Στα μαθήματα για εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδοΚαι εξισώσεις ευθείας στο χώρο.
Γνωρίστε έναν παλιό φίλο:
Το καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές στέφεται περήφανα με ένα γράφημα και, όπως γνωρίζετε, Το εμβαδόν υπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμασύμφωνα με τον στοιχειώδη τύπο ή εν συντομία: .
Ας εξετάσουμε την κατάσταση όταν ίδια λειτουργίαδίνεται σε παραμετρική μορφή.
Πώς να βρείτε την περιοχή σε αυτήν την περίπτωση;
Σε μερικά αρκετά συγκεκριμένοτιμή της παραμέτρου, οι παραμετρικές εξισώσεις θα καθορίσουν τις συντεταγμένες του σημείου, και για ένα άλλο αρκετά συγκεκριμένοτιμή – συντεταγμένες του σημείου. Όταν το "te" αλλάζει από σε συμπερίληψη, οι παραμετρικές εξισώσεις "σχεδιάζουν" την καμπύλη. Νομίζω ότι όλα έχουν γίνει ξεκάθαρα σχετικά με τα όρια της ένταξης. Τώρα στο ολοκλήρωμα αντί"X" και "Y" αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις και ανοίγουμε το διαφορικό:
Σημείωση : υποτίθεται ότι οι συναρτήσεις συνεχήςσχετικά με το διάστημα ολοκλήρωσης και, επιπλέον, τη συνάρτηση μονότονοςΣε αυτόν.
Ο τύπος για τον όγκο ενός σώματος περιστροφής είναι εξίσου απλός:
Ο όγκος ενός σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα καμπύλο τραπεζοειδές γύρω από τον άξονα υπολογίζεται με τον τύπο 
ή: . Αντικαθιστούμε παραμετρικές συναρτήσεις σε αυτό, καθώς και όρια ολοκλήρωσης:
Καταγράψτε και τους δύο τύπους εργασίας στο βιβλίο αναφοράς σας.
Σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, τα προβλήματα εύρεσης όγκου είναι αρκετά σπάνια, και ως εκ τούτου σημαντικό μέρος των παραδειγμάτων αυτό το μάθημαθα αφιερωθεί στην εύρεση της περιοχής. Ας μην αναβάλλουμε τα πράγματα για πολύ:
Παράδειγμα 1
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός κυρτού τραπεζοειδούς 
, Αν
Λύση: χρησιμοποιήστε τον τύπο 
.
Ένα κλασικό πρόβλημα σε ένα θέμα που γίνεται κατανοητό πάντα και παντού:
Παράδειγμα 2
Υπολογίστε το εμβαδόν μιας έλλειψης
Λύση: για οριστικότητα, υποθέτουμε ότι οι παραμετρικές εξισώσεις ορίζουν κανονική έλλειψημε κέντρο στην αρχή, ημι-κύριο άξονα «α» και ημι-μικρό άξονα «be». Δηλαδή σύμφωνα με την προϋπόθεση δεν μας προσφέρεται τίποτα περισσότερο από
βρείτε το εμβαδόν της έλλειψης
Είναι προφανές ότι οι παραμετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, και . Φαίνεται ότι μπορείτε να φορτίσετε τον τύπο, αλλά δεν είναι όλα τόσο διαφανή. Ας ανακαλύψουμε κατεύθυνση, στο οποίο οι παραμετρικές εξισώσεις «σχεδιάζουν» μια έλλειψη. Ως οδηγός, θα βρούμε πολλά σημεία που αντιστοιχούν στις απλούστερες τιμές παραμέτρων: 
Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι όταν η παράμετρος "te" αλλάζει από μηδέν σε "δύο pi", οι παραμετρικές εξισώσεις "σχεδιάζουν" μια έλλειψη αριστερόστροφα:
Λόγω της συμμετρίας του σχήματος, υπολογίζουμε το μέρος του εμβαδού στο 1ο τέταρτο συντεταγμένων και πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το 4. Εδώ βλέπουμε ουσιαστικά την ίδια εικόνα που σχολίασα ακριβώς παραπάνω: οι παραμετρικές εξισώσεις «σχεδιάζουν» το τόξο του η έλλειψη «στην αντίθετη κατεύθυνση» του άξονα, αλλά οι αριθμοί του εμβαδού μετρώνται από αριστερά προς τα δεξιά! Να γιατί πιο χαμηλατο όριο ολοκλήρωσης αντιστοιχεί στην τιμή και μπλουζαόριο – τιμή.
Όπως είχα ήδη συμβουλέψει στο μάθημα Περιοχή σε πολικές συντεταγμένες, τετραπλασιάστε το αποτέλεσμα είναι καλύτερο Με τη μία:
Το ολοκλήρωμα (αν κάποιος ανακάλυψε ξαφνικά ένα τόσο απίστευτο κενό) αναλύθηκε στην τάξη Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Απάντηση:
Ουσιαστικά, έχουμε αντλήσει έναν τύπο για την εύρεση της περιοχής έλλειψη. Και αν στην πράξη συναντήσετε μια εργασία με συγκεκριμένες τιμές "a" και "be", τότε μπορείτε εύκολα να εκτελέσετε μια συμφωνία/έλεγχο, καθώς το πρόβλημα λύνεται σε μια γενική μορφή.
Το εμβαδόν της έλλειψης υπολογίζεται επίσης σε ορθογώνιες συντεταγμένες· για να γίνει αυτό, πρέπει να εκφράσετε το "y" από την εξίσωση και να λύσετε το πρόβλημα ακριβώς όπως στο Παράδειγμα Νο. 4 του άρθρου Αποτελεσματικές μέθοδοι επίλυσης ορισμένων ολοκληρωμάτων. Βεβαιωθείτε ότι έχετε δει αυτό το παράδειγμα και συγκρίνετε πόσο πιο εύκολο είναι να υπολογίσετε το εμβαδόν μιας έλλειψης εάν ορίζεται παραμετρικά.
Και, φυσικά, σχεδόν ξέχασα, οι παραμετρικές εξισώσεις μπορούν να ορίσουν έναν κύκλο ή μια έλλειψη σε μια μη κανονική θέση.
Παράδειγμα 3
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τόξου ενός κυκλοειδούς 
Για να λύσετε ένα πρόβλημα, πρέπει να ξέρετε τι είναι κυκλοειδήςή τουλάχιστον να ολοκληρώσει καθαρά τυπικά το σχέδιο. Δείγμα κατά προσέγγισηεγγραφή στο τέλος του μαθήματος. Ωστόσο, δεν θα σας στείλω μακριά· μπορείτε να δείτε το γράφημα αυτής της γραμμής στο ακόλουθο πρόβλημα:
Παράδειγμα 4
Λύση: παραμετρικές εξισώσεις 
ορίστε ένα κυκλοειδές και ο περιορισμός υποδηλώνει το γεγονός ότι μιλάμε για αυτό πρώτο αρχ, το οποίο "σχεδιάζεται" όταν η τιμή της παραμέτρου αλλάζει εντός . Λάβετε υπόψη ότι εδώ είναι η "σωστή" κατεύθυνση αυτού του "σχεδίου" (από αριστερά προς τα δεξιά), που σημαίνει ότι δεν θα υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ολοκλήρωσης. Αλλά ένα σωρό άλλα ωραία πράγματα θα εμφανιστούν =) Η εξίσωση τίθεται απευθείας, παράλληλα με τον άξονα x και μια πρόσθετη συνθήκη (εκ. γραμμικές ανισότητες)
μας λέει ότι πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν του παρακάτω σχήματος: 
Θα ονομάσω συνειρμικά την επιθυμητή σκιασμένη φιγούρα "στέγη του σπιτιού", το ορθογώνιο - "τοίχος του σπιτιού" και ολόκληρη τη δομή (τοίχος + στέγη) - "πρόσοψη του σπιτιού". Αν και αυτό το κτίριο μοιάζει περισσότερο με κάποιο είδος στάβλο =)
Για να βρείτε την περιοχή της "οροφής" είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε την περιοχή του "τοίχου" από την περιοχή της "πρόσοψης".
