Oamenii invidioși susțin că matematicianul francez Pierre Fermat și-a scris numele în istorie cu o singură frază. În marginile manuscrisului cu formularea celebrei teoreme în 1637, el a notat: „Am găsit o soluție uimitoare, dar nu există suficient spațiu pentru a o pune aici”. Apoi a început o cursă matematică uimitoare, în care, alături de oameni de știință remarcabili, s-a alăturat o armată de amatori.
Care este insidiositatea problemei lui Fermat? La prima vedere, este de înțeles chiar și pentru un școlar.
Se bazează pe teorema lui Pitagora, cunoscută de toată lumea: în triunghi dreptunghic pătratul ipotenuzei egal cu suma pătrate de catete: x 2 + y 2 = z 2. Fermat a argumentat: ecuația pentru orice puteri mai mari de două nu are soluție în numere întregi.
Ar părea simplu. Întinde mâna și iată răspunsul. Nu este de mirare că academiile tari diferite, institutele științifice, chiar și redacțiile ziarelor au fost inundate cu zeci de mii de dovezi. Numărul lor este fără precedent, al doilea doar după proiectele de „mișcare perpetuă”. Dar dacă știința serioasă nu a luat în considerare aceste idei nebune de multă vreme, atunci munca „fermierii” este studiată cu onestitate și cu interes. Și, din păcate, găsește erori. Ei spun că în mai bine de trei secole s-a format un întreg cimitir matematic de soluții ale teoremei.
Nu degeaba se spune: cotul este aproape, dar nu vei mușca. Au trecut ani, decenii, secole, iar sarcina lui Fermat părea din ce în ce mai surprinzătoare și tentantă. Aparent simplu, s-a dovedit a fi prea dur pentru progresul muscular în creștere rapidă. Omul despicase deja atomul, ajunsese la genă, pusese piciorul pe Lună, dar Fermat nu ceda, continuând să-și ademenească descendenții cu speranțe false.
Cu toate acestea, încercările de a depăși vârful științific nu au fost în zadar. Marele Euler a făcut primul pas demonstrând teorema pentru gradul al patrulea, apoi pentru al treilea. ÎN sfârşitul XIX-lea secolul, germanul Ernst Kummer a adus numărul de grade la o sută. În cele din urmă, înarmați cu computere, oamenii de știință au crescut această cifră la 100 de mii. Dar Fermat vorbea despre orice grade. Asta era ideea.
Desigur, oamenii de știință nu au agonisit problema din interes sportiv. Celebrul matematician David Hilbert a spus că teorema este un exemplu al modului în care o problemă aparent nesemnificativă poate avea un impact uriaș asupra științei. Lucrând la el, oamenii de știință au deschis orizonturi matematice complet noi, de exemplu, au fost puse bazele teoriei numerelor, algebrei și teoriei funcției.
Și totuși Marea Teoremă a fost cucerită în 1995. Soluția ei a fost prezentată de un american de la Universitatea Princeton, Andrew Wiles, și este recunoscută oficial de comunitatea științifică. A dat mai mult de șapte ani din viață pentru a găsi dovezi. Potrivit oamenilor de știință, această lucrare remarcabilă a reunit lucrările multor matematicieni, restabilind conexiunile pierdute între diferitele sale secțiuni.
Deci, summit-ul a fost luat, iar știința a primit răspunsul”, a declarat secretarul științific al Departamentului de Matematică unui corespondent RG. Academia RusăȘtiințe, doctor în științe tehnice Yuri Vishnyakov. - Teorema a fost demonstrată, deși nu în cel mai simplu mod, așa cum a insistat însuși Fermat. Și acum cei care doresc își pot imprima propriile versiuni.
Cu toate acestea, familia de „fermieri” nu va accepta deloc dovada lui Wiles. Nu, ei nu resping decizia americanului, pentru că este foarte complexă și, prin urmare, de înțeles doar pentru un cerc restrâns de specialiști. Dar nu trece o săptămână fără o nouă revelație din partea unui alt entuziast care să apară pe internet, „punând în sfârșit capăt epicului pe termen lung”.
Apropo, chiar ieri unul dintre cei mai bătrâni „fermiști” din țara noastră, Vsevolod Yarosh, a sunat la redacția „RG”: „Și știți că am demonstrat teorema lui Fermat chiar înainte de Wiles. Mai mult, atunci am găsit o eroare el, despre care i-am scris remarcabilului nostru matematician Academician Arnold cu o solicitare de a publica despre asta în jurnal stiintific. Acum astept un raspuns. De asemenea, corespond cu Academia Franceză de Științe în această chestiune”.
Și tocmai acum, după cum s-a raportat într-o serie de instituții de presă, a dezvăluit cu „ușoară grație”. mare secret matematică", un alt entuziast este fostul designer general al software-ului Polyot de la Omsk, doctor în științe tehnice Alexander Ilyin. Soluția s-a dovedit a fi atât de simplă și de scurtă încât s-a încadrat pe o mică secțiune a spațiului ziar al uneia dintre cele centrale. publicații.
