Cursul se adresează licențelor și masteranzilor cu specializare în matematică, economie sau științe ale naturii, precum și profesorilor de matematică din gimnaziu și profesorilor universitari. De asemenea, va fi util pentru studenții care sunt profund implicați în matematică.
Structura cursului este tradițională. Cursul acoperă materialul clasic de analiză matematică, studiat în primul an de universitate în primul semestru. Vor fi prezentate secțiunile „Elemente ale teoriei mulțimilor și numerelor reale”, „Teoria șirurilor numerice”, „Limita și continuitatea unei funcții”, „Diferențiabilitatea unei funcții”, „Aplicații ale derivabilității”. Ne vom familiariza cu conceptul de mulțime, vom oferi o definiție riguroasă a unui număr real și vom studia proprietățile numerelor reale. Apoi vom vorbi despre secvențele de numere și proprietățile lor. Acest lucru ne va permite să luăm în considerare conceptul de funcție numerică, care este bine cunoscut școlarilor, la un nivel nou, mai riguros. Introducem conceptul de limită și continuitate a unei funcții, discutăm proprietățile funcții continueși aplicarea lor pentru rezolvarea problemelor.
În a doua parte a cursului, vom defini derivata și derivabilitatea unei funcții a unei variabile și vom studia proprietățile funcțiilor diferențiabile. Acest lucru vă va permite să învățați cum să rezolvați probleme aplicate atât de importante precum calculul aproximativ al valorilor unei funcții și soluția ecuațiilor, calculul limitelor, studiul proprietăților unei funcții și construcția graficului acesteia. .
Format
Forma de învățământ este part-time (la distanță).
Cursurile săptămânale vor include vizionarea de prelegeri video tematice și activități itemii de testare cu verificarea automată a rezultatelor.
Un element important al studierii disciplinei este decizie independentă probleme de calcul și dovezi. Soluția va trebui să conțină raționamente riguroase și logic corecte care să conducă la răspunsul corect (în cazul unei probleme de calcul) sau să demonstreze complet afirmația cerută (pentru probleme teoretice).
Cerințe
Cursul este conceput pentru licențe de 1 an de studiu. Sunt necesare cunoștințe de matematică elementară liceu(11 clase).
Programul cursului
Cursul 1 Elemente de teoria multimilor.
Cursul 2 Conceptul de număr real. Fețele exacte ale mulțimilor numerice.
Cursul 3 Operatii aritmetice pe numere reale. Proprietățile numerelor reale.
Cursul 4 Secvențe numerice și proprietățile lor.
Cursul 5 secvențe monotone. Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței.
Cursul 6 Conceptul de funcție a unei variabile. Limita functiei. Funcții infinitezimale și infinit de mari.
Cursul 7 Continuitatea funcției. Clasificarea punctului de întrerupere. Proprietățile locale și globale ale funcțiilor continue.
Cursul 8 Funcții monotone. Funcție inversă.
Cursul 9 Cele mai simple funcții elementare și proprietățile lor: funcții exponențiale, logaritmice și de putere.
Cursul 10 Trigonometric și invers funcții trigonometrice. Limite remarcabile. Continuitatea uniformă a unei funcții.
Cursul 11 Conceptul de derivată și diferențială. Sensul geometric al derivatului. Reguli de diferențiere.
Cursul 12 Derivate ale funcţiilor elementare de bază. Diferenţial de funcţie.
Cursul 13 Derivate și diferențiale de ordin superior. formula Leibniz. Derivate ale funcţiilor date parametric.
Cursul 14 Proprietățile de bază ale funcțiilor diferențiabile. teoremele lui Rolle și Lagrange.
Cursul 15 teorema lui Cauchy. Prima regulă a L'Hospital de dezvăluire a incertitudinilor.
Cursul 16 A doua regulă a L'Hopital de dezvăluire a incertitudinilor. Formula Taylor cu termenul rămas în forma Peano.
Cursul 17 Formula lui Taylor cu un termen rest în formă generală, sub forma lui Lagrange și Cauchy. Extinderea lui Maclaurin a funcțiilor elementare de bază. Aplicații ale formulei Taylor.
Cursul 18 Condiții suficiente extremum. Asimptotele graficului unei funcții. Convex.
Cursul 19 Puncte de inflexiune. Schema generală a studiului funcției. Exemple de complot.