Αρχικά, ας ασχοληθούμε με την «πρόσοψη». Για να βρείτε την περιοχή του, πρέπει να μάθετε τις τιμές που καθορίζουν τα σημεία τομής της γραμμής με το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς (σημεία και ). Ας αντικαταστήσουμε στην παραμετρική εξίσωση:
Μια τριγωνομετρική εξίσωση μπορεί να λυθεί εύκολα κοιτάζοντας απλά συνημίτονο οικόπεδο: στο διάστημα, η ισότητα ικανοποιείται από δύο ρίζες: . Κατ 'αρχήν, όλα είναι ξεκάθαρα, αλλά, ωστόσο, ας το παίξουμε με ασφάλεια και ας τα αντικαταστήσουμε στην εξίσωση:
– αυτή είναι η συντεταγμένη «Χ» του σημείου.
– και αυτή είναι η συντεταγμένη «Χ» του σημείου.
Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι ότι η τιμή της παραμέτρου αντιστοιχεί στο σημείο και η τιμή αντιστοιχεί στο σημείο.
Ας υπολογίσουμε την περιοχή της "πρόσοψης". Για πιο συμπαγή συμβολισμό, η συνάρτηση συχνά διαφοροποιείται ακριβώς κάτω από το ολοκλήρωμα: 
Η περιοχή του "τοίχου" μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο "σχολείο" πολλαπλασιάζοντας τα μήκη των γειτονικών πλευρών του ορθογωνίου. Το μήκος είναι προφανές, το μόνο που μένει είναι να το βρούμε. Υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ των συντεταγμένων "X" των σημείων "tse" και "be" (που βρέθηκαν νωρίτερα):
Περιοχή τοίχου:
Φυσικά, δεν είναι ντροπή να το βρεις ακόμα και με τη βοήθεια των πιο απλών οριστικό ολοκλήρωμααπό τη συνάρτηση στο τμήμα:
Ως αποτέλεσμα, η περιοχή στέγης είναι:
Απάντηση: 
Και, φυσικά, αν έχουμε ένα σχέδιο, υπολογίζουμε, κουτί-κουτί, αν το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι παρόμοιο με την αλήθεια. Παρόμοιος
Επόμενη εργασία για ανεξάρτητη απόφαση:
Παράδειγμα 5
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές που δίνονται από εξισώσεις 
Ας συστηματοποιήσουμε εν συντομία τον αλγόριθμο λύσης:
– Στις περισσότερες περιπτώσεις, θα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο και να καθορίσετε τη φιγούρα της οποίας την περιοχή θέλετε να βρείτε.
– Στο δεύτερο βήμα, θα πρέπει να καταλάβετε πώς υπολογίζεται το απαιτούμενο εμβαδόν: μπορεί να είναι ένα μόνο καμπύλο τραπεζοειδές, μπορεί να είναι διαφορά σε εμβαδά, μπορεί να είναι ένα άθροισμα εμβαδών - με λίγα λόγια, όλες εκείνες οι μάρκες που εξετάσαμε στο μάθημα.
– Στο τρίτο βήμα, πρέπει να αναλύσουμε αν είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσουμε τη συμμετρία του σχήματος (αν είναι συμμετρική) και στη συνέχεια να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης (την αρχική και την τελική τιμή της παραμέτρου). Συνήθως αυτό απαιτεί την επίλυση του απλούστερου τριγωνομετρική εξίσωση– μπορεί να χρησιμοποιηθεί εδώ αναλυτική μέθοδος, γραφική μέθοδοςή απλή επιλογή των απαραίτητων ριζών σύμφωνα με τριγωνομετρικός πίνακας.
! Μην ξεχνάτεότι οι παραμετρικές εξισώσεις μπορούν να «σχεδιάσουν» μια γραμμή από τα δεξιά προς τα αριστερά, σε αυτή την περίπτωση κάνουμε μια κατάλληλη κράτηση και τροποποίηση στον τύπο εργασίας.
– Και στο τελικό στάδιο γίνονται τεχνικοί υπολογισμοί. Είναι πάντα ωραίο να αξιολογούμε την αληθοφάνεια της απάντησης που λαμβάνεται από το σχέδιο.
Και τώρα η πολυαναμενόμενη συνάντηση με το αστέρι:
Παράδειγμα 6
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές που δίνονται από εξισώσεις
Λύση: η καμπύλη που δίνουν οι εξισώσεις είναι αστροειδής, Και γραμμική ανισότηταπροσδιορίζει μοναδικά τη σκιασμένη φιγούρα στο σχέδιο: 
Ας βρούμε τις τιμές παραμέτρων που καθορίζουν τα σημεία τομής της γραμμής και του αστεροειδή. Για να γίνει αυτό, ας αντικαταστήσουμε στην παραμετρική εξίσωση:
Μέθοδοι για την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης έχουν ήδη αναφερθεί παραπάνω· συγκεκριμένα, αυτές οι ρίζες μπορούν εύκολα να επιλεγούν σύμφωνα με τριγωνομετρικός πίνακας.
Το σχήμα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα x, οπότε ας υπολογίσουμε το πάνω μισό της περιοχής (μπλε σκίαση) και ας διπλασιάσουμε το αποτέλεσμα.
Ας αντικαταστήσουμε την τιμή στην παραμετρική εξίσωση: 
Ως αποτέλεσμα, λάβαμε την «ελληνική» συντεταγμένη του άνω (χρειαζόμαστε) σημείο τομής του αστροειδούς και της ευθείας.
Η δεξιά κορυφή του αστροειδούς αντιστοιχεί προφανώς στην τιμή . Ας ελέγξουμε για κάθε περίπτωση: 
, που ήταν αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.
Όπως και με την έλλειψη, οι παραμετρικές εξισώσεις «σχεδιάζουν» το τόξο του αστροειδούς από δεξιά προς τα αριστερά. Για ποικιλία, θα μορφοποιήσω την κατάληξη με τον δεύτερο τρόπο: όταν η παράμετρος αλλάζει εντός των ορίων, η συνάρτηση μειώνεται, επομένως (μην ξεχάσετε να διπλασιάσετε!!):
Το ολοκλήρωμα αποδείχθηκε αρκετά δυσκίνητο και για να "μην μεταφέρετε τα πάντα μαζί σας", είναι καλύτερο να διακόψετε τη λύση και να μετατρέψετε το ολοκλήρωμα ξεχωριστά. Πρότυπο χαμηλώστε το βαθμόμε τη χρήση τριγωνομετρικούς τύπους:
Κατάλληλο, στην τελευταία θητεία ας βάλουμε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο:
Απάντηση:
Ναι, είναι λίγο δύσκολο με τα αστέρια =)
Η ακόλουθη εργασία είναι για προχωρημένους μαθητές:
Παράδειγμα 7
Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές που δίνονται από εξισώσεις
Για να το λύσουμε, θα υπάρχουν αρκετά υλικά που έχουμε ήδη εξετάσει, αλλά η συνηθισμένη διαδρομή είναι πολύ μεγάλη, και τώρα θα σας πω για ένα ακόμη αποτελεσματική μέθοδος. Η ιδέα είναι πραγματικά γνωστή από το μάθημα Υπολογισμός περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος– αυτή είναι η ολοκλήρωση πάνω από τη μεταβλητή «y» και η χρήση του τύπου 
. Αντικαθιστώντας τις παραμετρικές συναρτήσεις σε αυτό, λαμβάνουμε έναν τύπο εργασίας κατοπτρισμού:
Αλήθεια, γιατί είναι χειρότερο από το «κανονικό»; Αυτό είναι ένα άλλο πλεονέκτημα της παραμετρικής μορφής - η εξίσωση 
ικανό να παίξει το ρόλο όχι μόνο ενός «συνηθισμένου», αλλά ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑΚαι αντίστροφη συνάρτηση.
