσχέδια πετιούνται στην άκρη και όλα ξεκινούν εκ νέου. Αυτό συνήθως οφείλεται σε έλλειψη εμπειρίας ή σε κενά σε άλλα τμήματα. μαθηματική ανάλυση. Ειδικότερα, αν τρέχει όρια ακολουθίαςκαι αποσυναρμολογείται επιφανειακά όρια λειτουργίας, τότε θα είναι δύσκολο.
Με άλλα λόγια, ένας άνθρωπος απλά δεν βλέπει την απαραίτητη λύση λόγω έλλειψης γνώσεων ή εμπειρίας.
Μερικές φορές φταίει και η «έκλειψη», όταν, για παράδειγμα, απλώς δεν πληρούται το απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση μιας σειράς, αλλά λόγω άγνοιας, απροσεξίας ή αμέλειας, αυτό ξεφεύγει. Και αποδεικνύεται όπως σε εκείνο το ποδήλατο όπου ο καθηγητής μαθηματικών έλυσε ένα παιδικό πρόβλημα με τη βοήθεια άγριων επαναλαμβανόμενων ακολουθιών και σειρών αριθμών =)
ΣΤΟ καλύτερες παραδόσειςάμεσα ζωντανά παραδείγματα: σειρές 
και οι συγγενείς τους - αποκλίνουν, αφού θεωρητικά αποδεικνύεται όρια ακολουθίας. Πιθανότατα, στο πρώτο εξάμηνο, να σε κοπανήσουν από την ψυχή σου για 1-2-3 σελίδες απόδειξης, αλλά προς το παρόν αρκεί να δείξεις αποτυχία απαραίτητη προϋπόθεσησύγκλιση της σειράς, παραπέμποντας σε γνωστά γεγονότα. Διάσημος? Αν ο μαθητής δεν ξέρει ότι η ρίζα του nου βαθμού είναι ένα εξαιρετικά ισχυρό πράγμα, τότε, ας πούμε, η σειρά 
τον βάλε σε ρήξη. Αν και η λύση είναι σαν δύο και δύο: , δηλ. για προφανείς λόγους, και οι δύο σειρές αποκλίνουν. Ένα λιτό σχόλιο «αυτά τα όρια έχουν αποδειχθεί θεωρητικά» (ή και η απουσία τους) είναι αρκετά για αντιστάθμιση, άλλωστε οι υπολογισμοί είναι αρκετά βαρείς και σίγουρα δεν ανήκουν στην ενότητα των αριθμητικών σειρών.
Και αφού μελετήσετε τα επόμενα παραδείγματα, θα εκπλαγείτε μόνο με τη συντομία και τη διαφάνεια πολλών λύσεων:
Παράδειγμα 1
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση: πρώτα απ 'όλα, ελέγξτε την εκτέλεση απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης. Δεν πρόκειται για τυπικότητα, αλλά για μια μεγάλη ευκαιρία να αντιμετωπίσουμε το παράδειγμα της «λίγης αιματοχυσίας».
Η "επιθεώρηση της σκηνής" προτείνει μια αποκλίνουσα σειρά (η περίπτωση μιας γενικευμένης αρμονικής σειράς), αλλά και πάλι τίθεται το ερώτημα, πώς να ληφθεί υπόψη ο λογάριθμος στον αριθμητή;
Παραδείγματα κατά προσέγγιση εργασιών στο τέλος του μαθήματος.
Δεν είναι ασυνήθιστο όταν πρέπει να εκτελέσετε έναν αμφίδρομο (ή ακόμα και τριμερή) συλλογισμό:
Παράδειγμα 6
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς 
Λύση: πρώτα, αντιμετωπίστε προσεκτικά τις ασυναρτησίες του αριθμητή. Η σειρά είναι περιορισμένη: . Επειτα: 
Ας συγκρίνουμε τη σειρά μας με τη σειρά. Δυνάμει της διπλής ανισότητας που μόλις προέκυψε, για όλα τα "en" θα ισχύει: 
Τώρα ας συγκρίνουμε τη σειρά με την αποκλίνουσα αρμονική σειρά.
Παρονομαστής κλάσματος πιο λιγοο παρονομαστής του κλάσματος, άρα το ίδιο το κλάσμα – περισσότεροκλάσματα (γράψτε τους πρώτους όρους, αν δεν είναι σαφείς). Έτσι, για οποιοδήποτε "en": 
Συγκριτικά λοιπόν, η σειρά 
αποκλίνειμαζί με την αρμονική σειρά.
Αν αλλάξουμε λίγο τον παρονομαστή: 
, τότε το πρώτο μέρος του συλλογισμού θα είναι παρόμοιο: 
. Αλλά για να αποδειχθεί η απόκλιση της σειράς, ισχύει ήδη μόνο το οριακό τεστ σύγκρισης, αφού η ανισότητα είναι ψευδής.
Η κατάσταση με τις συγκλίνουσες σειρές είναι «καθρέφτης», δηλαδή, για παράδειγμα, και τα δύο κριτήρια σύγκρισης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μια σειρά (η ανισότητα είναι αληθής) και για μια σειρά, μόνο το περιοριστικό κριτήριο (η ανισότητα είναι ψευδής).
Συνεχίζουμε το σαφάρι μας μέσα στην άγρια φύση, όπου ένα κοπάδι από χαριτωμένα και χυμώδεις αντιλόπες φαινόταν στον ορίζοντα:
Παράδειγμα 7
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση: ικανοποιείται το απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης και θέτουμε ξανά το κλασικό ερώτημα: τι να κάνουμε; Μπροστά μας υπάρχει κάτι που μοιάζει με συγκλίνουσα σειρά, ωστόσο, δεν υπάρχει σαφής κανόνας εδώ - τέτοιοι συσχετισμοί είναι συχνά απατηλοί.
Συχνά, αλλά όχι αυτή τη φορά. Με τη χρήση Κριτήριο σύγκρισης ορίωνΑς συγκρίνουμε τη σειρά μας με τη συγκλίνουσα σειρά. Κατά τον υπολογισμό του ορίου, χρησιμοποιούμε υπέροχο όριο 
, όπου ως απειροελάχιστοςπερίπτερα: 
συγκλίνειμαζί με δίπλα στο .
Αντί να χρησιμοποιηθεί η τυπική τεχνητή τεχνική του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης με ένα "τρία", ήταν δυνατή η αρχική σύγκριση με μια συγκλίνουσα σειρά.
Αλλά εδώ είναι επιθυμητή μια προειδοποίηση ότι η σταθερά-πολλαπλασιαστής του γενικού όρου δεν επηρεάζει τη σύγκλιση της σειράς. Και ακριβώς σε αυτό το στυλ σχεδιάζεται η λύση του παρακάτω παραδείγματος:
Παράδειγμα 8
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Δείγμα στο τέλος του μαθήματος.
