Το μάθημα απευθύνεται σε πτυχιούχους και μεταπτυχιακούς που ειδικεύονται στα μαθηματικά, τα οικονομικά ή τις φυσικές επιστήμες, καθώς και σε καθηγητές μαθηματικών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και καθηγητές πανεπιστημίου. Θα είναι επίσης χρήσιμο για μαθητές που ασχολούνται βαθιά με τα μαθηματικά.
Η δομή του μαθήματος είναι παραδοσιακή. Το μάθημα καλύπτει την κλασική ύλη για τη μαθηματική ανάλυση, που μελετήθηκε στο πρώτο έτος του πανεπιστημίου στο πρώτο εξάμηνο. Θα παρουσιαστούν οι ενότητες «Στοιχεία θεωρίας συνόλων και πραγματικών αριθμών», «Θεωρία αριθμητικών ακολουθιών», «Όριο και συνέχεια συνάρτησης», «Διαφορικότητα συνάρτησης», «Εφαρμογές διαφορισιμότητας». Θα εξοικειωθούμε με την έννοια του συνόλου, θα δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό του πραγματικού αριθμού και θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τις ακολουθίες αριθμών και τις ιδιότητές τους. Αυτό θα μας επιτρέψει να εξετάσουμε την έννοια μιας αριθμητικής συνάρτησης, η οποία είναι πολύ γνωστή στους μαθητές, σε ένα νέο, πιο αυστηρό επίπεδο. Εισάγουμε την έννοια του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης, συζητάμε τις ιδιότητες συνεχείς λειτουργίεςκαι την εφαρμογή τους για την επίλυση προβλημάτων.
Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, θα ορίσουμε την παράγωγο και τη διαφορισιμότητα μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής και θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Αυτό θα σας επιτρέψει να μάθετε πώς να επιλύετε τόσο σημαντικά εφαρμοσμένα προβλήματα όπως ο κατά προσέγγιση υπολογισμός των τιμών μιας συνάρτησης και η λύση των εξισώσεων, ο υπολογισμός των ορίων, η μελέτη των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης και η κατασκευή του γραφήματος της .
Μορφή
Η μορφή εκπαίδευσης είναι μερικής απασχόλησης (εξ αποστάσεως).
Τα εβδομαδιαία μαθήματα θα περιλαμβάνουν παρακολούθηση θεματικών βιντεοδιαλέξεων και πραγματοποίηση αντικείμενα δοκιμήςμε αυτοματοποιημένη επαλήθευση των αποτελεσμάτων.
Ένα σημαντικό στοιχείο της μελέτης του κλάδου είναι ανεξάρτητη λύσηυπολογιστικά και αποδεικτικά προβλήματα. Η λύση θα πρέπει να περιέχει αυστηρή και λογικά σωστή συλλογιστική που θα οδηγεί στη σωστή απάντηση (στην περίπτωση ενός προβλήματος υπολογισμού) ή θα αποδεικνύει πλήρως την απαραίτητη δήλωση (για θεωρητικά προβλήματα).
Απαιτήσεις
Το μάθημα έχει σχεδιαστεί για πτυχιούχους 1 έτους σπουδών. Απαραίτητη η γνώση μαθηματικών στοιχειώδους Λύκειο(11 τάξεις).
Πρόγραμμα μαθημάτων
Διάλεξη 1Στοιχεία θεωρίας συνόλων.
Διάλεξη 2Η έννοια του πραγματικού αριθμού. Ακριβείς άκρεςσύνολα αριθμών.
Διάλεξη 3Αριθμητικές πράξεις σε πραγματικούς αριθμούς. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών.
Διάλεξη 4Αριθμητικές ακολουθίες και οι ιδιότητές τους.
Διάλεξη 5μονοτονικές ακολουθίες. Κριτήριο Cauchy για σύγκλιση ακολουθίας.
Διάλεξη 6Η έννοια της συνάρτησης μιας μεταβλητής. Όριο λειτουργίας. Απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις.
Διάλεξη 7Συνέχεια λειτουργίας. Ταξινόμηση σημείων διακοπής. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.
Διάλεξη 8Μονότονες λειτουργίες. Αντίστροφη συνάρτηση.
