Για τον υπολογισμό της διάμεσης τιμής στο MS EXCEL υπάρχει μια ειδική συνάρτηση MEDIAN() . Σε αυτό το άρθρο, θα ορίσουμε τη διάμεσο και θα μάθουμε πώς να την υπολογίζουμε για ένα δείγμα και για έναν δεδομένο νόμο κατανομής τυχαία μεταβλητή.

Ας ξεκινήσουμε με διάμεσοιΓια δείγματα(δηλαδή για ένα σταθερό σύνολο τιμών).

Διάμεσος δείγματος

Διάμεσος(διάμεσος) είναι ο αριθμός που είναι το μέσο του συνόλου αριθμών: οι μισοί από τους αριθμούς στο σύνολο είναι μεγαλύτεροι από διάμεσος, και οι μισοί από τους αριθμούς είναι μικρότεροι από διάμεσος .

Να υπολογίσω διάμεσοιχρειάζεται πρώτα (τιμές σε δειγματοληψία). Για παράδειγμα, διάμεσοςγια δείγμα (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) θα είναι 4. Αφού. Μόνο σε δειγματοληψία 7 τιμές, τρεις από αυτές μικρότερες από 4 (δηλαδή 2; 3; 3) και τρεις τιμές μεγαλύτερες από (δηλαδή 5; 7; 10).

Εάν το σύνολο περιέχει ζυγό αριθμό αριθμών, τότε υπολογίζεται για δύο αριθμούς στη μέση του συνόλου. Για παράδειγμα, διάμεσοςγια δείγμα (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) θα είναι 4,5, γιατί (3+6)/2=4,5.

Για τον καθορισμό διάμεσοιστο MS EXCEL υπάρχει μια συνάρτηση MEDIAN() με το ίδιο όνομα, αγγλική έκδοσηΔΙΑΜΕΣΟΣ().

Διάμεσοςδεν ταιριάζει απαραίτητα. Μια αντιστοίχιση προκύπτει μόνο εάν οι τιμές στο δείγμα κατανέμονται συμμετρικά γύρω Μέσης. Για παράδειγμα, για δείγματα (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) διάμεσοςκαι μέση τιμήισούνται με 3,5.

Αν είναι γνωστό συνάρτηση διανομής F(x) ή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότηταςΠ(Χ), έπειτα διάμεσοςμπορεί να βρεθεί από την εξίσωση:

Για παράδειγμα, λύνοντας αναλυτικά αυτήν την εξίσωση για τη Λογοραμική κατανομή lnN(μ; σ 2), παίρνουμε ότι διάμεσοςυπολογίζεται με τον τύπο =EXP(μ). Για μ=0, η διάμεσος είναι 1.

Δώστε προσοχή στην τελεία Λειτουργίες διανομής, για το οποίο φά(x)=0,5(δείτε την παραπάνω εικόνα) . Η τετμημένη αυτού του σημείου είναι 1. Αυτή είναι η τιμή της διάμεσης τιμής, η οποία φυσικά συμπίπτει με την προηγουμένως υπολογισμένη τιμή χρησιμοποιώντας τον τύπο em.

στο MS EXCEL διάμεσοςΓια λογαριθμική κατανομήΤο LnN(0;1) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο =LOGNORM.INV(0,5,0,1) .

Σημείωση: Υπενθυμίζουμε ότι το ολοκλήρωμα του σε ολόκληρη την περιοχή ορισμού μια τυχαία μεταβλητή ισούται με ένα.

Επομένως, η διάμεση γραμμή (x=Median) διαιρεί την περιοχή κάτω από το γράφημα συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότηταςσε δύο ίσα μέρη.

Η διάμεσος ενός τριγώνου, όπως και το ύψος, χρησιμεύει ως γραφική παράμετρος που καθορίζει ολόκληρο το τρίγωνο, την τιμή των πλευρών και των γωνιών του. Τρεις τιμές: διάμεσοι, ύψη και διχοτόμοι - είναι σαν ένας γραμμωτός κώδικας σε ένα προϊόν, το καθήκον μας είναι απλώς να μπορούμε να τον μετρήσουμε.

Ορισμός

Η διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει το υψόμετρο και το μέσο της απέναντι πλευράς. Ένα τρίγωνο έχει τρεις κορυφές και επομένως τρεις διάμεσους. Οι διάμεσοι δεν ταιριάζουν πάντα με τα ύψη ή τις διχοτόμους. Τις περισσότερες φορές πρόκειται για ξεχωριστά τμήματα.

Μέσες ιδιότητες

• Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου που τραβιέται στη βάση συμπίπτει με το ύψος και τη διχοτόμο. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, όλες οι διάμεσοι συμπίπτουν με τις διχοτόμους και τα ύψη.
• Όλες οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.
• Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ίσα τρίγωνα και τρεις διάμεσους σε 6 ίσα τρίγωνα.

Ίσα εμβαδά είναι τρίγωνα των οποίων τα εμβαδά είναι ίσα.