Στην περίπτωση αυτή, θεωρείται ότι οι συναρτήσεις συνεχήςσχετικά με το διάστημα ολοκλήρωσης και τη συνάρτηση μονότονοςΣε αυτόν. Επιπλέον, εάν μειώνεταιστο διάστημα ολοκλήρωσης (οι παραμετρικές εξισώσεις «σχεδιάζουν» το γράφημα «στην αντίθετη κατεύθυνση» (προσοχή!!) άξονα), στη συνέχεια χρησιμοποιώντας την τεχνολογία που έχει ήδη συζητηθεί, θα πρέπει να αναδιατάξετε τα όρια της ενοποίησης ή να βάλετε αρχικά ένα «μείον» μπροστά από το ολοκλήρωμα.
Η λύση και η απάντηση στο Παράδειγμα Νο. 7 βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.
Η τελευταία μίνι ενότητα είναι αφιερωμένη σε ένα πιο σπάνιο πρόβλημα:
Πώς να βρείτε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής,
αν το σχήμα περιορίζεται από μια παραμετρικά καθορισμένη γραμμή;
Ας ενημερώσουμε τον τύπο που προέκυψε στην αρχή του μαθήματος: 
. Η γενική μέθοδος επίλυσης είναι ακριβώς η ίδια με την εύρεση της περιοχής. Θα βγάλω μερικές εργασίες από τον κουμπαρά μου.
Ενότητες: Μαθηματικά
Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο.
Σκοπός του μαθήματος:μάθετε να υπολογίζετε τους όγκους των σωμάτων περιστροφής χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.
Καθήκοντα:
- να παγιώσει την ικανότητα αναγνώρισης καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών από έναν αριθμό γεωμετρικών σχημάτων και να αναπτύξει την ικανότητα υπολογισμού των περιοχών των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών.
- εξοικειωθείτε με την έννοια μιας τρισδιάστατης φιγούρας.
- μάθουν να υπολογίζουν τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.
- προώθηση της ανάπτυξης λογικής σκέψης, ικανής μαθηματικής ομιλίας, ακρίβειας κατά την κατασκευή σχεδίων.
- να καλλιεργήσει ενδιαφέρον για το θέμα, να λειτουργήσει με μαθηματικές έννοιες και εικόνες, να καλλιεργήσει θέληση, ανεξαρτησία και επιμονή για την επίτευξη του τελικού αποτελέσματος.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
Ι. Οργανωτική στιγμή.
Χαιρετισμούς από την ομάδα. Κοινοποίηση των στόχων του μαθήματος στους μαθητές.
Αντανάκλαση. Ήρεμη μελωδία.
– Θα ήθελα να ξεκινήσω το σημερινό μάθημα με μια παραβολή. «Μια φορά κι έναν καιρό ζούσε ένας σοφός που ήξερε τα πάντα. Ένας άντρας ήθελε να αποδείξει ότι ο σοφός δεν τα ξέρει όλα. Κρατώντας μια πεταλούδα στις παλάμες του, ρώτησε: «Πες μου, φασκόμηλο, ποια πεταλούδα είναι στα χέρια μου: νεκρή ή ζωντανή;» Και ο ίδιος σκέφτεται: «Αν πει ο ζωντανός, θα τη σκοτώσω· ο νεκρός θα πει, θα την ελευθερώσω». Ο σοφός, αφού σκέφτηκε, απάντησε: «Όλα στα χέρια σου». (Παρουσίαση.Ολίσθηση)
– Επομένως, ας εργαστούμε γόνιμα σήμερα, ας αποκτήσουμε ένα νέο απόθεμα γνώσεων και θα εφαρμόσουμε τις αποκτηθείσες δεξιότητες και ικανότητες στη μελλοντική ζωή και στις πρακτικές δραστηριότητες. «Όλα στα χέρια σου».
II. Επανάληψη υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως.
– Ας θυμηθούμε τα κύρια σημεία του υλικού που μελετήθηκε προηγουμένως. Για να γίνει αυτό, ας ολοκληρώσουμε την εργασία «Καταργήστε την επιπλέον λέξη».(Ολίσθηση.)
(Ο μαθητής πηγαίνει στο I.D. χρησιμοποιεί μια γόμα για να αφαιρέσει την επιπλέον λέξη.)
- Σωστά "Διαφορικός". Προσπαθήστε να ονομάσετε τις υπόλοιπες λέξεις ως μία σε γενικές γραμμές. (Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ.)
– Ας θυμηθούμε τα κύρια στάδια και τις έννοιες που σχετίζονται με τον ολοκληρωτικό λογισμό..
«Μαθηματική δέσμη».
Ασκηση. Ανακτήστε τα κενά. (Ο μαθητής βγαίνει και γράφει με ένα στυλό με τις λέξεις που απαιτούνται.)
– Θα ακούσουμε μια περίληψη για την εφαρμογή των ολοκληρωμάτων αργότερα.
Εργασία σε σημειωματάρια.
– Ο τύπος Newton-Leibniz προήλθε από τον Άγγλο φυσικό Isaac Newton (1643–1727) και τον Γερμανό φιλόσοφο Gottfried Leibniz (1646–1716). Και αυτό δεν προκαλεί έκπληξη, γιατί τα μαθηματικά είναι η γλώσσα που μιλά η ίδια η φύση.
– Ας εξετάσουμε πώς χρησιμοποιείται αυτός ο τύπος για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων.
Παράδειγμα 1: Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές
Λύση: Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων στο επίπεδο συντεταγμένων . Ας επιλέξουμε την περιοχή του σχήματος που πρέπει να βρεθεί.
III. Εκμάθηση νέου υλικού.
– Δώστε προσοχή στην οθόνη. Τι φαίνεται στην πρώτη εικόνα; (Ολίσθηση) (Το σχήμα δείχνει μια επίπεδη φιγούρα.)
– Τι φαίνεται στη δεύτερη εικόνα; Είναι επίπεδη αυτή η φιγούρα; (Ολίσθηση) (Το σχήμα δείχνει ένα τρισδιάστατο σχήμα.)
– Στο διάστημα, στη γη και μέσα Καθημερινή ζωήΔεν συναντάμε μόνο επίπεδες φιγούρες, αλλά και τρισδιάστατες, αλλά πώς μπορούμε να υπολογίσουμε τον όγκο τέτοιων σωμάτων; Για παράδειγμα, ο όγκος ενός πλανήτη, κομήτη, μετεωρίτη κ.λπ.
