Formula de calcul a integralei nedefinite. Metode de bază de integrare. Calcul integral al funcțiilor unei variabile

Rezolvarea integralelor este o sarcină ușoară, dar numai pentru câțiva selectați. Acest articol este pentru cei care doresc să învețe să înțeleagă integralele, dar nu știu nimic sau aproape nimic despre ele. Integral... De ce este nevoie? Cum se calculează? Ce este cert și nu integrala definita s? Dacă singura utilizare pe care o știi pentru o integrală este să folosești o croșetată în formă de pictogramă integrală pentru a obține ceva util din locurile greu accesibile, atunci bine ai venit! Aflați cum să rezolvați integralele și de ce nu vă puteți descurca fără ea.

Studiem conceptul de „integral”

Integrarea era cunoscută în trecut Egiptul antic. Bineînțeles că nu în formă modernă, dar inca. De atunci, matematicienii au scris multe cărți pe această temă. S-au distins mai ales Newton Și Leibniz , dar esența lucrurilor nu s-a schimbat. Cum să înțelegeți integralele de la zero? În nici un caz! Pentru a înțelege acest subiect veți avea nevoie în continuare cunostinte de baza elementele de bază analiză matematică. Avem deja informații despre , necesare înțelegerii integralelor, pe blogul nostru.

Integrală nedefinită

Să avem o funcție f(x) .

Funcție integrală nedefinită f(x) această funcție este numită F(x) , a cărui derivată este egală cu funcția f(x) .

Cu alte cuvinte, o integrală este o derivată inversă sau o antiderivată. Apropo, citiți despre cum în articolul nostru.

Antiderivatul există pentru toată lumea funcții continue. De asemenea, un semn constant este adesea adăugat la antiderivată, deoarece derivatele funcțiilor care diferă printr-o constantă coincid. Procesul de găsire a integralei se numește integrare.

Exemplu simplu:

Pentru a nu calcula constant antiderivate functii elementare, este convenabil să le rezumați într-un tabel și să folosiți valori gata făcute.

Tabel complet de integrale pentru elevi

Integrala definita

Când avem de-a face cu conceptul de integrală, avem de-a face cu cantități infinitezimale. Integrala va ajuta la calcularea ariei unei figuri, a masei unui corp neuniform, a distanței parcurse în timpul mișcării inegale și multe altele. Trebuie amintit că o integrală este o sumă infinită cantitate mare termeni infinitezimali.

Ca exemplu, imaginați-vă un grafic al unei anumite funcții. Cum să găsiți aria unei figuri mărginite de graficul unei funcții?

Folosind o integrală! Să împărțim trapezul curbiliniu, limitat de axele de coordonate și de graficul funcției, în segmente infinitezimale. În acest fel figura va fi împărțită în coloane subțiri. Suma ariilor coloanelor va fi aria trapezului. Dar amintiți-vă că un astfel de calcul va da rezultat aproximativ. Cu toate acestea, cu cât segmentele sunt mai mici și mai înguste, cu atât calculul va fi mai precis. Dacă le reducem în așa măsură încât lungimea tinde spre zero, atunci suma ariilor segmentelor va tinde către aria figurii. Aceasta este o integrală definită, care este scrisă astfel:

Punctele a și b se numesc limite de integrare.

Bari Alibasov și grupul „Integral”

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Reguli pentru calcularea integralelor pentru manechine

Proprietățile integralei nedefinite

Cum se rezolvă o integrală nedefinită? Aici ne vom uita la proprietățile integralei nedefinite, care vor fi utile atunci când rezolvăm exemple.

• Derivata integralei este egala cu integrandul:

• Constanta poate fi scoasă de sub semnul integral:

• Integrala sumei egal cu suma integrale. Acest lucru este valabil și pentru diferența:

Proprietățile unei integrale definite

• Linearitate:

• Semnul integralei se schimbă dacă limitele integrării sunt schimbate:

• La orice puncte A, bȘi Cu:

Am aflat deja că o integrală definită este limita unei sume. Dar cum să obțineți o anumită valoare atunci când rezolvați un exemplu? Pentru aceasta există formula Newton-Leibniz:

Exemple de rezolvare a integralelor

Mai jos vom lua în considerare câteva exemple de găsire a integralelor nedefinite. Vă sugerăm să vă dați seama de complexitatea soluției și, dacă ceva nu este clar, puneți întrebări în comentarii.