Redactorii RG au apelat la cel mai important Institut de Matematică din țară, care poartă numele. Steklov RAS cu o cerere de evaluare a acestei decizii. Oamenii de știință au fost categoric: nu se poate comenta publicația din ziar. Dar, după multă convingere și ținând cont de interesul crescut pentru celebra problemă, au fost de acord. Potrivit acestora, în ultima dovadă publicată au fost făcute mai multe erori fundamentale. Apropo, chiar și un student al Facultății de Matematică le-ar putea observa cu ușurință.
Totuși, editorii au vrut să obțină informații de primă mână. Mai mult, ieri, la Academia de Aviație și Aeronautică, Ilyin trebuia să-și prezinte dovada. Cu toate acestea, s-a dovedit că puțini oameni știu despre o astfel de academie, chiar și printre specialiști. Și când, cu cea mai mare dificultate, a fost posibil să găsească numărul de telefon al secretarului științific al acestei organizații, atunci, după cum s-a dovedit, nici nu a bănuit că o astfel de întâlnire era pe cale să aibă loc cu ei. eveniment istoric. Pe scurt, corespondentul RG nu a reușit să fie martor la senzația mondială.
MAREA TEOREMA LUI FERMA - o afirmație a lui Pierre Fermat (un avocat francez și matematician cu normă parțială) că ecuația diofantină X n + Y n = Z n , cu exponent n>2, unde n = întreg, nu are soluții în numere întregi numere pozitive. Textul autorului: „Este imposibil să descompunem un cub în două cuburi, sau un biquadrat în două biquadrate sau, în general, o putere mai mare de două în două puteri cu același exponent.”
„Fermat și teorema lui”, Amadeo Modigliani, 1920
Pierre a venit cu această teoremă la 29 martie 1636. Și aproximativ 29 de ani mai târziu a murit. Dar de aici a început totul. La urma urmei, un bogat iubitor de matematică german pe nume Wolfskehl a lăsat moștenire o sută de mii de mărci celui care avea să prezinte o demonstrație completă a teoremei lui Fermat! Dar entuziasmul din jurul teoremei a fost asociat nu numai cu aceasta, ci și cu pasiunea matematică profesională. Fermat însuși a sugerat comunității matematice că știa dovada - cu puțin timp înainte de moartea sa, în 1665, a lăsat următoarea notă în marginea Aritmeticii lui Diophantus din Alexandria: „Am o dovadă foarte frapantă, dar este prea mare pentru a fi plasate pe câmpuri”.
Acest indiciu (plus, desigur, un bonus în numerar) i-a forțat pe matematicieni să-și petreacă cei mai buni ani în căutarea fără succes a unei dovezi (conform oamenilor de știință americani, numai matematicienii profesioniști au petrecut un total de 543 de ani pentru aceasta).
La un moment dat (în 1901), lucrările la teorema lui Fermat au căpătat reputația îndoielnică de „muncă asemănătoare cu căutarea unei mașini cu mișcare perpetuă” (a apărut chiar și un termen derogatoriu - „Fermatiști”). Și brusc, pe 23 iunie 1993, la o conferință de matematică despre teoria numerelor la Cambridge, un profesor englez de matematică de la Universitatea Princeton (New Jersey, SUA), Andrew Wiles, a anunțat că a dovedit în sfârșit Fermat!
Dovada, însă, nu a fost doar complexă, ci și evident eronată, așa cum a subliniat Wiles de colegii săi. Dar profesorul Wiles a visat toată viața să demonstreze teorema, așa că nu este de mirare că în mai 1994 a prezentat comunității științifice o versiune nouă, revizuită a dovezii. Nu exista armonie sau frumusețe în ea și era încă foarte complex - faptul că matematicienii au petrecut un an întreg (!) analizând această dovadă pentru a înțelege dacă era eronată vorbește de la sine!
Dar în cele din urmă, dovada lui Wiles s-a dovedit a fi corectă. Dar matematicienii nu l-au iertat pe Pierre Fermat pentru aluzia sa din „Aritmetică” și, de fapt, au început să-l considere un mincinos. De fapt, prima persoană care a pus la îndoială integritatea morală a lui Fermat a fost însuși Andrew Wiles, care a remarcat că „Fermat nu ar fi putut avea astfel de dovezi. Acestea sunt dovezi din secolul al XX-lea”. Apoi, printre alți oameni de știință, opinia a devenit mai puternică că Fermat „nu și-a putut demonstra teorema într-un mod diferit, iar Fermat nu a putut să o demonstreze așa cum a luat-o Wiles din motive obiective”.
De fapt, Fermat, desigur, ar putea dovedi acest lucru, iar puțin mai târziu această dovadă va fi recreată de analiștii Noii Enciclopedii Analitice. Dar care sunt aceste „motive obiective”?
Există de fapt un singur astfel de motiv: în acei ani în care a trăit Fermat, conjectura Taniyama, pe care Andrew Wiles și-a bazat demonstrația, nu putea apărea, deoarece funcțiile modulare cu care funcționează conjectura Taniyama au fost descoperite abia la sfârșitul secolului al XIX-lea. secol.
Cum a demonstrat Wiles însuși teorema? Întrebarea nu este inactivă - este importantă pentru a înțelege cum și-a putut demonstra Fermat însuși teorema. Wiles și-a bazat demonstrația pe demonstrarea conjecturei Taniyama, prezentată în 1955 de matematicianul japonez în vârstă de 28 de ani Yutaka Taniyama.