– Οι άνθρωποι σκέφτονται τον όγκο τόσο όταν χτίζουν σπίτια όσο και όταν ρίχνουν νερό από το ένα σκάφος στο άλλο. Έπρεπε να προκύψουν κανόνες και τεχνικές για τον υπολογισμό των όγκων· το πόσο ακριβείς και λογικοί ήταν είναι άλλο θέμα.
Μήνυμα μαθητή. (Τυουρίνα Βέρα.)
Το έτος 1612 ήταν πολύ καρποφόρο για τους κατοίκους της αυστριακής πόλης Linz, όπου έζησε ο διάσημος αστρονόμος Johannes Kepler, ειδικά για τα σταφύλια. Οι άνθρωποι ετοίμαζαν βαρέλια κρασιού και ήθελαν να μάθουν πώς να προσδιορίζουν πρακτικά τον όγκο τους. (Διαφάνεια 2)
– Έτσι, τα εξεταζόμενα έργα του Κέπλερ έθεσαν τα θεμέλια για μια ολόκληρη ροή έρευνας που κορυφώθηκε στο τελευταίο τέταρτο του 17ου αιώνα. σχέδιο στα έργα των I. Newton και G.V. Leibniz διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Από εκείνη την εποχή, τα μαθηματικά των μεταβλητών κατέλαβαν ηγετική θέση στο σύστημα της μαθηματικής γνώσης.
– Σήμερα εσείς και εγώ θα εμπλακούμε σε τέτοιες πρακτικές δραστηριότητες, επομένως,
Το θέμα του μαθήματός μας: "Υπολογισμός των όγκων των σωμάτων περιστροφής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα." (Ολίσθηση)
– Θα μάθετε τον ορισμό του σώματος περιστροφής ολοκληρώνοντας την παρακάτω εργασία.
"Λαβύρινθος".
Λαβύρινθος (ελληνική λέξη) σημαίνει μπαίνω στην υπόγεια. Ένας λαβύρινθος είναι ένα περίπλοκο δίκτυο μονοπατιών, περασμάτων και δωματίων που συνδέονται μεταξύ τους.
Αλλά ο ορισμός ήταν "σπασμένος", αφήνοντας υποδείξεις με τη μορφή βελών.
Ασκηση. Βρείτε μια διέξοδο από τη μπερδεμένη κατάσταση και γράψτε τον ορισμό.
Ολίσθηση. «Οδηγία χάρτη» Υπολογισμός τόμων.
Χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο ενός συγκεκριμένου σώματος, ειδικότερα, ενός σώματος περιστροφής.
Ένα σώμα περιστροφής είναι ένα σώμα που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα καμπύλο τραπεζοειδές γύρω από τη βάση του (Εικ. 1, 2)
Ο όγκος ενός σώματος περιστροφής υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν από τους τύπους:
1.
γύρω από τον άξονα OX.
2. 
, εάν η περιστροφή ενός κυρτού τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα του op-amp.
Κάθε μαθητής λαμβάνει μια κάρτα διδασκαλίας. Ο δάσκαλος τονίζει τα κύρια σημεία.
– Ο δάσκαλος εξηγεί τις λύσεις των παραδειγμάτων στον πίνακα.
Ας δούμε ένα απόσπασμα από το διάσημο παραμύθι του A. S. Pushkin «Η ιστορία του Τσάρου Σαλτάν, του ένδοξου και πανίσχυρου γιου του Πρίγκιπα Γκουιντόν Σαλτάνοβιτς και της όμορφης πριγκίπισσας Κύκνου» (Διαφάνεια 4):
…..
Και ο μεθυσμένος αγγελιοφόρος έφερε
Την ίδια μέρα η παραγγελία έχει ως εξής:
«Ο βασιλιάς διατάζει τα αγόρια του,
Χωρίς να χάσω χρόνο,
Και η βασίλισσα και ο γόνος
Ρίξτε κρυφά στην άβυσσο του νερού».
Δεν υπάρχει τίποτα να κάνουμε: αγόρια,
Ανησυχία για τον κυρίαρχο
Και στη νεαρή βασίλισσα,
Ένα πλήθος ήρθε στην κρεβατοκάμαρά της.
Δήλωσαν τη θέληση του βασιλιά -
Αυτή και ο γιος της έχουν ένα κακό μερίδιο,
Διαβάσαμε το διάταγμα δυνατά,
Και η βασίλισσα την ίδια ώρα
Με έβαλαν σε ένα βαρέλι με τον γιο μου,
Έκαναν πίσσα και έφυγαν
Και με άφησαν να μπω στο okiyan -
Αυτό διέταξε ο Τσάρος Σαλτάν.
Ποιος πρέπει να είναι ο όγκος του βαρελιού για να χωρέσουν η βασίλισσα και ο γιος της;
– Εξετάστε τις παρακάτω εργασίες
1. Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας γύρω από τον άξονα τεταγμένων ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από ευθείες: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Απάντηση: 1163 εκ 3 .
Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός παραβολικού τραπεζοειδούς γύρω από τον άξονα της τετμημένης y =, x = 4, y = 0.
IV. Ενοποίηση νέου υλικού
Παράδειγμα 2. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή του πετάλου γύρω από τον άξονα x y = x 2, y 2 = x.
Ας φτιάξουμε γραφήματα της συνάρτησης. y = x 2, y 2 = x. Πρόγραμμα y2 = xμετατροπή στη φόρμα y= .
Εχουμε V = V 1 – V 2Ας υπολογίσουμε τον όγκο κάθε συνάρτησης
– Τώρα, ας δούμε τον πύργο του ραδιοφωνικού σταθμού στη Μόσχα στη Shabolovka, που κατασκευάστηκε σύμφωνα με το σχέδιο του αξιόλογου Ρώσου μηχανικού, επίτιμου ακαδημαϊκού V. G. Shukhov. Αποτελείται από μέρη - υπερβολοειδή περιστροφής. Επιπλέον, καθένα από αυτά είναι κατασκευασμένο από ευθείες μεταλλικές ράβδους που συνδέουν παρακείμενους κύκλους (Εικ. 8, 9).
- Ας εξετάσουμε το πρόβλημα.
Να βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή των τόξων υπερβολής 
γύρω από τον νοητό άξονά του, όπως φαίνεται στο Σχ. 8, όπου
κύβος μονάδες
Ομαδικές εργασίες. Οι μαθητές κάνουν κλήρο με εργασίες, σχεδιάζουν σχέδια σε χαρτί Whatman και ένας από τους εκπροσώπους της ομάδας υπερασπίζεται την εργασία.
1η ομάδα.
Κτύπημα! Κτύπημα! Άλλο ένα χτύπημα!
Η μπάλα πετάει στο τέρμα - ΜΠΑΛΑ!
Και αυτή είναι μια μπάλα καρπούζι
Πράσινο, στρογγυλό, νόστιμο.
Ρίξτε μια ματιά καλύτερα - τι μπάλα!
Δεν είναι φτιαγμένο από τίποτε άλλο εκτός από κύκλους.
Κόβουμε το καρπούζι σε κύκλους
Και γευτείτε τα.
Βρείτε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα OX της περιορισμένης συνάρτησης
Λάθος! Ο σελιδοδείκτης δεν έχει οριστεί.
– Πείτε μου, σε παρακαλώ, πού συναντάμε αυτόν τον αριθμό;
Σπίτι. εργασία για 1 ομάδα. ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ (ολίσθηση) .
"Κύλινδρος - τι είναι;" – ρώτησα τον μπαμπά μου.
Ο πατέρας γέλασε: Το πάνω καπέλο είναι καπέλο.
Για να έχετε μια σωστή ιδέα,
Ένας κύλινδρος, ας πούμε, είναι ένα τενεκέ.