Παράδειγμα 9
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση: στα προηγούμενα παραδείγματα, χρησιμοποιήσαμε το όριο του ημιτονοειδούς, αλλά τώρα αυτή η ιδιότητα είναι εκτός λειτουργίας. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος ενός υψηλότερου σειρά ανάπτυξηςαπό τον αριθμητή, οπότε όταν το ημιτονικό όρισμα και ολόκληρος ο κοινός όρος απείρως μικρό. Η απαραίτητη προϋπόθεση για τη σύγκλιση, όπως καταλαβαίνετε, ικανοποιείται, κάτι που δεν μας επιτρέπει να αποφύγουμε τη δουλειά.
Θα πραγματοποιήσουμε αναγνώριση: σύμφωνα με αξιοσημείωτη ισοδυναμία 
, πετάξτε νοερά το ημίτονο και πάρτε μια σειρά. Λοιπόν, κάτι τέτοιο….
Λήψη απόφασης:
Ας συγκρίνουμε τις υπό μελέτη σειρές με τις αποκλίνουσες σειρές. Χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκρισης ορίων: 
Ας αντικαταστήσουμε το απειροελάχιστο με το ισοδύναμο: για 
.
Λαμβάνεται πεπερασμένος αριθμός εκτός του μηδενός, που σημαίνει ότι η υπό μελέτη σειρά αποκλίνειμαζί με την αρμονική σειρά.
Παράδειγμα 10
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Αυτό είναι ένα παράδειγμα "φτιάξ' το μόνος σου".
Για τον προγραμματισμό περαιτέρω ενεργειών σε τέτοια παραδείγματα, η νοητική απόρριψη του ημιτονοειδούς, του τόξου, της εφαπτομένης, της εφαπτομένης βοηθά πολύ. Αλλά θυμηθείτε, αυτή η δυνατότητα υπάρχει μόνο όταν απειροελάχιστοςεπιχείρημα, πριν από λίγο καιρό συνάντησα μια προκλητική σειρά:
Παράδειγμα 11
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς 
.
Λύση: είναι άχρηστο να χρησιμοποιήσουμε τον περιορισμό της εφαπτομένης του τόξου εδώ, και ούτε η ισοδυναμία λειτουργεί. Η έξοδος είναι εκπληκτικά απλή: 
Σειρά Μελέτης αποκλίνει, αφού δεν ικανοποιείται το απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς.
Ο δεύτερος λόγοςΤο «gag on the job» συνίσταται σε μια αξιοπρεπή επιτήδευση του κοινού μέλους, που προκαλεί δυσκολίες τεχνικής φύσεως. Σε γενικές γραμμές, αν οι σειρές που συζητήθηκαν παραπάνω ανήκουν στην κατηγορία των «φιγούρες που μαντεύετε», τότε αυτές ανήκουν στην κατηγορία «εσύ αποφασίζεις». Στην πραγματικότητα, αυτό ονομάζεται πολυπλοκότητα με τη «συνήθη» έννοια. Δεν θα λύσουν όλοι σωστά πολλά παραγοντικά, μοίρες, ρίζες και άλλους κατοίκους της σαβάνας. Φυσικά, τα παραγοντικά προκαλούν τα περισσότερα προβλήματα:
Παράδειγμα 12
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Πώς να ανεβάσετε ένα παραγοντικό σε δύναμη; Εύκολα. Σύμφωνα με τον κανόνα των λειτουργιών με δυνάμεις, είναι απαραίτητο να αυξηθεί κάθε συντελεστής του προϊόντος σε μια ισχύ:
Και, φυσικά, προσοχή και για άλλη μια φορά προσοχή, το ίδιο το σήμα d'Alembert λειτουργεί παραδοσιακά: 
Έτσι, η υπό μελέτη σειρά συγκλίνει.
Σας υπενθυμίζω μια λογική τεχνική για την εξάλειψη της αβεβαιότητας: όταν είναι ξεκάθαρο σειρά ανάπτυξηςαριθμητής και παρονομαστής - δεν είναι καθόλου απαραίτητο να υποφέρετε και να ανοίξετε τις αγκύλες.
Παράδειγμα 13
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Το θηρίο είναι πολύ σπάνιο, αλλά βρίσκεται και θα ήταν άδικο να το παρακάμψουμε με έναν φωτογραφικό φακό.
Τι είναι παραγοντικό διπλό θαυμαστικό; Ο παραγοντικός «άνεμος» το γινόμενο θετικών ζυγών αριθμών: 
Ομοίως, το παραγοντικό «τυλίγει» το γινόμενο θετικών περιττών αριθμών: 
Αναλύστε ποια είναι η διαφορά μεταξύ
Παράδειγμα 14
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Και σε αυτό το έργο, προσπαθήστε να μην μπερδεύεστε με τα πτυχία, υπέροχες ισοδυναμίεςκαι υπέροχα όρια.
Δείγματα λύσεων και απαντήσεων στο τέλος του μαθήματος.
Αλλά ο μαθητής μπορεί να ταΐσει όχι μόνο τίγρεις - πονηρές λεοπαρδάλεις εντοπίζουν επίσης τη λεία τους:
Παράδειγμα 15
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς 
Λύση: το απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης, το περιοριστικό κριτήριο, τα κριτήρια d'Alembert και Cauchy εξαφανίζονται σχεδόν αμέσως. Αλλά το χειρότερο από όλα, το χαρακτηριστικό με τις ανισότητες, που μας έχει διασώσει επανειλημμένα, είναι ανίσχυρο. Πράγματι, η σύγκριση με μια αποκλίνουσα σειρά είναι αδύνατη, δεδομένου ότι η ανισότητα 
λάθος - ο πολλαπλασιαστής-λογάριθμος αυξάνει μόνο τον παρονομαστή, μειώνοντας το ίδιο το κλάσμα 
σε σχέση με το κλάσμα. Και ένα άλλο παγκόσμιο ερώτημα: γιατί είμαστε αρχικά σίγουροι ότι η σειρά μας 
είναι βέβαιο ότι θα αποκλίνει και πρέπει να συγκριθεί με κάποιες αποκλίνουσες σειρές; Ταιριάζει καθόλου;
Αναπόσπαστο χαρακτηριστικό; Ακατάλληλο ολοκλήρωμα 
προκαλεί πένθιμη διάθεση. Τώρα, αν είχαμε μια σειρά 
… τότε ναι. Να σταματήσει! Έτσι γεννιούνται οι ιδέες. Παίρνουμε μια απόφαση σε δύο βήματα:
1) Αρχικά, μελετάμε τη σύγκλιση της σειράς 
. Χρησιμοποιούμε αναπόσπαστο χαρακτηριστικό:
Ολοκληρωτέου συνεχήςστο
Έτσι, ένας αριθμός 
αποκλίνει μαζί με το αντίστοιχο ακατάλληλο ολοκλήρωμα.