Διάλεξη 9Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους: εκθετικές, λογαριθμικές και συναρτήσεις ισχύος.
Διάλεξη 10Τριγωνομετρικό και αντίστροφο τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αξιοσημείωτα όρια. Ομοιόμορφη συνέχεια μιας συνάρτησης.
Διάλεξη 11Η έννοια της παραγώγου και του διαφορικού. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Κανόνες διαφοροποίησης.
Διάλεξη 12Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Διαφορικό λειτουργίας.
Διάλεξη 13Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων. τύπος Leibniz. Παράγωγοι παραμετρικά δοσμένων συναρτήσεων.
Διάλεξη 14Βασικές ιδιότητες διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Θεωρήματα Rolle και Lagrange.
Διάλεξη 15Θεώρημα Cauchy. Ο πρώτος κανόνας του L'Hospital για αποκάλυψη αβεβαιοτήτων.
Διάλεξη 16Ο δεύτερος κανόνας της L'Hopital για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano.
Διάλεξη 17Ο τύπος του Taylor με έναν υπόλοιπο όρο σε γενική μορφή, με τη μορφή Lagrange και Cauchy. Η επέκταση του Maclaurin των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Εφαρμογές του τύπου Taylor.
Διάλεξη 18 Επαρκείς προϋποθέσειςακραίο. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Κυρτός.
Διάλεξη 19Σημεία καμπής. Το γενικό σχήμα της μελέτης της συνάρτησης. Παραδείγματα σχεδίασης.
Μαθησιακά αποτελέσματα
Ως αποτέλεσμα της εκμάθησης του μαθήματος, ο μαθητής θα πάρει μια ιδέα για τις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης: σύνολο, αριθμό, ακολουθία και συνάρτηση, εξοικειωθεί με τις ιδιότητές τους και μάθει πώς να εφαρμόζει αυτές τις ιδιότητες στην επίλυση προβλημάτων.
Ερωτήσεις για την εξέταση στη «Μαθηματική Ανάλυση», 1ο έτος, 1ο εξάμηνο.
1. Σκηνικά. Βασικές λειτουργίες σε σύνολα. Μετρικοί και αριθμητικοί χώροι.
2. Αριθμητικά σύνολα. Σύνολα στην αριθμητική γραμμή: τμήματα, διαστήματα, ημιάξονες, γειτονιές.
3. Ορισμός οριοθετημένου συνόλου. Άνω και κάτω όρια αριθμητικών συνόλων. Υποθέσεις σχετικά με τα άνω και κάτω όρια αριθμητικών συνόλων.
4. Μέθοδος μαθηματικής επαγωγής. Ανισότητες Bernoulli και Cauchy.
5. Ορισμός συνάρτησης. Γράφημα συνάρτησης. άρτιες και περιττές συναρτήσεις. Περιοδικές συναρτήσεις. Τρόποι για να ορίσετε μια λειτουργία.
6. Όριο ακολουθίας. Ιδιότητες συγκλίνουσες ακολουθίες.
7. περιορισμένες ακολουθίες. Ένα θεώρημα σε επαρκή συνθήκη για την απόκλιση μιας ακολουθίας.
8. Ορισμός μονοτονικής ακολουθίας. Θεώρημα μονοτονικής ακολουθίας του Weierstrass.
9. Αριθμός ε.
10. Όριο συνάρτησης σε σημείο. Το όριο μιας συνάρτησης στο άπειρο. Μονομερή όρια.
11. Άπειρες μικρές λειτουργίες. Όριο συναρτήσεων αθροίσματος, γινομένου και πηλίκου.
12. Θεωρήματα για τη σταθερότητα των ανισοτήτων. Πέρασμα στο όριο στις ανισότητες. Θεώρημα για τρεις συναρτήσεις.
13. Το πρώτο και το δεύτερο υπέροχα όρια.
14. Συναρτήσεις απείρως μεγάλες και η σύνδεσή τους με απειροελάχιστες συναρτήσεις.
15. Σύγκριση απειροελάχιστων συναρτήσεων. Ιδιότητες ισοδύναμων απειροελάχιστων. Το θεώρημα για την αντικατάσταση των απειρομικρών από ισοδύναμα. Βασικές ισοδυναμίες.
16. Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο. Δράσεις με συνεχείς λειτουργίες. Συνέχεια βασικών στοιχειωδών λειτουργιών.
17. Ταξινόμηση σημείων διακοπής μιας συνάρτησης. Επέκταση κατά συνέχεια
18. Ορισμός σύνθετη λειτουργία. Όριο σύνθετης συνάρτησης. Συνέχεια σύνθετης συνάρτησης. Υπερβολικές συναρτήσεις
19. Συνέχεια συνάρτησης σε τμήμα. Τα θεωρήματα του Cauchy για την εξαφάνιση μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα διάστημα και για την ενδιάμεση τιμή μιας συνάρτησης.
20. Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε ένα τμήμα. Το θεώρημα Weierstrass για το όριο μιας συνεχούς συνάρτησης. Το θεώρημα του Weierstrass για τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης.
21. Ορισμός μονοτονικής συνάρτησης. Το θεώρημα του Weierstrass για το όριο μιας μονότονης συνάρτησης. Θεώρημα για το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης που είναι μονότονη και συνεχής σε ένα διάστημα.
22. Αντίστροφη συνάρτηση. Γράφημα αντίστροφης συνάρτησης. Θεώρημα για την ύπαρξη και τη συνέχεια της αντίστροφης συνάρτησης.
23. Αντίστροφες τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις.
24. Ορισμός της παραγώγου συνάρτησης. Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων.
25. Ορισμός διαφοροποιήσιμης συνάρτησης. Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης. Συνέχεια διαφοροποιήσιμης συνάρτησης.
26. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Η εξίσωση της εφαπτομένης και της κάθετης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης.
27. Παράγωγος του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου δύο συναρτήσεων
28. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης και αντίστροφης συνάρτησης.
29. Λογαριθμική διαφοροποίηση. Παράγωγος συνάρτησης που δίνεται παραμετρικά.
30. Το κύριο μέρος της αύξησης της συνάρτησης. Τύπος γραμμικοποίησης συναρτήσεων. Η γεωμετρική σημασία του διαφορικού.
31. Διαφορικό σύνθετης συνάρτησης. Αμετάβλητο της διαφορικής μορφής.
32. Τα θεωρήματα του Rolle, του Lagrange και του Cauchy για τις ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Τύπος πεπερασμένων προσαυξήσεων.
33. Εφαρμογή του παραγώγου στη γνωστοποίηση αβεβαιοτήτων εντός. Ο κανόνας του L'Hopital.
34. Ορισμός παραγώγουντη τάξη. Κανόνες εύρεσης της παραγώγου της νης τάξης. τύπος Leibniz. Διαφορικά υψηλότερης τάξης.
35. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano. Υπολειπόμενοι όροι με τη μορφή Lagrange και Cauchy.
36. Αύξηση και μείωση συναρτήσεων. ακραία σημεία.
37. Κυρτότητα και κοιλότητα συνάρτησης. Σημεία καμπής.
38. Ατελείωτες διακοπές λειτουργίας. Ασύμπτωτοι.
39. Σχέδιο σχεδίασης γραφήματος συνάρτησης.
40. Ορισμός αντιπαραγώγου. Οι κύριες ιδιότητες του αντιπαραγώγου. Οι απλούστεροι κανόνες ολοκλήρωσης. Πίνακας απλών ολοκληρωμάτων.
41. Ολοκλήρωση με αλλαγή μεταβλητής και ο τύπος ολοκλήρωσης κατά μέρη στο αόριστο ολοκλήρωμα.
42. Ενσωμάτωση εκφράσεων της φόρμας e ax cos bx και e ax sin bx χρησιμοποιώντας αναδρομικές σχέσεις.
43. Ολοκλήρωση κλάσματος |
χρησιμοποιώντας αναδρομικές σχέσεις. |
|||
a 2 n |
||||
44. Αόριστο ολοκλήρωμα λογικής συνάρτησης. Ολοκλήρωση απλών κλασμάτων.
45. Αόριστο ολοκλήρωμα λογικής συνάρτησης. Αποσύνθεση των κατάλληλων κλασμάτων σε απλά.