Rezultatele învăţării
Ca urmare a stăpânirii cursului, studentul își va face o idee despre conceptele de bază ale analizei matematice: mulțime, număr, succesiune și funcție, se va familiariza cu proprietățile acestora și va învăța cum să aplice aceste proprietăți în rezolvarea problemelor.
Întrebări pentru examenul la „Analiza matematică”, anul I, semestrul I.
1. seturi. Operații de bază pe platouri. Spații metrice și aritmetice.
2. Seturi numerice. Seturi pe linia numerică: segmente, intervale, semiaxe, vecinătăți.
3. Definiția unei mulțimi mărginite. Limitele superioare și inferioare ale mulțimilor numerice. Postule despre limitele superioare și inferioare ale mulțimilor numerice.
4. Metoda inducției matematice. inegalitățile Bernoulli și Cauchy.
5. Definirea funcției. Graficul funcției. Funcții pare și impare. Funcții periodice. Modalități de a seta o funcție.
6. Limită de secvență. Proprietăţi ale secvenţelor convergente.
7. secvențe limitate. O teoremă cu o condiție suficientă pentru divergența unei secvențe.
8. Definiția unei secvențe monotone. Teorema secvenței monotone a lui Weierstrass.
9. Numărul e.
10. Limita unei funcții într-un punct. Limita unei funcții la infinit. Limite unilaterale.
11. Funcții infinit de mici. Limita funcțiilor sumă, produs și coeficient.
12. Teoreme privind stabilitatea inegalităţilor. Trecerea la limită în inegalități. Teoremă despre trei funcții.
13. Prima și a doua limite minunate.
14. Funcții infinit de mari și legătura lor cu funcții infinitezimale.
15. Comparația funcțiilor infinitezimale. Proprietățile infinitezimale echivalente. Teorema privind înlocuirea infinitezimalelor cu altele echivalente. Echivalențe de bază.
16. Continuitatea unei funcții într-un punct. Acțiuni cu funcții continue. Continuitatea funcțiilor elementare de bază.
17. Clasificarea punctelor de întrerupere a unei funcții. Extindere prin continuitate
18. Definiția unei funcții complexe. Limita unei funcții complexe. Continuitatea unei funcții complexe. Funcții hiperbolice
19. Continuitatea unei funcții pe un segment. Teoremele lui Cauchy asupra dispariției unei funcții continue pe un interval și asupra valorii intermediare a unei funcții.
20. Proprietăți ale funcțiilor continue pe un segment. Teorema Weierstrass asupra mărginirii unei funcții continue. Teorema lui Weierstrass privind valoarea cea mai mare și cea mai mică a unei funcții.
21. Definiția unei funcții monotone. Teorema lui Weierstrass asupra limitei unei funcții monotone. Teoremă asupra mulțimii valorilor unei funcții care este monotonă și continuă pe un interval.
22. Funcție inversă. Graficul funcției inverse. Teorema privind existența și continuitatea funcției inverse.
23. Funcții trigonometrice și hiperbolice inverse.
24. Definiția derivatei unei funcții. Derivate ale funcţiilor elementare de bază.
25. Definiția unei funcții diferențiabile. O condiție necesară și suficientă pentru diferențiabilitatea unei funcții. Continuitatea unei funcții diferențiabile.
26. Sensul geometric al derivatului. Ecuația tangentei și normalei la graficul funcției.
27. Derivată a sumei, produsului și câtului a două funcții
28. Derivată a unei funcții compuse și a unei funcții inverse.
29. Diferențierea logaritmică. Derivată a unei funcții dată parametric.
30. Partea principală a funcției de increment. Formula de liniarizare a funcției. Sensul geometric al diferenţialului.
31. Diferenţialul unei funcţii complexe. Invarianța formei diferențiale.
32. Teoremele lui Rolle, Lagrange și Cauchy privind proprietățile funcțiilor diferențiabile. Formula incrementelor finite.
33. Aplicarea derivatului la dezvăluirea incertitudinilor în interiorul. Regula lui L'Hopital.
34. Definiție derivată ordinea a n-a. Reguli pentru găsirea derivatei de ordinul al n-lea. formula Leibniz. Diferențiale de ordin superior.
