Se oferă o demonstrație a teoremei Bolzano-Weierstrass. Pentru a face acest lucru, se folosește lema pe segmente imbricate.
ConţinutVezi si: Lema pe segmente imbricate
Din oricare secvență limitată numere reale este posibil să se identifice o subsecvență care converge către un număr finit. Și din orice succesiune nemărginită - o subsecvență infinit de mare care converge către sau către .
Teorema Bolzano-Weierstrass poate fi formulată astfel.
Din orice succesiune de numere reale este posibil să se selecteze o subsecvență care converge fie către un număr finit, fie către sau către .
Demonstrarea primei părți a teoremei
Pentru a demonstra prima parte a teoremei, vom aplica lema segmentului imbricat.
Lasă șirul să fie mărginit. Aceasta înseamnă că există un număr pozitiv M, astfel încât pentru tot n,
.
Adică toți membrii secvenței aparțin segmentului, pe care îl notăm ca . Aici . Lungimea primului segment. Să luăm orice element al secvenței ca prim element al subsecvenței. Să-l notăm ca .
Împărțiți segmentul în jumătate. Dacă jumătatea sa dreaptă conține un număr infinit de elemente ale secvenței, atunci ia jumătatea dreaptă ca următor segment. Altfel, să luăm jumătatea stângă. Ca rezultat, obținem un al doilea segment care conține un număr infinit de elemente ale secvenței. Lungimea acestui segment. Iată, dacă am luat jumătatea dreaptă; și - dacă sunt lăsate. Ca al doilea element al subsecvenței, luăm orice element al șirului aparținând celui de-al doilea segment cu un număr mai mare de n 1 . Să-l notăm ca ().
În acest fel repetăm procesul de împărțire a segmentelor. Împărțiți segmentul în jumătate. Dacă jumătatea sa dreaptă conține un număr infinit de elemente ale secvenței, atunci ia jumătatea dreaptă ca următor segment. Altfel, să luăm jumătatea stângă. Ca rezultat, obținem un segment care conține un număr infinit de elemente ale secvenței. Lungimea acestui segment. Ca element al subsecvenței, luăm orice element al șirului aparținând unui segment cu un număr mai mare de n k.
Ca rezultat, obținem o subsecvență și un sistem de segmente imbricate
.
În plus, fiecare element al subsecvenței aparține segmentului corespunzător:
.
Deoarece lungimile segmentelor tind spre zero ca , atunci conform lemei pe segmentele imbricate, există un punct unic c care aparține tuturor segmentelor.
Să arătăm că acest punct este limita subsecvenței:
.
Într-adevăr, deoarece punctele și c aparțin unui segment de lungime , atunci
.
Deoarece , atunci conform teoremei secvenței intermediare,
. De aici
.
Prima parte a teoremei a fost demonstrată.
Demonstrarea celei de-a doua părți a teoremei
Lasă secvența să fie nelimitată. Aceasta înseamnă că pentru orice număr M, există un n astfel încât
.
În primul rând, luați în considerare cazul când secvența este nemărginită în dreapta. Adică pentru orice M > 0
, există n astfel încât
.
Ca prim element al subsecvenței, luați orice element al secvenței mai mare decât unu:
.
Ca al doilea element al subsecvenței, luăm orice element al secvenței mai mare de doi:
,
și a .
Și așa mai departe. Ca element al k-lea al subsecvenței luăm orice element
,
și .
Ca rezultat, obținem o subsecvență, fiecare element al cărei inegalitate satisface:
.
Introducem numerele M și N M, conectându-le cu următoarele relații:
.
Rezultă că pentru orice număr M se poate alege un număr natural, astfel încât pentru toate numerele naturale k >
Înseamnă că
.
Acum luați în considerare cazul când șirul este mărginit la dreapta. Deoarece este nemărginit, trebuie lăsat nemărginit. În acest caz, repetăm raționamentul cu mici modificări.
Alegem o subsecvență astfel încât elementele ei să satisfacă inegalitățile:
.
Apoi introducem numerele M și N M, conectându-le cu următoarele relații:
.
Atunci pentru orice număr M se poate alege un număr natural, astfel încât pentru toate numerele naturale k > N M inegalitatea să fie valabilă.
Înseamnă că
.
Teorema a fost demonstrată.
Vezi si:Definiția 1. Un punct x al unei linii infinite se numește punct limită al șirului (x n) dacă în orice e-vecinătate a acestui punct există infinit de elemente ale șirului (x n).
