Εξίσωση ytgx. Μάθημα "Επταπτομένη τόξο και εφαπτομένη τόξο. Λύση εξισώσεων tgx = a, ctgx = a". Θέμα: Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Νωρίτερα, σύμφωνα με το πρόγραμμα, οι μαθητές πήραν μια ιδέα για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, εξοικειώθηκαν με τις έννοιες του τόξου συνημιτόνου και του τόξου ημιτονίου, παραδείγματα λύσεων στις εξισώσεις cos t = a και sin t = a. Σε αυτό το εκπαιδευτικό βίντεο, θα εξετάσουμε τη λύση των εξισώσεων tg x = a και ctg x = a.

Στην αρχή της μελέτης αυτού του θέματος, θεωρήστε τις εξισώσεις tg x = 3 και tg x = - 3. Αν λύσουμε την εξίσωση tg x = 3 χρησιμοποιώντας ένα γράφημα, θα δούμε ότι η τομή των γραφημάτων των συναρτήσεων y = tg x και y = 3 έχει άπειρο αριθμό λύσεων, όπου x = x 1 + πk. Η τιμή x 1 είναι η συντεταγμένη x του σημείου τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων y = tg x και y = 3. Ο συγγραφέας εισάγει την έννοια της εφαπτομένης: arctg 3 είναι ένας αριθμός του οποίου το tg είναι 3, και αυτός ο αριθμός ανήκει το διάστημα από -π/2 έως π/2. Χρησιμοποιώντας την έννοια της εφαπτομένης, η λύση της εξίσωσης tan x = 3 μπορεί να γραφεί ως x = arctan 3 + πk.

Κατ' αναλογία, λύνεται η εξίσωση tg x \u003d - 3. Σύμφωνα με τα κατασκευασμένα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d tg x και y \u003d - 3, μπορεί να φανεί ότι τα σημεία τομής των γραφημάτων και επομένως οι λύσεις των εξισώσεων, θα είναι x \u003d x 2 + πk. Χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη του τόξου, η λύση μπορεί να γραφεί ως x = arctan (- 3) + πk. Στο παρακάτω σχήμα, θα δούμε ότι arctg (- 3) = - arctg 3.

Ο γενικός ορισμός της εφαπτομένης τόξου είναι ο εξής: η εφαπτομένη του τόξου του a είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα από -π / 2 έως π / 2, του οποίου η εφαπτομένη είναι a. Τότε η λύση της εξίσωσης tg x = a είναι x = arctg a + πk.

Ο συγγραφέας δίνει ένα παράδειγμα 1. Βρείτε μια λύση στην έκφραση arctg Ας εισάγουμε τη σημείωση: η εφαπτομένη τόξου του αριθμού είναι x, τότε το tg x θα είναι ίσο με τον δεδομένο αριθμό, όπου το x ανήκει στο τμήμα από -π/ 2 έως π/2. Όπως και στα παραδείγματα στα προηγούμενα θέματα, θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα τιμών. Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα, η εφαπτομένη αυτού του αριθμού αντιστοιχεί στην τιμή x = π/3. Γράφουμε τη λύση στην εξίσωση της εφαπτομένης του τόξου ενός δεδομένου αριθμού ίσου με π / 3, το π / 3 ανήκει επίσης στο διάστημα από -π / 2 έως π / 2.

Παράδειγμα 2 - Υπολογίστε την εφαπτομένη του τόξου ενός αρνητικού αριθμού. Χρησιμοποιώντας την ισότητα arctg (- a) = - arctg a, εισαγάγετε την τιμή x. Ομοίως με το παράδειγμα 2, γράφουμε την τιμή του x, η οποία ανήκει στο διάστημα από -π/2 έως π/2. Σύμφωνα με τον πίνακα τιμών, βρίσκουμε ότι x = π/3, επομένως, -- tg x = - π/3. Η απάντηση στην εξίσωση είναι - π/3.

Εξετάστε το Παράδειγμα 3. Ας λύσουμε την εξίσωση tan x = 1. Ας γράψουμε ότι x = αρκτάν 1 + πk. Στον πίνακα, η τιμή του tg 1 αντιστοιχεί στην τιμή x \u003d π / 4, επομένως, arctg 1 \u003d π / 4. Αντικαταστήστε αυτή την τιμή στον αρχικό τύπο x και σημειώστε την απάντηση x = π/4 + πk.

Παράδειγμα 4: υπολογισμός tg x = - 4.1. Σε αυτήν την περίπτωση, x = arctg (- 4.1) + πk. Επειδή δεν είναι δυνατό να βρεθεί η τιμή του arctg σε αυτήν την περίπτωση, η απάντηση θα μοιάζει με x = arctg (- 4.1) + πk.