35. Formula Taylor cu termenul rămas în forma Peano. Termeni reziduali sub formă de Lagrange și Cauchy.
36. Funcții de creștere și scădere. puncte extremum.
37. Convexitatea și concavitatea unei funcții. Puncte de inflexiune.
38. Funcții fără sfârșit. Asimptote.
39. Schema pentru trasarea graficului unei funcții.
40. Definiţia antiderivative. Principalele proprietăți ale antiderivatei. Cele mai simple reguli de integrare. Tabelul integralelor simple.
41. Integrarea prin schimbarea variabilei și formula de integrare prin părți în integrala nedefinită.
42. Integrarea expresiilor formei e ax cos bx și e ax sin bx folosind relații recursive.
43. Integrarea unei fracții |
folosind relații recursive. |
|||
a 2 n |
||||
44. Integrală nedefinită a unei funcții raționale. Integrarea fracțiilor simple.
45. Integrală nedefinită a unei funcții raționale. Descompunerea fracțiilor proprii în fracții simple.
46. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea expresiei
Rx, m |
|||
47. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea expresiilor de forma R x , ax 2 bx c . substituții lui Euler.
48. Integrarea expresiilor formei |
|||||||||||||
ax2 bx c |
ax2 bx c |
2 cute c |
49. Integrală nedefinită a unei funcții iraționale. Integrarea diferenţialelor binomiale.
50. Integrarea expresiilor trigonometrice. Substituție trigonometrică universală.
51. Integrarea expresiilor trigonometrice raționale în cazul în care integrandul este impar față de sin x (sau cos x ) sau chiar în raport cu sin x și cos x .
52. Integrarea expresiei sin n x cos m x și sin n x cos mx .
53. Integrarea expresiei tg m x și ctg m x .
54. Integrarea expresiei R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 și R x , x 2 a 2 folosind substituții trigonometrice.
55. Integrala definita. Problema calculării ariei unui trapez curbiliniu.
56. sume integrale. Darboux sume. Teorema condiției de existență integrala definita. Clase de funcții integrabile.
57. Proprietățile unei integrale definite. Teoreme asupra valorii medii.
58. Integrală definită în funcție de limita superioară. Formulă Newton-Leibniz.
59. Schimbarea formulei variabilei și a formulei de integrare pe părți într-o integrală definită.
60. Aplicarea calculului integral la geometrie. Volumul figurii. Volumul figurilor de rotație.
61. Aplicarea calculului integral la geometrie. Aria unei figuri plane. Aria sectorului curbiliniu. Lungimea curbei.
62. Definiția unei integrale improprie de primul fel. Formulă Newton-Leibniz pentru integralele improprie de primul fel. Cele mai simple proprietăți.
63. Convergența integralelor improprie de primul fel pentru o funcție pozitivă. Teoremele de comparație 1 și 2.
64. Convergența absolută și condiționată a integralelor improprie ale primului fel de funcție alternativă. Criterii de convergență pentru Abel și Dirichlet.
65. Definiția unei integrale improprie de al doilea fel. Formulă Newton-Leibniz pentru integralele improprie de al doilea fel.
66. Conectarea integralelor necorespunzătoare 1 și 2 fel. Integrale improprii în sensul valorii principale.
Cursul este o înregistrare video de studio a primei jumătăți a primului semestru de prelegeri de analiză matematică în forma în care sunt citite la Universitatea Academică. Pentru 4 module, studenții se vor familiariza cu conceptele de bază ale analizei matematice: secvențe, limite și continuitate. Ne restrângem la numere reale și funcții ale unei variabile. Prezentarea se va desfășura la un nivel destul de elementar fără posibile generalizări care să nu schimbe ideile de bază ale dovezilor, dar să complice vizibil percepția. Toate afirmațiile (cu excepția unor justificări formale plictisitoare chiar la începutul cursului și în definirea funcțiilor elementare) vor fi dovedite riguros. Videoclipurile sunt insotite cantitate mare sarcini pentru muncă independentă ascultători.
Pentru cine este acest curs
Studenți de licență ai specialităților tehnice
Elevii trebuie să fie competenți curiculumul scolar matematică. Și anume, este necesar să cunoaștem cum arată graficele principalelor funcții elementare, să cunoaștem formulele de bază pentru funcțiile trigonometrice, exponențiale și logaritmice, pentru progresii aritmetice și geometrice și, de asemenea, să poți face cu încredere transformări algebrice cu egalități și inegalităților. Pentru mai multe probleme, trebuie să cunoaștem și cele mai simple proprietăți ale numerelor raționale și iraționale.