Ρύζι. 1. Τρεις διάμεσοι σχηματίζουν 6 ίσα τρίγωνα.

• Το σημείο τομής των διάμεσων τις διαιρεί σε αναλογία 2:1, μετρώντας από την κορυφή.
• Η διάμεσος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η μισή της υποτείνουσας.

Καθήκοντα

Όλες αυτές οι ιδιότητες είναι εύκολο να θυμάστε, διορθώνονται εύκολα στην πράξη. Για την καλύτερη κατανόηση του θέματος, θα λύσουμε αρκετά προβλήματα:

• ΣΤΟ ορθογώνιο τρίγωνοείναι γνωστά τα πόδια, τα οποία είναι ίσα με a=3 και b=4. Να βρείτε την τιμή της διάμεσης m που σύρεται στην υποτείνουσα γ.

Ρύζι. 2. Σχέδιο για το πρόβλημα.

Για να βρούμε την τιμή της διαμέσου, πρέπει να βρούμε την υποτείνουσα, αφού η διάμεσος που σύρεται στην υποτείνουσα είναι ίση με το μισό της. Υποτείνουσα μέσω του Πυθαγόρειου Θεωρήματος: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Βρείτε την τιμή της διάμεσης τιμής: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2,5$$ - ο αριθμός που προκύπτει είναι η τιμή της διάμεσης τιμής.

Οι διάμεσες τιμές στο τρίγωνο δεν είναι ίσες. Επομένως, είναι απαραίτητο να φανταστεί κανείς ποια ακριβώς αξία πρέπει να βρεθεί.

• Σε ένα τρίγωνο, οι τιμές των πλευρών είναι γνωστές: a=7; b=8; c=9. Βρείτε την τιμή της διάμεσης προς τα κάτω στην πλευρά β.

Ρύζι. 3. Σχέδιο για το πρόβλημα.

Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν από τους τρεις τύπους για να βρείτε τη διάμεσο κατά μήκος των πλευρών ενός τριγώνου:

$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$

Όπως μπορείτε να δείτε, το κύριο πράγμα εδώ είναι να θυμάστε τον συντελεστή σε παρενθέσεις και τα σημάδια για τις τιμές των πλευρών. Τα σημάδια είναι τα πιο εύκολα να θυμάστε - η πλευρά προς την οποία χαμηλώνει η διάμεσος αφαιρείται πάντα. Στην περίπτωσή μας, αυτό είναι το b, αλλά μπορεί να είναι οποιοδήποτε άλλο.

Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο και βρείτε τη διάμεση τιμή: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - αφήστε το αποτέλεσμα ως ρίζα.

• ΣΤΟ ισοσκελές τρίγωνοη διάμεσος που τραβιέται στη βάση είναι 8 και η ίδια η βάση είναι 6. Μαζί με τα υπόλοιπα δύο, αυτή η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε 6 τρίγωνα. Βρείτε το εμβαδόν καθενός από αυτά.

Οι διάμεσοι χωρίζουν το τρίγωνο σε έξι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι τα εμβαδά των μικρών τριγώνων θα είναι ίσα μεταξύ τους. Αρκεί να βρείτε το εμβαδόν του μεγαλύτερου και να το διαιρέσετε με το 6.

Λαμβάνοντας υπόψη τη διάμεσο που τραβιέται στη βάση, σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι η διχοτόμος και το ύψος. Άρα το τρίγωνο έχει βάση και υψόμετρο. Μπορείτε να βρείτε την περιοχή.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

Εμβαδόν κάθε μικρού τριγώνου: $$(24\over6)=4$$

Τι μάθαμε;

Μάθαμε ποια είναι η διάμεσος. Προσδιορίσαμε τις ιδιότητες της διάμεσης τιμής και βρήκαμε μια λύση σε τυπικά προβλήματα. Μιλήσαμε για βασικά λάθη και καταλάβαμε πώς να απομνημονεύσουμε γρήγορα και εύκολα τον τύπο για την εύρεση της διάμεσης τιμής στις πλευρές ενός τριγώνου.

Κουίζ θέματος

Βαθμολογία άρθρου

Μέση βαθμολογία: 4.7. Συνολικές βαθμολογίες που ελήφθησαν: 87.

4. Μόδα. Διάμεσος. Γενικός και μέσος όρος δείγματος

Η λειτουργία είναι στην οθόνη, η διάμεσος βρίσκεται στο τρίγωνο και οι μέσοι όροι είναι η θερμοκρασία στο νοσοκομείο και στον θάλαμο. Συνεχίζουμε την πρακτική μας πορεία διασκεδαστικά στατιστικά (Μάθημα 1)μελέτη των κεντρικών χαρακτηριστικών στατιστικό πληθυσμό, των οποίων τα ονόματα βλέπετε στην κεφαλίδα. Και θα ξεκινήσουμε από το τέλος του, γιατί μέσες τιμέςο λόγος προήλθε σχεδόν από τις πρώτες κιόλας παραγράφους του θέματος. Για προχωρημένους αναγνώστες πίνακας περιεχομένων:

• Γενικός και μέσος όρος δείγματος– υπολογισμός σύμφωνα με πρωτογενή δεδομένα και για τις δημιουργούμενες διακριτές μεταβλητές σειρές·
• Μόδα– ορισμός και εύρεση για μια διακριτή περίπτωση·
• Διάμεσος– ένας γενικός ορισμός του τρόπου εύρεσης της διάμεσης τιμής·
• Μέσος όρος, τρόπος λειτουργίας και διάμεσος της σειράς μεταβολών διαστήματος– υπολογισμός από πρωτογενή δεδομένα και από την ολοκληρωμένη σειρά. Λειτουργία και διάμεσοι τύποι,
• τεταρτημόρια, δεκαδικά, εκατοστημόρια - εν συντομία για το κύριο πράγμα.

Λοιπόν, είναι καλύτερο για τα "ανδρείκελα" να εξοικειωθούν με το υλικό με τη σειρά:

Ας εξερευνήσουμε λοιπόν μερικά πληθυσμόςόγκο, δηλαδή το αριθμητικό του χαρακτηριστικό, δεν έχει σημασία διακεκριμένοςή συνεχής (Μαθήματα 2, 3).

Γενική δευτεροβάθμια που ονομάζεται μέση τιμήόλες οι τιμές αυτού του συνόλου:

Αν οι αριθμοί είναι ίδιοι (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για διακριτές σειρές) , τότε ο τύπος μπορεί να γραφτεί σε πιο συμπαγή μορφή:
, όπου
επιλογήεπαναλαμβανόμενες φορές?
επιλογή - φορές?
επιλογή - φορές?
…
επιλογή - φορές.

Παράδειγμα Ζωντανού Υπολογισμού γενική δευτεροβάθμιασυναντήθηκαν σε Παράδειγμα 2, αλλά για να μην είμαι βαρετός δεν θα υπενθυμίσω καν το περιεχόμενό του.

Περαιτέρω. Όπως θυμόμαστε, η επεξεργασία όλων πληθυσμόςσυχνά δύσκολα ή ακατόρθωτα, και ως εκ τούτου οργανώνουν εκπρόσωποςδειγματοληψία Ενταση ΗΧΟΥ, και με βάση τη μελέτη αυτού του δείγματος προκύπτει ένα συμπέρασμα για το σύνολο του πληθυσμού.

Δείγμα μέσου όρου που ονομάζεται μέση τιμήόλες οι τιμές δείγματος:

και παρουσία των ίδιων επιλογών, ο τύπος θα γραφτεί πιο συμπαγής:
- ως το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής στην αντίστοιχη συχνότητες .

Ο μέσος όρος του δείγματος καθιστά δυνατή την ακριβή εκτίμηση πραγματική αξία, που επαρκεί για πολλές μελέτες. Όσο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόσο πιο ακριβής θα είναι αυτή η εκτίμηση.

Ας ξεκινήσουμε την πρακτική, ή μάλλον συνεχίζουμε, με σειρά διακριτών παραλλαγώνκαι η γνωστή συνθήκη:

Παράδειγμα 8

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα δείγμα μελέτηςστους εργαζόμενους του εργαστηρίου ορίστηκαν οι κατηγορίες προσόντων τους: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6 , 5, 4, 6, 4, 3.

Πως αποφασίζωέργο? Αν μας δοθεί κύρια δεδομένα(αρχικές ακατέργαστες τιμές), τότε μπορούν να συνοψιστούν ανόητα και να διαιρεθούν με το μέγεθος του δείγματος:
- η μέση κατηγορία προσόντων των εργαζομένων του καταστήματος.

Αλλά σε πολλά προβλήματα απαιτείται η σύνθεση μιας παραλλαγής σειράς (εκ. Παράδειγμα 4) :

- ή αυτή η σειρά είχε προταθεί αρχικά (κάτι που συμβαίνει πιο συχνά). Και μετά, φυσικά, χρησιμοποιούμε τον "πολιτισμένο" τύπο:

Μόδα . Ο τρόπος μιας διακριτής μεταβλητής σειράς είναι επιλογήμε μέγιστη συχνότητα. Σε αυτήν την περίπτωση . Η μόδα είναι εύκολο να βρεθεί στο τραπέζι, και ακόμα πιο εύκολο εύρος συχνοτήτωνείναι η τετμημένη του υψηλότερου σημείου:


Μερικές φορές υπάρχουν πολλές τέτοιες τιμές (με την ίδια μέγιστη συχνότητα) και τότε καθεμία από αυτές θεωρείται μόδα.

Αν όλα ή σχεδόν όλα επιλογέςδιαφορετικό (που είναι χαρακτηριστικό για σειρές μεσοδιαστημάτων), τότε η τροπική τιμή καθορίζεται με ελαφρώς διαφορετικό τρόπο, ο οποίος συζητείται στο 2ο μέρος του μαθήματος.

Διάμεσος . Διάμεσος της σειράς παραλλαγής * - αυτή είναι η τιμή που το χωρίζει σε δύο ίσα μέρη (ανάλογα με τον αριθμό των επιλογών).