Pentru a consolida materialul, urmăriți un videoclip despre cum se rezolvă integralele în practică. Nu disperați dacă integrala nu este dată imediat. Contactați un serviciu profesional pentru studenți și orice triplu sau integrală de linie pe o suprafață închisă o vei putea face.

Nu putem calcula întotdeauna funcții antiderivate, dar problema diferențierii poate fi rezolvată pentru orice funcție. De aceea nu există o singură metodă de integrare care să poată fi utilizată pentru orice tip de calcul.

În acest material, vom analiza exemple de rezolvare a problemelor legate de găsirea integralei nedefinite și vom vedea pentru ce tipuri de integranți este potrivită fiecare metodă.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Metoda de integrare directă

Principala metodă de calcul a funcției antiderivate este integrarea directă. Această acțiune se bazează pe proprietățile integralei nedefinite, iar pentru calcule avem nevoie de un tabel de antiderivate. Alte metode nu pot decât să aducă integrala originală în formă tabelară.

Exemplul 1

Calculați mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Soluţie

Mai întâi, să schimbăm forma funcției în f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Știm că integrala sumei funcțiilor va fi egală cu suma acestor integrale, ceea ce înseamnă:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Deducem coeficientul numeric din spatele semnului integral:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Pentru a găsi prima integrală, va trebui să ne referim la tabelul cu antiderivate. Luăm din el valoarea ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Pentru a găsi a doua integrală, veți avea nevoie de un tabel de antiderivate pentru funcția de putere ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , precum și de regula ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Prin urmare, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Avem următoarele:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

cu C = C 1 + 3 2 C 2

Răspuns:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Am dedicat un articol separat integrării directe folosind tabele de antiderivate. Vă recomandăm să vă familiarizați cu el.

Metoda de înlocuire

Această metodă de integrare constă în exprimarea integrandului printr-o nouă variabilă introdusă special în acest scop. Ca rezultat, ar trebui să obținem o formă tabelară a integralei sau pur și simplu o integrală mai puțin complexă.

Această metodă este foarte utilă atunci când trebuie să integrați funcții cu radicali sau funcții trigonometrice.

Exemplul 2

Evaluați integrala nedefinită ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Să mai adăugăm o variabilă z = 2 x - 9 . Acum trebuie să exprimăm x în termeni de z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Luăm tabelul antiderivatelor și aflăm că 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Acum trebuie să revenim la variabila x și să obținem răspunsul:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Răspuns:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Dacă trebuie să integrăm funcții cu iraționalitate de forma x m (a + b x n) p, unde valorile m, n, p sunt numere raționale, atunci este important să formulăm corect o expresie pentru introducerea unei noi variabile. Citiți mai multe despre acest lucru în articolul despre integrarea funcțiilor iraționale.

După cum am spus mai sus, metoda de înlocuire este convenabilă de utilizat atunci când trebuie să integrați functie trigonometrica. De exemplu, folosind o substituție universală, puteți reduce o expresie la o formă fracțională rațională.

Această metodă explică regula de integrare ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Adăugăm o altă variabilă z = k x + b. Obținem următoarele:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Acum luăm expresiile rezultate și le adăugăm la integrala specificată în condiția:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Dacă acceptăm C 1 k = C și revenim la variabila inițială x, atunci obținem:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Modalitate de abonament la semnul diferential

Această metodă se bazează pe transformarea integrandului într-o funcție de forma f (g (x)) d (g (x)). După aceasta, efectuăm o substituție introducând o nouă variabilă z = g (x), găsim o antiderivată pentru aceasta și revenim la variabila inițială.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

Pentru a rezolva probleme mai rapid folosind această metodă, păstrați un tabel de derivate sub formă de diferențiale și un tabel de antiderivate la îndemână pentru a găsi expresia la care va trebui redus integrandul.