Cursul se adresează licențelor și masteranzilor cu specializare în matematică, economie sau științe ale naturii, precum și profesorilor de matematică din gimnaziu și profesorilor universitari. De asemenea, va fi util pentru studenții care sunt profund implicați în matematică.
Structura cursului este tradițională. Cursul acoperă materialul clasic de analiză matematică, studiat în primul an de universitate în primul semestru. Vor fi prezentate secțiunile „Elemente ale teoriei mulțimilor și numerelor reale”, „Teoria șirurilor numerice”, „Limita și continuitatea unei funcții”, „Diferențiabilitatea unei funcții”, „Aplicații ale derivabilității”. Ne vom familiariza cu conceptul de mulțime, vom oferi o definiție riguroasă a unui număr real și vom studia proprietățile numerelor reale. Apoi vom vorbi despre secvențele de numere și proprietățile lor. Acest lucru ne va permite să luăm în considerare conceptul de funcție numerică, care este bine cunoscut școlarilor, la un nivel nou, mai riguros. Introducem conceptul de limită și continuitate a unei funcții, discutăm proprietățile funcțiilor continue și aplicarea lor la rezolvarea problemelor.
În a doua parte a cursului, vom defini derivata și derivabilitatea unei funcții a unei variabile și vom studia proprietățile funcțiilor diferențiabile. Acest lucru vă va permite să învățați cum să rezolvați probleme aplicate atât de importante precum calculul aproximativ al valorilor unei funcții și soluția ecuațiilor, calculul limitelor, studiul proprietăților unei funcții și construcția graficului acesteia. .
Format
Forma de învățământ este part-time (la distanță).
Cursurile săptămânale vor include vizionarea prelegerilor video tematice și finalizarea sarcinilor de testare cu verificarea automată a rezultatelor.
Un element important al studiului disciplinei este rezolvarea independentă a problemelor de calcul și a problemelor de demonstrație. Soluția va trebui să conțină raționamente riguroase și logic corecte care să conducă la răspunsul corect (în cazul unei probleme de calcul) sau să demonstreze complet afirmația cerută (pentru probleme teoretice).
Cerințe
Cursul este conceput pentru licențe de 1 an de studiu. Necesită cunoștințe de matematică elementară în volumul gimnaziului (11 clase).
Programul cursului
Cursul 1 Elemente de teoria multimilor.
Cursul 2 Conceptul de număr real. Fețele exacte ale mulțimilor numerice.
Cursul 3 Operatii aritmetice pe numere reale. Proprietățile numerelor reale.
Cursul 4 Secvențe numerice și proprietățile lor.
Cursul 5 secvențe monotone. Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței.
Cursul 6 Conceptul de funcție a unei variabile. Limita functiei. Funcții infinitezimale și infinit de mari.
Cursul 7 Continuitatea funcției. Clasificarea punctului de întrerupere. Proprietățile locale și globale ale funcțiilor continue.
Cursul 8 Funcții monotone. Funcție inversă.
Cursul 9 Cele mai simple funcții elementare și proprietățile lor: funcții exponențiale, logaritmice și de putere.
Cursul 10 Funcții trigonometrice și trigonometrice inverse. Limite remarcabile. Continuitatea uniformă a unei funcții.
Cursul 11 Conceptul de derivată și diferențială. Sensul geometric al derivatului. Reguli de diferențiere.
Cursul 12 Derivate ale funcţiilor elementare de bază. Diferenţial de funcţie.
Cursul 13 Derivate și diferențiale de ordin superior. formula Leibniz. Derivate ale funcţiilor date parametric.
Cursul 14 Proprietățile de bază ale funcțiilor diferențiabile. teoremele lui Rolle și Lagrange.
Cursul 15 teorema lui Cauchy. Prima regulă a L'Hospital de dezvăluire a incertitudinilor.
Cursul 16 A doua regulă a L'Hopital de dezvăluire a incertitudinilor. Formula Taylor cu termenul rămas în forma Peano.
