Οριοθετημένες και απεριόριστες ακολουθίες. Όριο ακολουθίας και συνάρτηση. Οριακά θεωρήματα Γενική σημειογραφία για το όριο των ακολουθιών

Αριθμητική ακολουθία.

Ορισμός. Αν σε κάθε φυσικό αριθμό n εκχωρηθεί ένας αριθμός xn, τότε λέμε ότι ακολουθία

x1, x2, …, xn = (xn)

Κοινό στοιχείοη ακολουθία είναι συνάρτηση του n.

Έτσι μια ακολουθία μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση.

Μπορείτε να καθορίσετε μια ακολουθία με διάφορους τρόπους - το κύριο πράγμα είναι ότι υποδεικνύεται μια μέθοδος για τη λήψη οποιουδήποτε μέλους της ακολουθίας.

Παράδειγμα.(xn) = ((-1)n) ή (xn) = -1; ένας; -ένας; ένας; …

(xn) = (sinpn/2) ή (xn) = 1; 0; ένας; 0; …

Οι ακολουθίες μπορούν να οριστούν ως εξής: επιχειρήσεις:

1) Πολλαπλασιασμός μιας ακολουθίας με έναν αριθμό m: m(xn) = (mxn), δηλαδή mx1, mx2, ...

2) Πρόσθεση (αφαίρεση) ακολουθιών: (xn) ± (yn) = (xn ± yn).

3) Γινόμενο ακολουθιών: (xn)×(yn) = (xn×yn).

4) Ιδιωτικές ακολουθίες: https://pandia.ru/text/78/342/images/image002_181.gif" width="59" height="27 src=">

δηλ. όλα τα μέλη της ακολουθίας ανήκουν στο διάστημα (-M; M).

Ορισμός. οριοθετημένος από ψηλά

Ορισμός. Η ακολουθία (xn) ονομάζεται οριοθετείται από κάτωαν για οποιοδήποτε n υπάρχει ένας αριθμός M τέτοιος ώστε

Παράδειγμα.(xn) = n – οριοθετημένο από κάτω (1, 2, 3, … ).

Ορισμός. Αριθμός έναπου ονομάζεται όριοακολουθία (xn) εάν για οποιοδήποτε θετικό e>0 υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε για όλα τα n > N να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_113.gif" width="67" height="44 src=">.

Έστω https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_83.gif" width="41" height="41"> αληθής για n > N. Αυτό ισχύει για , επομένως, αν πάρουμε ένα ακέραιος για N μέρος του , τότε η παραπάνω πρόταση είναι αληθής.

Παράδειγμα.Δείξτε ότι για n®¥ η ακολουθία 3, έχει όριο 2.

Σύνολο: (xn)= 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Προφανώς, υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός n που https://pandia.ru/text/78/342/images/image011_52.gif" width="76" height="85 src=">

Ας γράψουμε την έκφραση:

Και αφού το e- όποιοςαριθμό, στη συνέχεια https://pandia.ru/text/78/342/images/image014_41.gif" width="61" height="27">.

Απόδειξη. Από xn ® έναακολουθεί ότι. Ταυτοχρονα:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_33.gif" width="83" height="29"> , δηλ. Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Θεώρημα. Αν έναxn ® ένα, μετά η σειρά (xn) είναι περιορισμένο.

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο αντίστροφος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, δηλ. η σύγκλιση της ακολουθίας δεν προκύπτει από το όριο της ακολουθίας.

Για παράδειγμα, η σειρά χωρίς όριο όμως

μονοτονικές ακολουθίες.

Ορισμός. 1) Αν xn+1 > xn για όλα τα n, τότε η ακολουθία αυξάνεται.

2)Αν xn+1 ³ xn για όλα τα n, τότε η ακολουθία δεν είναι φθίνουσα.

3)Αν xn+1< xn для всех n, то последовательность убывающая.

4) Αν xn+1 £ xn για όλα τα n, τότε η ακολουθία δεν είναι αύξουσα

Όλες αυτές οι ακολουθίες ονομάζονται μονότονος.Οι αύξουσες και φθίνουσες ακολουθίες ονομάζονται αυστηρά μονότονη.

Παράδειγμα.(xn) = 1/n – φθίνουσα και περιορισμένη

(xn) = n - αυξανόμενο και απεριόριστο.

Παράδειγμα.Αποδείξτε ότι η ακολουθία (xn)=https://pandia.ru/text/78/342/images/image021_30.gif" width="127" height="41 src=">

Βρείτε το σύμβολο διαφοράς: (xn)-(xn+1)= https://pandia.ru/text/78/342/images/image023_24.gif" width="143" height="44 src=">, δηλ. κ. nnN, τότε ο παρονομαστής είναι θετικός για οποιοδήποτε n.

Έτσι xn+1 > xn. Η σειρά αυξάνεται, κάτι που πρέπει να αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Μάθετε εάν μια ακολουθία είναι αύξουσα ή φθίνουσα

Ας βρούμε . Ας βρούμε τη διαφορά

Από nΟΝ, τότε 1 – 4n<0, т. е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι μονοτονικές ακολουθίες περιορίζονται τουλάχιστον στη μία πλευρά.

Θεώρημα. Μια μονότονη οριοθετημένη ακολουθία έχει ένα όριο.

Απόδειξη. Θεωρήστε μια μονότονη μη φθίνουσα ακολουθία

x1 £ x2 £ x3 £ … £ xn £ xn+1 £…

Αυτή η ακολουθία οριοθετείται από πάνω: xn £ M, όπου M είναι κάποιος αριθμός.

Δεδομένου ότι κάθε αριθμητικό σύνολο που οριοθετείται από πάνω έχει ένα σαφές άνω όριο, τότε για οποιοδήποτε e>0 υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε xN > a - e, όπου a είναι κάποιο επάνω πρόσωποσκηνικά.