Să analizăm o problemă în care trebuie să calculăm setul de antiderivate ale funcției cotangente.

Exemplul 3

Calculați integrala nedefinită ∫ c t g x d x .

Soluţie

Să transformăm expresia originală sub integrală folosind formule trigonometrice de bază.

c t g x d x = cos s d x sin x

Ne uităm la tabelul derivatelor și vedem că numărătorul poate fi subsumat sub semnul diferențial cos x d x = d (sin x), ceea ce înseamnă:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, adică. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Să presupunem că sin x = z, în acest caz ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Conform tabelului de antiderivate, ∫ d z z = ln z + C . Acum să revenim la variabila inițială ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Toată soluția în pe scurt se poate scrie asa:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Răspuns: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Metoda de abonare la semnul diferențial este foarte des folosită în practică, așa că vă sfătuim să citiți un articol separat dedicat acestuia.

Metoda de integrare pe părți

Această metodă se bazează pe transformarea integrandului într-un produs de forma f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), după care formula ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x). Aceasta este o metodă de rezolvare foarte convenabilă și comună. Uneori, integrarea parțială într-o singură problemă trebuie aplicată de mai multe ori înainte de a obține rezultatul dorit.

Să analizăm o problemă în care trebuie să calculăm setul de antiderivate ale arctangentei.

Exemplul 4

Calculați integrala nedefinită ∫ a r c t g (2 x) d x .

Soluţie

Să presupunem că u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, în acest caz:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Când calculăm valoarea funcției v (x), nu ar trebui să adăugăm o constantă arbitrară C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Calculăm integrala rezultată folosind metoda de subsumare a semnului diferențial.

Deoarece ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , atunci 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Răspuns:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Principala dificultate în utilizarea acestei metode este necesitatea de a alege ce parte să ia ca diferențială și care parte ca funcție u (x). Articolul despre metoda de integrare pe părți oferă câteva sfaturi cu privire la această problemă cu care ar trebui să vă familiarizați.

Dacă trebuie să găsim mulțimea de antiderivate ale unei funcții raționale fracțional, atunci trebuie mai întâi să reprezentăm integrandul ca o sumă de fracții simple și apoi să integrăm fracțiile rezultate. Pentru mai multe informații, consultați articolul despre integrarea fracțiilor simple.

Dacă integrăm o expresie de putere de forma sin 7 x · d x sau d x (x 2 + a 2) 8, atunci vom beneficia de formule de recurență care pot scădea treptat puterea. Ele sunt derivate folosind integrarea secvențială repetată pe părți. Vă recomandăm să citiți articolul „Integrare folosind formule de recurență.

Să rezumam. Pentru a rezolva probleme, este foarte important să cunoașteți metoda integrării directe. Alte metode (substituție, substituție, integrare pe părți) vă permit, de asemenea, să simplificați integrala și să o aduceți în formă tabelară.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Procesul de rezolvare a integralelor în știința numită matematică se numește integrare. Folosind integrare putem găsi câteva mărimi fizice: aria, volumul, masa corpurilor și multe altele.

Integralele pot fi nedefinite sau definite. Să luăm în considerare forma unei integrale definite și să încercăm să o înțelegem sens fizic. Se reprezintă sub această formă: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Trăsătură distinctivă Scrierea unei integrale definite a unei integrale nedefinite înseamnă că există limite de integrare a lui a și b. Acum vom afla de ce sunt necesare ele și ce înseamnă de fapt o integrală definită. Într-un sens geometric, o astfel de integrală este egală cu aria figurii delimitată de curba f(x), liniile a și b și axa Ox.

Din Fig. 1 este clar că integrala definită este aceeași zonă care este umbrită în gri. Să verificăm acest lucru cu un exemplu simplu. Să găsim aria figurii din imaginea de mai jos folosind integrare, apoi să o calculăm în modul obișnuit de înmulțire a lungimii cu lățimea.