Ipoteza sună astfel: „fiecărei curbe eliptice îi corespunde o anumită formă modulară”. Curbele eliptice, cunoscute de mult timp, au o formă bidimensională (situate pe un plan), în timp ce funcțiile modulare au o formă cu patru dimensiuni. Adică, ipoteza lui Taniyama a combinat concepte complet diferite - curbe plate simple și forme cu patru dimensiuni inimaginabile. Însuși faptul de a combina figuri cu dimensiuni diferite în ipoteză părea absurd oamenilor de știință, motiv pentru care în 1955 nu i s-a acordat nicio importanță.
Cu toate acestea, în toamna anului 1984, „conjectura Taniyama” a fost din nou amintită brusc și nu numai că a fost amintită, dar posibila sa demonstrație a fost legată de demonstrarea teoremei lui Fermat! Acest lucru a fost făcut de matematicianul de Saarbrücken Gerhard Frey, care a informat comunitatea științifică că „dacă cineva ar reuși să demonstreze conjectura Taniyama, atunci Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi și ea demonstrată”.
Ce a făcut Frey? El a transformat ecuația lui Fermat într-una cubică, apoi a observat că curba eliptică obținută folosind ecuația lui Fermat transformată în una cubică nu poate fi modulară. Cu toate acestea, conjectura lui Taniyama a afirmat că orice curbă eliptică poate fi modulară! În consecință, o curbă eliptică construită din ecuația lui Fermat nu poate exista, ceea ce înseamnă că nu pot exista soluții întregi și teorema lui Fermat, ceea ce înseamnă că este adevărată. Ei bine, în 1993, Andrew Wiles a demonstrat pur și simplu conjectura lui Taniyama și, prin urmare, teorema lui Fermat.
Cu toate acestea, teorema lui Fermat poate fi demonstrată mult mai simplu, pe baza aceleiași multidimensionalități pe care au operat atât Taniyama, cât și Frey.
Pentru început, să fim atenți la condiția specificată de însuși Pierre Fermat - n>2. De ce a fost nevoie de această condiție? Da, doar pentru faptul că cu n=2 un caz special al teoremei lui Fermat devine teorema obișnuită a lui Pitagora X 2 +Y 2 =Z 2, care are un număr infinit de soluții întregi - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51.140.149 și așa mai departe. Astfel, teorema lui Pitagora este o excepție de la teorema lui Fermat.
Dar de ce apare o astfel de excepție în cazul lui n=2? Totul cade la locul lui dacă vezi relația dintre gradul (n=2) și dimensiunea figurii în sine. Triunghiul lui Pitagora este o figură bidimensională. Nu este surprinzător, Z (adică ipotenuza) poate fi exprimat în termeni de catete (X și Y), care pot fi numere întregi. Mărimea unghiului (90) face posibilă considerarea ipotenuzei ca un vector, iar catetele sunt vectori situați pe axe și veniți de la origine. În consecință, este posibil să se exprime un vector bidimensional care nu se află pe niciuna dintre axe în ceea ce privește vectorii care se află pe ele.
Acum, dacă trecem la a treia dimensiune, și deci la n=3, pentru a exprima un vector tridimensional, nu vor exista suficiente informații despre doi vectori și, prin urmare, se va putea exprima Z în ecuația lui Fermat prin cel puţin trei termeni (trei vectori aşezaţi, respectiv, pe trei axe ale sistemului de coordonate).
Dacă n=4, atunci ar trebui să existe 4 termeni, dacă n=5, atunci ar trebui să existe 5 termeni și așa mai departe. În acest caz, vor fi mai mult decât suficiente soluții întregi. De exemplu, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 și așa mai departe (puteți alege alte exemple pentru n=3, n=4 și așa mai departe).
Ce rezultă din toate acestea? De aici rezultă că teorema lui Fermat într-adevăr nu are soluții întregi pentru n>2 - ci doar pentru că ecuația în sine este incorectă! Cu același succes, s-ar putea încerca să exprime volumul unui paralelipiped în funcție de lungimile celor două margini ale sale - desigur, acest lucru este imposibil (soluții întregi nu vor fi găsite niciodată), ci doar pentru că pentru a găsi volumul unui paralelipiped trebuie să știi lungimile tuturor celor trei margini ale sale.
Când celebrul matematician David Gilbert a fost întrebat care este cea mai importantă problemă pentru știință acum, el a răspuns „a prinde o muscă pe partea din spate Moon.” La întrebarea rezonabilă: „Cine are nevoie de asta?” el a răspuns: „Nimeni nu are nevoie de asta. Dar gândiți-vă la câte probleme importante și complexe trebuie rezolvate pentru a realiza acest lucru.”
Cu alte cuvinte, Fermat (un avocat în primul rând!) a făcut o glumă juridică plină de spirit pe întreaga lume matematică, pe baza unei formulări incorecte a problemei. El, de fapt, a sugerat că matematicienii găsesc răspunsul la motivul pentru care o muscă de pe cealaltă parte a Lunii nu poate trăi, iar în marginea „Aritmeticii” a vrut să scrie doar că pur și simplu nu există aer pe Lună, adică. Nu pot exista soluții întregi ale teoremei sale pentru n>2 doar pentru că fiecare valoare a lui n trebuie să corespundă unui anumit număr de termeni din partea stângă a ecuației sale.