Εφόσον η (xn) είναι μια μη φθίνουσα ακολουθία, τότε για N > n a - e< xN £ xn,

Από εδώ ένα - ε< xn < a + e

μι< xn – a < e или ôxn - aô< e, т. е. lim xn = a.

Για άλλες μονότονες ακολουθίες, η απόδειξη είναι παρόμοια.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Αριθμός ε.

Θεωρήστε την ακολουθία (xn) = .

Εάν μια ακολουθία (xn) είναι μονότονη και οριοθετημένη, τότε έχει ένα πεπερασμένο όριο.

Σύμφωνα με τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα:

ή τι είναι το ίδιο

https://pandia.ru/text/78/342/images/image031_19.gif" width="633" height="93 src="> Κάθε όρος στην παράσταση xn+1 είναι μεγαλύτερος από την αντίστοιχη τιμή xn, και , επιπλέον, το xn+1 έχει έναν ακόμη θετικό όρο που έχει προστεθεί, άρα η ακολουθία (xn) αυξάνεται.

Ας αποδείξουμε τώρα ότι για οποιοδήποτε n οι όροι του δεν υπερβαίνουν τους τρεις: xn< 3.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image033_17.gif" width="76" height="56">- μονότονα αυξάνεται και οριοθετείται από πάνω, δηλαδή έχει ένα πεπερασμένο όριο. Αυτό το όριο συνήθως υποδηλώνεται γράμμα ε.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image035_15.gif" width="83" height="49"> προκύπτει ότι e 3 £. Απόρριψη ως προς την ισότητα για (xn) όλα τα μέλη ξεκινώντας από την τέταρτη , έχουμε:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image037_13.gif" width="99" height="41 src=">

Έτσι, ο αριθμός e βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 2.5 και 3. Αν πάρουμε μεγάλη ποσότηταόρους της σειράς, τότε μπορούμε να πάρουμε μια πιο ακριβή εκτίμηση της τιμής του αριθμού e.

Μπορεί να φανεί ότι ο αριθμός e είναι παράλογος και η τιμή του είναι 2,71828 ...

Ομοίως, μπορεί κανείς να το δείξει , επεκτείνοντας τις απαιτήσεις για το x σε οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό:

Υποθέτω:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image041_12.gif" width="152" height="41 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image043_11.gif" width="484" height="49">

Ο αριθμός e είναι η βάση φυσικός λογάριθμος.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image045_9.gif" width="202" height="188 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_9.gif" width="253 height=41" height="41">, όπου М = 1/ln10» 0.43429… είναι η μονάδα μετάβασης.

Όριο συνάρτησης σε σημείο.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Έστω ότι η συνάρτηση f(x) ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου x = a (δηλαδή, στο σημείο x = a η ίδια, η συνάρτηση μπορεί να μην ορίζεται)

Ορισμός. Ο αριθμός Α ονομάζεται όριοσυνάρτηση f(x) για x®a εάν για οποιοδήποτε e>0 υπάρχει αριθμός D>0 τέτοιος ώστε για όλα τα x έτσι ώστε

0 < ïx - aï < D

η ανισότητα ïf(x) - Aï< e.

Ο ίδιος ορισμός μπορεί να γραφτεί με διαφορετική μορφή:

Αν α - Δ< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Γράφοντας το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο:

Ορισμός. Αν f(x) ® A1 για x ® a μόνο για x< a, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image051_7.gif" width="101" height="29 src=">που ονομάζεται όριοσυνάρτηση f(x) στο σημείο x = a στα δεξιά.

στο

Ο παραπάνω ορισμός αναφέρεται στην περίπτωση που η συνάρτηση f(x) δεν ορίζεται στο σημείο x = a ίδια, αλλά ορίζεται σε κάποια αυθαίρετα μικρή γειτονιά αυτού του σημείου.

Τα όρια Α1 και Α2 ονομάζονται επίσης μονομερή όριασυναρτήσεις f(x) στο σημείο x = a. Λέγεται επίσης ότι ο Α τελικό όριοσυναρτήσεις f(x).

Το όριο μιας συνάρτησης καθώς το όρισμα τείνει στο άπειρο.

Ορισμός. Ο αριθμός Α ονομάζεται όριοσυνάρτηση f(x) για x®¥, αν για οποιονδήποτε αριθμό e>0 υπάρχει ένας αριθμός M>0 τέτοιος ώστε για όλα τα x, ïxï>M η ανίσωση

https://pandia.ru/text/78/342/images/image054_9.gif" width="89" height="29 src=">

Γραφικά, μπορείτε να αναπαραστήσετε:

y y

Ομοίως, μπορείτε να ορίσετε όρια https://pandia.ru/text/78/342/images/image065_7.gif" width="92" height="29"> για οποιοδήποτε x

Βασικά θεωρήματα για τα όρια.

Θεώρημα 1. , όπου C = συνεχ.

Τα παρακάτω θεωρήματα ισχύουν με την υπόθεση ότι οι συναρτήσεις f(x) και g(x) έχουν πεπερασμένα όρια ως x®a.

Θεώρημα 2.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος θα δοθεί παρακάτω.

Θεώρημα 3.

Συνέπεια. https://pandia.ru/text/78/342/images/image070_5.gif" width="135" height="57"> όταν

Θεώρημα 5. Αν έναφά(Χ)>0 κοντά στο σημείο x = a και , μετά A>0.

Το οριακό πρόσημο για f(x)< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Θεώρημα 6. Αν ένασολ(Χ) £ φά(Χ) £ u(Χ) κοντά στο σημείο x = a και https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_5.gif" width="53" height="29 src=">.