2) Συγκρίνετε τις σειρές μας με τις αποκλίνουσες σειρές 
. Χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκρισης ορίων:
Λαμβάνεται πεπερασμένος αριθμός εκτός του μηδενός, που σημαίνει ότι η υπό μελέτη σειρά αποκλίνειμαζί με δίπλα-δίπλα 
.
Και δεν υπάρχει τίποτα ασυνήθιστο ή δημιουργικό σε μια τέτοια απόφαση - έτσι πρέπει να αποφασιστεί!
Προτείνω να συντάξουμε ανεξάρτητα τις ακόλουθες δύο κινήσεις:
Παράδειγμα 16
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς 
Ένας μαθητής με κάποια εμπειρία στις περισσότερες περιπτώσεις βλέπει αμέσως εάν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει, αλλά συμβαίνει ένα αρπακτικό να μεταμφιέζεται έξυπνα στους θάμνους:
Παράδειγμα 17
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς 
Λύση: εκ πρώτης όψεως, δεν είναι καθόλου ξεκάθαρο πώς συμπεριφέρεται αυτή η σειρά. Και αν έχουμε ομίχλη μπροστά μας, τότε είναι λογικό να ξεκινήσουμε με έναν πρόχειρο έλεγχο της απαραίτητης συνθήκης για τη σύγκλιση της σειράς. Για να εξαλείψουμε την αβεβαιότητα, χρησιμοποιούμε ένα αβύθιστο μέθοδος πολλαπλασιασμού και διαίρεσης με πρόσθετη έκφραση:
Το απαραίτητο σημάδι σύγκλισης δεν λειτούργησε, αλλά έφερε στο φως τον σύντροφό μας του Tambov. Ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών που πραγματοποιήθηκαν, προέκυψε μια ισοδύναμη σειρά 
, η οποία με τη σειρά της μοιάζει έντονα με συγκλίνουσα σειρά .
Γράφουμε μια καθαρή λύση:
Συγκρίνετε αυτή τη σειρά με τη συγκλίνουσα σειρά. Χρησιμοποιούμε το κριτήριο σύγκρισης ορίων:
Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε με την παρακείμενη παράσταση:
Λαμβάνεται πεπερασμένος αριθμός εκτός του μηδενός, που σημαίνει ότι η υπό μελέτη σειρά συγκλίνειμαζί με δίπλα στο .
Ίσως κάποιοι έχουν μια ερώτηση, από πού προήλθαν οι λύκοι στο αφρικανικό σαφάρι μας; Δεν ξέρω. Μάλλον το έφεραν. Θα λάβετε το ακόλουθο τρόπαιο δέρμα:
Παράδειγμα 18
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς 
Δείγμα Δείγμαλύσεις στο τέλος του μαθήματος
Και, τέλος, μια ακόμη σκέψη που επισκέπτεται πολλούς μαθητές σε απόγνωση: αντί για το αν θα χρησιμοποιηθεί ένα πιο σπάνιο κριτήριο για τη σύγκλιση της σειράς? Σημάδι Raabe, σημάδι Abel, σημάδι Gauss, σημάδι Dirichlet και άλλα άγνωστα ζώα. Η ιδέα λειτουργεί, αλλά σε πραγματικά παραδείγματα εφαρμόζεται πολύ σπάνια. Προσωπικά σε όλα τα χρόνια της πρακτικής έχω καταφύγει μόνο 2-3 φορές σημάδι του Raabeόταν τίποτα δεν βοήθησε πραγματικά από το τυπικό οπλοστάσιο. Αναπαράγω πλήρως την πορεία της ακραίας μου αναζήτησης:
Παράδειγμα 19
Διερευνήστε τη σύγκλιση μιας σειράς
Λύση: Χωρίς καμία αμφιβολία ένα σημάδι του d'Alembert. Κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, χρησιμοποιώ ενεργά τις ιδιότητες των βαθμών, καθώς και δεύτερο υπέροχο όριο:
Εδώ είναι ένα για εσάς. Το ζώδιο του D'Alembert δεν έδωσε απάντηση, αν και τίποτα δεν προμήνυε μια τέτοια έκβαση.
Αφού πέρασα από το εγχειρίδιο, βρήκα ένα ελάχιστα γνωστό όριο αποδεδειγμένο στη θεωρία και εφάρμοσα ένα ισχυρότερο κριτήριο Cauchy:
Εδώ είναι δύο για εσάς. Και, το πιο σημαντικό, δεν είναι καθόλου ξεκάθαρο αν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει (μια εξαιρετικά σπάνια κατάσταση για μένα). Απαραίτητο σημάδι σύγκρισης; Χωρίς πολλές ελπίδες - ακόμα κι αν με αδιανόητο τρόπο καταλάβω τη σειρά αύξησης του αριθμητή και του παρονομαστή, αυτό δεν εγγυάται ανταμοιβή.
Ένα πλήρες d'Alembert, αλλά το χειρότερο είναι ότι η σειρά πρέπει να λυθεί. Χρειάζομαι. Άλλωστε, αυτή θα είναι η πρώτη φορά που τα παρατάω. Και μετά θυμήθηκα ότι φαινόταν να υπάρχουν κάποια πιο ισχυρά σημάδια. Πριν από μένα δεν ήταν πια λύκος, ούτε λεοπάρδαλη και ούτε τίγρη. Ήταν ένας τεράστιος ελέφαντας που κουνούσε ένα μεγάλο κουφάρι. Έπρεπε να σηκώσω έναν εκτοξευτή χειροβομβίδων:
Σημάδι Raabe
Θεωρήστε μια θετική σειρά αριθμών.
Αν υπάρχει όριο 
, έπειτα:
α) Στη σειρά αποκλίνει. Επιπλέον, η τιμή που προκύπτει μπορεί να είναι μηδέν ή αρνητική.
β) Στη σειρά συγκλίνει. Συγκεκριμένα, η σειρά συγκλίνει για .
γ) Πότε Το ζώδιο του Raabe δεν δίνει απάντηση.
Συνθέτουμε το όριο και απλοποιούμε προσεκτικά το κλάσμα: 
Ναι, η εικόνα είναι, για να το θέσω ήπια, δυσάρεστη, αλλά δεν με εξέπληξε πλέον. τοπικούς κανόνες, και η πρώτη σκέψη, όπως αποδείχθηκε αργότερα, αποδείχθηκε σωστή. Αλλά πρώτα, για περίπου μία ώρα, έστριψα και γύρισα το όριο χρησιμοποιώντας «συνήθεις» μεθόδους, αλλά η αβεβαιότητα δεν ήθελε να εξαλειφθεί. Και το να περπατάς σε κύκλους, όπως υποδηλώνει η εμπειρία, είναι χαρακτηριστικό σημάδι ότι έχει επιλεγεί λάθος τρόπος επίλυσης.