Το παράδειγμα 5 εξετάζει τη λύση της ανίσωσης tg x > 1. Για να τη λύσουμε, σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = tg x και y = 1. Όπως φαίνεται στο σχήμα, αυτές οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται στα σημεία x = π /4 + πk. Επειδή Σε αυτή την περίπτωση, tg x > 1, στο γράφημα επιλέγουμε το εμβαδόν της εφαπτομένης, που βρίσκεται πάνω από το γράφημα y = 1, όπου το x ανήκει στο διάστημα από π/4 έως π/2. Γράφουμε την απάντηση ως π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Στη συνέχεια, θεωρήστε την εξίσωση ctg x = a. Το σχήμα δείχνει γραφήματα των συναρτήσεων y = ctg x, y = a, y = - a, που έχουν πολλά σημεία τομής. Οι λύσεις μπορούν να γραφτούν ως x = x 1 + πk, όπου x 1 = arcctg a και x = x 2 + πk, όπου x 2 = arcctg (- a). Σημειώνεται ότι x 2 \u003d π - x 1. Αυτό συνεπάγεται την ισότητα arcctg (- a) = π - arcctg a. Περαιτέρω, δίνεται ο ορισμός της συνεφαπτομένης τόξου: η συνεφαπτομένη τόξου του a είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα από το 0 έως το π, του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με a. Η λύση της εξίσωσης σtg x = a γράφεται ως: x = arcctg a + πk.

Στο τέλος του μαθήματος βίντεο, βγαίνει ένα άλλο σημαντικό συμπέρασμα - η έκφραση ctg x = a μπορεί να γραφτεί ως tg x = 1/a, με την προϋπόθεση ότι το a δεν είναι ίσο με μηδέν.

ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΚΕΙΜΕΝΟΥ:

Εξετάστε τη λύση των εξισώσεων tg x \u003d 3 και tg x \u003d - 3. Λύνοντας γραφικά την πρώτη εξίσωση, βλέπουμε ότι τα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d tg x και y \u003d 3 έχουν άπειρα σημεία τομής, τα τετμημένα των οποίων γράφουμε στη μορφή

x \u003d x 1 + πk, όπου x 1 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d 3 με τον κύριο κλάδο της εφαπτομενικής (Εικ. 1), για την οποία επινοήθηκε η ονομασία

αρκτάν 3 (εφαπτομένη τόξου τριών).

Πώς να κατανοήσετε το arctg 3;

Αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η εφαπτομένη είναι 3 και ο αριθμός αυτός ανήκει στο διάστημα (-;). Τότε όλες οι ρίζες της εξίσωσης tg x \u003d 3 μπορούν να γραφτούν με τον τύπο x \u003d arctan 3 + πk.

Ομοίως, η λύση της εξίσωσης tg x \u003d - 3 μπορεί να γραφτεί ως x \u003d x 2 + πk, όπου x 2 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d - 3 με τον κύριο κλάδο της εφαπτομενική (Εικ. 1), για την οποία ο χαρακτηρισμός arctg (- 3) (εφαπτομένη μείον τρία). Τότε όλες οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν να γραφτούν με τον τύπο: x \u003d arctg (-3) + πk. Το σχήμα δείχνει ότι arctg(- 3)= - arctg 3.

Ας διατυπώσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης του τόξου. Η εφαπτομένη τόξου a είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα (-;), του οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με a.

Η ισότητα χρησιμοποιείται συχνά: arctg(-a) = -arctg a, η οποία ισχύει για οποιοδήποτε α.

Γνωρίζοντας τον ορισμό της εφαπτομένης του τόξου, βγάζουμε ένα γενικό συμπέρασμα για τη λύση της εξίσωσης

tg x \u003d a: η εξίσωση tg x \u003d a έχει λύση x \u003d arctg a + πk.

Εξετάστε παραδείγματα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Υπολογίστε arctg.

Απόφαση. Έστω arctg = x, μετά tgx = και xϵ (-;). Εμφάνιση πίνακα τιμών Επομένως, x =, αφού tg = και ϵ (- ;).

Άρα arctg =.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Υπολογίστε το αρκτάν (-).

Απόφαση. Χρησιμοποιώντας την ισότητα arctg (- a) \u003d - arctg a, γράφουμε:

arctg(-) = - arctg . Έστω - arctg = x, μετά - tgx = και xϵ (-;). Επομένως, x =, αφού tg = και ϵ (- ;). Εμφάνιση πίνακα τιμών

Άρα - arctg=- tgх= - .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Λύστε την εξίσωση tgх = 1.

1. Ας γράψουμε τον τύπο λύσης: x = arctg 1 + πk.

2. Βρείτε την τιμή της εφαπτομένης του τόξου

αφού tg = . Εμφάνιση πίνακα τιμών

Άρα arctg1= .