Ορισμός. Καλείται η συνάρτηση f(x). περιορισμένοςκοντά στο σημείο x = a αν υπάρχει αριθμός M>0 τέτοιος ώστε ïf(x)ï

Θεώρημα 7. Εάν η συνάρτησηφά(Χ) έχει πεπερασμένο όριο στο x® a, τότε οριοθετείται κοντά στο σημείο x = a.

Απόδειξη. Ας, δηλαδή, τότε

https://pandia.ru/text/78/342/images/image076_5.gif" width="96" height="27 src=">, π.χ.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image078_6.gif" width="84" height="29">.

Μια συνάρτηση μπορεί να είναι απείρως μικρή μόνο αν καθορίσετε σε ποιον αριθμό τείνει το όρισμα x. Για διάφορες τιμές του a, η συνάρτηση μπορεί να είναι ή να μην είναι απειροελάχιστη.

Παράδειγμα.Η συνάρτηση f(x) = xn είναι απειροελάχιστη για x®0 και δεν είναι απειροελάχιστη για x®1, αφού .

Θεώρημα. Για τη συνάρτησηφά(Χ) στο x® το α είχε όριο ίσο με το Α, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι κοντά στο σημείο x = a η συνθήκη

φά(Χ) = ΕΝΑ + ένα(Χ),

όπουέναΤο (x) είναι απείρως μικρό στο x® ένα (ένα(Χ)® 0 στο x® ένα).

Ιδιότητες απειροελάχιστων συναρτήσεων:

1) Το άθροισμα ενός σταθερού αριθμού απειροελάχιστων συναρτήσεων ως x®a είναι επίσης απειροελάχιστη συνάρτηση ως x®a.

2) Το γινόμενο ενός σταθερού αριθμού απειροελάχιστων συναρτήσεων ως x®a είναι επίσης απειροελάχιστη συνάρτηση ως x®a.

3) Το γινόμενο μιας απειροελάχιστης συνάρτησης και μιας συνάρτησης που οριοθετείται κοντά στο σημείο x = a είναι μια απειροελάχιστη συνάρτηση ως x®a.

4) Το πηλίκο της διαίρεσης μιας απειροελάχιστης συνάρτησης με μια συνάρτηση της οποίας το όριο δεν είναι ίσο με μηδέν είναι ένα απειροελάχιστο μέγεθος.

Χρησιμοποιώντας την έννοια των απειροελάχιστων συναρτήσεων, παρουσιάζουμε την απόδειξη ορισμένων θεωρημάτων για τα όρια που δίνονται παραπάνω.

Απόδειξη του Θεωρήματος 2. Φανταστείτε f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), όπου

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(x) + b(x) είναι απειροελάχιστο, άρα

https://pandia.ru/text/78/342/images/image080_5.gif" width="185" height="29">, στη συνέχεια

https://pandia.ru/text/78/342/images/image083_5.gif" width="369" height="29 src=">

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Οι απείρως μεγάλες συναρτήσεις και η σχέση τους με

απείρως μικρό.

Ορισμός. Το όριο της συνάρτησης f(x) στο x®a, όπου a είναι ένας αριθμός, ισοδυναμεί με άπειροαν για οποιονδήποτε αριθμό M>0 υπάρχει αριθμός D>0 τέτοιος ώστε η ανίσωση

ισχύει για όλα τα x που ικανοποιούν την συνθήκη

0 < ïx - aï < D

Ηχογραφήθηκε https://pandia.ru/text/78/342/images/image085_4.gif" width="100" height="29 src=">

και αν το αντικαταστήσουμε με f(x)

Ορισμός. Η συνάρτηση καλείται απείρως μεγάλομε x®a, όπου το a είναι chosli ή μία από τις τιμές ¥, +¥ ή -¥, εάν https://pandia.ru/text/78/342/images/image088_5.gif" width="100" height=" 44 src=">

Σύγκριση απειροελάχιστων συναρτήσεων.

Έστω a(х), b(х) και g(х) απειροελάχιστες συναρτήσεις ως x ® a. Θα συμβολίσουμε αυτές τις συναρτήσεις με a, b και g, αντίστοιχα. Αυτές οι απειροελάχιστες συναρτήσεις μπορούν να συγκριθούν με το ρυθμό μείωσής τους, δηλαδή με το ρυθμό της τάσης τους στο μηδέν.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = x10 τείνει στο μηδέν πιο γρήγορα από τη συνάρτηση f(x) = x.

Ορισμός. Αν , τότε καλείται η συνάρτηση a απειροελάχιστη ανώτερη τάξηαπό τη συνάρτηση β.

Ορισμός. Αν ένα , τότε λέγονται τα α και β απειροελάχιστα της ίδιας τάξης.

Ορισμός. Αν τότε καλούνται οι συναρτήσεις a και b ισοδύναμο με απειροελάχιστο. Γράψτε ένα ~ β.

Παράδειγμα.Ας συγκρίνουμε τις απειροελάχιστες συναρτήσεις f(x) = x10 και f(x) = x ως x®0.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image093_5.gif" width="51" height="45 src="> είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό.

Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορούν να συγκριθούν όλες οι απειροελάχιστες συναρτήσεις μεταξύ τους..gif" width="127" height="21">.gif" width="132" height="41">.gif" width ="79 "height="45 src=">

2) Αν a ~ b και b ~ g, τότε a ~ g,

3) Αν a ~ b, τότε b ~ a,

4) Αν a ~ a1 και b ~ b1 και , τότε και ή .