46. Αόριστο ολοκλήρωμα παράλογης συνάρτησης. Ενσωμάτωση έκφρασης
R x, m |
|||
47. Αόριστο ολοκλήρωμα παράλογης συνάρτησης. Ολοκλήρωση παραστάσεων της μορφής R x , ax 2 bx c . Αντικαταστάσεις Euler.
48. Ένταξη εκφράσεων της φόρμας |
|||||||||||||
ax2 bx c |
ax2 bx c |
2 bx γ |
49. Αόριστο ολοκλήρωμα παράλογης συνάρτησης. Ολοκλήρωση διωνυμικών διαφορικών.
50. Ενσωμάτωση τριγωνομετρικών παραστάσεων. Καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση.
51. Ολοκλήρωση ορθολογικών τριγωνομετρικών εκφράσεων στην περίπτωση που το ολοκλήρωμα είναι περιττό ως προς την αμαρτία x (ή cos x ) ή ακόμα και σε σχέση με το sin x και cos x .
52. Ενσωμάτωση έκφρασης sin n x cos m x και sin n x cos mx .
53. Ενσωμάτωση έκφρασης tg m x και ctg m x .
54. Ενσωμάτωση έκφρασης R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 και R x , x 2 a 2 χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις.
55. Ορισμένο ολοκλήρωμα. Το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.
56. αναπόσπαστα αθροίσματα. Ποσά Darboux. Θεώρημα συνθήκης ύπαρξης οριστικό ολοκλήρωμα. Κατηγορίες ενσωματώσιμων συναρτήσεων.
57. Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος. Θεωρήματα για τη μέση τιμή.
58. Ορισμένο ολοκλήρωμα σε συνάρτηση με το άνω όριο. Τύπος Newton-Leibniz.
59. Αλλαγή μεταβλητού τύπου και τύπου για ολοκλήρωση κατά μέρη σε καθορισμένο ολοκλήρωμα.
60. Εφαρμογή του ολοκληρωτικού λογισμού στη γεωμετρία. Ο όγκος του σχήματος. Ο όγκος των μορφών περιστροφής.
61. Εφαρμογή του ολοκληρωτικού λογισμού στη γεωμετρία. Το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας. Η περιοχή του καμπυλόγραμμου τομέα. Μήκος καμπύλης.
62. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος πρώτου είδους. Τύπος Newton-Leibniz για ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους. Οι απλούστερες ιδιότητες.
63. Σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους για θετική συνάρτηση. 1ο και 2ο θεωρήματα σύγκρισης.
64. Απόλυτη και υπό όρους σύγκλιση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων του πρώτου είδους μιας εναλλασσόμενης συνάρτησης. Κριτήρια σύγκλισης για τον Abel και τον Dirichlet.
65. Ορισμός ακατάλληλου ολοκληρώματος δεύτερου είδους. Τύπος Newton-Leibniz για ακατάλληλα ολοκληρώματα δεύτερου είδους.
66. Σύνδεση ακατάλληλων ολοκληρωμάτων 1ο και 2ο είδος. Ακατάλληλα ολοκληρώματα με την έννοια της κύριας αξίας.
Το μάθημα είναι μια βιντεοσκόπηση στούντιο του πρώτου εξαμήνου του πρώτου εξαμήνου διαλέξεων για τη μαθηματική ανάλυση με τη μορφή που διαβάζονται στο Ακαδημαϊκό Πανεπιστήμιο. Για 4 ενότητες, οι μαθητές θα εξοικειωθούν με τις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης: ακολουθίες, όρια και συνέχεια. Περιοριζόμαστε σε πραγματικούς αριθμούς και συναρτήσεις μιας μεταβλητής. Η παρουσίαση θα πραγματοποιηθεί σε ένα αρκετά στοιχειώδες επίπεδο χωρίς πιθανές γενικεύσεις που δεν αλλάζουν τις κύριες ιδέες των αποδείξεων, αλλά περιπλέκουν αισθητά την αντίληψη. Όλες οι δηλώσεις (εκτός από κάποιες βαρετές τυπικές αιτιολογήσεις στην αρχή του μαθήματος και στον ορισμό των βασικών συναρτήσεων) θα αποδειχθούν αυστηρά. Τα βίντεο συνοδεύονται μεγάλη ποσότηταεργασίες για ανεξάρτητη εργασίαακροατές.
