În ultima lecție video, am învățat că gradul unei anumite baze este o expresie care reprezintă produsul bazei în sine, luat într-o cantitate egală cu exponentul. Să studiem acum unele dintre cele mai importante proprietăți și operații ale puterilor.
De exemplu, să înmulțim două puteri diferite cu aceeași bază:
Să prezentăm această lucrare în întregime:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
După ce am calculat valoarea acestei expresii, obținem numărul 32. Pe de altă parte, după cum se poate observa din același exemplu, 32 poate fi reprezentat ca produsul aceleiași baze (două), luat de 5 ori. Și într-adevăr, dacă îl socotiți, atunci:
Astfel, putem concluziona cu încredere că:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Această regulă funcționează cu succes pentru orice indicator și orice motiv. Această proprietate a înmulțirii puterii decurge din regula că sensul expresiilor este păstrat în timpul transformărilor într-un produs. Pentru orice bază a, produsul a două expresii (a)x și (a)y este egal cu a(x + y). Cu alte cuvinte, atunci când sunt produse orice expresii cu aceeași bază, monomiul rezultat are un grad total format prin adăugarea gradelor primei și celei de-a doua expresii.
Regula prezentată funcționează excelent și atunci când înmulțiți mai multe expresii. Condiția principală este ca toată lumea să aibă aceleași baze. De exemplu:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Este imposibil să adăugați grade și, într-adevăr, să desfășurați acțiuni comune bazate pe putere cu două elemente ale unei expresii dacă bazele lor sunt diferite.
După cum arată videoclipul nostru, datorită asemănării proceselor de înmulțire și împărțire, regulile de adăugare a puterilor într-un produs sunt perfect transferate în procedura de împărțire. Luați în considerare acest exemplu:
Să transformăm expresia termen cu termen în forma sa completă și să reducem aceleași elemente în dividend și divizor:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Rezultatul final al acestui exemplu nu este atât de interesant, deoarece deja în procesul de rezolvare este clar că valoarea expresiei este egală cu pătratul a doi. Și este doi care se obține prin scăderea gradului celei de-a doua expresii din gradul primei.
Pentru a determina gradul coeficientului, este necesar să se scadă gradul divizorului din gradul dividendului. Regula funcționează cu aceeași bază pentru toate valorile sale și pentru toate puterile naturale. Sub formă de abstractizare avem:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Din regula împărțirii bazelor identice cu grade, urmează definiția pentru gradul zero. Evident, următoarea expresie arată astfel:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
Pe de altă parte, dacă facem împărțirea într-un mod mai vizual, obținem:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
La reducerea tuturor elementelor vizibile ale unei fracții, se obține întotdeauna expresia 1/1, adică unul. Prin urmare, este în general acceptat că orice bază ridicată la puterea zero este egală cu unu:
Indiferent de valoarea a.
Cu toate acestea, ar fi absurd dacă 0 (care încă dă 0 pentru orice înmulțire) este într-un fel egal cu unu, așa că o expresie de forma (0) 0 (zero la puterea zero) pur și simplu nu are sens, iar formula ( a) 0 = 1 adăugați o condiție: „dacă a nu este egal cu 0”.
Să rezolvăm exercițiul. Să găsim valoarea expresiei:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Deoarece baza este aceeași peste tot și egală cu 34, valoarea finală va avea aceeași bază cu un grad (conform regulilor de mai sus):
Cu alte cuvinte:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Răspuns: expresia este egală cu unu.
Vă reamintim că în această lecție o rezolvă proprietăți ale gradelor cu indicatori naturali si zero. Grade cu indicatori raționali iar proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a VIII-a.
O putere cu exponent natural are câteva proprietăți importante care ne permit să simplificăm calculele în exemple cu puteri.
Proprietatea nr. 1
Produsul puterilor
Tine minte!
La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții puterilor.
a m · a n = a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Această proprietate a puterilor se aplică și produsului a trei sau mai multe puteri.
- Simplificați expresia.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Prezintă-l ca o diplomă.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Prezintă-l ca o diplomă.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Important!
Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată vorbeam doar despre înmulțirea puterilor cu pe aceleași temeiuri . Nu se aplică la adăugarea lor.
Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5. Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243
Proprietatea nr. 2
Grade parțiale
Tine minte!
La împărțirea puterilor cu aceleași baze, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Răspuns: t = 3 4 = 81Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.
- Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile exponenților.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Important!
Vă rugăm să rețineți că în Proprietatea 2 vorbeam doar despre împărțirea puterilor cu aceleași baze.
Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1. Acest lucru este de înțeles dacă numărați (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4
Atenție!
Proprietatea nr. 3
Ridicarea unui grad la putereTine minte!
La ridicarea unui grad la o putere, baza gradului rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.
(a n) m = a n · m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Proprietăți 4
Puterea produsuluiTine minte!
Când ridicați un produs la o putere, fiecare dintre factori este ridicat la o putere. Rezultatele obţinute sunt apoi multiplicate.
(a b) n = a n b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale; „n” este orice număr natural.
- Exemplul 1.
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2 - Exemplul 2.
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Important!
Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.
(a n b n)= (a b) nAdică, pentru a înmulți puteri cu aceiași exponenți, poți înmulți bazele, dar lasă exponentul neschimbat.
- Exemplu. Calculati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000 - Exemplu. Calculati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
În mai mult exemple complexe Pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.
De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Un exemplu de ridicare a unei zecimale la o putere.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4Proprietăți 5
Puterea unui coeficient (fracție)Tine minte!
Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.
(a: b) n = a n: b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.
- Exemplu. Prezentați expresia ca un coeficient de puteri.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.
- Exemplul 1.
Au aceleași puteri, dar exponenții puterilor nu sunt aceiași, 2² * 2³, atunci rezultatul va fi baza gradului cu aceeași bază identică a termenilor produsului puterilor ridicate la exponent, egal cu suma indicatori ai tuturor puterilor multiplicate.
2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32
Dacă termenii produsului puterilor au motive diferite grade și exponenții sunt aceiași, de exemplu, 2³ * 5³, atunci rezultatul va fi produsul bazelor acestor grade, ridicat la un exponent egal cu același exponent.
2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000
Dacă puterile înmulțite sunt egale între ele, de exemplu, 5³ * 5³, atunci rezultatul va fi o putere cu o bază egală cu aceste baze identice de puteri, ridicată la un exponent egal cu exponentul puterilor, înmulțit cu numărul acestor puteri identice.
5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625
Sau alt exemplu cu același rezultat:
5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625
Surse:
- Ce este o diplomă cu exponent natural?
- produs al puterilor
Operatii matematice cu puteri pot fi efectuate numai atunci când bazele exponenților sunt aceleași și când există semne de înmulțire sau împărțire între ei. Baza unui exponent este numărul care este ridicat la o putere.
Instrucțiuni
Dacă numerele sunt divizibile între ele (cm 1), atunci y (în acest exemplu, acesta este numărul 3) apare ca o putere, care se formează prin scăderea exponenților. Mai mult, această acțiune este efectuată direct: a doua este scăzută din primul indicator. Exemplul 1. Să introducem: (a)b, unde între paranteze – a este baza, în afara parantezei – în – exponentul. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Dacă răspunsul se dovedește a fi un număr din grad negativ, atunci acest număr este convertit în fracție comună, la numărătorul căruia se află o unitate, iar la numitor baza cu exponentul obținut din diferență, numai în formă pozitivă (cu semnul plus). Exemplul 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Împărțirea puterilor poate fi scrisă într-o formă diferită, prin semnul fracției, și nu așa cum este indicat în acest pas prin semnul „:”. Acest lucru nu schimbă principiul soluției, totul se face exact la fel, doar introducerea se va face cu un semn de fracție orizontal (sau oblic) în loc de două puncte.Exemplu 3. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2 ) -2 = 1/(2)2 = ¼.
La înmulțirea bazelor identice care au grade, gradele sunt adăugate. Exemplul 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Dacă exponenții au semne diferite, atunci adunarea lor se face conform legilor matematice.Exemplu 5. (2) )1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼.