Έπρεπε να στραφώ στη ρωσική λαϊκή σοφία: "Αν τίποτα δεν βοηθά, διαβάστε τις οδηγίες". Και όταν άνοιξα τον 2ο τόμο του Fichtenholtz, προς μεγάλη μου χαρά βρήκα μια μελέτη μιας πανομοιότυπης σειράς. Και μετά η λύση πήγε σύμφωνα με το μοντέλο.
Σε περιπτώσεις όπου οι δοκιμές d'Alembert και Cauchy δεν δίνουν αποτέλεσμα, μερικές φορές μια καταφατική απάντηση μπορεί να δοθεί με σημεία που βασίζονται σε σύγκριση με άλλες σειρές που συγκλίνουν ή αποκλίνουν "πιο αργά" από τη σειρά. γεωμετρική πρόοδος.
Ας παρουσιάσουμε, χωρίς απόδειξη, τη διατύπωση τεσσάρων ακόμη δυσκίνητων κριτηρίων για τη σύγκλιση των σειρών. Οι αποδείξεις αυτών των κριτηρίων βασίζονται επίσης στα θεωρήματα σύγκρισης 1–3 (θεωρήματα 2.2 και 2.3) της υπό μελέτη σειράς με ορισμένες σειρές των οποίων η σύγκλιση ή η απόκλιση έχει ήδη τεκμηριωθεί. Αυτές οι αποδείξεις βρίσκονται, για παράδειγμα, στο θεμελιώδες εγχειρίδιο του G. M. Fikhtengol'ts (Τόμος 2).
Θεώρημα 2.6. Σημάδι Raabe. Αν για μέλη μιας θετικής αριθμητικής σειράς , ξεκινώντας από κάποιο αριθμό M, η ανίσωση
(Rn £ 1), "n ³ M, (2,10)
τότε η σειρά συγκλίνει (αποκλίνει).
Το σύμβολο του Raabe στην περιοριστική μορφή. Εάν οι όροι της παραπάνω σειράς ικανοποιούν την προϋπόθεση
Παρατήρηση 6. Εάν συγκρίνουμε τις δοκιμές d'Alembert και Raabe, μπορούμε να δείξουμε ότι το δεύτερο είναι πολύ ισχυρότερο από το πρώτο.
Αν η σειρά έχει όριο
τότε η ακολουθία Raabe έχει ένα όριο
Έτσι, εάν το τεστ d'Alembert δώσει απάντηση στο ερώτημα της σύγκλισης ή της απόκλισης της σειράς, τότε το τεστ Raabe την δίνει επίσης και αυτές οι περιπτώσεις καλύπτονται μόνο από δύο από τις πιθανές τιμές του R: +¥ και -¥. Όλες οι άλλες περιπτώσεις πεπερασμένου R 1 1, όταν η δοκιμή Raabe δίνει καταφατική απάντηση στο ερώτημα της σύγκλισης ή της απόκλισης της σειράς, αντιστοιχούν στην περίπτωση D = 1, δηλ. στην περίπτωση που η δοκιμή d'Alembert δεν δίνει καταφατική απάντηση στο ερώτημα της σύγκλισης ή της απόκλισης της σειράς.
Θεώρημα 2.7. Σημάδι Kummer. Έστω (сn) μια αυθαίρετη ακολουθία θετικών αριθμών. Αν για μέλη μιας θετικής αριθμητικής σειράς , ξεκινώντας από κάποιο αριθμό M, η ανίσωση
(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)
τότε η σειρά συγκλίνει 
.
Το τεστ του Kummer στην περιοριστική μορφή. Αν υπάρχει όριο για τις παραπάνω σειρές
τότε η σειρά συγκλίνει .
Από το τεστ του Kummer, ως συμπέρασμα, είναι εύκολο να ληφθούν στοιχεία για τα τεστ του d'Alembert, του Raabe και του Bertrand. Το τελευταίο προκύπτει αν πάρουμε ως την ακολουθία (σn)
cn=nln n, "n н N,
για την οποία η σειρά
αποκλίνει (η απόκλιση αυτής της σειράς θα παρουσιαστεί στα παραδείγματα αυτής της ενότητας).
Θεώρημα 2.8. Το κριτήριο του Bertrand στην οριακή μορφή. Αν για μέλη μιας θετικής σειράς αριθμών η ακολουθία Bertrand
(2.12)
(Το Rn είναι η ακολουθία Raabe) έχει ένα όριο
τότε η σειρά συγκλίνει (αποκλίνει).
Παρακάτω, διατυπώνουμε τη δοκιμή Gauss, η οποία είναι η πιο ισχυρή στην ακολουθία των περιοχών εφαρμογής των κριτηρίων σύγκλισης της σειράς διατεταγμένα σε αύξουσα σειρά: d'Alembert, Raabe και Bertrand. Το τεστ Gauss γενικεύει όλη τη δύναμη των προηγούμενων δοκιμών και σας επιτρέπει να μελετήσετε πολύ πιο σύνθετες σειρές, αλλά, από την άλλη πλευρά, η εφαρμογή του απαιτεί πιο λεπτές μελέτες για να ληφθεί μια ασυμπτωτική επέκταση του λόγου των γειτονικών όρων της σειράς στη δεύτερη τάξη μικρότητας σε σχέση με .
Θεώρημα 2.9. Σημάδι Gauss. Αν για τα μέλη μιας θετικής σειράς αριθμών , ξεκινώντας από κάποιο αριθμό M, η ισότητα
, "n ³ M, (2.13)
όπου l και p είναι σταθερές και tn είναι μια περιορισμένη τιμή.
α) για l > 1 ή l = 1 και p > 1, η σειρά συγκλίνει.
β) για λ< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.
2.5. Ολοκληρωμένη δοκιμή Cauchy-Maclaurin,
«Τηλεσκοπική» πινακίδα του Cauchy και πινακίδα του Ermakov
Τα κριτήρια για τη σύγκλιση των σειρών που εξετάστηκαν παραπάνω βασίζονται σε θεωρήματα σύγκρισης και είναι επαρκή, δηλ. εάν πληρούνται οι προϋποθέσεις του χαρακτηριστικού για μια δεδομένη σειρά, μπορούν να γίνουν ορισμένες δηλώσεις σχετικά με τη συμπεριφορά του, αλλά εάν οι συνθήκες του χαρακτηριστικού είναι δεν πληρούνται γι 'αυτό, τότε τίποτα δεν μπορεί να ισχυριστεί για τη σύγκλιση της σειράς, μπορεί να συγκλίνει και να αποκλίνει.