Σε ποιους απευθύνεται αυτό το μάθημα
Προπτυχιακοί φοιτητές τεχνικών ειδικοτήτων
Οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί σχολικό πρόγραμμα σπουδώνμαθηματικά. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε πώς μοιάζουν τα γραφήματα των κύριων στοιχειωδών συναρτήσεων, να γνωρίζουμε τους βασικούς τύπους για τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις, για την αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος, και επίσης να είναι σε θέση να κάνει αλγεβρικούς μετασχηματισμούς με ισότητες και ανισότητες. Για πολλά προβλήματα, χρειάζεται επίσης να γνωρίζει κανείς τις απλούστερες ιδιότητες των ρητών και των παράλογων αριθμών.
Το μάθημα απευθύνεται σε πτυχιούχους και μεταπτυχιακούς που ειδικεύονται στα μαθηματικά, τα οικονομικά ή τις φυσικές επιστήμες, καθώς και σε καθηγητές μαθηματικών δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και καθηγητές πανεπιστημίου. Θα είναι επίσης χρήσιμο για μαθητές που ασχολούνται βαθιά με τα μαθηματικά.
Η δομή του μαθήματος είναι παραδοσιακή. Το μάθημα καλύπτει την κλασική ύλη για τη μαθηματική ανάλυση, που μελετήθηκε στο πρώτο έτος του πανεπιστημίου στο πρώτο εξάμηνο. Θα παρουσιαστούν οι ενότητες «Στοιχεία θεωρίας συνόλων και πραγματικών αριθμών», «Θεωρία αριθμητικών ακολουθιών», «Όριο και συνέχεια συνάρτησης», «Διαφορικότητα συνάρτησης», «Εφαρμογές διαφορισιμότητας». Θα εξοικειωθούμε με την έννοια του συνόλου, θα δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό του πραγματικού αριθμού και θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Στη συνέχεια θα μιλήσουμε για τις ακολουθίες αριθμών και τις ιδιότητές τους. Αυτό θα μας επιτρέψει να εξετάσουμε την έννοια μιας αριθμητικής συνάρτησης, η οποία είναι πολύ γνωστή στους μαθητές, σε ένα νέο, πιο αυστηρό επίπεδο. Εισάγουμε την έννοια του ορίου και της συνέχειας μιας συνάρτησης, συζητάμε τις ιδιότητες των συνεχών συναρτήσεων και την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων.
Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, θα ορίσουμε την παράγωγο και τη διαφορισιμότητα μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής και θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Αυτό θα σας επιτρέψει να μάθετε πώς να επιλύετε τόσο σημαντικά εφαρμοσμένα προβλήματα όπως ο κατά προσέγγιση υπολογισμός των τιμών μιας συνάρτησης και η λύση των εξισώσεων, ο υπολογισμός των ορίων, η μελέτη των ιδιοτήτων μιας συνάρτησης και η κατασκευή του γραφήματος της .
Μορφή
Η μορφή εκπαίδευσης είναι μερικής απασχόλησης (εξ αποστάσεως).
Τα εβδομαδιαία μαθήματα θα περιλαμβάνουν παρακολούθηση θεματικών διαλέξεων βίντεο και ολοκλήρωση δοκιμαστικών εργασιών με αυτοματοποιημένη επαλήθευση των αποτελεσμάτων.
Σημαντικό στοιχείο της μελέτης του κλάδου είναι η ανεξάρτητη επίλυση υπολογιστικών προβλημάτων και προβλημάτων απόδειξης. Η λύση θα πρέπει να περιέχει αυστηρή και λογικά σωστή συλλογιστική που θα οδηγεί στη σωστή απάντηση (στην περίπτωση ενός προβλήματος υπολογισμού) ή θα αποδεικνύει πλήρως την απαραίτητη δήλωση (για θεωρητικά προβλήματα).
Απαιτήσεις
Το μάθημα έχει σχεδιαστεί για πτυχιούχους 1 έτους σπουδών. Απαιτεί γνώση των μαθηματικών της δημοτικής στον τόμο της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (11 τάξεις).
Πρόγραμμα μαθημάτων
Διάλεξη 1Στοιχεία θεωρίας συνόλων.