Dacă bazele exponenților diferă, atunci cel mai probabil pot fi aduse la aceeași formă prin transformare matematică. Exemplul 6. Să presupunem că trebuie să găsim valoarea expresiei: (4)2: (2)3. Știind că numărul patru poate fi reprezentat ca doi pătrați, rezolvăm acest exemplu deci:(4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Apoi, atunci când ridicați un număr la o putere. Având deja o diplomă, indicii gradelor se înmulțesc între ei: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .
Amintiți-vă, dacă o bază dată pare diferită de a doua bază, căutați o soluție matematică. Doar numere diferite nu sunt date. Cu excepția cazului în care scriitorul a făcut o greșeală de tipar în manual.
Formatul de putere de scriere a unui număr este o formă scurtă de scriere a operației de înmulțire a unei baze de la sine. Cu un număr prezentat în această formă, puteți efectua aceleași operații ca și cu orice alte numere, inclusiv ridicarea lor la o putere. De exemplu, puteți ridica pătratul unui număr la o putere arbitrară și obținerea rezultatului la nivelul actual de dezvoltare tehnologică nu va pune nicio dificultate.
Vei avea nevoie
- Acces la internet sau calculator Windows.
Instrucțiuni
Pentru a ridica un pătrat la o putere, utilizați regula generală pentru ridicarea unui pătrat la o putere care are deja un exponent de putere. Cu această operație, indicatorii sunt înmulțiți, dar baza rămâne aceeași. Dacă baza este desemnată ca x, iar indicatorii originali și suplimentari sunt desemnați ca a și b, scrieți această regulă în vedere generala poți face asta: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.
Proprietățile de bază ale gradelor
„Proprietăți ale diplomelor” este o interogare destul de populară în motoarele de căutare, care arată un mare interes pentru proprietățile gradului. Am colectat pentru dvs. toate proprietățile unui grad (proprietățile unui grad cu exponent natural, proprietățile unui grad cu un exponent rațional, proprietățile unui grad cu exponent întreg) într-un singur loc. Puteți descărca o versiune scurtă a fișei de cheat „Proprietăți ale diplomelor”în format .pdf, astfel încât, dacă este necesar, să le puteți aminti cu ușurință sau să vă familiarizați cu ele proprietăți ale gradelor direct pe site. In detalii proprietățile puterilor cu exemple discutat mai jos.
Descărcați fisa de cheat „Proprietățile grade” (format.pdf)
Proprietățile grade (pe scurt)
A 0=1 dacă A≠0
A 1=A
(−A)n=un, Dacă n- chiar
(−A)n=−un, Dacă n- ciudat
(A⋅b)n=un⋅bn
(ab)n=anbn
A−n=1un
(ab)−n=(ba)n
un⋅a.m=un+m
anam=un−m
(un)m=un⋅m
Proprietățile grade (cu exemple)
Proprietate de gradul I Orice număr altul decât zero la puterea zero este egal cu unu. A 0=1 dacă A≠0 De exemplu: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
Proprietate de gradul II Orice număr la prima putere este egal cu numărul însuși. A 1=A De exemplu: 231=23, (−9,3)1=−9,3
Proprietate de gradul 3 Orice număr la o putere pară este pozitiv. un=un, Dacă n- număr întreg par (divizibil cu 2) (− A)n=un, Dacă n- număr întreg par (divizibil cu 2). De exemplu: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
proprietate de gradul 4 Orice număr la o putere impară își păstrează semnul. un=un, Dacă n- număr întreg impar (nu este divizibil cu 2) (− A)n=−un, Dacă n- număr întreg impar (nu este divizibil cu 2). De exemplu: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
proprietate de gradul 5 Produsul numerelor crescute Oh la o putere, poate fi reprezentat ca produsul numerelor crescute s V acest grad (și invers). ( A⋅b)n=un⋅bn, în care A, b, n De exemplu: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
proprietate de gradul 6 Coeficientul (diviziunea) numerelor crescute Oh la o putere, poate fi reprezentat ca coeficientul numerelor crescute s V acest grad (și invers). ( ab)n=anbn, în care A, b, n- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