Το ολοκληρωτικό τεστ Cauchy–Maclaurin διαφέρει από αυτά που μελετήθηκαν παραπάνω ως προς το περιεχόμενο, το ότι είναι απαραίτητο και επαρκές, καθώς και ως προς τη μορφή, που βασίζεται στη σύγκριση ενός άπειρου αθροίσματος (σειράς) με ένα άπειρο (ακατάλληλο) ολοκλήρωμα και καταδεικνύει μια φυσική σχέση μεταξύ των η θεωρία των σειρών και η θεωρία των ολοκληρωμάτων. Αυτή η αλληλεπίδραση εντοπίζεται επίσης εύκολα στο παράδειγμα των κριτηρίων σύγκρισης, τα ανάλογα των οποίων λαμβάνουν χώρα για ακατάλληλα ολοκληρώματα και οι διατυπώσεις τους σχεδόν αυτολεξεί συμπίπτουν με τις διατυπώσεις για σειρές. Πλήρης αναλογία παρατηρείται επίσης στις διατυπώσεις επαρκών κριτηρίων για τη σύγκλιση αυθαίρετων αριθμητικών σειρών, που θα μελετηθούν στην επόμενη ενότητα, και κριτηρίων για τη σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων, όπως τα κριτήρια για τη σύγκλιση των Abel και Dirichlet.
Παρακάτω θα δώσουμε επίσης το «τηλεσκοπικό» κριτήριο Cauchy και το αρχικό κριτήριο για τη σύγκλιση σειρών, που έλαβε ο Ρώσος μαθηματικός V.P. Ermakov; Το τεστ του Ermakov στη δύναμή του έχει περίπου το ίδιο εύρος με το ολοκληρωτικό τεστ Cauchy–Maclaurin, αλλά δεν περιέχει τους όρους και τις έννοιες του ολοκληρωτικού λογισμού στη διατύπωση.
Θεώρημα 2.10. Το σημάδι Cauchy-Maclaurin. Έστω για τα μέλη μιας θετικής σειράς αριθμών , ξεκινώντας από κάποιο αριθμό M, την ισότητα
όπου η συνάρτηση f(x) είναι μη αρνητική και μη αύξουσα στην ημιευθεία (x ³ M). Η αριθμητική σειρά συγκλίνει εάν και μόνο εάν το ακατάλληλο ολοκλήρωμα συγκλίνει
Δηλαδή η σειρά συγκλίνει αν υπάρχει όριο
, (2.15)
και η σειρά αποκλίνει εάν το όριο είναι I = +¥.
Απόδειξη. Δυνάμει της Παρατήρησης 3 (βλ. § 1), είναι προφανές ότι, χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε M = 1, αφού, έχοντας απορρίψει (M – 1) όρους της σειράς και κάνοντας την αντικατάσταση k = (n – M + 1), φτάνουμε να εξετάσουμε τη σειρά , για την οποία
, 
,
και, κατά συνέπεια, στην εξέταση του ολοκληρώματος .
Περαιτέρω, σημειώνουμε ότι η μη αρνητική και μη αύξουσα στην ημιευθεία (x ³ 1) συνάρτηση f(x) ικανοποιεί τις συνθήκες της ολοκλήρωσης Riemann σε οποιοδήποτε πεπερασμένο διάστημα, και επομένως η θεώρηση του αντίστοιχου ακατάλληλου ολοκληρώματος έχει νόημα .
Ας περάσουμε στην απόδειξη. Σε οποιοδήποτε τμήμα μονάδας μήκους m £ x £ m + 1, εφόσον η f(x) δεν αυξάνεται, η ανισότητα
Ενσωματώνοντάς το σε ένα τμήμα και χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη ιδιότητα οριστικό ολοκλήρωμα, παίρνουμε την ανισότητα
, . (2.16)
Αθροίζοντας αυτές τις ανισότητες ανά όρο από m = 1 σε m = n, λαμβάνουμε
Εφόσον η f (x) είναι μη αρνητική συνάρτηση, το ολοκλήρωμα
είναι μια μη φθίνουσα συνεχής συνάρτηση του ορίσματος Α. Τότε
, .
Από εδώ και από την ανισότητα (15) προκύπτει ότι:
1) αν εγώ< +¥
(т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая
последовательность частичных сумм 
οριοθετημένη, δηλ. η σειρά συγκλίνει.
2) εάν I = +¥ (δηλαδή, το ακατάλληλο ολοκλήρωμα αποκλίνει),
τότε η μη φθίνουσα ακολουθία των μερικών αθροισμάτων είναι επίσης απεριόριστη, δηλ. η σειρά αποκλίνει.
Από την άλλη, δηλώνοντας , από την ανισότητα (16) παίρνουμε:
1) εάν ο Σ< +¥
(т. е. ряд сходится), то для неубывающей συνεχής λειτουργία I(A), "A ³ 1 υπάρχει ένας αριθμός n τέτοιος ώστε n + 1 ³ A, και I(A) £ I(n + 1) £ Sn £ S, και ως εκ τούτου 
δηλ. το ολοκλήρωμα συγκλίνει.
2) εάν S = +¥ (δηλαδή, η σειρά αποκλίνει), τότε για οποιοδήποτε αρκετά μεγάλο A υπάρχει n £ A έτσι ώστε I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), δηλ. το ολοκλήρωμα αποκλίνει. Q.E.D.
Ας παρουσιάσουμε δύο ακόμη ενδιαφέροντα κριτήρια σύγκλισης χωρίς απόδειξη.
Θεώρημα 2.11. «Τηλεσκοπική» πινακίδα του Cauchy. Μια θετική αριθμητική σειρά της οποίας οι όροι είναι μονότονα φθίνοντες συγκλίνει εάν και μόνο εάν η σειρά συγκλίνει.
Θεώρημα 2.12. Το σημάδι του Ερμακόφ. Έστω τα μέλη μιας θετικής αριθμητικής σειράς τέτοια ώστε, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό M0, οι ισότητες
an = ¦(n), "n ³ М0,
όπου η συνάρτηση ¦(x) είναι τμηματικά συνεχής, θετική και μειώνεται μονότονα ως x ³ M0.
Τότε αν υπάρχει ένας αριθμός M ³ M0 τέτοιος ώστε για όλα τα x ³ M η ανίσωση
,
τότε η σειρά συγκλίνει (αποκλίνει).
2.6. Παραδείγματα εφαρμογής κριτηρίων σύγκλισης
Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 2, είναι εύκολο να διερευνηθεί η σύγκλιση των παρακάτω σειρών
(a > 0, b ³ 0, "a, b Î R).
Εάν είναι £ 1, τότε παραβιάζεται το απαραίτητο κριτήριο για τη σύγκλιση (ιδιότητα 2) (βλ. § 1).
,
ως εκ τούτου η σειρά αποκλίνει.
Αν α > 1, τότε το σn ικανοποιεί την εκτίμηση , από την οποία, λόγω της σύγκλισης της σειράς της γεωμετρικής προόδου, προκύπτει η σύγκλιση της εξεταζόμενης σειράς.
συγκλίνει με το συγκριτικό τεστ 1 (Θεώρημα 2.2), αφού έχουμε την ανισότητα
,
και η σειρά συγκλίνει ως μια σειρά γεωμετρικής προόδου.
Ας δείξουμε την απόκλιση πολλών σειρών, η οποία προκύπτει από το κριτήριο σύγκρισης 2 (Συνέπεια 1 του Θεωρήματος 2.2). Σειρά
αποκλίνει γιατί
.