Lema 1. Dacă x este un punct limită al șirului (x k ), atunci din această secvență putem selecta o subsecvență (x n k ), convergentă către numărul x.
Cometariu. Afirmația opusă este de asemenea adevărată. Dacă din șirul (x k) este posibil să se selecteze o subsecvență convergentă către numărul x, atunci numărul x este punctul limită al șirului (x k). Într-adevăr, în orice e-vecinătate a punctului x există infinit de elemente ale subsecvenței și, prin urmare, ale șirului în sine (x k ).
Din Lema 1 rezultă că putem da o altă definiție a unui punct limită al unei secvențe, echivalentă cu Definiția 1.
Definiția 2. Un punct x al unei linii infinite se numește punct limită al unei secvențe (x k ), dacă din această secvență este posibil să se selecteze o subsecvență convergentă spre x.
Lema 2. Fiecare succesiune convergentă are un singur punct limită, care coincide cu limita acelei secvențe.
Cometariu. Dacă șirul converge, atunci după Lema 2 are un singur punct limită. Totuși, dacă (xn) nu este convergent, atunci poate avea mai multe puncte limită (și, în general, infinite puncte limită). Să arătăm, de exemplu, că (1+(-1) n ) are două puncte limită.
Într-adevăr, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... are două puncte limită 0 și 2, deoarece subsecvențele (0)=0,0,0,... și (2)=2,2,2,... ale acestei secvențe au limite de numere 0 și respectiv 2. Această secvență nu are alte puncte limită. Într-adevăr, fie x orice punct de pe axa numerelor, altul decât punctele 0 și 2. Să luăm e >0 deci
mic astfel încât e - vecinătățile punctelor 0, x și 2 să nu se intersecteze. Vecinătatea e a punctelor 0 și 2 conține toate elementele șirului și, prin urmare, vecinătatea e a punctului x nu poate conține infinit de elemente (1+(-1) n ) și, prin urmare, nu este un punct limită al acestei secvențe.
Teorema. Fiecare succesiune mărginită are cel puțin un punct limită.
Cometariu. Niciun număr x care depășește , este un punct limită al secvenței (x n), adică - cel mai mare punct limită al secvenței (x n).
Fie x orice număr mai mare decât . Să alegem e>0 atât de mic încât
și x 1 О(x), la dreapta lui x 1 există un număr finit de elemente ale șirului (x n) sau nu există deloc, adică. x nu este un punct limită al secvenței (x n ).
Definiție. Cel mai mare punct limită al secvenței (x n) se numește limita superioară a secvenței și este notat cu simbolul. Din remarcă rezultă că fiecare succesiune mărginită are o limită superioară.
În mod similar, este introdus conceptul de limită inferioară (ca cel mai mic punct limită al secvenței (x n)).
Deci, am dovedit următoarea afirmație. Fiecare secvență mărginită are limite superioare și inferioare.
Să formulăm următoarea teoremă fără demonstrație.
Teorema. Pentru ca șirul (x n) să fie convergent, este necesar și suficient ca acesta să fie mărginit și ca limitele superioare și inferioare să coincidă.
Rezultatele acestei secțiuni conduc la următoarea teoremă principală a lui Bolzano-Weierstrass.
Teorema Bolzano-Weierstrass. Din orice secvență mărginită se poate selecta o subsecvență convergentă.
Dovada. Deoarece șirul (x n ) este mărginit, are cel puțin un punct limită x. Apoi din această secvență putem selecta o subsecvență convergentă către punctul x (reduce din Definiția 2 a punctului limită).
Cometariu. Din orice secvență mărginită se poate izola o secvență convergentă monotonă.
Teorema Bolzano-Weierstrass
Teorema Bolzano-Weierstrass, sau Lema Bolzano-Weierstrass asupra punctului limită- o propunere de analiză, una din formulările căreia spune: din orice succesiune limitată de puncte din spațiu se poate selecta o subsecvență convergentă. Teorema Bolzano-Weierstrass, în special în cazul unei secvențe de numere ( n= 1 ), este inclusă în fiecare curs de analiză. Este folosit în demonstrarea multor propoziții în analiză, de exemplu, teorema despre o funcție care este continuă pe un interval care își realizează exact limitele superioare și inferioare. Teorema poartă numele matematicianului ceh Bolzano și ale matematicianului german Weierstrass, care au formulat-o și au demonstrat-o independent.