3. Βάλτε την τιμή που βρέθηκε στον τύπο λύσης:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Λύστε την εξίσωση tgx \u003d - 4,1 (η εφαπτομένη x είναι ίση με μείον τέσσερις βαθμούς ένα δέκατο).

Απόφαση. Ας γράψουμε τον τύπο λύσης: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της εφαπτομένης του τόξου, οπότε θα αφήσουμε τη λύση της εξίσωσης ως έχει.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Λύστε την ανισότητα tgх 1.

Απόφαση. Ας το κάνουμε γραφικά.

1. Ας φτιάξουμε ένα εφαπτοειδές

y \u003d tgx και μια ευθεία γραμμή y \u003d 1 (Εικ. 2). Τέμνονται σε σημεία της μορφής x = + πk.

2. Επιλέξτε το διάστημα του άξονα x, στο οποίο ο κύριος κλάδος της εφαπτομενικής βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή y \u003d 1, αφού σύμφωνα με τη συνθήκη tgх 1. Αυτό είναι το διάστημα (;).

3. Χρησιμοποιούμε την περιοδικότητα της συνάρτησης.

Ιδιότητα 2. y \u003d tg x - μια περιοδική συνάρτηση με μια βασική περίοδο π.

Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης y \u003d tgx, γράφουμε την απάντηση:

(;). Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως διπλή ανισότητα:

Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση ctg x \u003d a. Ας παρουσιάσουμε μια γραφική απεικόνιση της λύσης της εξίσωσης για θετικό και αρνητικό α (Εικ. 3).

Γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d ctg x και y \u003d a και

y=ctg x και y=-a

έχουν άπειρα πολλά κοινά σημεία, τα τετμημένα των οποίων έχουν τη μορφή:

x \u003d x 1 +, όπου x 1 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d a με τον κύριο κλάδο της εφαπτομένης και

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, όπου x 2 είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας

y \u003d - αλλά με τον κύριο κλάδο της εφαπτομενικής και x 2 \u003d arcсtg (- a).

Σημειώστε ότι x 2 \u003d π - x 1. Καταγράφουμε λοιπόν τη σημαντική εξίσωση:

arcctg (-a) = π - arcctg α.

Ας διατυπώσουμε τον ορισμό: η συνεφαπτομένη του a είναι ένας τέτοιος αριθμός από το διάστημα (0, π) του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με a.

Η λύση της εξίσωσης ctg x \u003d a γράφεται ως: x \u003d arcсtg a +.

Σημειώστε ότι η εξίσωση ctg x = a μπορεί να μετατραπεί στη μορφή

tg x = , εκτός εάν a = 0.

Σε αυτό το μάθημα, θα συνεχίσουμε τη μελέτη της εφαπτομένης του τόξου και τη λύση των εξισώσεων της μορφής tg x = a για οποιαδήποτε α. Στην αρχή του μαθήματος, θα λύσουμε την εξίσωση με μια τιμή πίνακα και θα απεικονίσουμε τη λύση στο γράφημα και μετά στον κύκλο. Στη συνέχεια, λύνουμε την εξίσωση tgx = av γενική εικόνακαι απορρέουν γενικός τύποςαπάντηση. Ας δείξουμε τους υπολογισμούς στο γράφημα και στον κύκλο και ας εξετάσουμε τις διάφορες μορφές της απάντησης. Στο τέλος του μαθήματος, θα λύσουμε πολλά προβλήματα με μια απεικόνιση των λύσεων στο διάγραμμα και στον κύκλο.

Θέμα: Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Μάθημα: Arctangent και επίλυση της εξίσωσης tgx=a (συνέχεια)

1. Θέμα μαθήματος, εισαγωγή

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε τη λύση της εξίσωσης για οποιοδήποτε πραγματικό

2. Λύση της εξίσωσης tgx=√3

Εργασία 1. Λύστε την εξίσωση

Ας βρούμε μια λύση χρησιμοποιώντας γραφήματα συναρτήσεων (Εικ. 1).

Θεωρήστε το διάστημα Σε αυτό το διάστημα, η συνάρτηση είναι μονότονη, πράγμα που σημαίνει ότι επιτυγχάνεται μόνο σε μία τιμή της συνάρτησης.

Απάντηση:

Ας λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν κύκλο αριθμών (Εικ. 2).

Απάντηση:

3. Λύση της εξίσωσης tgx=a σε γενική μορφή

Ας λύσουμε την εξίσωση σε γενική μορφή (Εικ. 3).

Στο διάστημα, η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση

Η μικρότερη θετική περίοδος

Ας δείξουμε σε έναν αριθμητικό κύκλο (Εικ. 4).