Συνέπεια:α) εάν a ~ a1 και https://pandia.ru/text/78/342/images/image105_5.gif" width="101" height="45 src=">

β) εάν b ~ b1 και https://pandia.ru/text/78/342/images/image106_5.gif" width="101" height="45 src=">

Η ιδιότητα 4 είναι ιδιαίτερα σημαντική στην πράξη, αφού στην πραγματικότητα σημαίνει ότι το όριο του λόγου των απειροελάχιστων δεν αλλάζει όταν αντικαθίστανται από ισοδύναμα απειροελάχιστα. Αυτό το γεγονός καθιστά δυνατή, κατά την εύρεση ορίων, την αντικατάσταση απειροελάχιστων συναρτήσεων με ισοδύναμες συναρτήσεις, κάτι που μπορεί να απλοποιήσει σημαντικά τον υπολογισμό των ορίων.

Παράδειγμα.Βρείτε το όριο

Εφόσον tg5x ~ 5x και sin7x ~ 7x στο x ® 0, τότε, αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις με ισοδύναμες απειροελάχιστες, παίρνουμε:

https://pandia.ru/text/78/342/images/image109_5.gif" width="83" height="44 src=">.

Αφού 1 – cosx = στο x®0, στη συνέχεια https://pandia.ru/text/78/342/images/image112_5.gif" width="159" height="41">

Εάν τα a και b είναι απειροελάχιστα για το x®a και το b είναι απειροελάχιστο υψηλότερης τάξης από το a, τότε το g = a + b είναι απειροελάχιστο, ισοδύναμο με a..gif" width="256" height="44 src = ">.

Μερικά υπέροχα όρια.

Το πρώτο υπέροχο όριο. , όπου P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an,

Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm είναι πολυώνυμα.

https://pandia.ru/text/78/342/images/image117_5.gif" width="173" height="83 src=">

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………………3

1.Θεωρητικό μέρος…………………………………………………………………….4

Βασικές έννοιες και όροι………………………………………………….4

1.1 Τύποι ακολουθιών…………………………………………………………………………

1.1.1. Ακολουθίες περιορισμένου και απεριόριστου αριθμού…..6

1.1.2. Μονοτονία αλληλουχιών………………………………………………6

1.1.3.Απειροελάχιστες και απειροελάχιστες ακολουθίες…….7

1.1.4 Ιδιότητες απειροελάχιστων ακολουθιών………………………8

1.1.5 Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες ακολουθίες και οι ιδιότητές τους...9

1.2 Όριο ακολουθίας……………………………………………………….11

1.2.1. Θεωρήματα για τα όρια των ακολουθιών………………………………………………………………………………………………………………………………………

1.3.Αριθμητική πρόοδος………………………………………………………………17

1.3.1. Ιδιότητες αριθμητικής προόδου………………………………………..17

1.4 Γεωμετρική πρόοδος………………………………………………………..19

1.4.1. Ιδιότητες γεωμετρικής προόδου………………………………………….19

1.5. Αριθμοί Fibonacci…………………………………………………………………..21

1.5.1 Σύνδεση αριθμών Fibonacci με άλλους τομείς γνώσης……………………….22

1.5.2. Χρήση μιας σειράς αριθμών Fibonacci για την περιγραφή της έμψυχης και άψυχης φύσης………………………………………………………………………………………….23

2. Ίδια έρευνα…………………………………………………….28

Συμπέρασμα………………………………………………………………………….30

Κατάλογος χρησιμοποιούμενης βιβλιογραφίας…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Εισαγωγή.

Οι ακολουθίες αριθμών είναι πολύ ενδιαφέρουσες και εκπαιδευτικό θέμα. Αυτό το θέμα βρίσκεται σε εργασίες αυξημένης πολυπλοκότητας, που προσφέρονται στους μαθητές από τους συγγραφείς. διδακτικό υλικό, σε προβλήματα μαθηματικών Ολυμπιάδων, εισαγωγικές εξετάσειςπρος Ανώτερο Εκπαιδευτικά ιδρύματακαι στις εξετάσεις. Ενδιαφέρομαι να μάθω τη σύνδεση των μαθηματικών ακολουθιών με άλλα γνωστικά πεδία.

Στόχος ερευνητικό έργο: Επεκτείνετε τη γνώση της ακολουθίας αριθμών.

1. Εξετάστε τη σειρά.

2. Εξετάστε τις ιδιότητές του.

3. Εξετάστε την αναλυτική εργασία της ακολουθίας.

4. Να επιδείξει το ρόλο της στην ανάπτυξη άλλων γνωστικών τομέων.

5. Δείξτε τη χρήση μιας σειράς αριθμών Fibonacci για να περιγράψετε έμψυχη και άψυχη φύση.

1. Θεωρητικό μέρος.

Βασικές έννοιες και όροι.

Ορισμός. Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια συνάρτηση της μορφής y = f(x), x О N, όπου N είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών (ή συνάρτηση ενός φυσικού ορίσματος), που συμβολίζεται με y = f(n) ή y1, y2, …, ε,…. Οι τιμές y1, y2, y3,… ονομάζονται αντίστοιχα πρώτο, δεύτερο, τρίτο, … μέλη της ακολουθίας.

Ο αριθμός a ονομάζεται όριο της ακολουθίας x = (x n ) εάν για έναν αυθαίρετο προκαθορισμένο αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό ε υπάρχει τέτοιος φυσικός αριθμός N τέτοιο ώστε για όλα τα n>N η ανίσωση |x n - a|< ε.

Εάν ο αριθμός a είναι το όριο της ακολουθίας x \u003d (x n), τότε λένε ότι το x n τείνει στο a και γράφουν

.

Μια ακολουθία (yn) ονομάζεται αύξουσα αν κάθε μέλος της (εκτός από το πρώτο) είναι μεγαλύτερο από το προηγούμενο:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Μια ακολουθία (yn) ονομάζεται φθίνουσα αν κάθε μέλος της (εκτός από το πρώτο) είναι μικρότερο από το προηγούμενο:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > ….