Dar a fost doar o glumă? Deloc. Geniul lui Fermat constă tocmai în faptul că el a fost de fapt primul care a văzut relația dintre gradul și dimensiunea unei figuri matematice - adică, ceea ce este absolut echivalent, numărul de termeni din partea stângă a ecuației. Sensul celebrei sale teoreme a fost tocmai acela de a împinge lumea matematică la ideea acestei relații, ci și de a iniția demonstrarea existenței acestei relații - intuitiv de înțeles, dar încă nefundamentat matematic.
Fermat, ca nimeni altcineva, a înțeles că stabilirea de relații între obiecte aparent diferite este extrem de fructuoasă nu numai în matematică, ci și în orice știință. Această relație indică un principiu profund care stă la baza ambelor obiecte și care permite o înțelegere mai profundă a acestora.
De exemplu, fizicienii au considerat inițial electricitatea și magnetismul ca fiind fenomene complet nelegate, dar în secolul al XIX-lea, teoreticienii și experimentatorii și-au dat seama că electricitatea și magnetismul erau strâns legate. Ca rezultat, s-a realizat o mai bună înțelegere atât a electricității, cât și a magnetismului. Curenți electrici da nastere la campuri magnetice, iar magneții pot induce electricitate în conductorii aflați în apropierea magneților. Aceasta a dus la inventarea dinamurilor și a motoarelor electrice. În cele din urmă s-a descoperit că lumina era rezultatul oscilațiilor armonice coordonate ale câmpurilor magnetice și electrice.
Matematica din vremea lui Fermat consta din insule de cunoaștere într-o mare a ignoranței. Pe o insulă locuiau geometri care studiau formele, pe o altă insulă teoria probabilităților matematicienii studiau riscurile și aleatorietatea. Limbajul geometriei era foarte diferit de limbajul teoriei probabilităților, iar terminologia algebrică era străină celor care vorbeau doar despre statistică. Din păcate, matematica timpurilor noastre constă aproximativ din aceleași insule.
Fermat a fost primul care a realizat că toate aceste insule erau interconectate. Iar celebra lui teoremă - Ultima Teoremă a lui Fermat - este o confirmare excelentă a acestui lucru.
Întrucât puțini oameni au gândire matematică, vă voi spune despre cel mai mare descoperire științifică– o dovadă elementară a ultimei teoreme a lui Fermat – în cel mai ușor de înțeles limbajul școlar.
Dovada a fost găsită pentru un caz special (pentru un grad simplu n>2), la care (și în cazul n=4) toate cazurile cu n compus pot fi ușor reduse.
Deci, trebuie să demonstrăm că ecuația A^n=C^n-B^n nu are soluție în numere întregi. (Aici semnul ^ înseamnă grad.)
Demonstrarea se realizează într-un sistem numeric cu bază simplă n. În acest caz, ultimele cifre din fiecare tabelă de înmulțire nu se repetă. În sistemul zecimal obișnuit, situația este diferită. De exemplu, atunci când înmulțiți numărul 2 cu 1 și 6, ambele produse - 2 și 12 - se termină în aceleasi numere(2). Și, de exemplu, în sistemul septenar pentru numărul 2, toate ultimele cifre sunt diferite: 0x2=...0, 1x2=...2, 2x2=...4, 3x2=...6, 4x2 =...1, 5x2=...3, 6x2=...5, cu un set de ultimele cifre 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5.
Datorită acestei proprietăți, pentru orice număr A care nu se termină cu zero (și în egalitatea lui Fermat, ultima cifră a numerelor A, sau B, după împărțirea egalității la divizorul comun al numerelor A, B, C nu este egal cu zero), este posibil să se selecteze un factor g astfel încât numărul Ag să aibă o sfârșit arbitrar lung de forma 000...001. Cu acest număr g înmulțim toate numerele de bază A, B, C în egalitatea lui Fermat. În acest caz, vom face ca unitatea să se termine destul de lungă, și anume cu două cifre mai lungă decât numărul (k) de zerouri de la sfârșitul numărului U=A+B-C.
Numărul U nu este egal cu zero - în caz contrar C=A+B și A^n<(А+В)^n-B^n, т.е. равенство Ферма является неравенством.
Aceasta, de fapt, este toată pregătirea egalității lui Fermat pentru un studiu scurt și final. Singurul lucru pe care îl vom face este să rescriem partea dreaptă a egalității lui Fermat – C^n-B^n – folosind formula de descompunere școlară: C^n-B^n=(C-B)P sau aP. Și deoarece în continuare vom opera (înmulțire și adunare) numai cu cifrele terminațiilor de cifre (k+2) ale numerelor A, B, C, atunci nu putem lua în considerare părțile lor principale și pur și simplu le vom elimina (lăsând un singur fapt în memorie: partea stângă a egalității lui Fermat este o PUTERE).