4. Επίλυση προβλημάτων

Εργασία 2. Λύστε την εξίσωση

Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή

Εργασία 3. Λύστε το σύστημα:

Λύση (Εικ. 5):

Στο σημείο, η τιμή είναι επομένως η λύση του συστήματος είναι μόνο το σημείο

Απάντηση:

Εργασία 4. Λύστε την εξίσωση

Ας λύσουμε με τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητής:

Πρόβλημα 5. Να βρείτε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης στο διάστημα

Ας λύσουμε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας το γράφημα (Εικ. 6).

Η εξίσωση έχει τρεις λύσεις σε ένα δεδομένο διάστημα.

Θα δείξουμε σε έναν αριθμητικό κύκλο (Εικ. 7), αν και αυτό δεν είναι τόσο ξεκάθαρο όσο στο γράφημα.

Απάντηση: Τρεις λύσεις.

5. Συμπέρασμα, συμπέρασμα

Λύσαμε την εξίσωση για οποιοδήποτε πραγματικό χρησιμοποιώντας την έννοια της εφαπτομένης τόξου. Στο επόμενο μάθημα, θα εξοικειωθούμε με την έννοια της εφαπτομένης τόξου.

Βιβλιογραφία

1. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα ( επίπεδο προφίλ) εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2009.

2. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Άλγεβρα και μαθηματική ανάλυσηγια τη 10η τάξη ( φροντιστήριογια μαθητές σχολείων και τάξεων με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών).-Μ .: Εκπαίδευση, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Βαθιά μελέτη της άλγεβρας και η μαθηματική ανάλυση.-Μ.: Εκπαίδευση, 1997.

5. Συλλογή εργασιών στα μαθηματικά για υποψήφιους στα ΤΕΙ (υπό την επιμέλεια του Μ.Ι.Σκανάβη).-Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1992.

6. Merzlyak A. G., Polonsky V. B., Yakir M. S. Algebraic simulator.-K.: A. S. K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Tasks in algebra and the starts of analysis (εγχειρίδιο για μαθητές των τάξεων 10-11 των γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων). - M .: Εκπαίδευση, 2003.

8. A. P. Karp, Συλλογή Προβλημάτων στην Άλγεβρα και Αρχές Ανάλυσης: Proc. επίδομα για 10-11 κύτταρα. με ένα βαθύ μελέτη μαθηματικά.-Μ.: Εκπαίδευση, 2006.

Εργασία για το σπίτι

Algebra and the Beginnings of Analysis, Βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Πρόσθετοι πόροι Ιστού

1. Μαθηματικά.

2. Προβλήματα διαδικτυακής πύλης. ru.

3. Εκπαιδευτική πύληνα προετοιμαστούν για εξετάσεις.

Κυματική εξίσωση, διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους, που περιγράφει τη διαδικασία διάδοσης των διαταραχών σε ένα ορισμένο μέσο Tikhonov A. N. and Samarsky A. A., Equations of mathematical physics, 3rd ed., M., 1977. - p. 155....

Ταξινομήσεις υπερβολικών διαφορικές εξισώσειςσε μερικά παράγωγα

Η εξίσωση θερμότητας είναι μια παραβολική μερική διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη διαδικασία διάδοσης της θερμότητας σε ένα συνεχές μέσο (αέριο ...

Μαθηματικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στη θεωρία των συστημάτων ουράς

Οι πιθανότητες των καταστάσεων του συστήματος μπορούν να βρεθούν από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων Kolmogorov, οι οποίες συντάσσονται σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: Στην αριστερή πλευρά καθεμιάς από αυτές βρίσκεται η παράγωγος της πιθανότητας της i-ης κατάστασης...

Μη στάσιμη εξίσωση Riccati

1. Η γενική εξίσωση Riccati έχει τη μορφή: , (1.1) όπου P, Q, R-συνεχείς συναρτήσειςστο x όταν το x αλλάζει στο διάστημα Η εξίσωση (1.1) περιλαμβάνει, ως ειδικές περιπτώσεις, τις εξισώσεις που έχουμε ήδη εξετάσει: γιατί λαμβάνουμε γραμμική εξίσωση, όταν -η εξίσωση του Μπερνούλι...

Βασικά επιστημονική έρευνακαι προγραμματισμός πειραμάτων μεταφοράς

Λαμβάνουμε τη συναρτησιακή εξάρτηση Y = f(X) (εξίσωση παλινδρόμησης) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωνα(ΜΝΚ). Χρησιμοποιήστε γραμμικές (Y = a0 + a1X) και τετραγωνικές εξαρτήσεις (Y = a0 + a1X + a2X2) ως συναρτήσεις προσέγγισης. Χρησιμοποιώντας τα ελάχιστα τετράγωνα της τιμής a0...