αποκλίνει γιατί
.
αποκλίνει γιατί
.
(p > 0)
αποκλίνει γιατί
.
συγκλίνει με το τεστ d'Alembert (Θεώρημα 2.4). Πραγματικά
.
συγκλίνει σύμφωνα με το τεστ d'Alembert. Πραγματικά
.
.
συγκλίνει στο τεστ Cauchy (Θεώρημα 2.5). Πραγματικά
.
Ας δώσουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του κριτηρίου Raabe. Σκεφτείτε τη σειρά
,
όπου η σημειογραφία (k)!! σημαίνει το γινόμενο όλων των ζυγών (περιττών) αριθμών από το 2 έως το k (από το 1 έως το k) αν το k είναι άρτιο (περιττό). Χρησιμοποιώντας το τεστ d'Alembert, παίρνουμε
Έτσι, το τεστ d'Alembert δεν επιτρέπει την οριστική δήλωση σχετικά με τη σύγκλιση της σειράς. Εφαρμόζουμε το σύμβολο Raabe:
ως εκ τούτου η σειρά συγκλίνει.
Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής του ολοκληρωτικού τεστ Cauchy–Maclaurin.
Γενικευμένες αρμονικές σειρές
συγκλίνει ή αποκλίνει ταυτόχρονα με το ακατάλληλο ολοκλήρωμα
Είναι προφανές ότι εγώ< +¥ при p >1 (το ολοκλήρωμα συγκλίνει) και I = +¥ για p £ 1 (αποκλίνει). Έτσι, η αρχική σειρά συγκλίνει επίσης για p > 1 και αποκλίνει για p £ 1.
αποκλίνει ταυτόχρονα με το ακατάλληλο ολοκλήρωμα
οπότε το ολοκλήρωμα αποκλίνει.
|
|
§ 3. Σειρά εναλλασσόμενων αριθμών
3.1. Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση σειρών
Σε αυτή την ενότητα, μελετάμε τις ιδιότητες των σειρών των οποίων τα μέλη είναι πραγματικοί αριθμοί με αυθαίρετο πρόσημο.
Ορισμός 1. Αριθμητική σειρά
ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα αν η σειρά συγκλίνει
Ορισμός 2. Μια σειρά αριθμών (3.1) λέγεται ότι είναι υπό όρους συγκλίνουσα ή μη απολύτως συγκλίνουσα εάν η σειρά (3.1) συγκλίνει και η σειρά (3.2) αποκλίνει.
Θεώρημα 3.1. Εάν μια σειρά συγκλίνει απόλυτα, τότε συγκλίνει.
Απόδειξη. Σύμφωνα με το κριτήριο Cauchy (Θεώρημα 1.1), η απόλυτη σύγκλιση της σειράς (3.1) ισοδυναμεί με την εκπλήρωση των σχέσεων
" e > 0, $ M > 0 έτσι ώστε " n > M, " p ³ 1 Þ
(3.3)
Εφόσον είναι γνωστό ότι το μέτρο του αθροίσματος πολλών αριθμών δεν υπερβαίνει το άθροισμα των συντελεστών τους («ανισότητα τριγώνου»), τότε από το (3.3) ακολουθεί η ανισότητα (ισχύει για τους ίδιους αριθμούς όπως στο (3.3), οι αριθμοί e , M, n, p)
Η εκπλήρωση της τελευταίας ανισότητας σημαίνει την εκπλήρωση των προϋποθέσεων του κριτηρίου Cauchy για τη σειρά (3.1), επομένως, αυτή η σειρά συγκλίνει.
Συμπέρασμα 1. Έστω η σειρά (3.1) να συγκλίνει απόλυτα. Ας συνθέσουμε από τους θετικούς όρους της σειράς (3.1), επαναριθμώντας τους με τη σειρά (όπως συμβαίνουν κατά τη διαδικασία αύξησης του δείκτη), μια θετική αριθμητική σειρά
, (uk = ). (3.4)
Ομοίως, από τις ενότητες των αρνητικών όρων της σειράς (3.1), επαναριθμώντας τους με τη σειρά, συνθέτουμε τις παρακάτω θετικές αριθμητικές σειρές:
, (vm = ). (3.5)
Τότε οι σειρές (3.3) και (3.4) συγκλίνουν.
Αν συμβολίσουμε τα αθροίσματα των σειρών (3.1), (3.3), (3.4) αντίστοιχα με τα γράμματα A, U, V, τότε ο τύπος
A = U - V. (3.6)
Απόδειξη. Ας συμβολίσουμε το άθροισμα της σειράς (3.2) με A*. Με το θεώρημα 2.1, έχουμε ότι όλα τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς (3.2) περιορίζονται από τον αριθμό A*, και εφόσον τα επιμέρους αθροίσματα των σειρών (3.4) και (3.5) προκύπτουν αθροίζοντας ορισμένους από τους όρους του μερικού αθροίσματα της σειράς (3.2), είναι προφανές ότι περιορίζονται περισσότερο κατά Α*. Στη συνέχεια, εισάγοντας τον κατάλληλο συμβολισμό, λαμβάνουμε τις ανισότητες
;
από το οποίο, δυνάμει του Θεωρήματος 2.1, οι σειρές (3.4) και (3.5) συγκλίνουν.
(3.7)
Εφόσον οι αριθμοί k και m εξαρτώνται από το n, είναι προφανές ότι, ως n ® ¥, k ® ¥ και m ® ¥ ταυτόχρονα. Στη συνέχεια, περνώντας στην ισότητα (3.7) στο όριο (όλα τα όρια υπάρχουν λόγω του Θεωρήματος 3.1 και όπως αποδείχθηκε παραπάνω), παίρνουμε
δηλ. αποδεικνύεται η ισότητα (3.6).
Συμπέρασμα 2. Αφήστε τη σειρά (3.1) να συγκλίνει υπό όρους. Τότε οι σειρές (3.4) και (3.5) αποκλίνουν και ο τύπος (3.6) για υπό όρους συγκλίνουσες σειρές δεν είναι αληθής.
Απόδειξη. Αν λάβουμε υπόψη το ν μερικό άθροισμα της σειράς (3.1), τότε, όπως και στην προηγούμενη απόδειξη, μπορεί να γραφτεί
(3.8)
Από την άλλη πλευρά, για η-η μερικήτο άθροισμα της σειράς (3.2) μπορεί να γραφτεί παρόμοια με την έκφραση
(3.9)
Υποθέστε το αντίθετο, δηλ. αφήστε τουλάχιστον μία από τις σειρές (3.3) ή (3.4) να συγκλίνει. Στη συνέχεια, από τον τύπο (3.8) εν όψει της σύγκλισης της σειράς (3.1) προκύπτει ότι η δεύτερη της σειράς (αντίστοιχα, (3.5) ή (3.4)) συγκλίνει ως η διαφορά δύο συγκλίνων σειρών. Και τότε ο τύπος (3.9) συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (3.2), δηλ. την απόλυτη σύγκλιση της σειράς (3.1), η οποία έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση του θεωρήματος για τη σύγκλιση υπό όρους.