Singurul lucru care merită menționat sunt ultimele cifre ale numerelor a și P. În egalitatea inițială a lui Fermat, numărul P se termină cu numărul 1. Aceasta rezultă din formula micii teoreme a lui Fermat, care poate fi găsită în cărțile de referință. Și după înmulțirea egalității lui Fermat cu numărul g^n, numărul P se înmulțește cu numărul g până la puterea n-1, care, conform micii teoreme a lui Fermat, se termină și cu numărul 1. Deci, în noua egalitate Fermat echivalentă , numărul P se termină cu 1. Și dacă A se termină cu 1, atunci și A^n se termină cu 1 și, prin urmare, numărul a se termină și cu 1.
Deci, avem o situație de pornire: ultimele cifre A, a, P ale numerelor A, a, P se termină în numărul 1.
Ei bine, atunci începe o operațiune drăguță și fascinantă, numită de preferință „moara”: prin introducerea în considerare a numerelor ulterioare a"", a""" și așa mai departe, numerele a, calculăm extrem de „ușor” că toate sunt de asemenea, egal cu zero, am pus „ușor” între ghilimele, pentru că omenirea nu a putut găsi cheia acestui „ușor” timp de 350 de ani Și cheia s-a dovedit într-adevăr a fi neașteptat și șocant de primitiv: numărul P trebuie reprezentat în! forma P=q^(n-1)+Qn ^(k+2) Nu merită să acordăm atenție celui de-al doilea termen din această sumă - la urma urmei, în demonstrația ulterioară am aruncat toate numerele după (). k+2)-lea în numere (și acest lucru simplifică radical analiza) Deci, după eliminarea părților capului, egalitatea lui Fermat ia forma: ...1=aq^(n-1), unde a și q nu sunt! numere, ci doar terminațiile numerelor a și q!
Ultima întrebare filozofică rămâne: de ce numărul P poate fi reprezentat ca P=q^(n-1)+Qn^(k+2)? Răspunsul este simplu: pentru că orice număr întreg P cu 1 la sfârșit poate fi reprezentat în această formă, și IDENTIC. (Poate fi reprezentat în multe alte moduri, dar nu avem nevoie de asta.) Într-adevăr, pentru P=1 răspunsul este evident: P=1^(n-1). Pentru Р=hn+1, numărul q=(n-h)n+1, care este ușor de verificat prin rezolvarea ecuației [(n-h)n+1]^(n-1)==hn+1 folosind două cifre terminatii. Și așa mai departe (dar nu avem nevoie de calcule suplimentare, deoarece trebuie doar să reprezentăm numere de forma P=1+Qn^t).
Pf! Ei bine, filosofia s-a terminat, puteți trece la calcule la nivelul clasei a doua, poate doar să vă amintiți formula binomială a lui Newton încă o dată.
Deci, să introducem numărul a"" (în numărul a=a""n+1) și să-l folosim pentru a calcula numărul q"" (în numărul q=q""n+1):
...01=(a""n+1)(q""n+1)^(n-1), sau...01=(a""n+1)[(n-q"")n+ 1 ], de unde q""=a"".
Și acum partea dreaptă a egalității lui Fermat poate fi rescrisă ca:
A^n=(a""n+1)^n+Dn^(k+2), unde valoarea numărului D nu ne interesează.
Acum ajungem la concluzia decisivă. Numărul a""n+1 este terminația de două cifre a numărului A și, DECI, conform unei leme simple, determină UNIC a TREIA cifră a gradului A^n. Și mai mult, din expansiunea binomului lui Newton
(a""n+1)^n, ținând cont că fiecărui termen al expansiunii (cu excepția primului, care nu poate schimba vremea!) se adaugă un SIMPLU factor n (baza numerică!), este clar. că această a treia cifră este egală cu un"" . Dar prin înmulțirea egalității lui Fermat cu g^n, am transformat k+1 cifre înainte de ultimul 1 din numărul A în 0. Și, prin urmare, a""=0!!!
Astfel, am finalizat ciclul: după ce am intrat a"", am constatat că q""=a"", iar în final a""=0!
Ei bine, rămâne să spunem că după efectuarea unor calcule complet similare și a următoarelor k cifre, obținem egalitatea finală: terminația (k + 2) de cifre a numărului a, sau C-B, la fel ca și numărul A, este egală. la 1. Dar atunci a (k+2)-a cifră a numărului C-A-B este EGAL cu zero, în timp ce NU este EGAL cu zero!!!
Asta, de fapt, este toată dovada. Pentru a o înțelege, nu este deloc necesar să ai studii superioare și, mai ales, să fii matematician profesionist. Cu toate acestea, profesioniștii rămân tăcuți...
Textul care poate fi citit al dovezii complete se găsește aici:
Recenzii
Salut, Victor. Mi-a placut CV-ul tau. „Nu lăsa să mori înainte de moarte” sună grozav, desigur. Sincer să fiu, am fost uluit de întâlnirea mea cu teorema lui Fermat în proză! Ea este aici? Există site-uri științifice, populare și de ceainice. În rest, mulțumesc pentru munca ta literară.
Salutări, Anya.