Din figura 2 este clar că $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Acum le substituim în definiția integralei, obținem că $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Să facem verificarea în modul obișnuit. În cazul nostru, lungimea = 3, lățimea figurii = 1. $$ S = \text(lungime) \cdot \text(width) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ După cum puteți vezi, totul se potrivește perfect.

Apare întrebarea: cum se rezolvă integrale nedefinite și care este semnificația lor? Rezolvarea unor astfel de integrale înseamnă găsirea de funcții antiderivate. Acest proces este opusul găsirii derivatei. Pentru a găsi antiderivată, puteți folosi ajutorul nostru în rezolvarea problemelor de matematică sau trebuie să memorați în mod independent proprietățile integralelor și tabelul de integrare a celor mai simple funcții elementare. Constatarea arată astfel: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(unde) F(x) $ este antiderivată a lui $ f(x), C = const $.

Pentru a rezolva integrala, trebuie să integrați funcția $ f(x) $ peste o variabilă. Dacă funcția este tabelară, atunci răspunsul este scris în forma corespunzătoare. Dacă nu, atunci procesul se reduce la obținerea unei funcții tabulare din funcția $ f(x) $ prin transformări matematice complicate. Pentru asta există diverse metodeși proprietăți pe care le vom lua în considerare în continuare.

Deci, acum să creăm un algoritm pentru rezolvarea integralelor pentru manechine?

Algoritm pentru calcularea integralelor

1. Să aflăm integrala definită sau nu.
2. Dacă nu este definită, atunci trebuie să găsiți funcția antiderivată $ F(x) $ a integrandului $ f(x) $ folosind transformări matematice care conduc la o formă tabelară a funcției $ f(x) $.
3. Dacă este definit, atunci trebuie să efectuați pasul 2 și apoi să înlocuiți limitele $ a $ și $ b $ în funcția antiderivată $ F(x) $. Veți afla ce formulă să utilizați pentru a face acest lucru în articolul „Formula Newton-Leibniz”.

Exemple de soluții

Deci, ați învățat cum să rezolvați integrale pentru manechine, exemple de rezolvare a integralelor au fost sortate. Am învățat semnificația lor fizică și geometrică. Metodele de rezolvare vor fi descrise în alte articole.

4.1. METODE SIMPLE DE INTEGRARE 4.1.1. Conceptul de integrală nedefinită

În calculul diferențial, problema găsirii derivatei sau diferențialei în raport cu funcţie dată y= F(x), adică era necesar să se găsească f(x)= F"(x) sau dF(x)= F"(x)dx= f(x)dx. Să punem problema inversă: să restabilim funcția diferențiată, adică cunoașterea derivatei f(x)(sau diferential f(x)dx), găsiți o astfel de funcție F(x), la F"(x)= f(x). Această sarcină se dovedește a fi mult mai dificilă decât sarcina de diferențiere. De exemplu, să fie cunoscută viteza de mișcare a unui punct, dar trebuie să găsim legea

mișcările ei S= Sf),și Pentru a rezolva asa ceva

sunt introduse sarcini, concepte și acțiuni noi.

Definiție. Funcție diferențiabilă F(x) numit antiderivat pentru functie f(x) pe (a; b), Dacă F"(x)= f(x) pe (a; b).

De exemplu, pentru f(x) = x 2 antiderivată deoarece

Pentru f(x) = cos X antiderivata va fi F(x) = sin x, deoarece F"(x) = (sin x)" = cos x, care coincide cu f(X).

Există întotdeauna o antiderivată pentru o funcție dată? f(x)? Da, dacă această funcție este continuă pe (a; b). În plus, există nenumărate numere de primitive și diferă unele de altele doar printr-un termen constant. Într-adevăr, păcatul X+ 2, păcat X- 2, păcat X+ c- toate aceste funcții vor fi antiderivate pentru cos X(derivata unei valori constante este 0) - fig. 4.1.