Ας τοποθετήσουμε τον πόλο του συστήματος πολικών συντεταγμένων στην αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων, ο πολικός άξονας είναι συμβατός με τον θετικό ημιάξονα της τετμημένης (Εικ. 3). Ρύζι. 3 Ας πάρουμε την εξίσωση μιας ευθείας στην κανονική μορφή: (3.1) - το μήκος της κάθετης ...

Πολικό σύστημα συντεταγμένων στο αεροπλάνο

Ας συνθέσουμε μια εξίσωση σε πολικές συντεταγμένες ενός κύκλου που διέρχεται από τον πόλο, με κέντρο τον πολικό άξονα και με ακτίνα R. Από ορθογώνιο τρίγωνοΟΑΑ παίρνουμε ΟΑ= ΟΑ (Εικ. 4)...

Έννοιες της δειγματοληπτικής θεωρίας. Βαθμοί διανομής. Συσχετιστικό και ανάλυση παλινδρόμησης

Να μελετήσει: α) την έννοια της ζευγαρωμένης γραμμικής παλινδρόμησης. β) σύνταξη συστήματος κανονικών εξισώσεων. γ) ιδιότητες των εκτιμήσεων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. δ) μια τεχνική για την εύρεση μιας εξίσωσης γραμμικής παλινδρόμησης. Υποθέτω...

Κατασκευή λύσεων διαφορικών εξισώσεων με τη μορφή σειρών ισχύος

Ως παράδειγμα εφαρμογής της κατασκευασμένης θεωρίας, θεωρήστε την εξίσωση Bessel: (6.1) Όπου. Το ενικό σημείο z =0 είναι κανονικό. Δεν υπάρχουν άλλες ιδιομορφίες στο πεπερασμένο τμήμα του επιπέδου. Στην εξίσωση (6.1), λοιπόν, η καθοριστική εξίσωση έχει τη μορφή, δηλαδή ...

Επίλυση εξισώσεων μήτρας

Η εξίσωση του πίνακα ХА=В μπορεί επίσης να λυθεί με δύο τρόπους: 1. Ο αντίστροφος πίνακας υπολογίζεται με οποιαδήποτε από τις γνωστές μεθόδους. Τότε η λύση της εξίσωσης του πίνακα θα μοιάζει με: 2...

Επίλυση εξισώσεων μήτρας

Οι μέθοδοι που περιγράφονται παραπάνω δεν είναι κατάλληλες για την επίλυση εξισώσεων της μορφής AX=XB, AX+XB=C. Δεν είναι επίσης κατάλληλα για την επίλυση εξισώσεων στις οποίες τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες στον άγνωστο πίνακα X είναι ένας εκφυλισμένος πίνακας...

Επίλυση εξισώσεων μήτρας

Οι εξισώσεις της μορφής ΑΧ = ΧΑ λύνονται με τον ίδιο τρόπο όπως στην προηγούμενη περίπτωση, δηλαδή στοιχείο προς στοιχείο. Η λύση εδώ καταλήγει στην εύρεση του πίνακα μετάθεσης. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε ένα παράδειγμα. Παράδειγμα. Βρείτε όλους τους πίνακες...

Στατική λειτουργία δικτύου αναμονής σε σχήμα ρόμβου

Από την κατάσταση μπορεί να πάει σε μία από τις ακόλουθες καταστάσεις: - λόγω της άφιξης της εφαρμογής στην ουρά του πρώτου κόμβου με ένταση. - λόγω της παραλαβής της αίτησης που επεξεργάζεται σε αυτήν από τον πρώτο κόμβο στην ουρά του τρίτου κόμβου με ένταση στο ...

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Η εφαπτομένη του τόξου ενός αριθμού είναι ένας αριθμός του οποίου το ημίτονο είναι α: αν και. Όλες οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν να βρεθούν από τον τύπο: ...

Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης μαθηματικά προβλήματα

>> Εφαπτομένη τόξου και εφαπτομένη τόξου. Λύση των εξισώσεων tgx = a, ctgx = a

§ 19. Εφαπτομένη τόξου και εφαπτομένη τόξου. Λύση των εξισώσεων tgx = a, ctgx = a

Στο Παράδειγμα 2 της §16, δεν μπορέσαμε να λύσουμε τρεις εξισώσεις:

Έχουμε ήδη λύσει δύο από αυτά - το πρώτο στην § 17 και το δεύτερο στην § 18, για αυτό έπρεπε να εισαγάγουμε τις έννοιες τόξο συνημίτονοκαι τόξο. Θεωρήστε την τρίτη εξίσωση x = 2.
Τα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d tg x και y \u003d 2 έχουν άπειρα πολλά κοινά σημεία, τα τετμημένα όλων αυτών των σημείων μοιάζουν με - η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d 2 με τον κύριο κλάδο του εφαπτοειδές (Εικ. 90). Για τον αριθμό x1, οι μαθηματικοί κατέληξαν με τον προσδιορισμό arstg 2 (διαβάζει "arct εφαπτομένη του δύο"). Τότε όλες οι ρίζες της εξίσωσης x=2 μπορούν να περιγραφούν με τον τύπο x=arstg 2 + pc.
Τι είναι το arstg 2; Αυτός είναι ο αριθμός εφαπτομένοςπου ισούται με 2 και που ανήκει στο διάστημα
Θεωρήστε τώρα την εξίσωση tg x = -2.
Γραφήματα συναρτήσεων έχουν άπειρα κοινά σημεία, τα τετμημένα όλων αυτών των σημείων έχουν τη μορφή τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d -2 με τον κύριο κλάδο της εφαπτομένης. Για τον αριθμό x 2, οι μαθηματικοί βρήκαν τον συμβολισμό arstg (-2). Τότε όλες οι ρίζες της εξίσωσης x = -2 μπορούν να περιγραφούν με τον τύπο

Τι είναι το arstg(-2) ; Αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η εφαπτομένη είναι -2 και που ανήκει στο διάστημα. Δώστε προσοχή (βλ. Εικ. 90): x 2 \u003d -x 2. Αυτό σημαίνει ότι arctg(-2) = - arctg 2.
Ας διατυπώσουμε τον ορισμό της εφαπτομένης του τόξου σε γενική μορφή.

Ορισμός 1. arstg a (εφαπτομένη α) είναι ένας αριθμός από το διάστημα του οποίου η εφαπτομένη είναι a. Ετσι,

Τώρα είμαστε σε θέση να βγάλουμε ένα γενικό συμπέρασμα για τη λύση εξισώσεις x=a: η εξίσωση x=a έχει λύσεις

Σημειώσαμε παραπάνω ότι arctg (-2) = -arctg 2. Γενικά, για οποιαδήποτε τιμή του a, ο τύπος

Παράδειγμα 1Υπολογίζω:

Παράδειγμα 2Επίλυση εξισώσεων:

Α) Ας φτιάξουμε έναν τύπο λύσης:

Σε αυτή την περίπτωση, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της εφαπτομένης του τόξου, οπότε θα αφήσουμε την εγγραφή των λύσεων της εξίσωσης με τη μορφή που προκύπτει.
Απάντηση:
Παράδειγμα 3Λύστε ανισότητες:
Η ανισότητα της φόρμας μπορεί να λυθεί γραφικά, τηρώντας τα παρακάτω σχέδια
1) κατασκευάστε μια εφαπτομένη y \u003d tg x και μια ευθεία γραμμή y \u003d a.
2) να εκχωρήσετε για τον κύριο κλάδο του ταγγευσοειδούς ένα διάστημα του άξονα x στο οποίο ικανοποιείται η δεδομένη ανισότητα.
3) λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης y \u003d tg x, σημειώστε την απάντηση σε γενική μορφή.
Ας εφαρμόσουμε αυτό το σχέδιο στη λύση των δεδομένων ανισοτήτων.

: α) Κατασκευάζουμε γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d tgx και y \u003d 1. Στον κύριο κλάδο της εφαπτοειδούς, τέμνονται στο σημείο

Επιλέγουμε το διάστημα του άξονα x, στο οποίο ο κύριος κλάδος της εφαπτομενικής βρίσκεται κάτω από την ευθεία γραμμή y \u003d 1, αυτό είναι το διάστημα
Λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα της συνάρτησης y \u003d tgx, συμπεραίνουμε ότι η δεδομένη ανισότητα ικανοποιείται σε οποιοδήποτε διάστημα της μορφής:

Η ένωση όλων αυτών των διαστημάτων είναι κοινή απόφασηδεδομένης ανισότητας.
Η απάντηση μπορεί να γραφτεί και με άλλο τρόπο:

β) Κατασκευάζουμε γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d tg x και y \u003d -2. Στον κύριο κλάδο της εφαπτομένης (Εικ. 92), τέμνονται στο σημείο x = arctg (-2).

Επιλέγουμε το διάστημα του άξονα x, στο οποίο βρίσκεται ο κύριος κλάδος της εφαπτομενικής

Θεωρήστε μια εξίσωση με tg x=a, όπου a>0. Τα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d ctg x και y \u003d a έχουν άπειρα πολλά κοινά σημεία, τα τετμημένα όλων αυτών των σημείων μοιάζουν με: x \u003d x 1 + pc, όπου x 1 \u003d arcctg a - η τετμημένη του σημείο τομής της ευθείας y \u003d a με τον κύριο κλάδο της εφαπτομένης (Εικ. .93). Επομένως, arcctg a είναι ένας αριθμός του οποίου η συνεφαπτομένη είναι ίση με a και που ανήκει στο διάστημα (0, n). σε αυτό το διάστημα, δημιουργείται ο κύριος κλάδος του γραφήματος της συνάρτησης y \u003d сtg x.