Οι αύξουσες και φθίνουσες ακολουθίες ενώνονται με έναν κοινό όρο - μονοτονικές ακολουθίες.

Μια ακολουθία ονομάζεται περιοδική εάν υπάρχει ένας φυσικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε, ξεκινώντας από κάποιο n, ισχύει η ισότητα yn = yn+T. Ο αριθμός Τ ονομάζεται μήκος περιόδου.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία (an) στην οποία κάθε μέλος, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το άθροισμαο προηγούμενος όρος και ο ίδιος αριθμός d ονομάζεται αριθμητική πρόοδος και ο αριθμός d ονομάζεται διαφορά μιας αριθμητικής προόδου.

Έτσι, μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία (an) που δίνεται αναδρομικά από τις σχέσεις

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία όλα τα μέλη είναι μη μηδενικά και κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, προκύπτει από το προηγούμενο μέλος πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο αριθμό q.

Με αυτόν τον τρόπο, γεωμετρική πρόοδοςείναι μια αριθμητική ακολουθία (bn) που δίνεται αναδρομικά από τις σχέσεις

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Τύποι ακολουθιών.

1.1.1 Οριοθετημένες και απεριόριστες ακολουθίες.

Μια ακολουθία (bn) λέγεται ότι είναι οριοθετημένη από πάνω εάν υπάρχει ένας αριθμός M τέτοιος ώστε για οποιονδήποτε αριθμό n να ικανοποιείται η ανισότητα bn≤ M.

Μια ακολουθία (bn) λέγεται ότι είναι οριοθετημένη από κάτω εάν υπάρχει ένας αριθμός M τέτοιος ώστε για οποιονδήποτε αριθμό n να ικανοποιείται η ανισότητα bn≥ M.

Για παράδειγμα:

1.1.2 Μονοτονία αλληλουχιών.

Μια ακολουθία (bn) ονομάζεται μη αυξανόμενη (μη φθίνουσα) εάν για οποιονδήποτε αριθμό n η ανισότητα bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) είναι αληθής.

Μια ακολουθία (bn) ονομάζεται φθίνουσα (αύξουσα) αν για οποιονδήποτε αριθμό n η ανισότητα bn > bn+1 (bn

Οι φθίνουσες και αυξανόμενες ακολουθίες ονομάζονται αυστηρά μονότονες, μη αυξανόμενες - μονοτονικές με την ευρεία έννοια.

Οι ακολουθίες που οριοθετούνται τόσο από πάνω όσο και από κάτω ονομάζονται περιορισμένες.

Η ακολουθία όλων αυτών των τύπων ονομάζεται μονοτονική.

1.1.3 Απεριόριστες μεγάλες και μικρές ακολουθίες.

Μια απειροελάχιστη ακολουθία είναι μια αριθμητική συνάρτηση ή ακολουθία που τείνει στο μηδέν.

Μια ακολουθία an ονομάζεται απειροελάχιστη αν

Μια συνάρτηση ονομάζεται απειροελάχιστη σε μια γειτονιά του σημείου x0 εάν ℓimx→x0 f(x)=0.

Μια συνάρτηση ονομάζεται απειροελάχιστη στο άπειρο εάν ℓimx→.+∞ f(x)=0 ή ℓimx→-∞ f(x)=0

Επίσης απειροελάχιστη είναι μια συνάρτηση που είναι η διαφορά μεταξύ μιας συνάρτησης και του ορίου της, δηλαδή αν ℓimx→.+∞ f(x)=α, τότε f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

Μια απείρως μεγάλη ακολουθία είναι μια αριθμητική συνάρτηση ή ακολουθία που τείνει στο άπειρο.

Μια ακολουθία an ονομάζεται απείρως μεγάλη αν

ℓimn→0 an=∞.

Μια συνάρτηση ονομάζεται άπειρη σε μια γειτονιά ενός σημείου x0 αν ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Μια συνάρτηση λέγεται ότι είναι απείρως μεγάλη στο άπειρο αν

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ ή ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Ιδιότητες απειροελάχιστων ακολουθιών.

Το άθροισμα δύο απειροελάχιστων ακολουθιών είναι από μόνο του μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Η διαφορά δύο απειροελάχιστων ακολουθιών είναι από μόνη της μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Το αλγεβρικό άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού απειροελάχιστων ακολουθιών είναι από μόνο του μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Το γινόμενο μιας οριοθετημένης ακολουθίας και μιας απειροελάχιστης ακολουθίας είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Το γινόμενο οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού απειροελάχιστων ακολουθιών είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία.

Οποιαδήποτε απειροελάχιστη ακολουθία είναι οριοθετημένη.

Εάν η ακίνητη ακολουθία είναι απείρως μικρή, τότε όλα τα στοιχεία της, ξεκινώντας από μερικά, είναι ίσα με μηδέν.

Αν ολόκληρη η απειροελάχιστη ακολουθία αποτελείται από τα ίδια στοιχεία, τότε αυτά τα στοιχεία είναι μηδενικά.

Εάν η (xn) είναι μια απείρως μεγάλη ακολουθία που δεν περιέχει μηδενικούς όρους, τότε υπάρχει μια ακολουθία (1/xn) που είναι απειροελάχιστη. Εάν, ωστόσο, το (xn) περιέχει μηδενικά στοιχεία, τότε η ακολουθία (1/xn) μπορεί ακόμα να οριστεί ξεκινώντας από κάποιο αριθμό n και θα εξακολουθεί να είναι απειροελάχιστη.

Εάν το (an) είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία που δεν περιέχει μηδενικούς όρους, τότε υπάρχει μια ακολουθία (1/an) που είναι απείρως μεγάλη. Εάν, ωστόσο, το (an) περιέχει μηδενικά στοιχεία, τότε η ακολουθία (1/an) μπορεί ακόμα να οριστεί ξεκινώντας από κάποιον αριθμό n και θα εξακολουθεί να είναι απείρως μεγάλη.