Definiție. Expresie F(x)+ C, Unde CU- o valoare constantă arbitrară care definește setul de antiderivate pentru funcție f(x), numit integrală nedefinităși este indicată prin simbol , adică , unde semnul este semnul indefinitului

integral, f(x)- sunat funcția integrand, f (x)dx- prin integrand, x- variabila de integrare.

Orez. 4.1. Exemplu de familie de curbe integrale

Definiție. Operația de găsire a unei antiderivate dintr-o derivată sau diferențială dată se numește integrare această funcție.

Integrarea este acțiunea inversă a diferențierii; poate fi verificată prin diferențiere, iar diferențierea este unică, iar integrarea dă răspunsul până la o constantă. Oferirea unei valori constante CU valori specifice De-

Obținem diverse funcții

fiecare dintre acestea definește o curbă pe planul de coordonate numit integrală. Toate graficele curbelor integrale sunt deplasate paralel unul cu celălalt de-a lungul axei Oi. Prin urmare, o integrală nedefinită geometric este o familie de curbe integrale.

Deci, au fost introduse noi concepte (antiderivată și integrală nedefinită) și o nouă acțiune (integrare), dar cum mai găsiți antiderivată? Pentru a răspunde cu ușurință la această întrebare, trebuie mai întâi să compilați și să memorați un tabel de integrale nedefinite ale funcțiilor elementare de bază. Se obține prin inversarea formulelor de diferențiere corespunzătoare. De exemplu, dacă

De obicei, tabelul include unele integrale obținute după aplicarea celor mai simple metode de integrare. Aceste formule sunt marcate în tabel. 4.1 cu simbolul „*” și sunt dovedite în prezentarea ulterioară a materialului.

Tabelul 4.1. Tabelul integralelor nedefinite de bază

Formula 11 de la masă. 4.1 poate arăta ca
,

deoarece. O observație similară despre formă

catâri 13:

4.1.2. Proprietățile integralelor nedefinite

Să luăm în considerare cele mai simple proprietăți ale integralei nedefinite, care ne vor permite să integrăm nu numai funcțiile elementare de bază.

1. Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul:

2. Diferenţiala integralei nedefinite este egală cu integrandul:

3.Integrală nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie adăugată la o constantă arbitrară:

Exemplul 1. Exemplul 2.

4. Factorul constant poate fi scos din semnul integral: Exemplul 3.

5. Integrala sumei sau diferenței a două funcții este egală cu suma sau diferența integralelor acestor funcții:

Exemplul 4.

Formula de integrare rămâne valabilă dacă variabila de integrare este o funcție: dacă Acea

O funcție arbitrară care are o derivată continuă. Această proprietate se numește invarianta.

Exemplul 5. , De aceea

Compara cu

Nu există o metodă universală de integrare. Mai jos vom prezenta câteva metode care vă permit să calculați o integrală dată folosind proprietățile 1-5 și tabelul. 4.1.

4.1.3.Integrare directă

Această metodă constă în utilizarea directă a integralelor de tabel și a proprietăților 4 și 5. Exemple.

4.1.4.Metoda de descompunere

Această metodă constă în extinderea integrandului într-o combinație liniară de funcții cu integrale deja cunoscute.

Exemple.

4.1.5. Modalitate de abonament la semnul diferential

Pentru a reduce această integrală la una tabelară, este convenabil să se facă transformări diferențiale.

1. Subsumând semnul diferenţial al unei funcţii liniare

de aici
în special, dx = d(x + b),

diferenţialul nu se modifică dacă adaugi la variabilă

sau scădeți o valoare constantă. Dacă variabila crește de mai multe ori, atunci diferența este înmulțită cu valoarea sa reciprocă. Exemple cu soluții.

Să verificăm formulele 9*, 12* și 14* din tabel. 4.1, folosind metoda subscrierii la semnul diferențial:

Q.E.D.