proprietate de gradul 7 Orice număr la o putere negativă este egal cu numărul său reciproc cu acea putere. (Reciproca este numărul cu care numărul dat trebuie înmulțit pentru a obține unul.) A−n=1un, în care AȘi n- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: 7−2=172=149
proprietate de gradul 8 Orice fracție a unei puteri negative este egală cu fracția reciprocă a acelei puteri. ( ab)−n=(ba)n, în care A, b, n- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
proprietate de gradul 9 La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, se adaugă exponenții, dar baza rămâne aceeași. un⋅a.m=un+m, în care A, n, m- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu: 23⋅25=23+5=28, rețineți că această proprietate a gradului se păstrează pentru valorile negative ale gradelor 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44
proprietate de gradul 10 La împărțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții sunt scăzuți, dar baza rămâne aceeași. anam=un−m, în care A, n, m- orice numere valide (nu neapărat întregi). De exemplu:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, observați cum această proprietate a puterii se aplică puterilor negative3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410
Proprietate de gradul 11 Când ridicați o putere la o putere, puterile sunt înmulțite. ( un)m=un⋅m De exemplu: (23)2=23⋅2=26=64
Tabelul puterilor până la 10
Puțini oameni reușesc să-și amintească întregul tabel de grade și cine are nevoie de el când este atât de ușor de găsit? Masa noastră de putere include atât tabele populare de pătrate și cuburi (de la 1 la 10), cât și tabele de alte puteri care sunt mai puțin comune. Coloanele tabelului puterilor indică bazele gradului (numărul care trebuie ridicat la o putere), rândurile indică exponenții (puterea la care trebuie ridicat numărul) și la intersecția dintre coloana dorită și rândul dorit este rezultatul ridicării numărului dorit la o putere dată. Există mai multe tipuri de probleme care pot fi rezolvate folosind tabele de putere. Sarcina imediată este de a calcula n puterea a unui număr. Problema inversă, care poate fi rezolvată și cu ajutorul unui tabel de puteri, poate suna astfel: „la ce putere trebuie ridicat numărul? A pentru a obține numărul b ?" sau "Ce număr la putere n dă un număr b ?".
Tabelul puterilor până la 10
|
1 n |
2 n |
3 n |
4 n |
5 n |
6 n |
7 n |
8 n |
9 n |
10 n |
|
Cum se utilizează tabelul de grade
Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a mesei de putere.
Exemplul 1. Ce număr rezultă din ridicarea numărului 6 la puterea a 8-a?În tabelul de grade căutăm coloana 6 n, deoarece în funcție de condițiile problemei numărul 6 este ridicat la o putere. Apoi în tabelul puterilor căutăm linia 8, deoarece numărul dat trebuie ridicat la puterea lui 8. La intersecție ne uităm la răspunsul: 1679616.
Exemplul 2. La ce putere trebuie ridicat numărul 9 pentru a obține 729?În tabelul de grade căutăm coloana 9 nși o coborâm la numărul 729 (a treia linie a tabelului nostru de grade). Numărul liniei este gradul necesar, adică răspunsul: 3.
Exemplul 3. Ce număr trebuie ridicat la puterea lui 7 pentru a obține 2187?În tabelul de grade căutăm linia 7, apoi trecem de-a lungul ei la dreapta până la numărul 2187. Din numărul găsit urcăm și aflăm că antetul acestei coloane este 3 n, ceea ce înseamnă că răspunsul este: 3.
Exemplul 4. La ce putere trebuie ridicat numărul 2 pentru a obține 63?În tabelul de grade găsim coloana 2 nși o coborâm până când întâlnim 63... Dar asta nu se va întâmpla. Nu vom vedea niciodată numărul 63 în această coloană sau în orice altă coloană a tabelului puterilor, ceea ce înseamnă că niciun număr întreg de la 1 la 10 nu dă numărul 63 atunci când este ridicat la o putere întreagă de la 1 la 10. Astfel, nu există Răspuns .