Έτσι, από τις (3.8) και (3.9) προκύπτει ότι αφού
Q.E.D.
Παρατήρηση 1. Συνειρμική ιδιότητα για σειρές. Το άθροισμα μιας άπειρης σειράς ουσιαστικά διαφέρει από το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχείων στο ότι περιλαμβάνει το πέρασμα στο όριο. Επομένως, οι συνήθεις ιδιότητες των πεπερασμένων ποσών συχνά παραβιάζονται για σειρές ή διατηρούνται μόνο υπό ορισμένες συνθήκες.
Άρα, για πεπερασμένα αθροίσματα, λαμβάνει χώρα ο συνδυασμός (συνειρμικός) νόμος, δηλαδή: το άθροισμα δεν αλλάζει εάν τα στοιχεία του αθροίσματος ομαδοποιηθούν με οποιαδήποτε σειρά
Θεωρήστε μια αυθαίρετη ομαδοποίηση (χωρίς μετάθεση) των όρων της αριθμητικής σειράς (3.1). Δηλώστε την αυξανόμενη ακολουθία αριθμών
και εισάγετε τη σημειογραφία
Τότε η σειρά που προκύπτει με την παραπάνω μέθοδο μπορεί να γραφτεί ως
Το παρακάτω θεώρημα, χωρίς απόδειξη, συγκεντρώνει αρκετές σημαντικές δηλώσεις που σχετίζονται με την ιδιότητα συνδυασμού των σειρών.
Θεώρημα 3.2.
1. Αν η σειρά (3.1) συγκλίνει και έχει το άθροισμα Α (αρκεί η υπό όρους σύγκλιση), τότε μια αυθαίρετη σειρά της μορφής (3.10) συγκλίνει και έχει το ίδιο άθροισμα Α. Δηλαδή η συγκλίνουσα σειρά έχει την ιδιότητα συνδυασμού.
2. Η σύγκλιση μιας σειράς της μορφής (3.10) δεν συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (3.1).
3. Εάν η σειρά (3.10) προκύπτει από ειδική ομαδοποίηση, έτσι ώστε μέσα σε κάθε αγκύλη να υπάρχουν όροι ενός μόνο πρόσημου, τότε η σύγκλιση αυτής της σειράς (3.10) συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (3.1).
4. Εάν η σειρά (3.1) είναι θετική και κάποια σειρά της μορφής (3.10) συγκλίνει γι' αυτήν, τότε η σειρά (3.1) συγκλίνει.
5. Εάν η ακολουθία των όρων της σειράς (3.1) είναι απειροελάχιστη (δηλ. an) και ο αριθμός των όρων σε κάθε ομάδα, ένα μέλος της σειράς (3.10), περιορίζεται από μία σταθερά M (δηλαδή, nk –nk–1 £ M, "k = 1, 2,…), τότε η σύγκλιση της σειράς (3.10) συνεπάγεται τη σύγκλιση της σειράς (3.1).
6. Εάν η σειρά (3.1) συγκλίνει υπό όρους, τότε χωρίς μετάθεση είναι πάντα δυνατή η ομαδοποίηση των όρων της σειράς έτσι ώστε η σειρά (3.10) που προκύπτει να είναι απολύτως συγκλίνουσα.
Παρατήρηση 2. Ανταλλαγή ιδιότητας για σειρές. Για πεπερασμένα αριθμητικά αθροίσματα, ισχύει ένας μεταθετικός (αντιθετικός) νόμος, δηλαδή: το άθροισμα δεν αλλάζει με καμία μετάθεση των όρων
όπου (k1, k2, …, kn) είναι μια αυθαίρετη μετάθεση από το σύνολο των φυσικών αριθμών (1, 2,…, n).
Αποδεικνύεται ότι μια παρόμοια ιδιότητα ισχύει για απολύτως συγκλίνουσες σειρές και δεν ισχύει για υπό όρους συγκλίνουσες σειρές.
Έστω ότι υπάρχει μια αντιστοίχιση ενός προς ένα του συνόλου των φυσικών αριθμών στον εαυτό του: N ® N, δηλ., κάθε φυσικός αριθμός k αντιστοιχεί σε ένα μοναδικό φυσικός αριθμός nk, και το σύνολο αναπαράγει χωρίς κενά ολόκληρη τη φυσική σειρά αριθμών. Ας υποδηλώσουμε τη σειρά που προκύπτει από τη σειρά (3.1) με τη βοήθεια μιας αυθαίρετης μετάθεσης που αντιστοιχεί στην παραπάνω αντιστοίχιση ως εξής:
Οι κανόνες για την εφαρμογή των μεταθετικών ιδιοτήτων των σειρών αντικατοπτρίζονται στα Θεωρήματα 3.3 και 3.4 που δίνονται παρακάτω χωρίς απόδειξη.
Θεώρημα 3.3. Εάν η σειρά (3.1) συγκλίνει απόλυτα, τότε η σειρά (3.11) που προκύπτει από μια αυθαίρετη μετάθεση των όρων της σειράς (3.1) συγκλίνει επίσης απόλυτα και έχει το ίδιο άθροισμα με την αρχική σειρά.
Θεώρημα 3.4. Θεώρημα Riemann. Εάν η σειρά (3.1) συγκλίνει υπό όρους, τότε οι όροι αυτής της σειράς μπορούν να αναδιαταχθούν έτσι ώστε το άθροισμά της να είναι ίσο με οποιονδήποτε προκαθορισμένο αριθμό D (πεπερασμένος ή άπειρος: ±¥) ή να είναι απροσδιόριστος.
Με βάση τα θεωρήματα 3.3 και 3.4, είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η υπό όρους σύγκλιση της σειράς προκύπτει από αμοιβαία ακύρωση nη ανάπτυξημερικό άθροισμα ως n ® ¥ προσθέτοντας στο άθροισμα είτε θετικούς είτε αρνητικούς όρους, και επομένως η υπό όρους σύγκλιση της σειράς εξαρτάται ουσιαστικά από τη σειρά των όρων της σειράς. Η απόλυτη σύγκλιση της σειράς είναι το αποτέλεσμα της ταχείας μείωσης των απόλυτων τιμών των όρων της σειράς
και δεν εξαρτάται από τη σειρά τους.
3.2. Εναλλασσόμενη σειρά. Σημάδι Leibniz
Μεταξύ των εναλλασσόμενων σειρών, ξεχωρίζει μια σημαντική συγκεκριμένη κατηγορία σειρών - οι εναλλασσόμενες σειρές.
Ορισμός 3. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών bп > 0, "n н N. Στη συνέχεια μια σειρά από τη μορφή
ονομάζεται εναλλασσόμενη σειρά. Για τις σειρές του εντύπου (3.12) ισχύει ο ακόλουθος ισχυρισμός.