1.1.5 Συγκλίνουσες και αποκλίνουσες ακολουθίες και οι ιδιότητές τους.

Μια συγκλίνουσα ακολουθία είναι μια ακολουθία στοιχείων του συνόλου X που έχει ένα όριο σε αυτό το σύνολο.

Μια αποκλίνουσα ακολουθία είναι μια ακολουθία που δεν είναι συγκλίνουσα.

Κάθε απειροελάχιστη ακολουθία είναι συγκλίνουσα. Το όριο του είναι μηδέν.

Η αφαίρεση οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού στοιχείων από μια άπειρη ακολουθία δεν επηρεάζει ούτε τη σύγκλιση ούτε το όριο αυτής της ακολουθίας.

Οποιαδήποτε συγκλίνουσα ακολουθία είναι οριοθετημένη. Ωστόσο, δεν συγκλίνει κάθε οριοθετημένη ακολουθία.

Αν η ακολουθία (xn) συγκλίνει, αλλά δεν είναι απείρως μικρή, τότε, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό, ορίζεται η ακολουθία (1/xn), η οποία είναι οριοθετημένη.

Το άθροισμα των συγκλίνουσων ακολουθιών είναι επίσης συγκλίνουσα ακολουθία.

Η διαφορά των συγκλίνουσων ακολουθιών είναι επίσης συγκλίνουσα ακολουθία.

Το γινόμενο των συγκλίνουσων ακολουθιών είναι επίσης μια συγκλίνουσα ακολουθία.

Το πηλίκο δύο συγκλίνουσων ακολουθιών ορίζεται ξεκινώντας από κάποιο στοιχείο, εκτός αν η δεύτερη ακολουθία είναι απειροελάχιστη. Αν οριστεί το πηλίκο δύο συγκλίνουσων ακολουθιών, τότε είναι συγκλίνουσα ακολουθία.

Εάν μια συγκλίνουσα ακολουθία οριοθετείται παρακάτω, τότε κανένα από τα κάτω όριά της δεν υπερβαίνει το όριό της.

Εάν μια συγκλίνουσα ακολουθία οριοθετείται από πάνω, τότε το όριό της δεν υπερβαίνει κανένα από τα άνω όριά της.

Αν για οποιονδήποτε αριθμό οι όροι μιας συγκλίνουσας ακολουθίας δεν υπερβαίνουν τους όρους μιας άλλης συγκλίνουσας ακολουθίας, τότε το όριο της πρώτης ακολουθίας επίσης δεν υπερβαίνει το όριο της δεύτερης.

Ορισμός ορίων ακολουθίας και συνάρτησης, ιδιότητες ορίων, πρώτο και δεύτερο αξιοσημείωτα όρια, παραδείγματα.

σταθερός αριθμός έναπου ονομάζεται όριο ακολουθίες(x n) εάν για οποιονδήποτε αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό ε > 0 υπάρχει ένας αριθμός N τέτοιος ώστε όλες οι τιμές x n, για τα οποία n>N, ικανοποιούν την ανισότητα

Γράψτε το ως εξής: ή x n → a.

Η ανισότητα (6.1) είναι ισοδύναμη με τη διπλή ανισότητα

α - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, ξεκινώντας από κάποιο αριθμό n>N, βρίσκονται μέσα στο διάστημα (a-ε , a+ε), δηλ. πέφτουν σε οποιαδήποτε μικρή ε-γειτονιά του σημείου ένα.

Μια ακολουθία που έχει ένα όριο ονομάζεται συγκλίνοντας, σε διαφορετική περίπτωση - αποκλίνων.

Η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης είναι μια γενίκευση της έννοιας του ορίου μιας ακολουθίας, αφού το όριο μιας ακολουθίας μπορεί να θεωρηθεί ως το όριο της συνάρτησης x n = f(n) ενός ακέραιου ορίσματος n.

Έστω μια συνάρτηση f(x) και έστω ένα - οριακό σημείοτο πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης D(f), δηλ. ένα τέτοιο σημείο, οποιαδήποτε γειτονιά του περιέχει σημεία του συνόλου D(f) διαφορετικά από ένα. Τελεία έναμπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο σύνολο D(f).

Ορισμός 1.Ο σταθερός αριθμός Α καλείται όριο λειτουργίες f(x) στο x→ a if για οποιαδήποτε ακολουθία (x n ) τιμών ορίσματος που τείνουν σε ένα, οι αντίστοιχες ακολουθίες (f(x n)) έχουν το ίδιο όριο Α.

Αυτός ο ορισμός ονομάζεται ορίζοντας το όριο μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Heine,ή " στη γλώσσα των ακολουθιών”.

Ορισμός 2. Ο σταθερός αριθμός Α καλείται όριο λειτουργίες f(x) στο x→a αν, με δεδομένο έναν αυθαίρετο, αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό ε, μπορεί κανείς να βρει δ >0 (ανάλογα με το ε) τέτοιο ώστε για όλους Χ, που βρίσκεται στην ε-γειτονιά του αριθμού ένα, δηλ. Για Χικανοποιώντας την ανισότητα
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Αυτός ο ορισμός ονομάζεται ορίζοντας το όριο μιας συνάρτησης σύμφωνα με τον Cauchy,ή «στη γλώσσα ε - δ"

Οι ορισμοί 1 και 2 είναι ισοδύναμοι. Αν η συνάρτηση f(x) ως x → a έχει όριοίσο με Α, αυτό γράφεται ως

Στην περίπτωση που η ακολουθία (f(xn)) αυξάνεται (ή μειώνεται) επ' αόριστον για οποιαδήποτε μέθοδο προσέγγισης Χστα όριά σου ένα, τότε θα πούμε ότι έχει η συνάρτηση f(x). άπειρο όριο,και γράψε το ως:

Καλείται μια μεταβλητή (δηλαδή μια ακολουθία ή συνάρτηση) της οποίας το όριο είναι μηδέν απείρως μικρό.