Formulări
Sunt cunoscute mai multe formulări ale teoremei Bolzano-Weierstrass.
Prima formulare
Să fie propusă o succesiune de puncte din spațiu:
și să fie limitată această secvență, adică
Unde C> 0 - un număr.
Apoi din această secvență putem extrage o subsecvență
care converge într-un anumit punct din spațiu.
Teorema Bolzano-Weierstrass din această formulare este uneori numită principiul compactității unei secvențe mărginite.
Versiune extinsă a primei formulări
Teorema Bolzano-Weierstrass este adesea completată cu următoarea propoziție.
Dacă o secvență de puncte din spațiu este nemărginită, atunci din ea este posibil să se selecteze o secvență care are o limită.
Pentru ocazie n= 1, această formulare poate fi rafinată: din orice succesiune numerică nelimitată se poate selecta o subsecvență a cărei limită este infinitatea unui anumit semn ( sau ).
Astfel, fiecare șir de numere conține o subsecvență care are o limită în setul extins de numere reale.
A doua formulare
Următoarea propoziție este o formulare alternativă a teoremei Bolzano-Weierstrass.
Orice submulțime infinită mărginită E spațiul are cel puțin un punct limită la .
Mai detaliat, aceasta înseamnă că există un punct a cărui vecinătate conține un număr infinit de puncte în mulțime E .
Dovada echivalenței a două formulări ale teoremei Bolzano-Weierstrass
Lăsa E- un subset infinit limitat de spațiu. Să luăm înăuntru E succesiune de puncte diferite
Deoarece această secvență este mărginită, în virtutea primei formulări a teoremei Bolzano-Weierstrass, putem izola o subsecvență din ea
convergând la un moment dat. Apoi fiecare vecinătate a unui punct X 0 conține un număr infinit de puncte în mulțime E .
În schimb, să fie dată o secvență limitată arbitrară de puncte din spațiu:Sensuri multiple E a unei secvențe date este limitată, dar poate fi infinită sau finită. Dacă E desigur, atunci una dintre valori se repetă în succesiune de un număr infinit de ori. Apoi acești termeni formează o subsecvență staționară care converge către punct A .
Daca sunt multi E este infinit, atunci, în virtutea celei de-a doua formulări a teoremei Bolzano-Weierstrass, există un punct în orice vecinătate din care există o infinitate de termeni diferiți ai șirului.
Alegem secvenţial pentru 
puncte 
, respectând condiția numărului în creștere:
Dovada
Teorema Bolzano-Weierstrass este derivată din proprietatea de completitudine a mulțimii numerelor reale. Cea mai faimoasă versiune a dovezii folosește proprietatea completității sub forma principiului segmentului imbricat.
Caz unidimensional
Să demonstrăm că din orice șir de numere mărginite se poate selecta o subsecvență convergentă. Se numește următoarea metodă de demonstrare metoda Bolzano, sau metoda de înjumătățire.
Să fie dată o secvență de număr limitat
Din mărginirea șirului rezultă că toți termenii săi se află pe un anumit segment al dreptei numerice, pe care îl notăm [ A 0 ,b 0 ] .
Împărțiți segmentul [ A 0 ,b 0 ] în jumătate în două segmente egale. Cel puțin unul dintre segmentele rezultate conține un număr infinit de termeni ai secvenței. Să o notăm [ A 1 ,b 1 ] .
În pasul următor, vom repeta procedura cu segmentul [ A 1 ,b 1 ]: împărțiți-l în două segmente egale și alegeți dintre ele pe cel pe care se află un număr infinit de termeni ai șirului. Să o notăm [ A 2 ,b 2 ] .
Continuând procesul obținem o succesiune de segmente imbricate
în care fiecare următor este jumătate din precedentul și conține un număr infinit de termeni ai șirului ( X k } .
Lungimile segmentelor tind spre zero:
În virtutea principiului Cauchy-Cantor al segmentelor imbricate, există un singur punct ξ care aparține tuturor segmentelor:
Prin construcție pe fiecare segment [A m ,b m ] există un număr infinit de termeni ai secvenței. Să alegem secvenţial
observând condiția numărului în creștere:
Apoi, subsecvența converge către punctul ξ. Aceasta rezultă din faptul că distanța de la până la ξ nu depășește lungimea segmentului care le conține [A m ,b m ] , Unde
Extindere la cazul unui spațiu de dimensiune arbitrară
Teorema Bolzano-Weierstrass se generalizează cu ușurință în cazul unui spațiu de dimensiune arbitrară.