Θεώρημα 5. Τεστ Leibniz. Εάν η ακολουθία που αποτελείται από τις απόλυτες τιμές των όρων της εναλλασσόμενης σειράς (3.8) μειωθεί μονοτονικά στο μηδέν
bn > bn+1, "n н N; (3.13)
τότε μια τέτοια εναλλασσόμενη σειρά (3.12) ονομάζεται σειρά Leibniz. Η σειρά Leibniz συγκλίνει πάντα. Για το υπόλοιπο της σειράς Leibniz
υπάρχει εκτίμηση
rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nнN. (3.14)
Απόδειξη. Ας γράψουμε ένα αυθαίρετο μερικό άθροισμα της σειράς (3.12) με ζυγό αριθμό όρων στη μορφή
Σύμφωνα με τη συνθήκη (3.13), καθεμία από τις αγκύλες στη δεξιά πλευρά αυτής της παράστασης είναι ένας θετικός αριθμός· επομένως, όσο αυξάνεται το k, η ακολουθία αυξάνεται μονότονα. Από την άλλη πλευρά, οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας B2k μπορεί να γραφτεί ως
B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,
και εφόσον από την συνθήκη (3.13) υπάρχει ένας θετικός αριθμός σε καθεμία από τις αγκύλες της τελευταίας ισότητας, η ανισότητα προφανώς ισχύει
Β2κ< b1, "k ³ 1.
Έτσι, έχουμε μια μονότονα αύξουσα και οριοθετημένη από πάνω ακολουθία, και μια τέτοια ακολουθία, σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα της θεωρίας των ορίων, έχει ένα πεπερασμένο όριο
B2k–1 = B2k + b2k,
και λαμβάνοντας υπόψη ότι ο κοινός όρος της σειράς (σύμφωνα με την υπόθεση του θεωρήματος) τείνει στο μηδέν ως n ® ¥, παίρνουμε
Έτσι, αποδείξαμε ότι η σειρά (3.12) συγκλίνει υπό την συνθήκη (3.13) και το άθροισμά της είναι ίσο με Β.
Ας αποδείξουμε την εκτίμηση (3.14). Έχει αποδειχθεί παραπάνω ότι μερικά αθροίσματα άρτιας τάξης B2k, μονοτονικά αυξανόμενα, τείνουν στο όριο Β, το άθροισμα της σειράς.
Θεωρήστε μερικά αθροίσματα περιττής σειράς
B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).
Είναι προφανές από αυτή την έκφραση (εφόσον ικανοποιείται η συνθήκη (3.13) ότι η ακολουθία είναι φθίνουσα και, κατά συνέπεια, με όσα αποδείχθηκαν παραπάνω, τείνει στο όριο Β της από πάνω. Έτσι, αποδείξαμε την ανισότητα
0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)
Αν εξετάσουμε τώρα το υπόλοιπο της σειράς (3.12)
ως νέα εναλλασσόμενη σειρά με τον πρώτο όρο bп+1, τότε για αυτή τη σειρά, με βάση την ανισότητα (3.15), μπορούμε να γράψουμε για άρτιους και περιττούς δείκτες, αντίστοιχα,
r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,
r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.
Έτσι, αποδείξαμε ότι το υπόλοιπο της σειράς Leibniz έχει πάντα το πρόσημο του πρώτου όρου και είναι μικρότερο από αυτό σε απόλυτη τιμή, δηλ. η εκτίμηση (3.14) ικανοποιείται για αυτό. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
3.3. Σημάδια σύγκλισης αυθαίρετων αριθμητικών σειρών
Σε αυτήν την υποενότητα, χωρίς απόδειξη, παρουσιάζουμε επαρκή κριτήρια σύγκλισης για αριθμητικές σειρές με όρους που είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί (οποιουδήποτε πρόσημου), επιπλέον, τα κριτήρια αυτά είναι κατάλληλα και για σειρές με σύνθετους όρους.
2) η ακολουθία είναι μια ακολουθία που συγκλίνει στο μηδέν (bп ® 0 ως n ® ¥) με περιορισμένη παραλλαγή.
Τότε η σειρά (3.16) συγκλίνει.
Θεώρημα 3.9. Σημάδι Dirichlet. Έστω ότι οι όροι της σειράς αριθμών (3.16) ικανοποιούν τις προϋποθέσεις:
Η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς είναι περιορισμένη (ανισώσεις (3.17)).
2) η ακολουθία είναι μια μονότονη ακολουθία που συγκλίνει στο μηδέν (bп ® 0 ως n ®¥).
Τότε η σειρά (3.16) συγκλίνει.
Θεώρημα 3.10. Το δεύτερο γενικευμένο ζώδιο του Άβελ. Έστω ότι οι όροι της σειράς αριθμών (3.16) ικανοποιούν τις προϋποθέσεις:
1) η σειρά συγκλίνει.
2) η ακολουθία είναι μια αυθαίρετη ακολουθία με περιορισμένη αλλαγή.
Τότε η σειρά (3.16) συγκλίνει.
Θεώρημα 3.11. Σημάδι Abel. Έστω ότι οι όροι της σειράς αριθμών (3.16) ικανοποιούν τις προϋποθέσεις:
1) η σειρά συγκλίνει.
2) η ακολουθία είναι μια μονότονη οριοθετημένη ακολουθία.
Τότε η σειρά (3.16) συγκλίνει.
Θεώρημα 3.12. Θεώρημα Cauchy. Αν οι σειρές και συγκλίνουν απόλυτα και τα αθροίσματά τους είναι ίσα με Α και Β, αντίστοιχα, τότε η σειρά που αποτελείται από όλα τα γινόμενα της μορφής aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , αριθμημένο με οποιαδήποτε σειρά , συγκλίνει επίσης απόλυτα και το άθροισμά του είναι ίσο με ΑΒ.
3.4. Παραδείγματα
Ας εξετάσουμε πρώτα αρκετά παραδείγματα απόλυτης σύγκλισης σειρών. Παρακάτω υποθέτουμε ότι η μεταβλητή x μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός.
2) αποκλίνει στο |x| > e στην ίδια βάση του d'Alembert.
3) αποκλίνει για |x| = e από το τεστ d'Alembert σε απεριόριστη μορφή, αφού
λόγω του γεγονότος ότι η εκθετική ακολουθία στον παρονομαστή τείνει στο όριό της, μονότονα αυξανόμενη,
(το ¹ 0 είναι πραγματικός αριθμός)
1) συγκλίνει απολύτως για |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в данном случае имеем ряд, составленный из членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = x/a, либо по радикальному признаку Коши (теорема 2.5);
2) αποκλίνει στο |x/a| ³ 1, δηλ. για |x| ³ |a|, αφού στην περίπτωση αυτή παραβιάζεται το απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης (ιδιότητα 2 (βλ. § 1))