Dragă Anya, în ciuda cenzurii destul de stricte, Proza îți permite să scrii DESPRE TOT. Situația cu teorema lui Fermat este următoarea: marile forumuri matematice îi tratează pe fermăștii pe nedrept, cu grosolănie și, în general, îi tratează cât pot de bine. Totuși, am prezentat cea mai recentă versiune a dovezii pe forumuri mici din rusă, engleză și franceză. Nimeni nu a prezentat încă contraargumente și, sunt sigur că nimeni nu va prezenta niciunul (dovezile au fost verificate cu mare atenție). Sâmbătă voi publica o notă filosofică despre teoremă.
Aproape că nu există boieri în proză, iar dacă nu stai cu ei, atunci destul de curând vor cădea.
Aproape toate lucrările mele sunt prezentate în proză, așa că am inclus și dovada aici.
Ne vedem mai târziu,
Nu există mulți oameni în lume care să nu fi auzit niciodată de Ultima Teoremă a lui Fermat - poate aceasta este singura problemă matematică care a devenit atât de cunoscută și a devenit o adevărată legendă. Este menționat în multe cărți și filme, iar contextul principal al aproape tuturor mențiunilor este imposibilitatea demonstrării teoremei.
Da, această teoremă este foarte cunoscută și, într-un fel, a devenit un „idol” adorat de matematicienii amatori și profesioniști, dar puțini oameni știu că dovada ei a fost găsită, iar acest lucru s-a întâmplat în 1995. Dar mai întâi lucrurile.
Deci, Ultima Teoremă a lui Fermat (numită adesea ultima teoremă a lui Fermat), formulată în 1637 de genialul matematician francez Pierre Fermat, este foarte simplă în esență și de înțeles pentru oricine are studii medii. Se spune că formula a la puterea lui n + b la puterea lui n = c la puterea lui n nu are soluții naturale (adică nu fracționale) pentru n > 2. Totul pare simplu și clar, dar cei mai buni matematicieni și amatori obișnuiți s-au luptat cu căutarea unei soluții timp de mai bine de trei secole și jumătate.
De ce este atât de faimoasă? Acum vom afla...
Există multe teoreme dovedite, nedovedite și încă nedovedite? Ideea aici este că Ultima Teoremă a lui Fermat reprezintă cel mai mare contrast între simplitatea formulării și complexitatea demonstrației. Ultima teoremă a lui Fermat este o sarcină incredibil de dificilă și totuși formularea ei poate fi înțeleasă de oricine cu un nivel de clasa a 5-a. liceu, dar dovada nu este nici măcar pentru fiecare matematician profesionist. Nici în fizică, nici în chimie, nici în biologie, nici în matematică, nu există o singură problemă care să poată fi formulată atât de simplu, dar să rămână nerezolvată atât de mult timp. 2. În ce constă?
Să începem cu pantalonii pitagoreici Formularea este foarte simplă - la prima vedere. După cum știm din copilărie, „pantalonii pitagoreici sunt egali din toate părțile”. Problema pare atât de simplă pentru că se baza pe o afirmație matematică pe care toată lumea o cunoaște - teorema lui Pitagora: în orice triunghi dreptunghic, pătratul construit pe ipotenuză este egal cu suma pătratelor construite pe catete.
În secolul al V-lea î.Hr. Pitagora a fondat frăția lui Pitagora. Pitagorei, printre altele, au studiat triplete întregi care satisfac egalitatea x²+y²=z². Au dovedit că există infinit de triple pitagorice și au obținut formule generale pentru a le găsi. Probabil că au încercat să caute trei sau mai mulți grade înalte. Convinși că acest lucru nu a funcționat, pitagoreicii și-au abandonat încercările inutile. Membrii frăției erau mai mult filozofi și esteți decât matematicieni.
Adică, este ușor să selectați un set de numere care să satisfacă perfect egalitatea x²+y²=z²
Pornind de la 3, 4, 5 - într-adevăr, un elev junior înțelege că 9 + 16 = 25.
Sau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Grozav.
Deci, se dovedește că NU sunt. Aici începe trucul. Simplitatea este aparentă, deoarece este dificil să dovedești nu prezența a ceva, ci, dimpotrivă, absența lui. Când trebuie să dovediți că există o soluție, puteți și trebuie să prezentați pur și simplu această soluție.
Demonstrarea absenței este mai dificilă: de exemplu, cineva spune: o astfel de ecuație nu are soluții. Să-l pui într-o băltoacă? usor: bam - si iata, solutia! (dai solutie). Și gata, adversarul este învins. Cum să dovedesc absența?
Spune: „Nu am găsit astfel de soluții”? Sau poate nu arătai bine? Dacă există, doar foarte mari, foarte mari, astfel încât chiar și un computer super-puternic încă nu are suficientă putere? Acesta este ceea ce este dificil.
Acest lucru poate fi arătat vizual astfel: dacă luați două pătrate de dimensiuni adecvate și le dezasamblați în pătrate unitare, atunci din acest grup de pătrate unitare obțineți un al treilea pătrat (Fig. 2): 
Dar să facem același lucru cu a treia dimensiune (Fig. 3) - nu funcționează. Nu sunt suficiente cuburi sau au mai rămas altele:
Dar matematicianul din secolul al XVII-lea, francezul Pierre de Fermat, a studiat cu entuziasm ecuația generală x n + y n = z n. Și în final, am concluzionat: pentru n>2 nu există soluții întregi. Dovada lui Fermat este iremediabil pierdută. Manuscrisele ard! Tot ce rămâne este remarca lui în Aritmetica lui Diofantus: „Am găsit o dovadă cu adevărat uimitoare a acestei propoziții, dar marginile de aici sunt prea înguste pentru a o conține”.