Μια μεταβλητή της οποίας το όριο είναι ίσο με το άπειρο ονομάζεται απείρως μεγάλο.

Για να βρείτε το όριο στην πράξη, χρησιμοποιήστε τα παρακάτω θεωρήματα.

Θεώρημα 1 . Αν υπάρχει κάθε όριο

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Σχόλιο. Οι εκφράσεις της μορφής 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ είναι αόριστες, για παράδειγμα, ο λόγος δύο απειροελάχιστων ή απείρως μεγάλων ποσοτήτων και η εύρεση ενός ορίου αυτού του είδους ονομάζεται «αποκάλυψη αβεβαιότητας».

Θεώρημα 2.

εκείνοι. είναι δυνατόν να περάσει στο όριο στη βάση του βαθμού σε σταθερό εκθέτη, ιδίως,

Θεώρημα 3.

(6.11)

όπου μι» Το 2.7 είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου. Οι τύποι (6.10) και (6.11) ονομάζονται το πρώτο αξιοσημείωτο όριο και το δεύτερο αξιοσημείωτο όριο.

Τα συμπεράσματα του τύπου (6.11) χρησιμοποιούνται επίσης στην πράξη:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ιδίως το όριο

Αν x → a και ταυτόχρονα x > a, τότε γράψτε x →a + 0. Εάν, συγκεκριμένα, a = 0, τότε γράψτε +0 αντί για το σύμβολο 0+0. Ομοίως, αν x→a και ταυτόχρονα x και ονομάζονται ανάλογα. σωστό όριοκαι αριστερό όριο λειτουργίες f(x) στο σημείο ένα. Για να υπάρχει το όριο της συνάρτησης f(x) ως x→ a, είναι απαραίτητο και αρκετό . Καλείται η συνάρτηση f(x). συνεχής στο σημείο x 0 εάν το όριο

(6.15)

Η συνθήκη (6.15) μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

δηλαδή η μετάβαση στο όριο κάτω από το πρόσημο μιας συνάρτησης είναι δυνατή αν είναι συνεχής σε ένα δεδομένο σημείο.

Αν παραβιαστεί η ισότητα (6.15), τότε το λέμε στο x = xo λειτουργία f(x) Εχει χάσμα.Θεωρήστε τη συνάρτηση y = 1/x. Ο τομέας αυτής της συνάρτησης είναι το σύνολο R, εκτός από το x = 0. Το σημείο x = 0 είναι οριακό σημείο του συνόλου D(f), αφού σε οποιαδήποτε γειτονιά του, δηλ. Κάθε ανοιχτό διάστημα που περιέχει το σημείο 0 περιέχει σημεία από το D(f), αλλά δεν ανήκει σε αυτό το σύνολο. Η τιμή f(x o)= f(0) δεν έχει οριστεί, άρα η συνάρτηση έχει ασυνέχεια στο σημείο x o = 0.

Καλείται η συνάρτηση f(x). συνεχής στα δεξιά σε ένα σημείο x o εάν όριο

και συνεχής στα αριστερά σε ένα σημείο x o εάν όριο

Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο x oισοδυναμεί με τη συνέχειά του σε αυτό το σημείο και στα δεξιά και στα αριστερά.

Για να είναι μια συνάρτηση συνεχής σε ένα σημείο x o, για παράδειγμα, στα δεξιά, είναι απαραίτητο, πρώτον, να υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο και δεύτερον, αυτό το όριο να είναι ίσο με f(x o). Επομένως, εάν τουλάχιστον μία από αυτές τις δύο προϋποθέσεις δεν πληρούται, τότε η συνάρτηση θα έχει κενό.

1. Αν το όριο υπάρχει και δεν είναι ίσο με f(x o), τότε λένε ότι λειτουργία f(x) στο σημείο xo έχει διάλειμμα πρώτου είδους,ή άλμα.

2. Αν το όριο είναι +∞ ή -∞ ή δεν υπάρχει, τότε λένε ότι μέσα σημείο x o η συνάρτηση έχει διάλειμμα δεύτερο είδος.

Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = ctg x ως x → +0 έχει όριο ίσο με +∞ , που σημαίνει ότι στο σημείο x=0 έχει ασυνέχεια του δεύτερου είδους. Συνάρτηση y = E(x) (ακέραιο μέρος του Χ) σε σημεία με ακέραια τετμημένα έχει ασυνέχειες πρώτου είδους, ή άλματα.

Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος ονομάζεται συνεχήςσε . Μια συνεχής συνάρτηση αντιπροσωπεύεται από μια συμπαγή καμπύλη.

Πολλά προβλήματα που σχετίζονται με τη συνεχή αύξηση κάποιας ποσότητας οδηγούν στο δεύτερο αξιοσημείωτο όριο. Τέτοια καθήκοντα, για παράδειγμα, περιλαμβάνουν: την αύξηση της συνεισφοράς σύμφωνα με το νόμο του σύνθετου τόκου, την αύξηση του πληθυσμού της χώρας, τη διάσπαση μιας ραδιενεργής ουσίας, τον πολλαπλασιασμό των βακτηρίων κ.λπ.