Στο σχ. Το 93 παρουσιάζει επίσης μια γραφική απεικόνιση της λύσης της εξίσωσης c1tg = -a. Τα γραφήματα των συναρτήσεων y \u003d ctg x και y \u003d -a έχουν άπειρα πολλά κοινά σημεία, τα τετμημένα όλων αυτών των σημείων έχουν τη μορφή x \u003d x 2 + pc, όπου x 2 \u003d arcctg (-a) είναι η τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας y \u003d -a με τον κύριο κλάδο της εφαπτομένης. Επομένως, το arcctg(-a) είναι ένας αριθμός του οποίου η συνεφαπτομένη είναι -a και που ανήκει στο διάστημα (0, n). σε αυτό το διάστημα, δημιουργείται ο κύριος κλάδος του γραφήματος της συνάρτησης Y \u003d сtg x.

Ορισμός 2. arcctg a (τόξο συνεφαπτομένη α) είναι ένας αριθμός από το διάστημα (0, n) του οποίου η συνεφαπτομένη είναι a.
Ετσι,

Είμαστε τώρα σε θέση να βγάλουμε ένα γενικό συμπέρασμα σχετικά με τη λύση της εξίσωσης ctg x=a: η εξίσωση ctg x = a έχει λύσεις:

Δώστε προσοχή (βλ. Εικ. 93): x 2 \u003d n-x 1. Αυτό σημαίνει ότι

Παράδειγμα 4Υπολογίζω:

Α) Ας βάλουμε

Η εξίσωση сtg x=a μπορεί σχεδόν πάντα να μετατραπεί στη μορφή Εξαίρεση είναι η εξίσωση сtg x=0. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι μπορείτε να πάτε
cos x=0 εξίσωση. Έτσι, μια εξίσωση της μορφής x=a δεν έχει ανεξάρτητο ενδιαφέρον.

Ο Α.Γ. Mordkovich Algebra Βαθμός 10

Ημερολογιακός-θεματικός προγραμματισμός στα μαθηματικά, βίντεοστα μαθηματικά online, Λήψη μαθηματικών στο σχολείο

Περιεχόμενο μαθήματος περίληψη μαθήματοςυποστήριξη πλαισίων παρουσίασης μαθήματος επιταχυντικές μέθοδοι διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις εργαστήρια αυτοεξέτασης, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες γραφικά, πίνακες, σχήματα χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, παραβολές κόμικ, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα τσιπ για περίεργα cheat sheets σχολικά βιβλία βασικά και πρόσθετο γλωσσάρι όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός κομματιού στο σχολικό βιβλίο στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα αντικαθιστώντας τις απαρχαιωμένες γνώσεις με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματα ημερολογιακό σχέδιογια έναν χρόνο Κατευθυντήριες γραμμέςπρογράμματα συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα

Μπορείτε να παραγγείλετε μια λεπτομερή λύση στο πρόβλημά σας !!!

Ισότητα που περιέχει το άγνωστο κάτω από το πρόσημο τριγωνομετρική συνάρτηση(«sin x, cos x, tg x» ή «ctg x»), ονομάζεται τριγωνομετρική εξίσωση και είναι οι τύποι τους που θα εξετάσουμε περαιτέρω.

Οι απλούστερες εξισώσεις είναι «sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a», όπου «x» είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί, «a» είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Ας γράψουμε τους τύπους ρίζας για καθένα από αυτά.

1. Εξίσωση `sin x=a`.

Για το `|a|>1` δεν έχει λύσεις.

Με `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Εξίσωση `cos x=a`

Για `|a|>1` - όπως στην περίπτωση του ημιτόνου, δεν υπάρχουν λύσεις μεταξύ των πραγματικών αριθμών.

Με `|α| Το \leq 1` έχει άπειρο αριθμό λύσεων.

Τύπος ρίζας: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Ειδικές περιπτώσεις για ημίτονο και συνημίτονο σε γραφήματα.

3. Εξίσωση `tg x=a`

Έχει άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Εξίσωση `ctg x=a`

Έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό λύσεων για οποιεσδήποτε τιμές του 'a'.

Τύπος ρίζας: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Τύποι για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων στον πίνακα

Για τα ιγμόρεια:
Για το συνημίτονο:
Για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:
Τύποι επίλυσης εξισώσεων που περιέχουν αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Η λύση οποιασδήποτε τριγωνομετρικής εξίσωσης αποτελείται από δύο στάδια:

• χρησιμοποιώντας για να το μετατρέψετε στο απλούστερο?
• λύστε την απλή εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους για τις ρίζες και τους πίνακες.