Αλλά τώρα πρέπει να βρούμε τον μέσο όρο, τον τρόπο και τον διάμεσο.

Λύση: να βρω Μέσηςσύμφωνα με τα πρωτογενή δεδομένα, είναι καλύτερο να αθροιστούν όλες οι επιλογές και να διαιρεθεί το αποτέλεσμα με τον όγκο του πληθυσμού:
φωλιά. μονάδες

Αυτοί οι υπολογισμοί, παρεμπιπτόντως, δεν θα χρειαστούν πολύ χρόνο ακόμη και όταν χρησιμοποιείτε μια αριθμομηχανή εκτός σύνδεσης. Αλλά αν υπάρχει Excel, τότε, φυσικά, σκοράρετε σε οποιοδήποτε ελεύθερο κελί =SUM(, επιλέξτε όλους τους αριθμούς με το ποντίκι, κλείστε την αγκύλη ) , βάλε σημάδι διαίρεσης / , εισάγετε τον αριθμό 30 και πατήστε Εισαγω. Ετοιμος.

Όσο για τη μόδα, η αξιολόγησή της με βάση τα αρχικά δεδομένα καθίσταται άχρηστη. Αν και βλέπουμε τους ίδιους αριθμούς μεταξύ τους, αλλά μεταξύ τους μπορούν εύκολα να υπάρχουν πέντε ή έξι ή επτά επιλογές με την ίδια μέγιστη συχνότητα, για παράδειγμα, συχνότητα 2. Επιπλέον, οι τιμές μπορούν να στρογγυλοποιηθούν. Επομένως, η τροπική τιμή υπολογίζεται σύμφωνα με τις παραγόμενες σειρές διαστημάτων (περισσότερα για αυτό αργότερα).

Τι μπορείτε να πείτε για τον διάμεσο: σύνδεση στο excel =ΔΙΑΜΕΣΟΣ(, επιλέξτε όλους τους αριθμούς με το ποντίκι, κλείστε την αγκύλη ) και κάντε κλικ Εισαγω: . Επιπλέον, εδώ δεν χρειάζεται καν να ταξινομήσετε τίποτα.

Αλλά σε Παράδειγμα 6ταξινομημένο σε αύξουσα σειρά (θυμηθείτε και ταξινομήστε - σύνδεσμος παραπάνω), και αυτή είναι μια καλή ευκαιρία να επαναλάβουμε τον επίσημο αλγόριθμο για την εύρεση της διάμεσης τιμής. Διαιρούμε το δείγμα στο μισό:

Και επειδή αποτελείται από ζυγό αριθμό επιλογών, η διάμεσος είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο της 15ης και της 16ης επιλογής τακτικός(!) σειρά παραλλαγής:

φωλιά. μονάδες

Κατάσταση δύο. Όταν δίνεται μια έτοιμη σειρά διαστημάτων (μια τυπική μαθησιακή εργασία).

Συνεχίζουμε να αναλύουμε το ίδιο παράδειγμα με μπότες, όπου, σύμφωνα με τα αρχικά δεδομένα συντάχθηκε από το IVR. Να υπολογίσω Μέσηςαπαιτούνται τα μέσα των διαστημάτων:

– για να χρησιμοποιήσετε τον γνωστό τύπο διακριτών περιπτώσεων:

- εξαιρετικό αποτέλεσμα! Η απόκλιση με την ακριβέστερη τιμή () που υπολογίζεται από τα πρωτεύοντα δεδομένα είναι μόνο 0,04.

Στην πραγματικότητα, εδώ προσεγγίσαμε τη σειρά διαστήματος κατά μια διακριτή, και αυτή η προσέγγιση αποδείχθηκε πολύ αποτελεσματική. Ωστόσο, δεν υπάρχει ιδιαίτερο όφελος εδώ, γιατί. υπό σύγχρονο λογισμικόΔεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί η ακριβής τιμή ακόμη και για μια πολύ μεγάλη σειρά πρωτογενών δεδομένων. Αλλά αυτό με την προϋπόθεση ότι μας είναι γνωστά :)

Με άλλους κεντρικούς δείκτες, όλα είναι πιο ενδιαφέροντα.

Για να βρεις μόδα, πρέπει να βρεις τροπική απόσταση (με μέγιστη συχνότητα)- σε αυτό το πρόβλημα, αυτό είναι ένα διάστημα με συχνότητα 11 και χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο άσχημο τύπο:
, όπου:

είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων.
είναι το μήκος του τροπικού διαστήματος.
είναι η συχνότητα του τροπικού διαστήματος.
– συχνότητα του προηγούμενου διαστήματος.
– συχνότητα του επόμενου διαστήματος.

Με αυτόν τον τρόπο:
φωλιά. μονάδες - όπως μπορείτε να δείτε, η "μοντέρνα" τιμή για τα παπούτσια είναι αισθητά διαφορετική από τον αριθμητικό μέσο όρο.