Διάλεξη 2Η έννοια του πραγματικού αριθμού. Ακριβείς όψεις αριθμητικών συνόλων.
Διάλεξη 3Αριθμητικές πράξεις σε πραγματικούς αριθμούς. Ιδιότητες πραγματικών αριθμών.
Διάλεξη 4Αριθμητικές ακολουθίες και οι ιδιότητές τους.
Διάλεξη 5μονοτονικές ακολουθίες. Κριτήριο Cauchy για σύγκλιση ακολουθίας.
Διάλεξη 6Η έννοια της συνάρτησης μιας μεταβλητής. Όριο λειτουργίας. Απειροελάχιστες και απείρως μεγάλες συναρτήσεις.
Διάλεξη 7Συνέχεια λειτουργίας. Ταξινόμηση σημείων διακοπής. Τοπικές και καθολικές ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.
Διάλεξη 8Μονότονες λειτουργίες. Αντίστροφη συνάρτηση.
Διάλεξη 9Οι απλούστερες στοιχειώδεις συναρτήσεις και οι ιδιότητές τους: εκθετικές, λογαριθμικές και συναρτήσεις ισχύος.
Διάλεξη 10Τριγωνομετρικές και αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Αξιοσημείωτα όρια. Ομοιόμορφη συνέχεια μιας συνάρτησης.
Διάλεξη 11Η έννοια της παραγώγου και του διαφορικού. Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Κανόνες διαφοροποίησης.
Διάλεξη 12Παράγωγοι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Διαφορικό λειτουργίας.
Διάλεξη 13Παράγωγα και διαφορικά υψηλότερων τάξεων. τύπος Leibniz. Παράγωγοι παραμετρικά δοσμένων συναρτήσεων.
Διάλεξη 14Βασικές ιδιότητες διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων. Θεωρήματα Rolle και Lagrange.
Διάλεξη 15Θεώρημα Cauchy. Ο πρώτος κανόνας του L'Hospital για αποκάλυψη αβεβαιοτήτων.
Διάλεξη 16Ο δεύτερος κανόνας της L'Hopital για την αποκάλυψη αβεβαιοτήτων. Τύπος Taylor με υπολειπόμενο όρο σε μορφή Peano.
Διάλεξη 17Ο τύπος του Taylor με έναν υπόλοιπο όρο σε γενική μορφή, με τη μορφή Lagrange και Cauchy. Η επέκταση του Maclaurin των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Εφαρμογές του τύπου Taylor.
Διάλεξη 18Επαρκείς συνθήκες για εξτρέμ. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Κυρτός.
Διάλεξη 19Σημεία καμπής. Το γενικό σχήμα της μελέτης της συνάρτησης. Παραδείγματα σχεδίασης.
Μαθησιακά αποτελέσματα
Ως αποτέλεσμα της εκμάθησης του μαθήματος, ο μαθητής θα πάρει μια ιδέα για τις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης: σύνολο, αριθμό, ακολουθία και συνάρτηση, εξοικειωθεί με τις ιδιότητές τους και μάθει πώς να εφαρμόζει αυτές τις ιδιότητες στην επίλυση προβλημάτων.
Αφήστε τη μεταβλητή Χ nπαίρνει μια άπειρη ακολουθία τιμών
Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n , ..., (1)
και ο νόμος μεταβολής της μεταβλητής είναι γνωστός Χ n, δηλ. για όλους φυσικός αριθμός nμπορείτε να καθορίσετε την αντίστοιχη τιμή Χ n. Έτσι θεωρείται ότι η μεταβλητή Χ nείναι συνάρτηση του n:
Χ n = f(n)
Ας ορίσουμε μια από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης - το όριο μιας ακολουθίας ή, το ίδιο, το όριο μιας μεταβλητής Χ nακολουθία τρεξίματος Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n , ... . .