Σωλήνας - κύλινδρος ατμοπλοϊκού,
Ο σωλήνας στη στέγη μας επίσης,
Όλοι οι σωλήνες είναι παρόμοιοι με έναν κύλινδρο.
Και έδωσα ένα παράδειγμα όπως αυτό -
Καλειδοσκόπιο Αγάπη μου,
Δεν μπορείς να πάρεις τα μάτια σου από πάνω του,
Και μοιάζει επίσης με κύλινδρο.
- Άσκηση. Εργασία για το σπίτι: γραφική παράσταση της συνάρτησης και υπολογισμός του όγκου.
2η ομάδα. ΚΩΝΟΣ (ολίσθηση).
Η μαμά είπε: Και τώρα
Η ιστορία μου θα είναι για τον κώνο.
Stargazer με ψηλό καπέλο
Μετράει τα αστέρια όλο το χρόνο.
ΚΩΝΟΣ - καπέλο αστεροειδή.
Έτσι είναι. Καταλαβαίνετε; Αυτό είναι.
Η μαμά στεκόταν στο τραπέζι,
Έριξα λάδι σε μπουκάλια.
-Πού είναι το χωνί; Χωρίς χοάνη.
Ψάξε το. Μην στέκεστε στο περιθώριο.
-Μαμά, δεν θα κουνήσω.
Πείτε μας περισσότερα για τον κώνο.
– Το χωνί έχει τη μορφή κώνου ποτιστήρα.
Έλα, βρες την γρήγορα για μένα.
Δεν μπορούσα να βρω το χωνί
Αλλά η μαμά έφτιαξε μια τσάντα,
Τύλιξα το χαρτόνι γύρω από το δάχτυλό μου
Και το ασφάλισε επιδέξια με έναν συνδετήρα.
Το λάδι ρέει, η μαμά είναι χαρούμενη,
Ο κώνος βγήκε σωστά.
Ασκηση. Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που λαμβάνεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης
Σπίτι. εργασία για τη 2η ομάδα. ΠΥΡΑΜΙΔΑ(ολίσθηση).
Είδα την εικόνα. Σε αυτή την εικόνα
Υπάρχει μια ΠΥΡΑΜΙΔΑ στην αμμώδη έρημο.
Όλα στην πυραμίδα είναι εξαιρετικά,
Υπάρχει κάποιο είδος μυστηρίου και μυστηρίου σε αυτό.
Και ο Πύργος Spasskaya στην Κόκκινη Πλατεία
Είναι πολύ οικείο τόσο σε παιδιά όσο και σε ενήλικες.
Αν κοιτάξεις τον πύργο, φαίνεται συνηθισμένος,
Τι είναι πάνω από αυτό; Πυραμίδα!
Ασκηση.Εργασία για το σπίτι: να γράψετε τη συνάρτηση και να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας
– Υπολογίσαμε τους όγκους διαφόρων σωμάτων με βάση τον βασικό τύπο για τους όγκους των σωμάτων χρησιμοποιώντας ένα ολοκλήρωμα.
Αυτή είναι μια άλλη επιβεβαίωση ότι το οριστικό ολοκλήρωμα είναι κάποια βάση για τη μελέτη των μαθηματικών.
- Λοιπόν, τώρα ας ξεκουραστούμε λίγο.
Βρείτε ένα ζευγάρι.
Παίζει μαθηματικές μελωδίες ντόμινο.
«Ο δρόμος που έψαχνα εγώ ο ίδιος δεν θα ξεχαστεί ποτέ...»
Ερευνητικό έργο. Εφαρμογή του ολοκληρώματος στην οικονομία και την τεχνολογία.
Τεστ για δυνατούς μαθητές και μαθηματικό ποδόσφαιρο.
Μαθηματικός προσομοιωτής.
2. Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης ονομάζεται
Α) αόριστο ολοκλήρωμα,
Β) λειτουργία,
Β) διαφοροποίηση.
7. Βρείτε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή γύρω από τον άξονα της τετμημένης ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από γραμμές:
Δ/Ζ. Υπολογίστε τους όγκους των σωμάτων της επανάστασης.
Αντανάκλαση.
Λήψη του προβληματισμού στη μορφή συγχρονίζω(πέντε γραμμές).
1η γραμμή – όνομα θέματος (ένα ουσιαστικό).
2η γραμμή – περιγραφή του θέματος με δύο λέξεις, δύο επίθετα.
3η γραμμή – περιγραφή της δράσης σε αυτό το θέμα με τρεις λέξεις.
Η 4η γραμμή είναι μια φράση τεσσάρων λέξεων που δείχνει τη στάση στο θέμα (μια ολόκληρη πρόταση).
Η 5η γραμμή είναι συνώνυμο που επαναλαμβάνει την ουσία του θέματος.
- Ενταση ΗΧΟΥ.
- Ορισμένη ολοκληρωτική, ενσωματώσιμη συνάρτηση.
- Χτίζουμε, περιστρέφουμε, υπολογίζουμε.
- Σώμα που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα καμπύλο τραπεζοειδές (γύρω από τη βάση του).
- Σώμα περιστροφής (ογκομετρικό γεωμετρικό σώμα).
συμπέρασμα (ολίσθηση).
- Ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένα ορισμένο θεμέλιο για τη μελέτη των μαθηματικών, το οποίο συμβάλλει αναντικατάστατα στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων.
- Το θέμα «Ολοκληρωμένο» καταδεικνύει ξεκάθαρα τη σύνδεση μεταξύ μαθηματικών και φυσικής, βιολογίας, οικονομίας και τεχνολογίας.
- Ανάπτυξη σύγχρονη επιστήμηείναι αδιανόητο χωρίς τη χρήση του ολοκληρώματος. Από αυτή την άποψη, είναι απαραίτητο να ξεκινήσει η μελέτη του στο πλαίσιο της δευτεροβάθμιας εξειδικευμένης εκπαίδευσης!
Βαθμολόγηση. (Με σχολιασμό.)
Ο μεγάλος Omar Khayyam - μαθηματικός, ποιητής, φιλόσοφος. Μας ενθαρρύνει να είμαστε κύριοι της μοίρας μας. Ας ακούσουμε ένα απόσπασμα από τη δουλειά του:
Θα πείτε, αυτή η ζωή είναι μια στιγμή.
Εκτιμήστε το, αντλήστε έμπνευση από αυτό.
Όπως το ξοδέψεις, έτσι θα περάσει.
Μην ξεχνάς: είναι η δημιουργία σου.
Όταν καταλάβαμε τη γεωμετρική σημασία ενός ορισμένου ολοκληρώματος, καταλήξαμε σε έναν τύπο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άξονα x και τις ευθείες γραμμές x = a, x = b, καθώς και μια συνεχή (μη αρνητική ή μη θετική) συνάρτηση y = f(x).Μερικές φορές είναι πιο βολικό να καθορίσετε τη συνάρτηση που περιορίζει το σχήμα σε παραμετρική μορφή, π.χ. εκφράζουν τη λειτουργική εξάρτηση μέσω της παραμέτρου t. Σε αυτό το υλικό, θα δείξουμε πώς μπορείτε να βρείτε την περιοχή ενός σχήματος εάν περιορίζεται από μια παραμετρικά καθορισμένη καμπύλη.
Αφού εξηγήσουμε τη θεωρία και εξάγουμε τον τύπο, θα δούμε αρκετά χαρακτηριστικά παραδείγματα για να βρούμε την περιοχή τέτοιων σχημάτων.
Βασικός τύπος υπολογισμού
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο, τα όρια του οποίου είναι οι ευθείες x = a, x = b, ο άξονας O x και μια παραμετρικά καθορισμένη καμπύλη x = φ (t) y = ψ (t), και η Οι συναρτήσεις x = φ (t) και y = ψ (t) είναι συνεχείς στο διάστημα α. β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .
Ορισμός 1
Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς υπό τέτοιες συνθήκες, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ " (t) d t.
Το αντλήσαμε από τον τύπο για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς S (G) = ∫ a b f (x) d x με τη μέθοδο αντικατάστασης x = φ (t) y = ψ (t):
S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t
Ορισμός 2
Λαμβάνοντας υπόψη τη μονοτονική μείωση της συνάρτησης x = φ (t) στο διάστημα β. α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .
Εάν η συνάρτηση x = φ (t) δεν είναι μία από τις βασικές στοιχειώδεις, τότε θα πρέπει να θυμόμαστε τους βασικούς κανόνες για την αύξηση και τη μείωση μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα για να προσδιορίσουμε αν θα είναι αυξανόμενη ή φθίνουσα.
Σε αυτή την παράγραφο θα αναλύσουμε πολλά προβλήματα χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο.
Παράδειγμα 1
Κατάσταση: βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που σχηματίζεται από τη γραμμή που δίνεται από εξισώσεις της μορφής x = 2 cos t y = 3 sin t.
Λύση
Έχουμε μια παραμετρικά καθορισμένη γραμμή. Γραφικά μπορεί να εμφανιστεί ως έλλειψη με δύο ημιάξονες 2 και 3. Δείτε την εικόνα:
Ας προσπαθήσουμε να βρούμε το εμβαδόν 1 4 του σχήματος που προκύπτει, το οποίο καταλαμβάνει το πρώτο τεταρτημόριο. Η περιοχή βρίσκεται στο διάστημα x ∈ a; b = 0 ; 2. Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε την τιμή που προκύπτει επί 4 και βρείτε το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος.
Εδώ είναι η πρόοδος των υπολογισμών μας:
x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Με k ίσο με 0, παίρνουμε το διάστημα β. α = 0 ; π 2. Η συνάρτηση x = φ (t) = 2 cos t θα μειωθεί μονότονα σε αυτήν (για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε το άρθρο για το κύριο στοιχειώδεις λειτουργίεςκαι τις ιδιότητες τους). Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού και να βρείτε το οριστικό ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:
- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - αμαρτία 2 π 2 2 - 0 - αμαρτία 2 0 2 = 3 π 2
Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του σχήματος που δίνεται από την αρχική καμπύλη θα είναι ίση με S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π.
Απάντηση: S(G) = 6π
Ας διευκρινίσουμε ότι κατά την επίλυση του παραπάνω προβλήματος, ήταν δυνατό να ληφθεί όχι μόνο το ένα τέταρτο της έλλειψης, αλλά και το μισό της - το πάνω ή το κάτω. Το ένα μισό θα βρίσκεται στο διάστημα x ∈ a; b = - 2 ; 2. Σε αυτή την περίπτωση θα είχαμε:
φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z
Έτσι, με k ίσο με 0, παίρνουμε β. α = 0 ; π. Η συνάρτηση x = φ (t) = 2 cos t θα μειωθεί μονότονα σε αυτό το διάστημα.
Μετά από αυτό, υπολογίζουμε το εμβαδόν του μισού της έλλειψης:
- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t " d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - αμαρτία 2 π 2 - 0 - αμαρτία 2 0 2 = 3 π
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι μπορείτε να πάρετε μόνο το πάνω ή το κάτω μέρος, αλλά όχι το δεξί ή το αριστερό.
Μπορείτε να δημιουργήσετε μια παραμετρική εξίσωση για μια δεδομένη έλλειψη, το κέντρο της οποίας θα βρίσκεται στην αρχή. Θα μοιάζει με x = a · cos t y = b · sin t . Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο όπως στο παραπάνω παράδειγμα, λαμβάνουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού της έλλειψης S e l και p με a = πab.
Μπορείτε να ορίσετε έναν κύκλο του οποίου το κέντρο βρίσκεται στην αρχή χρησιμοποιώντας την εξίσωση x = R · cos t y = R · sin t , όπου t είναι μια παράμετρος και R είναι η ακτίνα αυτού του κύκλου. Εάν χρησιμοποιήσουμε αμέσως τον τύπο για το εμβαδόν μιας έλλειψης, τότε θα λάβουμε έναν τύπο με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου με ακτίνα R: S k r y r a = πR 2 .
Ας δούμε ένα ακόμη πρόβλημα.
Παράδειγμα 2
Κατάσταση: βρείτε με ποιο θα ισούται το εμβαδόν του σχήματος, το οποίο περιορίζεται από μια παραμετρικά καθορισμένη καμπύλη x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t.
Λύση
Ας διευκρινίσουμε αμέσως ότι αυτή η καμπύλη έχει το σχήμα ενός επιμήκους αστροειδούς. Τυπικά το αστροειδή εκφράζεται χρησιμοποιώντας μια εξίσωση της μορφής x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .
Τώρα ας δούμε λεπτομερώς πώς να κατασκευάσουμε μια τέτοια καμπύλη. Ας χτίσουμε με βάση επιμέρους σημεία. Αυτή είναι η πιο κοινή μέθοδος και ισχύει για τις περισσότερες εργασίες. Πιο πολύπλοκα παραδείγματα απαιτούν διαφορικό λογισμό για τον προσδιορισμό μιας παραμετρικά καθορισμένης συνάρτησης.
Έχουμε x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t.
Αυτές οι συναρτήσεις ορίζονται για όλες τις πραγματικές τιμές του t. Για αμαρτία και συν είναι γνωστό ότι είναι περιοδικές και η περίοδός τους είναι 2 pi. Έχοντας υπολογίσει τις τιμές των συναρτήσεων x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t για μερικές t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, παίρνουμε βαθμούς x 0; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .
Ας κάνουμε έναν πίνακα με τις συνολικές τιμές:
| t 0 | 0 | π 8 | π 4 | 3 π 8 | π 2 | 5 π 8 | 3 π 4 | 7 π 8 | π |
| x 0 = φ (t 0) | 3 | 2 . 36 | 1 . 06 | 0 . 16 | 0 | - 0 . 16 | - 1 . 06 | - 2 . 36 | - 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | 0 | 0 . 11 | 0 . 70 | 1 . 57 | 2 | 1 . 57 | 0 . 70 | 0 . 11 | 0 |
| t 0 | 9 π 8 | 5 π 4 | 11 π 8 | 3 π 2 | 13 π 8 | 7 π 4 | 15 π 8 | 2π |
| x 0 = φ (t 0) | - 2 . 36 | - 1 . 06 | - 0 . 16 | 0 | 0 . 16 | 1 . 06 | 2 . 36 | 3 |
| y 0 = ψ (t 0) | - 0 . 11 | - 0 . 70 | - 1 . 57 | - 2 | - 1 . 57 | - 0 . 70 | - 0 . 11 | 0 |
Μετά από αυτό, σημειώστε τα απαιτούμενα σημεία στο επίπεδο και συνδέστε τα με μία γραμμή.
Τώρα πρέπει να βρούμε την περιοχή αυτού του τμήματος του σχήματος που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο συντεταγμένων. Για αυτό x ∈ a; b = 0 ; 3:
φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z
Αν το k είναι ίσο με 0, τότε παίρνουμε το διάστημα β. α = 0 ; π 2 , και η συνάρτηση x = φ (t) = 3 cos 3 t θα μειωθεί μονότονα πάνω της. Τώρα παίρνουμε τον τύπο του εμβαδού και υπολογίζουμε:
- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t " d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t
Τα καταφέραμε οριστικά ολοκληρώματα, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz. Τα αντιπαράγωγα για αυτόν τον τύπο μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον επαναλαμβανόμενο τύπο J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , όπου J n (x) = ∫ αμαρτία ν χ δ χ .
∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 αμαρτία 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96
Υπολογίσαμε το εμβαδόν του ενός τετάρτου του σχήματος. Είναι ίσο με 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.
Εάν πολλαπλασιάσουμε αυτήν την τιμή με 4, παίρνουμε το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος - 9 π 4.
Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η περιοχή του αστροειδούς, που δίνεται από τις εξισώσεις x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο S a stroid = 3 πa 2 8 και το εμβαδόν του σχήματος, το οποίο περιορίζεται από τη γραμμή x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t, υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο S = 3 πab 8.
Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter
Πριν προχωρήσουμε στους τύπους για την περιοχή μιας επιφάνειας περιστροφής, θα δώσουμε μια σύντομη διατύπωση της ίδιας της επιφάνειας περιστροφής. Μια επιφάνεια περιστροφής, ή, το ίδιο πράγμα, μια επιφάνεια ενός σώματος περιστροφής είναι μια χωρική φιγούρα που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός τμήματος ΑΒκαμπύλη γύρω από τον άξονα Βόδι(εικόνα παρακάτω).
Ας φανταστούμε ένα καμπύλο τραπεζοειδές οριοθετημένο από πάνω από το αναφερόμενο τμήμα της καμπύλης. Ένα σώμα που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του τραπεζοειδούς γύρω από τον ίδιο άξονα Βόδι, και είναι ένα σώμα περιστροφής. Και η περιοχή της επιφάνειας περιστροφής ή η επιφάνεια ενός σώματος περιστροφής είναι το εξωτερικό του κέλυφος, χωρίς να υπολογίζονται οι κύκλοι που σχηματίζονται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα των ευθειών γραμμών Χ = έναΚαι Χ = σι .
Σημειώστε ότι ένα σώμα περιστροφής και, κατά συνέπεια, η επιφάνειά του μπορεί επίσης να σχηματιστεί περιστρέφοντας το σχήμα όχι γύρω από τον άξονα Βόδι, και γύρω από τον άξονα Oy.
Υπολογισμός του εμβαδού μιας επιφάνειας περιστροφής που καθορίζεται σε ορθογώνιες συντεταγμένες
Έστω σε ορθογώνιες συντεταγμένες στο επίπεδο η εξίσωση y = φά(Χ) καθορίζεται μια καμπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον άξονα συντεταγμένων σχηματίζει ένα σώμα περιστροφής.
Ο τύπος για τον υπολογισμό της επιφάνειας περιστροφής έχει ως εξής:
(1).
Παράδειγμα 1.Βρείτε την επιφάνεια του παραβολοειδούς που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονά του Βόδιτόξο παραβολής που αντιστοιχεί στη μεταβολή Χαπό Χ= 0 έως Χ = ένα .
Λύση. Ας εκφράσουμε ρητά τη συνάρτηση που ορίζει το τόξο της παραβολής:
Ας βρούμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:
Πριν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να βρούμε το εμβαδόν μιας επιφάνειας περιστροφής, ας γράψουμε εκείνο το τμήμα της ολοκλήρωσής της που αντιπροσωπεύει τη ρίζα και ας αντικαταστήσουμε την παράγωγο που μόλις βρήκαμε εκεί:
Απάντηση: Το μήκος του τόξου της καμπύλης είναι
.
Παράδειγμα 2.Βρείτε την επιφάνεια που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από έναν άξονα Βόδιαστροειδής.
Λύση. Αρκεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή ενός κλάδου του αστροειδούς, που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο, και να το πολλαπλασιάσουμε με το 2. Από την εξίσωση του αστροειδούς, θα εκφράσουμε ρητά τη συνάρτηση που θα χρειαστεί να αντικαταστήσουμε στο τύπος για να βρείτε την επιφάνεια περιστροφής:
.
Ενσωματώνουμε από 0 έως ένα:
Υπολογισμός του εμβαδού μιας επιφάνειας περιστροφής που καθορίζεται παραμετρικά
Ας εξετάσουμε την περίπτωση που η καμπύλη που σχηματίζει την επιφάνεια της περιστροφής δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις
Στη συνέχεια, η επιφάνεια περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο
(2).
Παράδειγμα 3.Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας περιστροφής που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από έναν άξονα Oyσχήμα που οριοθετείται από ένα κυκλοειδές και μια ευθεία γραμμή y = ένα. Το κυκλοειδές δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις
Λύση. Ας βρούμε τα σημεία τομής του κυκλοειδούς και της ευθείας. Εξίσωση της εξίσωσης ενός κυκλοειδούς και της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής y = ένα, ας βρούμε
Από αυτό προκύπτει ότι τα όρια της ολοκλήρωσης αντιστοιχούν
Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο (2). Ας βρούμε παράγωγα:
Ας γράψουμε τη ριζική έκφραση στον τύπο, αντικαθιστώντας τις παραγώγους που βρέθηκαν:
Ας βρούμε τη ρίζα αυτής της έκφρασης:
.
Ας αντικαταστήσουμε αυτό που βρήκαμε στον τύπο (2):
.
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:
Και τελικά βρίσκουμε
Τριγωνομετρικοί τύποι χρησιμοποιήθηκαν για να μετασχηματίσουν εκφράσεις
Απάντηση: Η επιφάνεια της περιστροφής είναι .
Υπολογισμός του εμβαδού μιας επιφάνειας περιστροφής που καθορίζεται σε πολικές συντεταγμένες
Αφήστε την καμπύλη, η περιστροφή της οποίας σχηματίζει την επιφάνεια, να καθοριστεί σε πολικές συντεταγμένες.
Χαιρετισμούς, αγαπητοί φοιτητές του Πανεπιστημίου Αργεμώνα!
Λίγο ακόμα και το μάθημα θα ολοκληρωθεί, αλλά τώρα θα το κάνουμε αυτό.
Η Ζούλι κούνησε ελαφρά το χέρι της και μια φιγούρα εμφανίστηκε στον αέρα. Πιο συγκεκριμένα, ήταν ένα ορθογώνιο τραπέζιο. Απλώς κρεμόταν στον αέρα, που δημιουργήθηκε από τη μαγική ενέργεια που έρεε κατά μήκος των πλευρών του, και επίσης στροβιλιζόταν μέσα στο ίδιο το τραπεζοειδές, προκαλώντας τη λάμψη και τη λάμψη.
Στη συνέχεια, η δασκάλα έκανε μια ελαφρώς αισθητή κυκλική κίνηση με τα δάχτυλά της - και το τραπεζοειδές άρχισε να περιστρέφεται γύρω από έναν αόρατο άξονα. Στην αρχή αργά, μετά όλο και πιο γρήγορα - έτσι ώστε μια τρισδιάστατη φιγούρα άρχισε να εμφανίζεται καθαρά στον αέρα. Έμοιαζε σαν να διαχέεται μέσα της μαγική ενέργεια.
Στη συνέχεια συνέβη το εξής: τα αστραφτερά περιγράμματα της φιγούρας και το εσωτερικό της άρχισαν να γεμίζουν με κάποια ουσία, η λάμψη γινόταν όλο και λιγότερο αισθητή, αλλά η ίδια η φιγούρα έμοιαζε όλο και περισσότερο με κάτι απτό. Οι κόκκοι του υλικού ήταν ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο σχήμα. Και τότε όλα τελείωσαν: η περιστροφή και η λάμψη. Υπήρχε ένα αντικείμενο που έμοιαζε με χωνί κρεμασμένο στον αέρα. Ο Τζούλι το μετέφερε προσεκτικά στο τραπέζι.
Ορίστε. Αυτός είναι περίπου ο τρόπος με τον οποίο μπορείτε να υλοποιήσετε πολλά αντικείμενα - περιστρέφοντας μερικές επίπεδες φιγούρες γύρω από νοητές ευθείες γραμμές. Φυσικά, για την υλοποίηση χρειάζεστε μια ορισμένη ποσότητα ουσίας, η οποία θα γεμίσει ολόκληρο τον όγκο που σχηματίζεται και κρατείται προσωρινά με τη βοήθεια της μαγικής ενέργειας. Αλλά για να υπολογίσετε με ακρίβεια πόση ουσία χρειάζεται, πρέπει να γνωρίζετε τον όγκο του σώματος που προκύπτει. Διαφορετικά, εάν υπάρχει λίγη ουσία, δεν θα γεμίσει ολόκληρο τον όγκο και το σώμα μπορεί να αποδειχθεί εύθραυστο, με ελαττώματα. Και η υλοποίηση και η διατήρηση μιας μεγάλης περίσσειας ύλης είναι μια περιττή δαπάνη μαγικής ενέργειας.
Λοιπόν, τι γίνεται αν έχουμε περιορισμένη ποσότητα ουσίας; Στη συνέχεια, έχοντας τη δυνατότητα να υπολογίσουμε τους όγκους των σωμάτων, μπορούμε να υπολογίσουμε τι μέγεθος σώματος μπορούμε να φτιάξουμε χωρίς μεγάλη δαπάνη μαγικής ενέργειας.
Υπάρχει μια άλλη σκέψη για το πλεονάζον υλικό που προσελκύεται. Πού πηγαίνει η περίσσεια ουσία; Καταρρέουν όταν δεν εμπλέκονται; Ή μήπως κολλάνε στο σώμα τυχαία;
Σε γενικές γραμμές, υπάρχει ακόμα κάτι να σκεφτούμε. Αν ξαφνικά σου δημιουργηθούν σκέψεις, θα χαρώ να τις ακούσω. Εν τω μεταξύ, ας προχωρήσουμε στον υπολογισμό των όγκων των σωμάτων που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο.
Εδώ εξετάζονται διάφορες περιπτώσεις.
Περίπτωση 1.
Η περιοχή που θα περιστρέψουμε είναι το πιο κλασικό καμπύλο τραπεζοειδές.
Φυσικά, μπορούμε να το περιστρέψουμε μόνο γύρω από τον άξονα OX. Εάν αυτό το τραπεζοειδές μετατοπιστεί προς τα δεξιά οριζόντια έτσι ώστε να μην τέμνει τον άξονα OY, τότε μπορεί επίσης να περιστραφεί σε σχέση με αυτόν τον άξονα. Οι τύποι ορθογραφίας και για τις δύο περιπτώσεις είναι οι εξής:
Εσείς και εγώ έχουμε ήδη κατακτήσει αρκετά καλά τα βασικά μαγικά εφέ στις συναρτήσεις, οπότε νομίζω ότι δεν θα είναι δύσκολο για εσάς, εάν χρειαστεί, να μετακινήσετε το σχήμα στους άξονες συντεταγμένων έτσι ώστε να βρίσκεται σε βολική τοποθεσία για να εργαστείτε μαζί του.
Περίπτωση 2.
Μπορείτε να περιστρέψετε όχι μόνο το κλασικό καμπύλο τραπεζοειδές, αλλά και μια φιγούρα όπως αυτή:
Όταν περιστρέφουμε, παίρνουμε ένα είδος δακτυλίου. Και μετακινώντας το σχήμα στη θετική περιοχή, μπορούμε να το περιστρέψουμε σε σχέση με τον άξονα OY. Θα πάρουμε και το δαχτυλίδι ή όχι. Όλα εξαρτώνται από το πώς θα τοποθετηθεί η φιγούρα: αν αριστερό περίγραμμαθα περάσει ακριβώς κατά μήκος του άξονα OY, τότε ο δακτύλιος δεν θα λειτουργήσει. Μπορείτε να υπολογίσετε τους όγκους τέτοιων σωμάτων περιστροφής χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα ξόρκια:
Περίπτωση 3.
Ας θυμηθούμε ότι έχουμε υπέροχες καμπύλες, οι οποίες όμως ορίζονται όχι με τον συνηθισμένο τρόπο, αλλά με παραμετρική μορφή. Τέτοιες καμπύλες είναι συχνά κλειστές. Η παράμετρος t πρέπει να αλλάξει με τέτοιο τρόπο ώστε το κλειστό σχήμα, όταν περιστρέφεται γύρω από αυτήν κατά μήκος της καμπύλης (περιθώριο), να παραμένει προς τα αριστερά.
Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε τους όγκους των σωμάτων περιστροφής σε σχέση με τον άξονα OX ή OY, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα ακόλουθα ξόρκια:
Οι ίδιοι τύποι μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την περίπτωση μη κλειστών καμπυλών: όταν και τα δύο άκρα βρίσκονται στον άξονα OX ή στον άξονα OY. Το σχήμα αποδεικνύεται ότι είναι κλειστό με οποιονδήποτε τρόπο: τα άκρα κλείνουν από ένα τμήμα του άξονα.
Περίπτωση 4.
Μερικές από τις υπέροχες καμπύλες μας καθορίζονται από πολικές συντεταγμένες (r=r(fi)). Και τότε το σχήμα μπορεί να περιστραφεί γύρω από τον πολικό άξονα. Στην περίπτωση αυτή, το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων συνδυάζεται με το πολικό και υποτίθεται
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Έτσι, φτάνουμε σε μια παραμετρική μορφή της καμπύλης, όπου η παράμετρος fi θα πρέπει να αλλάξει έτσι ώστε κατά τη διέλευση της καμπύλης, η περιοχή να παραμένει προς τα αριστερά.
Και χρησιμοποιούμε τους τύπους ορθογραφίας από την περίπτωση 3.
Ωστόσο, για την περίπτωση των πολικών συντεταγμένων υπάρχει επίσης ένας ορθογραφικός τύπος:
Φυσικά, οι επίπεδες φιγούρες μπορούν να περιστραφούν σε σχέση με οποιεσδήποτε άλλες ευθείες γραμμές, όχι μόνο σε σχέση με τους άξονες OX και OY, αλλά αυτοί οι χειρισμοί είναι πιο περίπλοκοι, επομένως θα περιοριστούμε σε εκείνες τις περιπτώσεις που συζητήθηκαν στη διάλεξη.
Και τώρα εργασία για το σπίτι . Δεν θα σας δώσω συγκεκριμένα στοιχεία. Έχουμε ήδη μελετήσει πολλές λειτουργίες και θα ήθελα να σχεδιάσετε κάτι μόνοι σας που μπορεί να χρειαστείτε στη μαγική πρακτική. Νομίζω ότι τέσσερα παραδείγματα για όλες τις περιπτώσεις που αναφέρονται στη διάλεξη θα είναι αρκετά.