Χωρίς να μπω στη γεωμετρία του τύπου, απλά θα δώσω ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτωνκαι σημειώστε:


από όπου φαίνεται ξεκάθαρα ότι ο τρόπος λειτουργίας μετατοπίζεται σε σχέση με το κέντρο του διαστήματος των τρόπων προς το αριστερό διάστημα με υψηλότερη συχνότητα. Λογικά.

Για αναφορά, θα αναλύσω σπάνιες περιπτώσεις:

– εάν το χρονικό διάστημα είναι ακραίο, τότε είτε ;

- εάν βρεθούν 2 τροπικά διαστήματα που είναι κοντά, για παράδειγμα, και , τότε θεωρούμε το τροπικό διάστημα , ενώ τα κοντινά διαστήματα (αριστερά και δεξιά), αν είναι δυνατόν, μεγεθύνονται επίσης κατά 2 φορές.

- εάν υπάρχει απόσταση μεταξύ των τροπικών διαστημάτων, τότε εφαρμόζουμε τον τύπο σε κάθε διάστημα, λαμβάνοντας έτσι 2 ή μεγάλη ποσότητα Maud.

Εδώ είναι ένα τέτοιο mod αποστολής :)

Και ο διάμεσος. Εάν δοθεί μια έτοιμη σειρά διαστημάτων, τότε η διάμεσος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν ελαφρώς λιγότερο τρομερό τύπο, αλλά στην αρχή είναι κουραστικό (ένα φροϋδικό τυπογραφικό λάθος :)) να βρείτε διάμεσο διάστημα - αυτό είναι ένα διάστημα που περιέχει μια παραλλαγή (ή 2 παραλλαγές), η οποία χωρίζει τη σειρά παραλλαγών σε δύο ίσα μέρη.

Παραπάνω, περιέγραψα πώς να προσδιορίσετε τη διάμεσο, εστιάζοντας σε σχετικές αθροιστικές συχνότητες, εδώ είναι πιο βολικό να υπολογίσετε τις "συνηθισμένες" συσσωρευμένες συχνότητες . Ο υπολογιστικός αλγόριθμος είναι ακριβώς ο ίδιος - η πρώτη τιμή καταργείται στα αριστερά (κόκκινο βέλος), και κάθε επόμενο προκύπτει ως το άθροισμα του προηγούμενου με την τρέχουσα συχνότητα από την αριστερή στήλη (πράσινες σημάνσεις ως παράδειγμα):

Καταλαβαίνουν όλοι τη σημασία των αριθμών στη δεξιά στήλη; - αυτός είναι ο αριθμός των επιλογών που κατάφεραν να «συσσωρευτούν» σε όλα τα διαστήματα που «πέρασαν», συμπεριλαμβανομένου του τρέχοντος.

Εφόσον έχουμε ζυγό αριθμό επιλογών (30 τεμάχια), η διάμεσος θα είναι το διάστημα που περιέχει 30/2 = 15η και 16η επιλογή. Και εστιάζοντας στις συσσωρευμένες συχνότητες, είναι εύκολο να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι αυτές οι επιλογές περιέχονται στο διάστημα .

Διάμεσος τύπος:
, όπου:
- τον όγκο του στατιστικού πληθυσμού.
είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.
είναι το μήκος του διάμεσου διαστήματος.
– συχνότηταδιάμεσο διάστημα?
– αθροιστική συχνότητα προηγούμενοςδιάστημα.

Με αυτόν τον τρόπο:
φωλιά. μονάδες – σημειώστε ότι η διάμεση τιμή, αντίθετα, αποδείχθηκε ότι μετατοπίστηκε προς τα δεξιά, επειδή στα δεξιά υπάρχει ένας σημαντικός αριθμός επιλογών:


Και για αναφορά ειδικές περιπτώσεις.

Η κεντρική τάση των δεδομένων μπορεί να θεωρηθεί όχι μόνο ως τιμή με μηδενική συνολική απόκλιση (αριθμητικός μέσος όρος) ή μέγιστη συχνότητα (τρόπος λειτουργίας), αλλά και ως κάποια ένδειξη (τιμή στον πληθυσμό) που διαιρεί τα ταξινομημένα δεδομένα (ταξινομημένα σε αύξουσα ή φθίνουσα ταξινόμηση σειρά) σε δύο ίσα μέρη. . Τα μισά από τα αρχικά δεδομένα είναι λιγότερα από αυτήν την ένδειξη και τα μισά είναι περισσότερα. Αυτό είναι διάμεσος.

Έτσι, στις στατιστικές, η διάμεσος είναι το επίπεδο του δείκτη που χωρίζει το σύνολο δεδομένων σε δύο ίσα μισά. Οι τιμές στο ένα μισό είναι μικρότερες από και στο άλλο μισό είναι μεγαλύτερες από τη διάμεσο. Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα σύνολο τυχαίων αριθμών.