2. Subsumând funcțiile elementare de bază sub semnul diferențial:

Cometariu. Formulele 15* și 16* pot fi verificate prin diferențiere (vezi proprietatea 1). De exemplu,

și aceasta este funcția integrand din formula 16*.

4.1.6. Metodă pentru separarea unui pătrat perfect de un trinom pătratic

La integrarea expresiilor ca sau

separând un pătrat perfect de un trinom pătratic

toporul 2 + bx+ c este posibil să le reducă la 12*, 14*, 15* sau 16* tabelare (vezi Tabelul 4.1).

Din moment ce în vedere generala Această operațiune pare mai complicată decât este de fapt, așa că ne vom limita la exemple.

Exemple.

1.

Soluţie. Aici extragem pătratul perfect din trinomul pătratic X 2 + 6x+ 9 = (X 2 + 6x+ 9) - 9 + 5 = (x+ 3) 2 - 4, iar apoi folosim metoda de subsumare a semnului diferenţial.

Folosind un raționament similar, putem calcula următoarele integrale:

2. 3.

Pe stadiu final a fost utilizată formula de integrare 16*.

4.1.7. Metode de integrare de bază

Există două astfel de metode: metoda de modificare a unei variabile sau de substituție și integrarea pe părți.

Metoda de înlocuire a variabilei

Există două formule pentru schimbarea unei variabile într-o integrală nedefinită:

1) 2)

Aici, esența sunt funcțiile diferențiabile monotone

variabilelor lor.

Arta aplicării metodei constă în principal în alegerea funcțiilor astfel încât noile integrale să fie tabulare sau să se reducă la ele. Răspunsul final ar trebui să revină la vechea variabilă.

Rețineți că substituția sub semnul diferențial este un caz special de înlocuire a variabilei.

Exemple.

Soluţie.Aici trebuie introdusă o nouă variabilătastfel încât să scape de rădăcină pătrată. Sa punemX+ 1 = t, Apoi X= t 2+ 1 și dx = 2 tdt:

Soluţie.Înlocuirea X- 2 per t, obținem un monom la numitor și după împărțirea termen cu termen integrala se reduce la integrala tabelară a funcției de putere:

La trecerea la o variabilă X formule folosite:

Metoda de integrare pe părți

Diferența produsului a două funcții este determinată de formula

Integrând această egalitate (vezi proprietatea 3), găsim:

De aici Aceasta este formula integrare prin

părți.

Integrarea pe părți presupune reprezentarea subiectivă a integrandului în formă u . dV, si in acelasi timp integrala ar trebui să fie mai ușor decât În caz contrar aplicare

metoda nu are sens.

Deci, metoda integrării pe părți presupune capacitatea de a izola factorii de integrand uȘi dV luând în considerare cerințele de mai sus.

Prezentăm o serie de integrale tipice care pot fi găsite prin metoda integrării pe părți. 1. Integrale ale formei

Unde P(x)- polinom; k- constant. În acest caz u= P(x) și dV- toți ceilalți factori.

Exemplul 1.

2.Integrale de tip

Aici punem alți factori.

Exemplul 2.

Exemplul 3.
Exemplul 4.

Orice rezultat poate fi verificat prin diferențiere. De exemplu, în acest caz

Rezultatul este corect.

3.Integrale ale formei

unde un, b- const. In spate u ar trebui să ia e ax , păcat bx sau cos bx.

Exemplul 5.

De aici ajungem Exemplul 6.

De aici

Exemplul 7.
Exemplul 8.

Soluţie.Aici trebuie să faceți mai întâi o schimbare a variabilei și apoi să integrați pe părți:

Exemplul 9.
Exemplul 10.

Soluţie. Această integrală poate fi găsită cu succes egal fie prin înlocuirea variabilei 1 + x 2 = t 2, fie prin integrarea pe părți:

Muncă independentă

Efectuați integrarea directă (1-10).

Aplicați metode simple de integrare (11-46).

Efectuați integrarea folosind metode de schimbare a variabilei și integrare prin părți (47-74).