Σκεφτείτε παράδειγμα Ya. I. Perelman, που δίνει την ερμηνεία του αριθμού μιστο πρόβλημα του ανατοκισμού. Αριθμός μιυπάρχει ένα όριο . Στα ταμιευτήρια, τα χρήματα από τόκους προστίθενται στο πάγιο κεφάλαιο ετησίως. Εάν η σύνδεση γίνεται πιο συχνά, τότε το κεφάλαιο αυξάνεται ταχύτερα, αφού μεγάλο ποσό εμπλέκεται στη διαμόρφωση των τόκων. Ας πάρουμε ένα καθαρά θεωρητικό, εξαιρετικά απλουστευμένο παράδειγμα. Ας βάλει η τράπεζα 100 den. μονάδες σε ποσοστό 100% ετησίως. Εάν τα έντοκα χρήματα προστεθούν στο πάγιο κεφάλαιο μόνο μετά από ένα χρόνο, τότε μέχρι αυτή τη φορά 100 den. μονάδες θα μετατραπεί σε 200 den. Τώρα ας δούμε σε τι θα μετατραπούν τα 100 den. μονάδες, εάν κάθε εξάμηνο προστίθενται χρήματα από τόκους στο πάγιο κεφάλαιο. Μετά από μισό χρόνο 100 ντεν. μονάδες θα αυξηθεί κατά 100 × 1,5 = 150 και σε άλλους έξι μήνες - κατά 150 × 1,5 = 225 (χρηματικές μονάδες). Αν η ένταξη γίνεται κάθε 1/3 του έτους, τότε μετά από ένα χρόνο 100 δεν. μονάδες θα μετατραπεί σε 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (δεν. μονάδες). Θα αυξήσουμε το χρονικό πλαίσιο για την προσθήκη χρημάτων τόκων σε 0,1 έτος, 0,01 έτος, 0,001 έτος και ούτω καθεξής. Μετά από 100 ντεν. μονάδες ένα χρόνο αργότερα:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (π.μ. μονάδες),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (π.μ. μονάδες),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (δεν. μονάδες).

Με απεριόριστη μείωση των όρων του κοινοτικού τόκου, το δεδουλευμένο κεφάλαιο δεν αυξάνεται επ' αόριστον, αλλά πλησιάζει ένα ορισμένο όριο ίσο με περίπου 271. Το κεφάλαιο που τοποθετείται στο 100% ετησίως δεν μπορεί να αυξηθεί περισσότερο από 2,71 φορές, ακόμη και αν οι δεδουλευμένοι τόκοι ήταν προστίθεται στην πρωτεύουσα κάθε δευτερόλεπτο επειδή το όριο

Παράδειγμα 3.1. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του ορίου μιας αριθμητικής ακολουθίας, να αποδείξετε ότι η ακολουθία x n =(n-1)/n έχει όριο ίσο με 1.

Λύση.Πρέπει να αποδείξουμε ότι ό,τι ε > 0 πάρουμε, υπάρχει ένας φυσικός αριθμός N για αυτό, έτσι ώστε για όλα τα n > N η ανίσωση |x n -1|< ε

Πάρτε οποιοδήποτε ε > 0. Αφού x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, τότε για να βρείτε N αρκεί να λύσετε την ανίσωση 1/n<ε. Отсюда n>1/ε και, επομένως, το N μπορεί να ληφθεί ως το ακέραιο μέρος του 1/ε N = E(1/ε). Αποδείξαμε έτσι ότι το όριο .

Παράδειγμα 3.2.Να βρείτε το όριο μιας ακολουθίας που δίνεται από έναν κοινό όρο .

Λύση. Εφαρμόστε το θεώρημα του οριακού αθροίσματος και βρείτε το όριο κάθε όρου. Όπως n → ∞, ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε όρου τείνει στο άπειρο και δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα του ορίου πηλίκου άμεσα. Επομένως, πρώτα μεταμορφώνουμε x n, διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου μέλους με ν 2, και το δεύτερο n. Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το θεώρημα ορίου πηλίκου και το θεώρημα ορίου αθροίσματος, βρίσκουμε:

Παράδειγμα 3.3. . Εύρημα .

Λύση.

Εδώ χρησιμοποιήσαμε το θεώρημα ορίου βαθμού: το όριο μιας μοίρας είναι ίσο με το βαθμό του ορίου της βάσης.

Παράδειγμα 3.4. Εύρημα ( ).

Λύση. Είναι αδύνατο να εφαρμοστεί το θεώρημα ορίου διαφοράς, αφού έχουμε αβεβαιότητα της μορφής ∞-∞. Ας μετατρέψουμε τον τύπο του γενικού όρου:

Παράδειγμα 3.5. Δίνεται συνάρτηση f(x)=2 1/x . Αποδείξτε ότι το όριο δεν υπάρχει.

Λύση.Χρησιμοποιούμε τον ορισμό 1 του ορίου μιας συνάρτησης ως προς μια ακολουθία. Πάρτε μια ακολουθία ( x n ) που συγκλίνει στο 0, δηλ. Ας δείξουμε ότι η τιμή f(x n)= συμπεριφέρεται διαφορετικά για διαφορετικές ακολουθίες. Έστω x n = 1/n. Προφανώς, τότε το όριο Ας επιλέξουμε τώρα ως x nμια ακολουθία με κοινό όρο x n = -1/n, που επίσης τείνει στο μηδέν. Επομένως, δεν υπάρχει όριο.

Παράδειγμα 3.6. Αποδείξτε ότι το όριο δεν υπάρχει.

Λύση.Έστω x 1 , x 2 ,..., x n ,... είναι μια ακολουθία για την οποία
. Πώς συμπεριφέρεται η ακολουθία (f(x n)) = (sin x n ) για διαφορετικά x n → ∞

Αν x n \u003d p n, τότε sin x n \u003d sin (p n) = 0 για όλα nκαι όριο Αν
xn=2 p n+ p /2, μετά sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 για όλα nκαι ως εκ τούτου το όριο. Έτσι δεν υπάρχει.