Προφανώς, με μια συμμετρική κατανομή, η μέση, που διαιρεί τον πληθυσμό στο μισό, θα βρίσκεται στο κέντρο - στην ίδια θέση με τον αριθμητικό μέσο όρο (και τον τρόπο λειτουργίας). Αυτή είναι, ας πούμε, μια ιδανική κατάσταση όταν ο τρόπος λειτουργίας, η διάμεσος και ο αριθμητικός μέσος όρος συμπίπτουν και όλες οι ιδιότητές τους πέφτουν σε ένα σημείο - μέγιστη συχνότητα, διχοτόμηση, μηδενικό άθροισμα αποκλίσεων - όλα σε ένα σημείο. Ωστόσο, η ζωή δεν είναι τόσο συμμετρική όσο η κανονική κατανομή.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να κάνουμε με τεχνικές μετρήσεις αποκλίσεων από την αναμενόμενη τιμή κάτι (περιεχόμενο στοιχείων, απόσταση, επίπεδο, μάζα κ.λπ. κ.λπ.). Εάν όλα είναι εντάξει, τότε οι αποκλίσεις πιθανότατα θα κατανεμηθούν σύμφωνα με νόμο κοντά στο κανονικό, περίπου, όπως στο παραπάνω σχήμα. Αλλά εάν υπάρχει ένας σημαντικός και ανεξέλεγκτος παράγοντας στη διαδικασία, τότε μπορεί να εμφανιστούν μη φυσιολογικές τιμές, οι οποίες θα επηρεάσουν σημαντικά τον αριθμητικό μέσο όρο, αλλά ταυτόχρονα δύσκολα θα επηρεάσουν τη διάμεσο.

Η διάμεσος του δείγματος είναι μια εναλλακτική στον αριθμητικό μέσο όρο, επειδή είναι ανθεκτικό σε ανώμαλες αποκλίσεις (ακραίες τιμές).

μαθηματικός διάμεση ιδιοκτησίαείναι ότι το άθροισμα των απόλυτων (modulo) αποκλίσεων από τη διάμεση τιμή δίνει την ελάχιστη δυνατή τιμή σε σύγκριση με αποκλίσεις από οποιαδήποτε άλλη τιμή. Ακόμη λιγότερο από τον αριθμητικό μέσο όρο, ω πώς! Αυτό το γεγονός βρίσκει εφαρμογή, για παράδειγμα, στην επίλυση προβλημάτων μεταφοράς, όταν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το εργοτάξιο των εγκαταστάσεων κοντά στο δρόμο με τέτοιο τρόπο ώστε η συνολική διάρκεια πτήσεων προς αυτό από διαφορετικά μέρη να είναι ελάχιστη (στάσεις, βενζινάδικα , αποθήκες, κ.λπ., κ.λπ. .).

Διάμεσος τύπος στα στατιστικά για διακεκριμένοςΤα δεδομένα θυμίζουν κάπως τη φόρμουλα της μόδας. Δηλαδή, το γεγονός ότι δεν υπάρχει τύπος ως τέτοιος. Η διάμεση τιμή επιλέγεται από τα διαθέσιμα δεδομένα και μόνο εάν αυτό δεν είναι δυνατό, γίνεται ένας απλός υπολογισμός.

Πρώτα απ 'όλα, τα δεδομένα ταξινομούνται (ταξινομημένα σε φθίνουσα σειρά). Στη συνέχεια, υπάρχουν δύο επιλογές. Εάν ο αριθμός των τιμών είναι περιττός, τότε η διάμεσος θα αντιστοιχεί στην κεντρική τιμή της σειράς, ο αριθμός της οποίας μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο:

Όχι. Εγώείναι ο αριθμός της τιμής που αντιστοιχεί στη διάμεσο,

Νείναι ο αριθμός των τιμών στο σύνολο δεδομένων.

Τότε η διάμεσος συμβολίζεται ως

Αυτή είναι η πρώτη περίπτωση όπου υπάρχει μία κεντρική τιμή στα δεδομένα. Η δεύτερη επιλογή εμφανίζεται όταν ο όγκος των δεδομένων είναι άρτιος, δηλαδή, αντί για μία, υπάρχουν δύο κεντρικές τιμές. Η λύση είναι απλή: λαμβάνεται ο αριθμητικός μέσος όρος των δύο κεντρικών τιμών:

ΣΤΟ δεδομένα διαστήματοςδεν είναι δυνατή η επιλογή μιας συγκεκριμένης τιμής. Η διάμεσος υπολογίζεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα.

Αρχικά (μετά την κατάταξη των δεδομένων) βρείτε διάμεσο διάστημα. Αυτό είναι το διάστημα από το οποίο διέρχεται η επιθυμητή διάμεση τιμή. Προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη συσσωρευμένη αναλογία ταξινομημένων διαστημάτων. Όπου το συσσωρευμένο μερίδιο για πρώτη φορά υπερέβη το 50% όλων των αξιών, υπάρχει επίσης ένα διάμεσο διάστημα.