Cursul 17 Formula lui Taylor cu un termen rest în formă generală, sub forma lui Lagrange și Cauchy. Extinderea lui Maclaurin a funcțiilor elementare de bază. Aplicații ale formulei Taylor.
Cursul 18 Condiții suficiente pentru un extremum. Asimptotele graficului unei funcții. Convex.
Cursul 19 Puncte de inflexiune. Schema generală a studiului funcției. Exemple de complot.
Rezultatele învăţării
Ca urmare a stăpânirii cursului, studentul își va face o idee despre conceptele de bază ale analizei matematice: mulțime, număr, succesiune și funcție, se va familiariza cu proprietățile acestora și va învăța cum să aplice aceste proprietăți în rezolvarea problemelor.
Lasă variabila X n ia o succesiune infinită de valori
X 1 , X 2 , ..., X n , ..., (1)
iar legea schimbării variabilei este cunoscută X n, adică pentru toată lumea numar natural n puteți specifica valoarea corespunzătoare X n. Astfel se presupune că variabila X n este o functie a n:
X n = f(n)
Să definim unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice - limita unei secvențe sau, ceea ce este același, limita unei variabile X n secvență de rulare X 1 , X 2 , ..., X n , ... . .
Definiție. număr constant A numit limită de secvență X 1 , X 2 , ..., X n , ... . sau limita unei variabile X n, dacă pentru un număr pozitiv arbitrar mic e există un astfel de număr natural N(adică numărul N) că toate valorile variabilei X n, incepand cu X N, diferă de A mai puțin în valoare absolută decât e. Această definiție scris pe scurt astfel:
| X n -A |< (2)
pentru toți n N, sau, care este același,
Definiția limitei Cauchy. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu excepția, poate, a punctului a însuși, și pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru toate x satisface condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Definiția limitei Heine. Un număr A se numește limita unei funcții f (x) într-un punct a dacă această funcție este definită într-o vecinătate a punctului a, cu excepția, probabil, a punctului a însuși și pentru orice succesiune astfel încât 
convergând către numărul a, succesiunea corespunzătoare de valori a funcției converge către numărul A.
Dacă funcția f(x) are o limită în punctul a, atunci această limită este unică.
Numărul A 1 se numește limita stângă a funcției f (x) în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 
Numărul A 2 se numește limita dreaptă a funcției f (x) în punctul a dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât inegalitatea 
Limita din stânga se notează limita din dreapta - Aceste limite caracterizează comportamentul funcției la stânga și la dreapta punctului a. Ele sunt adesea denumite limite unidirecționale. În notarea limitelor unilaterale ca x → 0, primul zero este de obicei omis: și . Deci, pentru funcție 
Dacă pentru fiecare ε > 0 există o δ-vecinătate a unui punct a astfel încât pentru tot x care îndeplinește condiția |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, atunci spunem că funcția f (x) are o limită infinită în punctul a:
Astfel, funcția are o limită infinită în punctul x = 0. Se disting adesea limite egale cu +∞ și –∞. Asa de,
Dacă pentru fiecare ε > 0 există δ > 0 astfel încât pentru orice x > δ inegalitatea |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Teorema existenței pentru cea mai mică limită superioară
Definiție: AR mR, m - fața superioară (inferioară) a lui A, dacă аА аm (аm).
Definiție: Mulțimea A este mărginită de sus (de jos), dacă există m astfel încât аА, atunci аm (аm) este satisfăcută.
Definiție: SupA=m, dacă 1) m - limita superioară a lui A
2) m’: m’
InfA = n dacă 1) n este infimul lui A
2) n’: n’>n => n’ nu este un infim al lui A
Definiție: SupA=m este un număr astfel încât: 1) aA am
2) >0 a A, astfel încât a a-
InfA = n se numește un număr astfel încât:
2) >0 a A, astfel încât a E a+
Teorema: Orice mulțime nevidă АR mărginită de sus are cea mai bună limită superioară și una unică.
Dovada:
Construim un număr m pe dreapta reală și demonstrăm că aceasta este cea mai mică limită superioară a lui A.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - fața superioară a lui A
Segmentul [[m],[m]+1] - împărțit în 10 părți
m 1 =max:aA)]
m 2 =max,m 1:aA)]
m la =max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 K - fața superioară A
Să demonstrăm că m=[m],m 1 ...m K este cea mai mică limită superioară și că este unică:
la: )