Ας εξετάσουμε τις κύριες μεθόδους λύσης χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

αλγεβρική μέθοδος.

Στη μέθοδο αυτή γίνεται η αντικατάσταση μιας μεταβλητής και η αντικατάστασή της σε ισότητα.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

κάντε μια αντικατάσταση: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, μετά `2y^2-3y+1=0`,

βρίσκουμε τις ρίζες: `y_1=1, y_2=1/2`, από τις οποίες ακολουθούν δύο περιπτώσεις:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Παραγοντοποίηση.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `sin x+cos x=1`.

Απόφαση. Μετακινήστε προς τα αριστερά όλους τους όρους ισότητας: `sin x+cos x-1=0`. Χρησιμοποιώντας , μετασχηματίζουμε και παραγοντοποιούμε την αριστερή πλευρά:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Απάντηση: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση

Πρώτα, πρέπει να φέρετε αυτήν την τριγωνομετρική εξίσωση σε μία από τις δύο μορφές:

`a sin x+b cos x=0` (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού) ή `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ομογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Στη συνέχεια, διαχωρίστε και τα δύο μέρη κατά «cos x \ne 0» για την πρώτη περίπτωση και κατά «cos^2 x \ne 0» για τη δεύτερη. Λαμβάνουμε εξισώσεις για το `tg x`: `a tg x+b=0` και `a tg^2 x + b tg x +c =0`, οι οποίες πρέπει να λυθούν χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Απόφαση. Ας γράψουμε τη δεξιά πλευρά ως `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Αυτή είναι μια ομοιογενής τριγωνομετρική εξίσωση δεύτερου βαθμού, διαιρώντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της με το «cos^2 x \ne 0», παίρνουμε:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Ας εισάγουμε την αντικατάσταση `tg x=t`, ως αποτέλεσμα `t^2 + t - 2=0`. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι «t_1=-2» και «t_2=1». Τότε:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Μεταβείτε στο Half Corner

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Απόφαση. Εφαρμόζοντας τους τύπους διπλής γωνίας, το αποτέλεσμα είναι: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 συν^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Εφαρμόζοντας την αλγεβρική μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, λαμβάνουμε:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας

Στην τριγωνομετρική εξίσωση «a sin x + b cos x =c», όπου a,b,c είναι συντελεστές και x είναι μια μεταβλητή, διαιρούμε και τα δύο μέρη με «sqrt (a^2+b^2)»:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))».

Οι συντελεστές στην αριστερή πλευρά έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή, το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1 και ο συντελεστής τους δεν είναι μεγαλύτερος από 1. Να τους χαρακτηρίσετε ως εξής: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= Γ», τότε:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: `3 sin x+4 cos x=2`.

Απόφαση. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με «sqrt (3^2+4^2)», παίρνουμε:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))».

`3/5 αμαρτία x+4/5 cos x=2/5`.

Σημειώστε `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Εφόσον `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, λαμβάνουμε το `\varphi=arcsin 4/5` ως βοηθητική γωνία. Στη συνέχεια γράφουμε την ισότητά μας με τη μορφή:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Εφαρμόζοντας τον τύπο για το άθροισμα των γωνιών για το ημίτονο, γράφουμε την ισότητά μας με την ακόλουθη μορφή:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Απάντηση. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Κλασματικές-ορθολογικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Πρόκειται για ισότητες με κλάσματα, στους αριθμητές και στους παρονομαστές των οποίων υπάρχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Απόφαση. Πολλαπλασιάστε και διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το «(1+cos x)». Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Δεδομένου ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι μηδέν, παίρνουμε `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Εξισώστε τον αριθμητή του κλάσματος με μηδέν: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Στη συνέχεια `sin x=0` ή `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Δεδομένου ότι ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, οι λύσεις είναι `x=2\pi n, n \in Z` και `x=\pi /2+2\pi n` , `n \σε Z`.

Απάντηση. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Η τριγωνομετρία, και ειδικότερα οι τριγωνομετρικές εξισώσεις, χρησιμοποιούνται σχεδόν σε όλους τους τομείς της γεωμετρίας, της φυσικής και της μηχανικής. Η μελέτη ξεκινά στην 10η τάξη, υπάρχουν πάντα εργασίες για τις εξετάσεις, οπότε προσπαθήστε να θυμάστε όλους τους τύπους των τριγωνομετρικών εξισώσεων - σίγουρα θα σας φανούν χρήσιμοι!

Ωστόσο, δεν χρειάζεται καν να τα απομνημονεύσετε, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσετε την ουσία και να είστε σε θέση να συμπεράνετε. Δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται. Δείτε μόνοι σας βλέποντας το βίντεο.