Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respectarea vieții private la nivelul companiei
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
În acest articol vom vorbi despre liniile paralele, vom da definiții și vom schița semnele și condițiile paralelismului. Pentru claritate material teoretic Vom folosi ilustrații și soluții la exemple tipice.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definiție 1
Linii paralele pe un plan– două drepte pe un plan care nu au puncte comune.
Definiția 2
linii paralele in spatiu tridimensional – două drepte în spațiu tridimensional, situate în același plan și fără puncte comune.
Este necesar să rețineți că pentru a determina linii paralele în spațiu, clarificarea „în același plan” este extrem de importantă: două linii în spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele. , dar intersectându-se.
Pentru a indica linii paralele, este obișnuit să folosiți simbolul ∥. Adică, dacă dreptele date a și b sunt paralele, această condiție trebuie scrisă pe scurt după cum urmează: a ‖ b. Verbal, paralelismul dreptelor se notează după cum urmează: liniile a și b sunt paralele, sau linia a este paralelă cu dreapta b sau linia b este paralelă cu dreapta a.
Să formulăm o afirmație care joacă rol importantîn tema studiată.
Axiomă
Printr-un punct care nu aparține unei drepte date trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei.
În cazul în care vorbim despre spațiu, teorema este adevărată:
Teorema 1
Prin orice punct din spațiu care nu aparține unei linii date, va exista o singură dreaptă paralelă cu cea dată.
Această teoremă este ușor de demonstrat pe baza axiomei de mai sus (program de geometrie pentru clasele 10 - 11).
Criteriul paralelismului este o condiție suficientă, a cărei îndeplinire garantează paralelismul dreptelor. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a confirma faptul paralelismului.
În special, există condiții necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor pe plan și în spațiu. Să explicăm: necesar înseamnă condiția a cărei îndeplinire este necesară pentru liniile paralele; dacă nu este îndeplinită, liniile nu sunt paralele.
Pentru a rezuma, o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor este o condiție a cărei respectare este necesară și suficientă pentru ca liniile să fie paralele între ele. Pe de o parte, acesta este un semn de paralelism, pe de altă parte, este o proprietate inerentă liniilor paralele.
Înainte de a da formula exactă a unei condiții necesare și suficiente, să ne amintim câteva concepte suplimentare.
Definiția 3
Linie secanta– o linie dreaptă care intersectează fiecare dintre două drepte date necoincidente.
Intersectând două drepte, o transversală formează opt unghiuri nedezvoltate. Pentru a formula o condiție necesară și suficientă, vom folosi tipuri de unghiuri încrucișate, corespunzătoare și unilaterale. Să le demonstrăm în ilustrație:
Teorema 2
Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o transversală, atunci pentru ca dreptele date să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile care se intersectează să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 de grade.
Să ilustrăm grafic condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan:
Dovada acestor condiții este prezentă în programul de geometrie pentru clasele 7 - 9.
În general, aceste condiții se aplică și spațiului tridimensional, cu condiția ca două drepte și o secante să aparțină aceluiași plan.
Să mai indicăm câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra faptul că dreptele sunt paralele.
Teorema 3
Pe un plan, două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Această caracteristică este dovedită pe baza axiomei de paralelism indicată mai sus.
Teorema 4
În spațiul tridimensional, două linii paralele cu o a treia sunt paralele între ele.
Dovada unui semn este studiată în programa de geometrie de clasa a X-a.
Să dăm o ilustrare a acestor teoreme:
Să mai indicăm o pereche de teoreme care dovedesc paralelismul dreptelor.
Teorema 5
Pe un plan, două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele între ele.
Să formulăm un lucru similar pentru spațiul tridimensional.
Teorema 6
În spațiul tridimensional, două linii perpendiculare pe o treime sunt paralele între ele.
Să ilustrăm:
Toate teoremele, semnele și condițiile de mai sus fac posibilă demonstrarea comodă a paralelismului dreptelor folosind metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul dreptelor, se poate arăta că unghiurile corespunzătoare sunt egale, sau se poate demonstra faptul că două drepte date sunt perpendiculare pe a treia etc. Dar rețineți că este adesea mai convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor pe un plan sau în spațiul tridimensional.
Paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular
Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, o linie dreaptă este determinată de ecuația unei drepte pe un plan de unul dintre tipurile posibile. La fel, o linie dreaptă definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional corespunde unor ecuații pentru o dreaptă în spațiu.
Să notăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular în funcție de tipul de ecuație care descrie liniile date.
Să începem cu condiția paralelismului dreptelor pe un plan. Se bazează pe definițiile vectorului de direcție al unei linii și al vectorului normal al unei linii pe un plan.
Teorema 7
Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele pe un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorii normali ai dreptelor date să fie coliniari sau vectorul direcției unei drepte să fie perpendicular pe vectorul normal al celeilalte linii.
Devine evident că condiția de paralelism a dreptelor pe un plan se bazează pe condiția de coliniaritate a vectorilor sau condiția de perpendicularitate a doi vectori. Adică dacă a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectori de direcție ai dreptelor a și b ;
și n b → = (n b x , n b y) sunt vectori normali ai dreptelor a și b, atunci scriem condiția necesară și suficientă de mai sus astfel: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y sau n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y sau a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , unde t este un număr real. Coordonatele ghidajelor sau ale vectorilor drepti sunt determinate de ecuațiile date ale dreptelor. Să ne uităm la exemplele principale.
- Linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular este determinată de ecuația generală a dreptei: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; linie dreaptă b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (A 1, B 1) și respectiv (A 2, B 2). Scriem condiția de paralelism după cum urmează:
A 1 = t A 2 B 1 = t B 2
- Linia a este descrisă prin ecuația unei drepte cu panta de forma y = k 1 x + b 1 . Linie dreaptă b - y = k 2 x + b 2. Atunci vectorii normali ai dreptelor date vor avea coordonatele (k 1, - 1) și respectiv (k 2, - 1), și vom scrie condiția de paralelism după cum urmează:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Astfel, dacă liniile paralele pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt date de ecuații cu coeficienți unghiulari, atunci coeficienții unghiulari ai dreptelor date vor fi egali. Și afirmația opusă este adevărată: dacă liniile necoincidente pe un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile unei linii cu coeficienți unghiulari identici, atunci aceste drepte date sunt paralele.
- Liniile a și b dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt specificate prin ecuațiile canonice ale unei drepte pe un plan: x - x 1 a x = y - y 1 a y și x - x 2 b x = y - y 2 b y sau prin ecuații parametrice ale o dreaptă pe un plan: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y și x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
Atunci vectorii de direcție ai dreptelor date vor fi: a x, a y și respectiv b x, b y și vom scrie condiția de paralelism astfel:
a x = t b x a y = t b y
Să ne uităm la exemple.
Exemplul 1
Sunt date două linii: 2 x - 3 y + 1 = 0 și x 1 2 + y 5 = 1. Este necesar să se determine dacă sunt paralele.
Soluţie
Să scriem ecuația unei drepte în segmente în formă ecuație generală:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
Vedem că n a → = (2, - 3) este vectorul normal al dreptei 2 x - 3 y + 1 = 0, iar n b → = 2, 1 5 este vectorul normal al dreptei x 1 2 + y 5 = 1.
Vectorii rezultați nu sunt coliniari, deoarece nu există o astfel de valoare a lui tat care să fie adevărată egalitatea:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Astfel, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan nu este îndeplinită, ceea ce înseamnă că dreptele date nu sunt paralele.
Răspuns: liniile date nu sunt paralele.
Exemplul 2
Sunt date dreptele y = 2 x + 1 și x 1 = y - 4 2. Sunt paralele?
Soluţie
Să ne transformăm ecuație canonică dreapta x 1 = y - 4 2 la ecuația unei drepte cu pantă:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
Vedem că ecuațiile dreptelor y = 2 x + 1 și y = 2 x + 4 nu sunt aceleași (dacă ar fi altfel, liniile ar fi coincidente) și coeficienții unghiulari ai dreptelor sunt egali, ceea ce înseamnă că liniile date sunt paralele.
Să încercăm să rezolvăm problema altfel. Mai întâi, să verificăm dacă liniile date coincid. Folosim orice punct de pe dreapta y = 2 x + 1, de exemplu, (0, 1), coordonatele acestui punct nu corespund ecuației dreptei x 1 = y - 4 2, ceea ce înseamnă că liniile nu nu coincid.
Următorul pas este de a determina dacă este îndeplinită condiția de paralelism a liniilor date.
Vectorul normal al dreptei y = 2 x + 1 este vectorul n a → = (2 , - 1) , iar vectorul direcție al celei de-a doua linii date este b → = (1 , 2) . Produs scalar dintre acești vectori este egal cu zero:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Astfel, vectorii sunt perpendiculari: aceasta ne demonstrează îndeplinirea condiției necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor inițiale. Acestea. liniile date sunt paralele.
Răspuns: aceste linii sunt paralele.
Pentru a demonstra paralelismul liniilor într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se utilizează următoarea condiție necesară și suficientă.
Teorema 8
Pentru ca două linii necoincidente în spațiul tridimensional să fie paralele, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari.
Acestea. date fiind ecuațiile de drepte din spațiul tridimensional, răspunsul la întrebarea: sunt paralele sau nu, se găsește prin determinarea coordonatelor vectorilor de direcție ai dreptelor date, precum și prin verificarea stării de coliniaritate a acestora. Cu alte cuvinte, dacă a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) sunt vectori de direcție ai dreptelor a și, respectiv, b, atunci pentru ca acestea să fie paralele, existența lui astfel de numar real t astfel încât egalitatea să fie valabilă:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Exemplul 3
Sunt date dreptele x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 și x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Este necesar să se demonstreze paralelismul acestor drepte.
Soluţie
Condițiile problemei sunt date de ecuațiile canonice ale unei linii în spațiu și ecuațiile parametrice ale altei drepte în spațiu. Vectori de ghidare a → și b → liniile date au coordonatele: (1, 0, - 3) și (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , atunci a → = 1 2 · b → .
În consecință, este îndeplinită condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor în spațiu.
Răspuns: este dovedit paralelismul dreptelor date.
Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
CAPITOLUL III.
PARALEL DIRECT
§ 38. DEPENDENŢA ÎNTRE UNGHIURI,
FORMAT DIN DOUA LINII PARALELE SI UN SECUNDAR.
Știm că două drepte sunt paralele dacă, atunci când intersectează o a treia dreaptă, unghiurile corespunzătoare sunt egale, sau unghiurile interne sau externe situate transversal sunt egale, sau suma unghiurilor interne sau suma unghiurilor externe unilaterale este egală cu 2 d. Să demonstrăm că și teoremele inverse sunt adevărate și anume:
Dacă două drepte paralele sunt încrucișate de o treime, atunci:
1) unghiurile corespunzătoare sunt egale;
2) unghiurile transversale interne sunt egale;
3) unghiurile transversale externe sunt egale;
4) suma unghiurilor interne unilaterale este egală cu 2
d
;
5) suma unghiurilor externe unilaterale este egală cu 2
d
.
Să demonstrăm, de exemplu, că dacă două drepte paralele sunt intersectate de o a treia dreaptă, atunci unghiurile corespunzătoare sunt egale.
Fie dreptele AB și CD paralele, iar MN secantele lor (Fig. 202) Să demonstrăm că unghiurile corespunzătoare 1 și 2 sunt egale între ele.
Să presupunem că / 1 și / 2 nu sunt egali. Apoi în punctul O putem construi / IOC, corespondent și egal / 2 (desenul 203).
Dar dacă / MOQ = / 2, apoi linia dreaptă OK va fi paralelă cu CD (§ 35).
Am descoperit că două drepte AB și OK au fost trasate prin punctul O, paralele cu dreapta CD. Dar aceasta nu poate fi (§ 37).
Am ajuns la o contradicție pentru că am presupus asta / 1 și / 2 nu sunt egali. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă și / 1 trebuie să fie egal / 2, adică unghiurile corespunzătoare sunt egale.
Să stabilim relațiile dintre unghiurile rămase. Fie dreptele AB și CD paralele, iar MN secantele lor (Fig. 204).
Tocmai am demonstrat că în acest caz unghiurile corespunzătoare sunt egale. Să presupunem că oricare două dintre ele au 119° fiecare. Să calculăm dimensiunea fiecăruia dintre celelalte șase unghiuri. Pe baza proprietăților unghiurilor adiacente și verticale, constatăm că patru din cele opt unghiuri vor avea 119° fiecare, iar restul vor avea 61° fiecare.
S-a dovedit că atât unghiurile transversale interne, cât și cele externe sunt egale în perechi, iar suma unghiurilor unilaterale interne sau externe este egală cu 180° (sau 2 d).
Același lucru va avea loc pentru orice altă valoare a unghiurilor corespunzătoare egale.
Corolarul 1. Dacă fiecare dintre cele două linii AB și CD este paralelă cu aceeași a treia linie MN, atunci primele două linii sunt paralele între ele (desenul 205).
De fapt, prin trasarea secantei EF (Fig. 206), obținem:
A) /
1 = /
3, deoarece AB || MN; b) /
2 = /
3, din moment ce CO || MN.
Mijloace, / 1 = / 2, iar acestea sunt unghiurile corespunzătoare dreptelor AB și CD și secantei EF, prin urmare, dreptele AB și CD sunt paralele.
Corolarul 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă (desenul 207).
Într-adevăr, dacă EF _|_ AB, atunci / 1 = d; dacă AB || CD, atunci / 1 = / 2.
Prin urmare, / 2 = d adică EF _|_ CD .
Acest articol este despre linii paralele și linii paralele. În primul rând, este dată definiția dreptelor paralele pe un plan și în spațiu, sunt introduse notații, sunt date exemple și ilustrații grafice ale dreptelor paralele. În continuare, sunt discutate semnele și condițiile pentru paralelismul liniilor. În concluzie, sunt prezentate soluții la probleme tipice de demonstrare a paralelismului dreptelor, care sunt date de anumite ecuații ale unei drepte într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan și în spațiu tridimensional.
Navigare în pagină.
Linii paralele - informații de bază.
Definiție.
Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu au puncte comune.
Definiție.
Două linii din spațiul tridimensional sunt numite paralel, dacă se află în același plan și nu au puncte comune.
Vă rugăm să rețineți că clauza „dacă se află în același plan” din definiția dreptelor paralele în spațiu este foarte importantă. Să lămurim acest punct: două drepte din spațiul tridimensional care nu au puncte comune și nu se află în același plan nu sunt paralele, ci se intersectează.
Iată câteva exemple de linii paralele. Marginile opuse ale foii de caiet se află pe linii paralele. Liniile drepte de-a lungul cărora planul peretelui casei intersectează planurile tavanului și podelei sunt paralele. Șinele de cale ferată pe teren plan pot fi considerate și linii paralele.
Pentru a indica linii paralele, utilizați simbolul „”. Adică, dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem scrie pe scurt a b.
Vă rugăm să rețineți: dacă liniile a și b sunt paralele, atunci putem spune că linia a este paralelă cu linia b și, de asemenea, că linia b este paralelă cu linia a.
Să rostim o afirmație care joacă un rol important în studiul dreptelor paralele pe un plan: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, trece singura dreaptă paralelă cu cea dată. Această afirmație este acceptată ca fapt (nu poate fi dovedită pe baza axiomelor cunoscute ale planimetriei) și se numește axioma dreptelor paralele.
Pentru cazul spațiului, teorema este valabilă: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă se dovedește cu ușurință folosind axioma de mai sus a liniilor paralele (demonstrația ei o puteți găsi în manualul de geometrie pentru clasele 10-11, care este enumerat la sfârșitul articolului în lista de referințe).
Pentru cazul spațiului, teorema este valabilă: prin orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă dată, trece o singură dreaptă paralelă cu cea dată. Această teoremă poate fi dovedită cu ușurință folosind axioma liniilor paralele de mai sus.
Paralelismul liniilor - semne și condiții de paralelism.
Un semn de paralelism al liniilor este o condiție suficientă pentru ca liniile să fie paralele, adică o condiție a cărei îndeplinire garantează ca liniile să fie paralele. Cu alte cuvinte, îndeplinirea acestei condiții este suficientă pentru a stabili faptul că liniile sunt paralele.
Există și condiții necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor pe un plan și în spațiul tridimensional.
Să explicăm sensul expresiei „condiție necesară și suficientă pentru linii paralele”.
Ne-am ocupat deja de condiția suficientă pentru liniile paralele. Si ce este " conditie necesara paralelismul liniilor”? Din denumirea „necesar” este clar că îndeplinirea acestei condiții este necesară pentru liniile paralele. Cu alte cuvinte, dacă nu este îndeplinită condiția necesară pentru ca liniile să fie paralele, atunci liniile nu sunt paralele. Prin urmare, condiție necesară și suficientă pentru linii paralele este o condiție a cărei îndeplinire este atât necesară, cât și suficientă pentru liniile paralele. Adică, pe de o parte, acesta este un semn de paralelism al liniilor și, pe de altă parte, aceasta este o proprietate pe care o au liniile paralele.
Înainte de a formula o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul liniilor, este indicat să amintim mai multe definiții auxiliare.
Linie secanta este o dreaptă care intersectează fiecare dintre două drepte necoincidente date.
Când două drepte se intersectează cu o transversală, se formează opt drepte nedezvoltate. În formularea condiției necesare și suficiente pentru paralelismul liniilor, așa-numita culcat în cruce, corespunzătorȘi unghiuri unilaterale. Să le arătăm în desen.
Teorema.
Dacă două drepte dintr-un plan sunt intersectate de o transversală, atunci pentru ca ele să fie paralele este necesar și suficient ca unghiurile care se intersectează să fie egale sau unghiurile corespunzătoare să fie egale sau suma unghiurilor unilaterale să fie egală cu 180 grade.
Să arătăm o ilustrare grafică a acestei condiții necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor pe un plan.
Poți găsi dovezi ale acestor condiții pentru paralelismul liniilor în manualele de geometrie pentru clasele 7-9.
Rețineți că aceste condiții pot fi utilizate și în spațiul tridimensional - principalul lucru este că cele două linii drepte și secanta se află în același plan.
Iată câteva teoreme care sunt adesea folosite pentru a demonstra paralelismul dreptelor.
Teorema.
Dacă două drepte dintr-un plan sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele. Dovada acestui criteriu rezultă din axioma dreptelor paralele.
Există o condiție similară pentru liniile paralele în spațiul tridimensional.
Teorema.
Dacă două linii din spațiu sunt paralele cu o a treia linie, atunci ele sunt paralele. Dovada acestui criteriu este discutată la lecțiile de geometrie din clasa a X-a.
Să ilustrăm teoremele enunțate.
Să prezentăm o altă teoremă care ne permite să demonstrăm paralelismul dreptelor pe un plan.
Teorema.
Dacă două drepte dintr-un plan sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele.
Există o teoremă similară pentru liniile din spațiu.
Teorema.
Dacă două drepte din spațiul tridimensional sunt perpendiculare pe același plan, atunci ele sunt paralele.
Să desenăm imagini corespunzătoare acestor teoreme.
Toate teoremele, criteriile și condițiile necesare și suficiente formulate mai sus sunt excelente pentru a demonstra paralelismul dreptelor folosind metodele geometriei. Adică, pentru a demonstra paralelismul a două drepte date, trebuie să arăți că acestea sunt paralele cu o a treia dreaptă sau să arăți egalitatea unghiurilor transversale, etc. Multe probleme similare sunt rezolvate în lecțiile de geometrie în liceu. Cu toate acestea, trebuie remarcat că în multe cazuri este convenabil să folosiți metoda coordonatelor pentru a demonstra paralelismul dreptelor pe un plan sau în spațiul tridimensional. Să formulăm condițiile necesare și suficiente pentru paralelismul dreptelor care sunt specificate într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
Paralelismul dreptelor într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
În acest paragraf al articolului vom formula condiţii necesare şi suficiente pentru liniile paraleleîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular, în funcție de tipul de ecuații care definesc aceste drepte, și prezentăm și soluții detaliate sarcini caracteristice.
Să începem cu condiția paralelismului a două drepte pe un plan în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy. Dovada lui se bazează pe definiția vectorului de direcție al unei linii și definiția vectorului normal al unei drepte pe un plan.
Teorema.
Pentru ca două drepte necoincidente să fie paralele într-un plan, este necesar și suficient ca vectorii de direcție ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorii normali ai acestor drepte să fie coliniari sau vectorul direcție al unei linii să fie perpendicular pe normal vector al celei de-a doua linii.
Evident, condiția de paralelism a două drepte pe un plan se reduce la (vectori de direcție ai dreptelor sau vectori normali ai liniilor) sau la (vector de direcție a unei linii și vector normal a celei de-a doua drepte). Astfel, dacă și sunt vectori de direcție ai dreptelor a și b, și 
Și 
sunt vectori normali ai dreptelor a și respectiv b, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor a și b se va scrie ca 
, sau 
, sau , unde t este un număr real. La rândul lor, coordonatele ghidajelor și (sau) vectorilor normali ai liniilor a și b sunt găsite folosind ecuațiile cunoscute ale dreptelor.
În special, dacă linia dreaptă a în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxy pe plan definește o ecuație generală a dreptei de forma 
, și linia dreaptă b - 
, atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonate și, respectiv, iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se va scrie ca .
Dacă linia a corespunde ecuației unei linii cu un coeficient unghiular de forma și linia b-, atunci vectorii normali ai acestor drepte au coordonatele și, iar condiția de paralelism a acestor drepte ia forma 
. În consecință, dacă liniile dintr-un plan dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt paralele și pot fi specificate prin ecuații de drepte cu coeficienți unghiulari, atunci coeficienții unghiulari ai dreptelor vor fi egali. Și invers: dacă liniile necoincidente pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular pot fi specificate prin ecuații ale unei linii cu coeficienți unghiulari egali, atunci astfel de linii sunt paralele.
Dacă o dreaptă a și o dreaptă b într-un sistem de coordonate dreptunghiular sunt determinate de ecuațiile canonice ale unei drepte pe un plan de forma 
Și 
, sau ecuații parametrice ale unei linii drepte pe un plan al formei 
Și 
în consecință, vectorii de direcție ai acestor drepte au coordonatele și , iar condiția de paralelism a dreptelor a și b se scrie ca .
Să ne uităm la soluții pentru mai multe exemple.
Exemplu.
Sunt liniile paralele? 
Și ?
Soluţie.
Să rescriem ecuația unei linii în segmente sub forma unei ecuații generale a unei linii: 
. Acum putem vedea că este vectorul normal al dreptei , a este vectorul normal al dreptei. Acești vectori nu sunt coliniari, deoarece nu există un număr real t pentru care egalitatea ( 
). În consecință, condiția necesară și suficientă pentru paralelismul dreptelor pe un plan nu este îndeplinită, prin urmare, dreptele date nu sunt paralele.
Răspuns:
Nu, liniile nu sunt paralele.
Exemplu.
Sunt drepte și paralele?
Soluţie.
Să reducem ecuația canonică a unei drepte la ecuația unei drepte cu coeficient unghiular: . Evident, ecuațiile dreptelor și nu sunt aceleași (în acest caz, liniile date ar fi aceleași) și coeficienții unghiulari ai dreptelor sunt egali, prin urmare, liniile originale sunt paralele.
Pagina 1 din 2
Intrebarea 1. Demonstrați că două drepte paralele cu o a treia sunt paralele.
Răspuns. Teorema 4.1. Două drepte paralele cu o a treia sunt paralele.
Dovada. Fie dreptele a și b paralele cu dreapta c. Să presupunem că a și b nu sunt paralele (Fig. 69). Atunci ele nu se intersectează într-un punct C. Aceasta înseamnă că două drepte trec prin punctul C paralel cu dreapta c. Dar acest lucru este imposibil, deoarece printr-un punct care nu se află pe o linie dată, puteți trage cel mult o dreaptă paralelă cu cea dată. Teorema a fost demonstrată.
Intrebarea 2. Explicați ce unghiuri se numesc unghiuri interioare unilaterale. Ce unghiuri se numesc unghiuri interioare încrucișate?
Răspuns. Perechile de unghiuri care se formează atunci când liniile AB și CD se intersectează cu secantele AC au nume speciale.
Dacă punctele B și D se află în același semiplan în raport cu dreapta AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc unghiuri interne unilaterale (Fig. 71, a).
Dacă punctele B și D se află în semiplanuri diferite în raport cu dreapta AC, atunci unghiurile BAC și DCA se numesc unghiuri transversale interne (Fig. 71, b).
Orez. 71
Întrebarea 3. Demonstrați că dacă unghiurile interioare ale unei perechi sunt egale, atunci unghiurile interioare ale celeilalte perechi sunt de asemenea egale, iar suma unghiurilor interioare ale fiecărei perechi este 180°.
Răspuns. Secanta AC formează cu dreptele AB și CD două perechi de unghiuri interne unilaterale și două perechi de unghiuri interne transversale. Unghiurile interioare încrucișate ale unei perechi, de exemplu unghiul 1 și colțul 2, sunt adiacente unghiurilor interioare încrucișate ale altei perechi: unghiul 3 și unghiul 4 (Fig. 72).
Orez. 72
Prin urmare, dacă unghiurile interioare ale unei perechi sunt congruente, atunci unghiurile interioare ale celeilalte perechi sunt de asemenea egale.
O pereche de unghiuri interioare încrucișate, de exemplu unghiul 1 și unghiul 2, și o pereche de unghiuri interne unilaterale, de exemplu unghiul 2 și unghiul 3, au un unghi în comun - unghiul 2 și alte două unghiuri sunt adiacente : unghiul 1 și unghiul 3.
Prin urmare, dacă unghiurile transversale interne sunt egale, atunci suma unghiurilor interne este de 180°. Și invers: dacă suma unghiurilor de intersectare interne este egală cu 180°, atunci unghiurile de intersectare interne sunt egale. Q.E.D.
Întrebarea 4. Demonstrați un test pentru drepte paralele.
Răspuns. Teorema 4.2 (test pentru drepte paralele). Dacă unghiurile transversale interne sunt egale sau suma unghiurilor interne unilaterale este egală cu 180°, atunci liniile sunt paralele.
Dovada. Fie ca liniile drepte a și b să formeze unghiuri transversale interne egale cu secanta AB (Fig. 73, a). Să presupunem că dreptele a și b nu sunt paralele, ceea ce înseamnă că se intersectează într-un punct C (Fig. 73, b).
Orez. 73
Secanta AB împarte planul în două semiplane. În unul dintre ele se află punctul C. Să construim un triunghi BAC 1, egal cu triunghiul ABC, cu vârful C 1 într-un alt semiplan. Prin condiție, unghiurile transversale interne pentru paralela a, b și secanta AB sunt egale. Deoarece unghiurile corespunzătoare triunghiuri ABCși BAC 1 cu vârfurile A și B sunt egale, apoi coincid cu unghiurile transversale interne. Aceasta înseamnă că linia AC 1 coincide cu linia a, iar linia BC 1 coincide cu linia b. Se dovedește că două drepte diferite a și b trec prin punctele C și C 1. Și acest lucru este imposibil. Aceasta înseamnă că liniile a și b sunt paralele.
Dacă liniile a și b și transversala AB au suma unghiurilor interne unilaterale egală cu 180°, atunci, după cum știm, unghiurile interne situate transversal sunt egale. Aceasta înseamnă, conform celor dovedite mai sus, liniile a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.
Întrebarea 5. Explicați ce unghiuri se numesc unghiuri corespunzătoare. Demonstrați că dacă unghiurile transversale interne sunt egale, atunci unghiurile corespunzătoare sunt de asemenea egale și invers.
Răspuns. Dacă pentru o pereche de unghiuri transversale interne un unghi este înlocuit cu unul vertical, atunci obținem o pereche de unghiuri care se numesc unghiurile corespunzătoare acestor drepte cu o transversală. Ceea ce trebuia explicat.
Din egalitatea unghiurilor interioare situate în cruce urmează egalitatea unghiurilor corespunzătoare și invers. Să presupunem că avem două drepte paralele (deoarece, prin condiție, unghiurile interne aflate unul peste altul sunt egale) și o transversală, care formează unghiurile 1, 2, 3. Unghiurile 1 și 2 sunt egale ca unghiuri interne situate unul peste altul. Și unghiurile 2 și 3 sunt egale cu verticale. Se obține: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 și \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Din proprietatea tranzitivității semnului egal rezultă că \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Afirmația inversă poate fi dovedită într-un mod similar.
De aici obținem semnul că liniile drepte sunt paralele la unghiurile corespunzătoare. Și anume: liniile drepte sunt paralele dacă unghiurile corespunzătoare sunt egale. Q.E.D.
Întrebarea 6. Demonstrați că printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată puteți trage o dreaptă paralelă cu acesta. Câte drepte paralele cu o anumită dreaptă pot fi trase printr-un punct care nu se află pe această dreaptă?
Răspuns. Problema (8). Având în vedere o dreaptă AB și un punct C care nu se află pe această dreaptă. Demonstrați că prin punctul C puteți trasa o dreaptă paralelă cu dreapta AB.
Soluţie. Linia AC împarte planul în două semiplane (Fig. 75). Punctul B se află într-una dintre ele. Să scădem unghiul ACD din semilinia CA la un alt semiplan, egal cu unghiul TAXI. Apoi liniile AB și CD vor fi paralele. De fapt, pentru aceste linii și secantele AC, unghiurile interioare BAC și DCA sunt încrucișate. Și deoarece sunt egale, dreptele AB și CD sunt paralele. Q.E.D.
Comparând enunțul problemei 8 și axioma IX (proprietatea principală a dreptelor paralele), ajungem la o concluzie importantă: printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, este posibil să se tragă o dreaptă paralelă cu acesta și doar una.
Întrebarea 7. Demonstrați că dacă două drepte sunt intersectate de o a treia linie, atunci unghiurile intersectării intersectării sunt egale, iar suma unghiurilor interioare unilaterale este 180°.
Răspuns. Teorema 4.3 (inversul teoremei 4.2). Dacă două drepte paralele se intersectează cu o a treia linie, atunci unghiurile interne care se intersectează sunt egale, iar suma unghiurilor interne unilaterale este 180°.
Dovada. Fie a și b drepte paralele și c o dreaptă care le intersectează în punctele A și B. Să tragem o dreaptă a 1 prin punctul A astfel încât unghiurile transversale interne formate de transversala c cu dreptele a 1 și b să fie egale (Fig. 76).
Conform principiului paralelismului dreptelor, liniile a 1 și b sunt paralele. Și deoarece doar o singură dreaptă trece prin punctul A, paralelă cu dreapta b, atunci linia a coincide cu dreapta a 1.
Aceasta înseamnă că unghiurile transversale interne formate de o transversală cu
drepte paralele a și b sunt egale. Teorema a fost demonstrată.
Întrebarea 8. Demonstrați că două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.
Răspuns. Din teorema 4.2 rezultă că două drepte perpendiculare pe o a treia sunt paralele.
Să presupunem că oricare două drepte sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă. Aceasta înseamnă că aceste linii se intersectează cu a treia linie la un unghi egal cu 90°.
Din proprietatea unghiurilor formate atunci când drepte paralele se intersectează cu o transversală, rezultă că dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.
Întrebarea 9. Demonstrați că suma unghiurilor unui triunghi este de 180°.
Răspuns. Teorema 4.4. Suma unghiurilor unui triunghi este 180°.
Dovada. Fie ABC triunghi dat. Să tragem o dreaptă prin vârful B paralelă cu dreapta AC. Să marchem punctul D pe el, astfel încât punctele A și D să se afle pe părțile opuse ale dreptei BC (Fig. 78).
Unghiurile DBC și ACB sunt congruente ca unghiuri interioare încrucișate formate de transversala BC cu drepte paralele AC și BD. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi la vârfurile B și C este egală cu unghiul ABD.
Și suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABD și BAC. Deoarece acestea sunt unghiuri interioare unilaterale pentru paralele AC și BD și secante AB, suma lor este 180°. Teorema a fost demonstrată.
Întrebarea 10. Demonstrați că orice triunghi are cel puțin două unghiuri ascuțite.
Răspuns.Într-adevăr, să presupunem că triunghiul are un singur unghi ascuțit sau nu are deloc unghiuri ascuțite. Atunci acest triunghi are două unghiuri, fiecare dintre ele fiind de cel puțin 90°. Suma acestor două unghiuri nu este mai mică de 180°. Dar acest lucru este imposibil, deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°. Q.E.D.