Să fie dată o succesiune de puncte din spațiu:
(indicele de jos este numărul membrului secvenței, indicele de sus este numărul de coordonate). Dacă succesiunea de puncte din spațiu este limitată, atunci fiecare dintre secvențele numerice de coordonate:
de asemenea limitat ( 
- numărul de coordonate).
În virtutea versiunii unidimensionale a teoremei Bolzano-Weirstrass din secvența ( X k) putem selecta o subsecvență de puncte ale căror primele coordonate formează o secvență convergentă. Din subsecvența rezultată, selectăm din nou o subsecvență care converge de-a lungul celei de-a doua coordonate. În acest caz, convergența de-a lungul primei coordonate va fi păstrată datorită faptului că fiecare subsecvență a unei secvențe convergente converge. Și așa mai departe.
După n obținem o anumită succesiune de pași
care este o subsecvență a lui , și converge de-a lungul fiecărei coordonate. Rezultă că această subsecvență converge.
Poveste
Teorema Bolzano-Weierstrass (pentru cazul n= 1) a fost dovedit pentru prima dată de matematicianul ceh Bolzano în 1817. În lucrarea lui Bolzano, a acționat ca o lemă în demonstrarea teoremei asupra valorilor intermediare ale unei funcții continue, cunoscută acum ca teorema Bolzano-Cauchy. Cu toate acestea, aceste și alte rezultate, dovedite de Bolzano cu mult înainte de Cauchy și Weierstrass, au trecut neobservate.
Abia o jumătate de secol mai târziu, Weierstrass, independent de Bolzano, a redescoperit și demonstrat această teoremă. Inițial numită teorema lui Weierstrass, înainte ca opera lui Bolzano să fie cunoscută și acceptată.
Astăzi această teoremă poartă numele de Bolzano și Weierstrass. Această teoremă este adesea numită Lema Bolzano-Weierstrass, si cateodata lema punctului limită.
Teorema Bolzano-Weierstrass și conceptul de compactitate
Teorema Bolzano-Weierstrass stabilește următoarea proprietate interesantă a unei mulțimi mărginite: fiecare șir de puncte M conţine o subsecvenţă convergentă.
La dovedirea oferte diverseîn analiză recurg adesea la următoarea tehnică: determină o succesiune de puncte care are o proprietate dorită, iar apoi din aceasta se izolează o subsecvență care o are și ea, dar este deja convergentă. De exemplu, așa se demonstrează teorema lui Weierstrass că o funcție continuă pe un interval este mărginită și își ia cele mai mari și cele mai mici valori.
Eficacitatea unei astfel de tehnici în general, precum și dorința de a extinde teorema lui Weierstrass la spații metrice arbitrare, l-au determinat pe matematicianul francez Maurice Fréchet să introducă conceptul în 1906. compactitatea. Proprietatea mulțimilor mărginite în , stabilită de teorema Bolzano-Weierstrass, este, la figurat vorbind, că punctele mulțimii sunt situate destul de „aproape” sau „compact”: făcând un număr infinit de pași de-a lungul acestei mulțimi, vom cu siguranță ne apropiem cât ne place de un anumit punct din spațiu.