Integrarea directă este înțeleasă ca o metodă de integrare în care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin transformări identice ale integrandului și aplicarea proprietăților integralei nedefinite.

Exemplul 1. Găsi.

 Împărțind numărătorul la numitor, obținem:

=
.

Rețineți că nu este nevoie să puneți o constantă arbitrară după fiecare termen, deoarece suma lor este și o constantă arbitrară, pe care o scriem la sfârșit.

Exemplul 2. Găsi
.

 Transformăm integrandul astfel:

.

Aplicând integrala tabelului 1, obținem:

.

Exemplul 3.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

=
.

În unele cazuri, găsirea integralelor este simplificată prin utilizarea tehnicilor artificiale.

Exemplul 6. Găsi
.

 Înmulțiți integrantul cu
găsim

=
.

Exemplul 7.

Exemplul 8 .

2. Integrarea prin schimbarea metodei variabilei

Nu este întotdeauna posibil să se calculeze o integrală dată prin integrare directă și, uneori, aceasta este asociată cu mari dificultăți. În aceste cazuri, se folosesc alte tehnici. Una dintre cele mai eficiente este metoda de înlocuire variabilă. Esența sa constă în faptul că prin introducerea unei noi variabile de integrare este posibilă reducerea unei integrale date la una nouă, care este relativ ușor de luat direct. Există două variante ale acestei metode.

a) Metoda de subsumare a unei funcţii sub semnul diferenţial

Prin definiţia diferenţialului funcţiei
.

Tranziția în această egalitate de la stânga la dreapta se numește „rezumarea factorului”
sub semnul diferenţial”.

Teorema privind invarianța formulelor de integrare

Orice formulă de integrare își păstrează forma atunci când înlocuiește variabila independentă cu orice funcție diferențiabilă de la aceasta, adică dacă

, apoi
,

Unde
- orice functie diferentiabila a X. Valorile sale trebuie să aparțină intervalului în care funcția definit si continuu.

Dovada:

De la ce
, ar trebui să
. Să luăm acum funcția
. Pentru diferenta sa, datorita proprietatii de invarianta a formei primei diferentiale a functiei , avem

Să fie necesar să se calculeze integrala
. Să presupunem că există o funcție diferențiabilă
și funcția
astfel încât integrand
poate fi scris ca

acestea. calcul integral
se reduce la calcularea integralei
și înlocuirea ulterioară
.

Exemplul 1. .

Exemplul 2. .

Exemplul 3 . .

Exemplul 4 . .

Exemplul 5 .
.

Exemplul 6 . .

Exemplul 7 . .

Exemplul 8. .

Exemplul 9. .

Exemplul 10 . .

Exemplul 11.

Exemplul 12 . GăseșteI=
(0).

 Să reprezentăm funcția integrand sub forma:

Prin urmare,

Prin urmare,
.

Exemplul 12a. Găsi eu=
,
.

 Din moment ce
,

prin urmare eu= . 

Exemplul 13. Găsi
(0).

 Pentru a reduce această integrală la una tabelară, împărțim numărătorul și numitorul integrandului la :

.

Am plasat un factor constant sub semnul diferenţial. Considerând-o ca o nouă variabilă, obținem:

.

Să calculăm și integrala, care este importantă atunci când integrăm funcții iraționale.

Exemplul 14. GăseșteI=
( X A,A0).

 Avem
.

Asa de,

( X A,A0).

Exemplele prezentate ilustrează importanța capacității de a prezenta un dat

expresie diferentiala
la minte
, Unde există o funcție de la XȘi g– o funcție mai simplu de integrat decât f.

În aceste exemple, transformări diferențiale precum

Unde b– valoare constantă

,

,

,

adesea folosit în găsirea integralelor.

În tabelul integralelor de bază s-a presupus că X există o variabilă independentă. Cu toate acestea, acest tabel, după cum reiese din cele de mai sus, își păstrează pe deplin sensul dacă este sub Xînţelege orice funcţie continuu diferenţiabilă a unei variabile independente. Să generalizăm o serie de formule din tabelul integralelor de bază.