De fapt, o teoremă fără demonstrație se numește ipoteză. Dar Fermat are reputația că nu greșește niciodată. Chiar dacă nu a lăsat dovezi ale unei declarații, aceasta a fost ulterior confirmată. Mai mult, Fermat și-a dovedit teza pentru n=4. Astfel, ipoteza matematicianului francez a intrat în istorie ca Ultima Teoremă a lui Fermat.
După Fermat, minți atât de mari precum Leonhard Euler au lucrat la căutarea unei dovezi (în 1770 a propus o soluție pentru n = 3),
Adrien Legendre și Johann Dirichlet (acești oameni de știință au găsit împreună dovada pentru n = 5 în 1825), Gabriel Lamé (care a găsit demonstrația pentru n = 7) și mulți alții. Pe la mijlocul anilor 1980 a devenit clar că lumea științifică este pe drumul spre soluția finală a ultimei teoreme a lui Fermat, dar abia în 1993 matematicienii au văzut și au crezut că epopeea de trei secole a căutării unei dovezi a ultimei teoreme a lui Fermat s-a încheiat practic.
Se arată cu ușurință că este suficient să se demonstreze teorema lui Fermat doar pentru n simplu: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pentru compusul n, demonstrația rămâne valabilă. Dar există o infinitate de numere prime...
În 1825, folosind metoda lui Sophie Germain, femeile matematiciene, Dirichlet și Legendre au demonstrat independent teorema pentru n=5. În 1839, folosind aceeași metodă, francezul Gabriel Lame a arătat adevărul teoremei pentru n=7. Treptat, teorema a fost demonstrată pentru aproape toți n mai puțin de o sută.
În cele din urmă, matematicianul german Ernst Kummer, într-un studiu strălucit, a arătat că, folosind metodele matematicii din secolul al XIX-lea, teorema în vedere generala nu poate fi dovedit. Premiul Academiei Franceze de Științe, înființat în 1847 pentru demonstrarea teoremei lui Fermat, a rămas neacordat.
În 1907, industriașul german bogat Paul Wolfskehl a decis să-și ia viața din cauza iubirii neîmpărtășite. Ca un adevărat german, a stabilit data și ora sinuciderii: exact la miezul nopții. În ultima zi a făcut testament și a scris scrisori către prieteni și rude. Lucrurile s-au terminat înainte de miezul nopții. Trebuie spus că Paul era interesat de matematică. Neavând altceva de făcut, s-a dus la bibliotecă și a început să citească celebrul articol al lui Kummer. Deodată i se păru că Kummer făcuse o greșeală în raționamentul său. Wolfskel a început să analizeze această parte a articolului cu un creion în mâini. Miezul nopții a trecut, a venit dimineața. Golul din dovadă a fost umplut. Și chiar motivul sinuciderii arăta acum complet ridicol. Paul și-a rupt scrisorile de adio și și-a rescris testamentul.
El a murit curând din cauze naturale. Moștenitorii au fost destul de surprinși: 100.000 de mărci (mai mult de 1.000.000 de lire sterline actuale) au fost transferate în contul Royal. societate științifică Göttingen, care în același an a anunțat un concurs pentru Premiul Wolfskehl. 100.000 de puncte au fost acordate persoanei care a demonstrat teorema lui Fermat. Nici un pfennig nu a fost acordat pentru infirmarea teoremei...
Majoritatea matematicienilor profesioniști au considerat căutarea unei dovezi a ultimei teoreme a lui Fermat o sarcină fără speranță și au refuzat cu hotărâre să piardă timpul cu un exercițiu atât de inutil. Dar amatorii s-au distrat de minune. La câteva săptămâni după anunț, o avalanșă de „dovezi” a lovit Universitatea din Göttingen. Profesorul E.M. Landau, a cărui responsabilitate era să analizeze probele trimise, a împărțit cartonașe elevilor săi:
Dragă. . . . . . . .
Vă mulțumesc că mi-ați trimis manuscrisul cu dovada ultimei teoreme a lui Fermat. Prima eroare este pe pagină... în rând... . Din această cauză, întreaga dovadă își pierde valabilitatea.
Profesorul E. M. Landau
În 1963, Paul Cohen, bazându-se pe descoperirile lui Gödel, a dovedit imposibilitatea uneia dintre cele douăzeci și trei de probleme ale lui Hilbert - ipoteza continuumului. Dacă și Ultima Teoremă a lui Fermat este indecidabilă?! Dar adevărații fanatici ai Marii Teoreme nu au fost deloc dezamăgiți. Apariția computerelor a dat în mod neașteptat matematicienilor noua metoda dovada. După al Doilea Război Mondial, echipe de programatori și matematicieni au demonstrat Ultima Teoremă a lui Fermat pentru toate valorile de la n până la 500, apoi până la 1.000 și mai târziu până la 10.000.