Frechet introduce următoarea definiție: set M numit compact, sau compact, dacă fiecare succesiune a punctelor sale conține o subsecvență care converge către un punct al acestei mulțimi. Se presupune că pe platou M metrica este definită, adică este
Definiție v.7. Un punct x € R de pe dreapta numerică se numește punct limită al șirului (xn) dacă pentru orice vecinătate U (x) și orice numar natural Nimeni nu poate găsi un element xn aparținând acestui cartier cu un număr mai mare decât LG, adică. x 6 R - punctul limită dacă. Cu alte cuvinte, un punct x va fi un punct limită pentru (xn) dacă oricare dintre vecinătățile sale conține elemente ale acestei secvențe cu numere arbitrar mari, deși poate nu toate elementele cu numere n > N. Prin urmare, următoarea afirmație este destul de evidentă. . Declarația b.b. Dacă lim(xn) = 6 6 R, atunci b este singurul punct limită al secvenței (xn). Într-adevăr, în virtutea Definiției 6.3 a limitei unei secvențe, toate elementele sale, pornind de la un anumit număr, se încadrează în orice vecinătate arbitrar de mică a punctului 6 și, prin urmare, elementele cu numere arbitrar mari nu pot cădea în vecinătatea niciunui alt punct. . În consecință, condiția definiției 6.7 este îndeplinită doar pentru un singur punct 6. Totuși, nu fiecare punct limită (numit uneori punct condensat subțire) al unei secvențe este limita sa. Astfel, șirul (b.b) nu are limită (vezi exemplul 6.5), dar are două puncte limită x = 1 și x = - 1. Secvența ((-1)pp) are două puncte infinite +oo și ca puncte limită - cu linia numerică extinsă, a cărei unire este notată cu un simbol oo. De aceea putem presupune că punctele limită infinite coincid, iar punctul infinit oo, conform (6.29), este limita acestei secvențe. Puncte limită ale dreptei numerice de secvență Dovada testului Weierstrass și a criteriului Cauchy. Fie dată o secvență (jn) și numerele k formează o secvență crescătoare de numere întregi numere pozitive . Atunci șirul (Vnb unde yn = xkn> se numește o subsecvență a șirului original. Evident, dacă (i„) are ca limită numărul 6, atunci oricare dintre subsecvențele sale are aceeași limită, deoarece pornind de la un anumit număr. toate elementele atât ale secvenței inițiale cât și ale oricărei subsecvențe ale acesteia se încadrează în orice vecinătate aleasă a punctului 6. În același timp, orice punct limită al unei subsecvențe este, de asemenea, un punct limită pentru șirul 9. Din orice șir care are a punct limită, se poate alege o subsecvență care are ca limită acest punct limită Fie b un punct limită al secvenței (xn) Apoi, conform Definiției 6.7, pentru fiecare n există un element care îi aparține vecinătatea U (6, 1/n) a punctului b de rază 1 /n 1 ..., unde zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, are o limită în punctul 6. Într-adevăr, pentru. arbitrar e > 0, se poate alege N astfel încât. Atunci toate elementele subsecvenței, începând cu numărul km, vor cădea în ^-vecinația U(6, e) de la punctul 6, care corespunde condiției 6.3 a definiției limitei șirului. Teorema inversă este de asemenea adevărată. Puncte limită ale dreptei numerice de secvență Dovada testului Weierstrass și a criteriului Cauchy. Teorema 8.10. Dacă o secvență are o subsecvență cu limita 6, atunci b este punctul limită al acestei secvențe. Din definiția 6.3 a limitei unei secvențe rezultă că, pornind de la un anumit număr, toate elementele subsecvenței cu limita b se încadrează într-o vecinătate U(b, e) de rază arbitrară e, deoarece elementele subsecvenței sunt simultan elemente ale șirului (xn)> elementele xn se încadrează în această vecinătate cu cât mai multe numere arbitrar mari, iar aceasta, în virtutea Definiției 6.7, înseamnă că b este punctul limită al șirului (n). Observație 0.2. Teoremele 6.9 și 6.10 sunt valabile și în cazul în care punctul limită este infinit, dacă, la demonstrarea vecinătății merto a lui U(6, 1 /n), considerăm vecinătatea (sau vecinătățile) Condiția în care o subsecvență convergentă poate fi izolat dintr-o secvență se stabilește prin următoarea teoremă 6.11 (Bolzano - Weierstrass) Fiecare succesiune mărginită conține o subsecvență care converge către o limită finită Fie cuprinse între numerele a și 6 , adică xn € [a, b] Vn € N. Împărțiți segmentul [a, b] în jumătate. Atunci cel puțin una dintre jumătățile sale va conține un număr infinit de elemente ale șirului, deoarece, altfel, întregul segment [a, b] ar conține un număr finit al acestora, ceea ce este imposibil. Fie ] acea jumătate a segmentului [a, 6] care conține un set infinit de elemente ale șirului (zn) (sau dacă ambele jumătăți sunt astfel, atunci oricare dintre ele). În mod similar, dintr-un segment care conține un număr infinit de elemente ale secvenței etc. Continuând acest proces, vom construi un sistem de segmente imbricate cu bn - an = (6- a)/2P. Conform principiului segmentelor imbricate, există un punct x care aparține tuturor acestor segmente. Acest punct va fi punctul limită pentru secvența (xn) - De fapt, pentru orice e-vecinătate U(x, e) = (xx + e) punctul x există un segment C U(x, e) (it este suficient doar să alegem n din inegalitatea (, care conține o mulțime infinită de elemente ale șirului (sn). Conform Definiției 6.7, x este punctul limită al acestei secvențe. Apoi, prin Teorema 6.9, există o subsecvență convergentă către punctul x. Metoda de raționament folosită în demonstrarea acestei teoreme (uneori este numită lema Bolzano-Weyer -Strass) și asociată cu împărțirea secvențială a segmentelor considerate în jumătate, este cunoscută ca metoda Bolzano simplifică foarte mult demonstrarea multor teoreme complexe. Ne permite să demonstrăm un număr de teoreme cheie într-un mod diferit (uneori mai simplu) Adăugarea 6.2. Demonstrarea criteriului Weierstrass pentru convergenţa unei secvenţe monotone mărginite Să presupunem că şirul (n) este nedescrescător. Apoi mulțimea valorilor sale este mărginită mai sus și, prin Teorema 2.1, are un supremum pe care îl notăm prin sup(xn) fi R. Datorită proprietăților supremului (vezi 2.7) Punctele limită ale șirului sunt numărul linia Dovada testului Weierstrass și a criteriului Cauchy. Conform Definiției 6.1 pentru o secvență nedescrescătoare avem sau Atunci > Ny și ținând cont de (6.34) obținem că corespunde Definiției 6.3 a limitei șirului, i.e. 31im(sn) și lim(xn) = 66R. Dacă șirul (xn) este necrescător, atunci cursul demonstrației este similar. Acum să trecem la demonstrarea suficienței criteriului Kochia pentru convergența unei secvențe (vezi Enunțul 6.3), deoarece necesitatea condiției criteriului rezultă din Teorema 6.7. Fie șirul (jn) fundamental. Conform Definiției 6.4, având în vedere un € arbitrar > 0, se poate găsi un număr N(e) astfel încât m^N și n^N implică. Apoi, luând m - N, pentru Vn > N obținem € £ Deoarece șirul în cauză are un număr finit de elemente cu numere care nu depășesc N, rezultă din (6.35) că șirul fundamental este mărginit (pentru comparație, vezi demonstrarea teoremei 6.2 privind mărginirea unei secvențe convergente). Pentru o mulțime de valori ale unei secvențe mărginite, există limite infime și supreme (vezi teorema 2.1). Pentru setul de valori ale elementelor pentru n > N, notăm aceste fețe an = inf xn și, respectiv, bjy = sup xn. Pe măsură ce N crește, infimul exact nu scade, ci exact Marginea superioară nu crește, adică . Primesc un sistem de aer condiționat? segmente Conform principiului segmentelor imbricate, există punct comun, care aparține tuturor segmentelor. Să o notăm cu b. Astfel, la Dintr-o comparație a (6.36) și (6.37), obținem în cele din urmă că corespunde Definiției 6.3 a limitei șirului, i.e. 31im(x„) şi lim(sn) = 6 6 R. Bolzano a început să studieze secvenţele fundamentale. Dar nu avea o teorie riguroasă a numerelor reale și, prin urmare, nu a putut demonstra convergența șirului fundamental. Cauchy a făcut acest lucru, luând de la sine înțeles principiul segmentelor imbricate, pe care Cantor l-a fundamentat ulterior. Nu numai că criteriului de convergență a unei secvențe i se dă numele Cauchy, dar și secvența fundamentală este adesea numită șirul Cauchy, iar principiul segmentelor imbricate este numit după Cantor. Întrebări și sarcini 8.1. Demonstrați că: 6.2. Dați exemple de secvențe neconvergente cu elemente aparținând mulțimilor Q și R\Q. 0,3. În ce condiţii sunt membrii aritmeticii şi progresii geometrice formează secvențe descrescătoare și crescătoare? 6.4. Demonstrați relațiile care decurg din tabel. 6.1. 6.5. Construiți exemple de șiruri care tind spre punctele infinite +oo, -oo, oo și un exemplu de șir care converge către punctul 6 € R. c.v. Poate o secvență nemărginită să nu fie b.b.? Dacă da, dați un exemplu. la 7. Construiți un exemplu de succesiune divergentă constând din elemente pozitive care nu are nici o limită finită, nici infinită. 6.8. Demonstrați convergența șirului (jn) dată de formula recurentă sn+i = sin(xn/2) cu condiția „1 = 1. 6.9. Demonstrați că lim(xn)=09 dacă sn+i/xn-»g€)