Δεν ξέρω ποιος βρήκε τον διάμεσο τύπο, αλλά προφανώς προέκυψε από την υπόθεση ότι η κατανομή των δεδομένων στο διάμεσο διάστημα είναι ομοιόμορφη (δηλαδή το 30% του πλάτους του διαστήματος είναι το 30% των τιμών, το 80% του το πλάτος είναι το 80% των τιμών κ.λπ.) . Ως εκ τούτου, γνωρίζοντας τον αριθμό των τιμών από την αρχή του διάμεσου διαστήματος έως το 50% όλων των τιμών στον πληθυσμό (η διαφορά μεταξύ του μισού του αριθμού όλων των τιμών και της συσσωρευμένης συχνότητας του προ-ενδιάμεσου διαστήματος) , μπορείτε να βρείτε το μερίδιο που καταλαμβάνουν σε ολόκληρο το διάμεσο διάστημα. Αυτό το μερίδιο μεταφέρεται ακριβώς στο πλάτος του διαμέσου διαστήματος, υποδεικνύοντας μια συγκεκριμένη τιμή, που αργότερα ονομάζεται διάμεσος.

Ας στραφούμε στο οπτικό διάγραμμα.

Αποδείχθηκε λίγο δυσκίνητο, αλλά τώρα, ελπίζω, όλα είναι ξεκάθαρα και κατανοητά. Για να μην σχεδιάζετε ένα τέτοιο γράφημα κάθε φορά κατά τον υπολογισμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον έτοιμο τύπο. Ο διάμεσος τύπος είναι:

όπου x Εγώ- το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.

εγώ Εγώ- διάμεσο πλάτος διαστήματος.

∑f/2- ο αριθμός όλων των τιμών διαιρεμένος με 2 (δύο).

S (Me-1)- ο συνολικός αριθμός των παρατηρήσεων που συγκεντρώθηκαν πριν από την έναρξη του διάμεσου διαστήματος, δηλ. συσσωρευμένη συχνότητα του προενδιάμεσου διαστήματος.

στ Εγώ- αριθμός παρατηρήσεων στο διάμεσο διάστημα.

Όπως μπορείτε εύκολα να δείτε, ο διάμεσος τύπος αποτελείται από δύο όρους: 1 - την τιμή της αρχής του διάμεσου διαστήματος και 2 - το ίδιο το τμήμα που είναι ανάλογο με το συσσωρευμένο μερίδιο που λείπει έως και 50%.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τη διάμεσο για τα ακόλουθα δεδομένα.

Απαιτείται να βρεθεί η διάμεση τιμή, δηλαδή η τιμή που είναι φθηνότερη και ακριβότερη από το ήμισυ της ποσότητας των εμπορευμάτων. Αρχικά, ας κάνουμε βοηθητικούς υπολογισμούς της συσσωρευμένης συχνότητας, του συσσωρευμένου μεριδίου, του συνολικού αριθμού αγαθών.

Σύμφωνα με την τελευταία στήλη "Συσσωρευμένο μερίδιο", προσδιορίζουμε το διάμεσο διάστημα - 300-400 ρούβλια (το συσσωρευμένο μερίδιο για πρώτη φορά είναι περισσότερο από 50%). Πλάτος διαστήματος - 100 ρούβλια. Τώρα μένει να αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον παραπάνω τύπο και να υπολογίσουμε τη διάμεσο.

Δηλαδή, για το ένα μισό των αγαθών η τιμή είναι χαμηλότερη από 350 ρούβλια, για το άλλο μισό είναι υψηλότερη. Όλα είναι απλά. Ο αριθμητικός μέσος όρος που υπολογίζεται από τα ίδια δεδομένα είναι 355 ρούβλια. Η διαφορά δεν είναι σημαντική, αλλά είναι.

Υπολογισμός μέσης τιμής στο Excel

Η διάμεσος για τα αριθμητικά δεδομένα είναι εύκολο να βρεθεί χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Excel που ονομάζεται ως τέτοια − ΔΙΑΜΕΣΟΣ. Ένα άλλο πράγμα είναι τα δεδομένα διαστήματος. Δεν υπάρχει αντίστοιχη λειτουργία στο Excel. Επομένως, πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο παραπάνω τύπος. Τι μπορείς να κάνεις? Αλλά αυτό δεν είναι πολύ τραγικό, αφού ο υπολογισμός της διάμεσης τιμής από δεδομένα διαστήματος είναι μια σπάνια περίπτωση. Μπορείτε επίσης να το υπολογίσετε σε μια αριθμομηχανή.

Τέλος, προτείνω ένα πρόβλημα. Υπάρχει ένα σύνολο δεδομένων. 15, 5, 20, 5, 10. Ποιος είναι ο μέσος όρος; Τέσσερις επιλογές:

Ο τρόπος λειτουργίας, ο διάμεσος και ο μέσος όρος δείγματος είναι διαφορετικοί τρόποι προσδιορισμού της κεντρικής τάσης σε ένα δείγμα.