Ορισμός.σταθερός αριθμός έναπου ονομάζεται όριο ακολουθίας Χ 1 , Χ 2 , ..., Χ n , ... . ή το όριο μιας μεταβλητής Χ n, εάν για έναν αυθαίρετα μικρό θετικό αριθμό e υπάρχει ένας τέτοιος φυσικός αριθμός Ν(δηλαδή αριθμός Ν) ότι όλες οι τιμές της μεταβλητής Χ n, ξεκινώντας με Χ Ν, διαφέρω από έναλιγότερο σε απόλυτη τιμή από το e. Αυτός ο ορισμόςγραμμένο εν συντομία ως εξής:
| Χ n - ένα |< (2)
για όλα n Ν, ή, που είναι το ίδιο,
Ορισμός του ορίου Cauchy. Ένας αριθμός Α ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης f (x) σε ένα σημείο a αν αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου a, εκτός ίσως από το ίδιο το σημείο a, και για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 έτσι ώστε για όλα τα x ικανοποιητική συνθήκη |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
Ορισμός του ορίου Heine. Ένας αριθμός Α ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης f (x) σε ένα σημείο a αν αυτή η συνάρτηση ορίζεται σε κάποια γειτονιά του σημείου a, εκτός ίσως από το ίδιο το σημείο a και για οποιαδήποτε ακολουθία τέτοια ώστε 
συγκλίνοντας στον αριθμό a, η αντίστοιχη ακολουθία τιμών της συνάρτησης συγκλίνει στον αριθμό A.
Αν η συνάρτηση f(x) έχει όριο στο σημείο a, τότε αυτό το όριο είναι μοναδικό.
Ο αριθμός A 1 ονομάζεται αριστερό όριο της συνάρτησης f (x) στο σημείο a αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 
Ο αριθμός A 2 ονομάζεται δεξιό όριο της συνάρτησης f (x) στο σημείο a αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε η ανίσωση 
Το όριο στα αριστερά συμβολίζεται ως το όριο στα δεξιά - Αυτά τα όρια χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά της συνάρτησης αριστερά και δεξιά του σημείου α. Συχνά αναφέρονται ως όρια μονής κατεύθυνσης. Στη σημειογραφία των μονόπλευρων ορίων ως x → 0, το πρώτο μηδέν συνήθως παραλείπεται: και . Έτσι, για τη λειτουργία 
Αν για κάθε ε > 0 υπάρχει μια δ-γειτονιά ενός σημείου a τέτοια ώστε για όλα τα x που ικανοποιούν την συνθήκη |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >ε, τότε λέμε ότι η συνάρτηση f (x) έχει άπειρο όριο στο σημείο a:
Έτσι, η συνάρτηση έχει άπειρο όριο στο σημείο x = 0. Συχνά διακρίνονται όρια ίσα με +∞ και –∞. Ετσι,
Αν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε x > δ η ανισότητα |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Θεώρημα ύπαρξης για το ελάχιστο άνω όριο
Ορισμός: AR mR, m - άνω (κάτω) όψη του A, αν аА аm (αm).
Ορισμός:Το σύνολο Α οριοθετείται από πάνω (από κάτω), αν υπάρχει m τέτοιο ώστε аΑ, τότε ικανοποιείται αm (αm).
Ορισμός: SupA=m, εάν 1) m - άνω όριο του A
2) m’: m’
InfA = n αν 1) n είναι το άθροισμα του Α
2) n’: n’>n => n’ δεν είναι άθροισμα του Α
Ορισμός: SupA=m είναι ένας αριθμός τέτοιος ώστε: 1) aA am
2) >0 a A, έτσι ώστε a a-
InfA = n ονομάζεται ένας αριθμός έτσι ώστε:
2) >0 a A, έτσι ώστε ένα E a+
Θεώρημα:Οποιοδήποτε μη κενό σύνολο ΑR που οριοθετείται από πάνω έχει ένα καλύτερο άνω όριο, και μάλιστα μοναδικό.
Απόδειξη:
Κατασκευάζουμε έναν αριθμό m στην πραγματική ευθεία και αποδεικνύουμε ότι αυτό είναι το ελάχιστο άνω όριο του Α.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - άνω όψη του A
Τμήμα [[m],[m]+1] - χωρίζεται σε 10 μέρη
m 1 =max:aA)]
m 2 =max,m 1:aA)]
m έως =max,m 1 ...m K-1:aA)]
[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/ 10 Κ - επάνω όψη Α
Ας αποδείξουμε ότι m=[m],m 1 ...m K είναι το ελάχιστο άνω φράγμα και ότι είναι μοναδικό:
προς: )