3a.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
( X A,A0).

9.
(A0).

Operația de rezumare a unei funcții
sub semnul diferenţial este echivalent cu schimbarea variabilei X la o nouă variabilă
. Următoarele exemple ilustrează acest punct.

Exemplul 15. GăseșteI=
.

 Să înlocuim variabila folosind formula
, Apoi
, adică
șiI=
.

Înlocuirea u expresia lui
, în sfârșit obținem

I=
.

Transformarea efectuată echivalează cu subsumarea semnului diferențial al funcției
.

Exemplul 16. Găsi
.

 Să punem
, Apoi
, Unde
. Prin urmare,

Exemplul 17. Găsi
.

 Să
, Apoi
, sau
. Prin urmare,

În concluzie, observăm că moduri diferite de integrare a aceleiași funcții conduc uneori la funcții care sunt diferite în aparență. Această aparentă contradicție poate fi eliminată dacă arătăm că diferența dintre funcțiile obținute este o valoare constantă (vezi teorema demonstrată în Lecția 1).

Exemple:

Rezultatele diferă într-o cantitate constantă, ceea ce înseamnă că ambele răspunsuri sunt corecte.

b) I=
.

Este ușor de verificat că oricare dintre răspunsuri diferă unul de celălalt doar printr-o cantitate constantă.

b) Metoda de substituire (metoda de introducere a unei noi variabile)

Fie integrala
(
- continuu) nu poate fi transformat direct în formă tabelară. Să facem o înlocuire
, Unde
- o funcție care are o derivată continuă. Apoi
,
Și

. (3)

Formula (3) se numește modificarea formulei variabilei în integrala nedefinită.

Cum să alegi înlocuirea potrivită? Acest lucru se realizează prin practică în integrare. Dar este posibil să se stabilească o serie de reguli generale și unele tehnici pentru cazuri speciale de integrare.

Regula pentru integrarea prin substituire este următoarea.

Determinați la ce integrală de tabel este redusă această integrală (după transformarea mai întâi a integrandului, dacă este necesar).

Determinați ce parte a integrandului să înlocuiți cu o nouă variabilă și notați această înlocuire.

Găsiți diferențele ambelor părți ale înregistrării și exprimați diferența vechii variabile (sau o expresie care conține această diferență) în termeni de diferența noii variabile.

Faceți o înlocuire sub integrală.

Găsiți integrala rezultată.

Se face o înlocuire inversă, de ex. treceți la vechea variabilă.

Să ilustrăm regula cu exemple.

Exemplul 18. Găsi
.

Exemplul 19. Găsi
.

=
.

Găsim această integrală prin însumare
sub semnul diferential.

=.

Exemplul 20. Găsi
(
).

, adică
, sau
. De aici
, adică
.

Astfel avem
. Înlocuirea exprimarea sa prin X, găsim în sfârșit integrala, care joacă un rol important în integrarea funcțiilor iraționale:
(
).

Elevii au poreclit această integrală „logaritmul lung”.

Uneori, în loc de înlocuire
este mai bine să se efectueze o înlocuire variabilă a formularului
.

Exemplul 21. Găsi
.

Exemplul 22. Găsi
.

 Să folosim înlocuirea
. Apoi
,
,
.

Prin urmare, .

Într-un număr de cazuri, găsirea integralei se bazează pe utilizarea în același timp a metodelor de integrare directă și de subsumare a funcțiilor sub semnul diferențial (vezi exemplul 12).

Să ilustrăm această abordare combinată a calculării integralei, care joacă un rol important în integrarea funcțiilor trigonometrice.

Exemplul 23. Găsi
.

=
.

Asa de,
.

O altă abordare pentru calcularea acestei integrale:

.

Exemplul 24. Găsi
.

Rețineți că alegerea unei înlocuiri de succes este de obicei dificilă. Pentru a le depăși, trebuie să stăpânești tehnica diferențierii și să ai o bună cunoaștere a integralelor de tabel.