În anii 1980, Samuel Wagstaff a ridicat limita la 25.000, iar în anii 1990, matematicienii au declarat că Ultima Teoremă a lui Fermat era adevărată pentru toate valorile de la n până la 4 milioane. Dar dacă scădeți chiar și un trilion de trilion din infinit, acesta nu va deveni mai mic. Matematicienii nu sunt convinși de statistici. A demonstra Marea Teoremă însemna a o demonstra pentru TOATE n mergând la infinit.
În 1954, doi tineri prieteni matematicieni japonezi au început să cerceteze formele modulare. Aceste forme generează serii de numere, fiecare cu propria sa serie. Din întâmplare, Taniyama a comparat aceste serii cu serii generate de ecuații eliptice. S-au potrivit! Dar formele modulare sunt obiecte geometrice, iar ecuațiile eliptice sunt algebrice. Nicio legătură nu a fost găsită între obiecte atât de diferite.
Cu toate acestea, după o testare atentă, prietenii au înaintat o ipoteză: fiecare ecuație eliptică are un geamăn - o formă modulară și invers. Această ipoteză a devenit fundamentul unei întregi direcții în matematică, dar până când ipoteza Taniyama-Shimura a fost dovedită, întreaga clădire s-ar putea prăbuși în orice moment.
În 1984, Gerhard Frey a arătat că o soluție a ecuației lui Fermat, dacă există, poate fi inclusă într-o ecuație eliptică. Doi ani mai târziu, profesorul Ken Ribet a dovedit că această ecuație ipotetică nu poate avea o contrapartidă în lumea modulară. De acum înainte, Ultima Teoremă a lui Fermat a fost indisolubil legată de conjectura Taniyama-Shimura. După ce am demonstrat că orice curbă eliptică este modulară, concluzionăm că nu există o ecuație eliptică cu o soluție a ecuației lui Fermat, iar Ultima Teoremă a lui Fermat ar fi imediat demonstrată. Dar timp de treizeci de ani nu a fost posibil să se dovedească ipoteza Taniyama-Shimura și au existat din ce în ce mai puține speranțe de succes.
În 1963, când avea doar zece ani, Andrew Wiles era deja fascinat de matematică. Când a aflat despre Marea Teoremă, și-a dat seama că nu poate renunța la ea. Ca școlar, student și student absolvent, el s-a pregătit pentru această sarcină.
După ce a aflat despre descoperirile lui Ken Ribet, Wiles s-a aruncat cu capul năprasnic în demonstrarea ipotezei Taniyama-Shimura. A decis să lucreze în izolare completă si secretul. „Mi-am dat seama că tot ceea ce are de-a face cu Ultima Teoremă a lui Fermat trezește prea mult interes... Prea mulți spectatori interferează evident cu atingerea obiectivului.” Șapte ani de muncă grea au dat roade, Wiles a finalizat în sfârșit dovada conjecturii Taniyama-Shimura.
În 1993, matematicianul englez Andrew Wiles a prezentat lumii dovada ultimei teoreme a lui Fermat (Wiles și-a citit lucrarea senzațională la o conferință la Institutul Sir Isaac Newton din Cambridge.), lucru în care a durat mai bine de șapte ani.
În timp ce hype-ul a continuat în presă, au început lucrări serioase pentru verificarea dovezilor. Fiecare probă trebuie examinată cu atenție înainte ca dovezile să poată fi considerate riguroase și exacte. Wiles a petrecut o vară agitată așteptând feedback de la recenzenți, sperând că va reuși să câștige aprobarea lor. La sfârșitul lunii august, experții au constatat că hotărârea este insuficient fundamentată.
S-a dovedit că această decizie conține o eroare gravă, deși în general este corectă. Wiles nu a renunțat, a apelat la ajutorul celebrului specialist în teoria numerelor Richard Taylor și deja în 1994 au publicat o demonstrație corectată și extinsă a teoremei. Cel mai uimitor lucru este că această lucrare a ocupat până la 130 (!) de pagini în jurnalul de matematică „Annals of Mathematics”. Dar povestea nu s-a încheiat nici aici - punctul final a fost atins abia în anul următor, 1995, când a fost publicată versiunea finală și „ideală”, din punct de vedere matematic, a dovezii.
„...la jumătate de minut după începerea cinei festive cu ocazia zilei ei de naștere, i-am oferit Nadyei manuscrisul dovezii complete” (Andrew Wales). Nu am spus încă că matematicienii sunt oameni ciudați?
De data aceasta nu a existat nicio îndoială cu privire la dovezi. Două articole au fost supuse celei mai atente analize și au fost publicate în mai 1995 în Annals of Mathematics.
A trecut mult timp de la acel moment, dar există încă opinia în societate că Ultima Teoremă a lui Fermat este de nerezolvat. Dar chiar și cei care știu despre dovezile găsite continuă să lucreze în această direcție - puțini sunt mulțumiți că Marea Teoremă necesită o soluție de 130 de pagini!
Prin urmare, acum eforturile multor matematicieni (majoritatea amatori, nu oameni de știință profesioniști) sunt aruncate în căutarea unei dovezi simple și concise, dar această cale, cel mai probabil, nu va duce nicăieri...
sursă