• Διάμεσος- αυτή είναι μια τιμή χαρακτηριστικού που χωρίζει τη σειρά κατάταξης διανομής σε δύο ίσα μέρη - με τιμές χαρακτηριστικών μικρότερες από τη διάμεσο και με τιμές χαρακτηριστικών μεγαλύτερες από τη διάμεσο. Για να βρείτε τη διάμεσο, πρέπει να βρείτε την τιμή του χαρακτηριστικού που βρίσκεται στο μέσο της σειράς που έχει ταξινομηθεί.

  Δείτε τη λύση στο πρόβλημα της εύρεσης του τρόπου λειτουργίας και του μέσου όρουΜπορείς

  Σε ταξινομημένες σειρές, μη ομαδοποιημένα δεδομένα για βρίσκοντας τη διάμεσοανάγεται στην εύρεση του τακτικού αριθμού της διάμεσης. Η διάμεσος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

  όπου Xm είναι το κατώτερο όριο του διάμεσου διαστήματος.
  im - διάμεσο διάστημα;
  Το Sme είναι το άθροισμα των παρατηρήσεων που συσσωρεύτηκαν πριν από την έναρξη του διάμεσου διαστήματος.
  fme είναι ο αριθμός των παρατηρήσεων στο διάμεσο διάστημα.

  διάμεσες ιδιότητες

  1. Η διάμεσος δεν εξαρτάται από τις τιμές του χαρακτηριστικού που βρίσκονται και στις δύο πλευρές του.
  2. Οι αναλυτικές πράξεις με τη διάμεσο είναι πολύ περιορισμένες, επομένως όταν συνδυάζονται δύο κατανομές με γνωστές διαμέσους, είναι αδύνατο να προβλεφθεί εκ των προτέρων η τιμή της διάμεσης τιμής της νέας κατανομής.
  3. Ο διάμεσος έχειη ελάχιστη ιδιοκτησία. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι το άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών x από τη διάμεσο είναι η ελάχιστη τιμή σε σύγκριση με την απόκλιση του X από οποιαδήποτε άλλη τιμή

  Γραφικός ορισμός της διάμεσης

  Για τον καθορισμό διάμεσοι γραφική μέθοδος χρησιμοποιήστε τις συσσωρευμένες συχνότητες, στις οποίες βασίζεται η αθροιστική καμπύλη. Οι κορυφές των τεταγμένων που αντιστοιχούν στις συσσωρευμένες συχνότητες συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. Διαιρώντας στο μισό την τελευταία τεταγμένη, που αντιστοιχεί στο συνολικό άθροισμα των συχνοτήτων, και σχεδιάζοντας την κάθετο της τομής με την αθροιστική καμπύλη σε αυτήν, βρείτε την τεταγμένη της επιθυμητής τιμής της διάμεσης.

  Ορισμός της μόδας στη στατιστική

  Μόδα - αξία χαρακτηριστικών, που έχει την υψηλότερη συχνότητα σε στατιστικές σειρέςδιανομή.

  Ορισμός της μόδαςπαράγεται με διαφορετικούς τρόπους, και αυτό εξαρτάται από το αν η μεταβλητή παρουσιάζεται ως διακριτή ή ως διαλειμματική σειρά.

  Βρίσκοντας τη μόδακαι η διάμεσος γίνεται απλά κοιτάζοντας μέσα από τη στήλη συχνότητας. Σε αυτή τη στήλη, βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό που χαρακτηρίζει την υψηλότερη συχνότητα. Αντιστοιχεί σε μια ορισμένη τιμή του χαρακτηριστικού, που είναι ο τρόπος. Στη σειρά μεταβολών διαστήματος, η κεντρική παραλλαγή του διαστήματος με την υψηλότερη συχνότητα θεωρείται κατά προσέγγιση η λειτουργία. Σε αυτή τη σειρά διανομής η λειτουργία υπολογίζεται από τον τύπο:

  

  όπου XMo είναι το κατώτερο όριο του διαστήματος των τρόπων μεταφοράς.
  imo - τροπικό διάκενο;
  fm0, fm0-1, fm0+1 είναι οι συχνότητες στα διαστήματα τροπικών, προηγούμενων και επόμενων τρόπων.

  Το χρονικό διάστημα καθορίζεται από την υψηλότερη συχνότητα.

  Η μόδα χρησιμοποιείται ευρέως στη στατιστική πρακτική για την ανάλυση της ζήτησης των καταναλωτών, την καταχώριση τιμών κ.λπ.

  Σχέσεις μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου, του μέσου όρου και του τρόπου

  Για μια μονοτροπική συμμετρική σειρά κατανομής, η διάμεσος και ο τρόπος είναι τα ίδια. Για ασύμμετρες κατανομές, δεν συμπίπτουν.

  Ο K. Pearson, με βάση την ευθυγράμμιση διαφόρων τύπων καμπυλών, προσδιόρισε ότι για μέτρια ασύμμετρες κατανομές, ισχύουν οι ακόλουθες κατά προσέγγιση σχέσεις μεταξύ του αριθμητικού μέσου όρου, του μέσου όρου και του τρόπου λειτουργίας: